Ammortamento americano Ammortamento americano

Ammortamento americano
La scorsa lezione abbiamo visto che nell'ammortamento americano il
rimborso del debito iniziale avviene mediante un unico versamento a
scadenza, ottenuto attraverso una operazione di costituzione di un capitale
al tasso attivo j; per questo si parla anche di ammortamento a due tassi.
Vediamo un esempio numerico. Si vuole determinare l'esborso complessivo
annuo necessario a ripagare con ammortamento americano un debito di
100000 Euro, sapendo che i=10% e j=5%.
Dato che nell'ammortamento americano non si ha estinzione progressiva del
debito residuo, la quota interessi è costante ed è pari a 10000 Euro annui.
La quota di costituzione del fondo di ammortamento è data da
Q=
C
u n − 1 1.0510
, dove s n,i =
=
≅ 12.578, da cui
s n ,i
i
0.05
100000
≅ 7950 Euro. L' esborso totale è quindi
12.578
R = 10000 + 7950 = 17950.
Q=
© Fabio Bellini 2013
Ammortamento americano
Quando j<i, l’esborso complessivo dell’ammortamento americano è sempre
superiore alla corrispondente rata dell’ammortamento francese; abbiamo:
R =
C
1 − 1 . 1 − 10
≅ 6 . 145 , da cui
, dove a n , i =
a n ,i
0 .1
R =
100000
6 . 145
≅ 16276 Euro.
Se invece i=j si ha in generale
R=
C
1
i
1
+ iC = C n
+ iC = C ( n
+ i ) = Ci ( n
+ 1) =
s n ,i
u −1
u −1
u −1
i
= Ci (
un
1
C
) = Ci (
)=
.
n
a
u −1
1− v
n ,i
n
cioè l’esborso dell’ammortamento americano coincide con la rata dello
ammortamento francese.
© Fabio Bellini 2013
Ammortamento tedesco
Nell'ammortamento tedesco o a interessi anticipati, gli interessi vengono
pagati anticipatamente, cioè all'inizio del periodo di competenza.
Consideriamo un debito iniziale di 25000 Euro, da ammortizzare in 5 anni,
con quote capitale costanti e interessi anticipati. Si ha:
tempo
rata
q. cap.
0
2500
1
7000
2
6500
3
q. int
d. res.
tasso
2500
25000
5000
2000
20000
5000
1500
15000
6000
5000
1000
10000
4
5500
5000
500
5000
5
5000
5000
0
0
10,00%
A parità di tasso passivo ovviamente il metodo tedesco è meno conveniente
per il debitore; vedremo che questo corrisponde a un tasso interno di costo
maggiore.
© Fabio Bellini 2013
Usufrutto e nuda proprietà
Consideriamo un generico piano di ammortamento; si chiama usufrutto il
valore attuale delle quote interesse che devono ancora essere corrisposte,
nuda proprietà il valore attuale delle restanti quote capitale.
Osserviamo che questi valori attuali sono calcolati utilizzando un tasso di
valutazione i* che in generale è distinto dal tasso passivo i, e che dipende
dalle condizioni di mercato alla data s in cui si fa la valutazione.
In formule si ha
n
Us =
∑
n
Ik
k = s +1 (1 + i*)
k −s
e Ps =
∑
Ck
k = s +1 (1 + i*)
k−s
.
Evidentemente
n
U s + Ps =
n
n
Ik
Ck
Rk
+ ∑
= ∑
= Vs
k −s
k −s
k −s
k = s +1 (1 + i*)
k = s +1 (1 + i*)
k = s +1 (1 + i *)
∑
cioè la somma di usufrutto e nuda proprietà coincide con il valore attuale al
tempo s delle rate successive, al tasso di valutazione i*.
© Fabio Bellini 2013
Usufrutto e nuda proprietà
Come esempio, consideriamo il solito ammortamento italiano di un debito
iniziale di 25000 Euro in 5 rate annuali al tasso i=10%:
anno
rata
q.cap.
q.int.
deb. Res.
0
tasso
25000
1
7500
5000
2500
20000
2
7000
5000
2000
15000
3
6500
5000
1500
10000
4
6000
5000
1000
5000
5
5500
5000
500
0
10.00%
Calcoliamo usufrutto e nuda proprietà al tempo s=3, utilizzando un tasso di
valutazione i*=5%:
U3 =
1000
500
5000 5000
+
≅ 1406 Euro , P3 =
+
≅ 9297 Euro.
1.05 1.05 2
1 .05 1 .05 2
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Teorema di Makeham
Tra usufrutto e nuda proprietà sussiste una importante relazione nota come
Teorema di Makeham:
Ps = D s −
i*
Us,
i
dove Ds indica il debito residuo al tempo s.
Non vediamo la dimostrazione del teorema di Makeham. Verifichiamo la
tesi nell’esempio precedente:
D3 −
i*
0 . 05
U 3 = 10000 −
⋅ 1406 = 9297 = P3 .
i
0 .1
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Progetti finanziari
Con il termine "progetto finanziario" o "operazione finanziaria" intendiamo
in tutta generalità un flusso finanziario di importi Ck disponibili alle
scadenze tk.
Nel caso delle rendite, gli importi Ck sono tutti positivi; nel caso di un
generico progetto finanziario gli importi possono essere sia di segno
positivo che di segno negativo.
Si parla di operazione di investimento in senso stretto, se il vettore dei flussi
Ck presenta un'unica inversione di segno, passando dal segno negativo al
positivo, ad esempio [-,-,+,+,+].
Si parla di operazione di finanziamento in senso stretto, se il vettore dei
flussi Ck presenta un'unica inversione di segno, passando dal segno positivo
a quello negativo, ad esempio [+,-] oppure [+,+,-].
Se ci sono più cambi di segno, ad esempio [-,+,-] oppure [+,-,+,-], il
carattere della operazione è meno netto.
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Valore attuale netto
Il criterio di scelta tra progetti finanziari più semplice è quello del valore
attuale, che in questo contesto prende il nome di valore attuale netto
(VAN), o anche risultato economico attualizzato (REA), net present value
(NPV), discounted cash flow (DCF). Abbiamo già visto le sue proprietà.
Il principale punto debole di questo criterio è che richiede la specificazione
del tasso i che viene usato per la attualizzazione; diverse scelte del tasso i
possono dare diversi risultati. Vediamo un esempio. Supponiamo di dover
scegliere tra le seguenti due operazioni di investimento in senso stretto:
A=[-1000, +800, + 300, +100] e B=[-1000, +200, + 400, +700], entrambe
con insieme delle scadenze [0, 1, 2, 3]. Quale preferisco?
Se applico il criterio del VAN con i=5%, ottengo
800 300
100
+
+
≅ 120.4
2
1.05 1.05 1.053
200 400
700
V ( B ) = −1000 +
+
+
≅ 158.0
2
1.05 1.05 1.053
V ( A) = −1000 +
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Valore attuale netto
quindi preferisco B, dato che V(B)>V(A). Se invece avessi considerato un
tasso i=10%, allora
800 300
100
+
+
≅ 50.34
2
1.10 1.10 1.103
200 400
700
V ( B ) = −1000 +
+
+
≅ 38.32,
2
1.10 1.10 1.103
V ( A) = −1000 +
e quindi avrei preferito A, dato che questa volta V(A)>V(B).
Nessun mistero: B «paga» di più (700) al tempo 3, quindi tassi più alti la
penalizzano rispetto ad A che «paga» di più al tempo 1 (800).
Il criterio del VAN ha quindi il pregio della semplicità di applicazione ma il
difetto dell’elemento di soggettività dato dalla scelta del tasso di
valutazione, che può modificare il risultato del confronto.
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Il tasso interno di rendimento
Un criterio puramente oggettivo per la scelta tra progetti finanziari (che
però, come vedremo, presenta altri problemi) è quello del tasso interno di
rendimento o TIR, in inglese IRR (internal rate of return), che nel caso delle
operazioni di finanziamento prende anche il nome di tasso interno di costo
(TIC). La definizione è la seguente: il TIR è quel tasso i* che rende uguale
a zero il valore attuale netto della operazione.
Il TIR i* è quindi la soluzione della equazione
n
Ck
∑ (1 + i*)
k
= 0.
k =1
Abbiamo già incontrato questa equazione nel caso delle rendite, nel
problema della ricerca del tasso che rende il valore attuale uguale a un
valore prefissato.
Il TIR è un criterio molto efficace per confrontare operazioni di
investimento o finanziamento in senso stretto; vediamo alcuni esempi.
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Il tasso interno di rendimento
Iniziamo da un esempio semplicissimo. Vogliamo confrontare l’acquisto di
un CTZ di scadenza biennale che costa 95 con l’acquisto di un BOT
annuale che costa 98. Si tratta di due semplicissime operazioni di
investimento in senso stretto: A=[-95, l00 ; 0, 2] e B=[-98, 100; 0, 1].
I TIR di A e di B sono le soluzioni delle equazioni
− 95 +
100
100
= 0, cioè (1 + i A ) 2 =
da cui i A ≅ 2 ,60 %
2
(1 + i A )
95
− 98 +
100
= 0 da cui iB ≅ 2 ,04 %
1 + iB
Chiaramente, secondo il criterio del TIR preferisco A, in quanto ha un TIR
maggiore. Più in generale, tra più progetti di investimento, preferiamo
quello con il TIR maggiore, in quanto in questo caso il TIR assume il
significato di rendimento della operazione di investimento.
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Il tasso interno di rendimento
Riprendiamo ora le due operazioni di investimento già confrontate con il
criterio del VAN: A=[-1000, +800, + 300, +100] e B=[-1000, +200, + 400,
+700], entrambe con insieme delle scadenze [0, 1, 2, 3].
Per calcolare il TIR di A e di B, dobbiamo risolvere le equazioni
− 1000 +
800
300
100
+
+
=0e
1 + iA (1 + i A )2 (1 + iA )3
− 1000 +
200
400
700
+
+
= 0, o equivalentemente
2
1 + iB (1 + iB ) (1 + iB )3
− 1000 + 800vA + 300v 2A + 100v3A = 0,
− 1000 + 200vA + 400v 2A + 700v3A = 0.
Come abbiamo già visto, queste equazioni possono essere risolte solo
numericamente. Utilizzando Excel (vedremo tra un attimo come) troviamo
iA=14.01%, iB=11.79%; trattandosi di investimenti, preferiamo A.
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Tasso interno di costo
Consideriamo ora il caso del confronto tra due finanziamenti:
A=[1000, -500, -100, -600] e B=[1000, -90, -90, -1090].
Sappiamo dire subito qual è il tasso interno di costo di B?
Per calcolare i tassi interni di costo, dobbiamo risolvere le equazioni
500
100
600
−
−
= 0e
2
1 + i A (1 + i A )
(1 + i A )3
90
90
1090
1000 −
−
−
= 0, da cui
2
1 + iB (1 + iB )
(1 + iB )3
i A ≅ 9.34%, iB = 9.00%
1000 −
L’operazione B corrisponde a un ammortamento al tasso del 9% con
rimborso del debito iniziale in un’unica quota a scadenza, pertanto anche
senza fare calcoli vediamo che iB=9%. Tra due operazioni di finanziamento,
scegliamo quella con il tasso di costo minore, pertanto sarà preferibile B.
© Fabio Bellini 2013
Tasso interno di costo
Come secondo esempio, consideriamo il confronto tra i piani di
ammortamento con metodo italiano e metodo tedesco di un debito iniziale
di 25000 Euro in 5 rate annue, al tasso del 10%. Abbiamo pertanto
A=[25000, -7500, -7000, -6500, - 6000, -5500] e
B=[22500, -7000, -6500, -6000, -5500, -5000].
Dalla condizione di chiusura finanziaria, il tasso di costo di A deve essere
pari al 10%. Il tasso di costo iB risolve la equazione
22500 =
7000
6500
6000
5500
5000
+
+
+
+
2
3
4
1 + iB (1 + i B )
(1 + i B )
(1 + i B )
(1 + i B ) 5
da cui si ricava numericamente iB=11,11%.
Ovviamente, la corresponsione anticipata degli interessi del metodo tedesco
è meno conveniente per il debitore, e si traduce in un tasso di costo
superiore.
© Fabio Bellini 2013
TAN e TAEG
Nell’ambito del credito al consumo, la normativa europea impone la
pubblicizzazione di un indice sintetico di costo del finanziamento.
Il TAN (tasso annuo nominale) viene calcolato utilizzano soltanto il debito
iniziale e le rate dell’ammortamento; il TAEG (tasso annuo effettivo
globale) tiene conto di tutte le eventuali spese accessorie ed è pertanto il
parametro più corretto (ovviamente, il TAEG è sempre maggiore del TAN).
Molti finanziamenti «a interessi zero» presentano un TAN nullo, ma un
TAEG non trascurabile, come conseguenza dei numerosi costi accessori.
© Fabio Bellini 2013
Calcolo del TIR o del TIC in Excel
In analogia a quanto visto per il valore attuale, anche per ilTIR (o TIC, a
seconda dei casi) esistono varie funzioni in Excel. Le più semplici sono
TIR.COST e TIR.X. La funzione TIR.COST ha come input un flusso
finanziario corrispondente a scadenze periodiche; il corrispondente TIR è
quello relativo al periodo. La funzione TIR.X ha invece in input anche le
scadenze, in formato data. Nell' esempio, precedente usiamo TIR.COST:
© Fabio Bellini 2013
Calcolo del TIR o del TIC in Excel
© Fabio Bellini 2013
Calcolo del TIR o del TIC in Excel
© Fabio Bellini 2013
Problemi nell’uso del TIR
Il TIR funziona bene quando si tratta di confrontare operazioni di
investimento o di finanziamento in senso stretto. Nel caso di operazioni più
generali, che presentano più cambi di segno, possono esserci diversi
problemi:
- può non esistere un TIR positivo (nel senso che la equazione che definisce
il TIR non ha soluzioni positive)
- può esistere più di un TIR positivo (nel senso che la equazione che
definisce il TIR ha più soluzioni positive).
© Fabio Bellini 2013
Problemi nell’uso del TIR
Consideriamo ad esempio l'operazione A=[-100, 120, -40; 0, 1, 2].
L' equazione
− 100 + 120 v − 40 v 2 = 0
non ha radici reali, poiché
∆ = 120 2 − 100 ⋅ 160 < 0.
Se invece consideriamo l'operazione B=[-48, 140, -100; 0, 1, 2], otteniamo
− 48 + 140 v − 100 v 2 = 0,
che ha due soluzioni reali, che corrispondono a due TIR: i1=25% e
i2=66,66%. E’ evidente che in questo caso il concetto di TIR perde di senso.
Occorre pertanto indagare quali tipi di operazioni finanziarie presentano un
unico TIR positivo; questo è l'oggetto dei teoremi di Levi e di Nordstrom.
© Fabio Bellini 2013
Scadenza media aritmetica
Definiamo innanzitutto la scadenza media aritmetica di un flusso
finanziario come
n
∑ C k tk
t =
k =1
n
,
∑ Ck
k =1
cioè la media ponderata delle scadenze tk con pesi pari alle rate Ck.
Per confronto, vedremo nella prossima lezione che la scadenza media
finanziaria o duration è data dalla stessa media ma con pesi pari ai valori
attuali delle rate:
n
∑C
D=
k
(1 + i ) − t k t k
k =1
n
∑C
,
k
(1 + i )
−tk
k =1
© Fabio Bellini 2013
Investimenti in senso lato
Possiamo osservare che la scadenza media aritmetica non dipende dal tasso
i, mentre la duration dipende dal tasso i. Se i=0 la duration coincide con la
scadenza media aritmetica, se i>0 vedremo che la duration è inferiore alla
scadenza media aritmetica, in quanto è una funzione decresecnte del tasso i.
Una operazione finanziaria prende il nome di investimento in senso lato se
la scadenza media aritmetica dei costi è inferiore alla scadenza del primo
ricavo.
In un investimento in senso stretto, tutti i costi devono precedere il primo
ricavo (e di conseguenza tutti i ricavi). In un investimento in senso lato
siamo più tolleranti: la scadenza media aritmetica dei costi deve precedere il
primo ricavo.
© Fabio Bellini 2013
Investimenti in senso lato
Confrontiamo ad esempio una operazione del tipo A=[-,+,+,+,+] con una
del tipo B=[-,+,+,+,+,-]. Ad esempio A=investo 10000 Euro in BTP con
scadenza tra due anni e B=A+vado a festeggiare alla scadenza.
E’ chiaro che se l’importo dell’ultimo flusso negativo di B è piccolo,
l’operazione comunque si configura come un investimento. Se l’importo
dell’ultimo flusso di B è piccolo, la scadenza media aritmetica (che è una
media ponderata) è molto vicina alla scadenza del primo flusso, e quindi è
antecedente alla data del primo ricavo.
In modo del tutto analogo, una operazione finanziaria prende il nome di
finanziamento in senso lato, se la scadenza media aritmetica dei ricavi è
antecedente alla scadenza del primo costo.
© Fabio Bellini 2013
Esempio
A titolo di esempio, consideriamo la operazione
A=[-2000, 2600, -1000, 3000, 600].
Non si tratta né di un investimento né di un finanziamento in senso stretto,
in quanto abbiamo più cambi di segno. Non può nemmeno essere un
finanziamento in senso lato, in quanto il primo flusso è negativo.
La scadenza media aritmetica dei costi è pari a
tC =
2000 ⋅ 0 + 1000 ⋅ 2 2
= < 1,
3000
3
ed è inferiore alla scadenza del primo ricavo, pertanto si tratta di un
investimento in senso lato.
© Fabio Bellini 2013
Investimenti e finanziamenti puri
Un approccio alternativo è basato sui flussi di cassa cumulati.
Data un'operazione finanziaria qualsiasi, il vettore dei saldi contabili è dato
dalle somme parziali dei flussi di cassa:
k
S (t k ) = ∑ C j .
j =1
Una operazione finanziaria per cui il vettore S cambia segno una sola volta
passando dal segno negativo a quello positivo prende il nome di
investimento puro; se invece cambia segno una sola volta passando dal
segno positivo a quello negativo, prende il nome di finanziamento puro.
Ovviamente, un investimento o finanziamento in senso stretto è anche un
investimento o finanziamento puro.
© Fabio Bellini 2013
Investimenti e finanziamenti puri
Ad esempio, consideriamo la operazione
A=[-2000, 2600, 1000, 3000, -400, 6000; 0, 1, 2, 3, 7, 8].
Non si tratta di un investimento in senso stretto; non si tratta di un
investimento in senso lato in quanto la scadenza media aritmetica dei costi è
data da
tC =
2000 ⋅ 0 + 400 ⋅ 7 2800
=
≅ 1.17 > 1;
2400
2400
verifichiamo che si tratta di un investimento puro calcolando il vettore dei
saldi contabili, che cambia di segno una sola volta passando dal segno
negativo a quello positivo:
S=[-2000, + 600, +1600, +4600, +4200, +10200].
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Applicabilità del TIR e del TIC
Abbiamo visto che il criterio del TIR si applica molto bene a investimenti e
finanziamenti in senso stretto.
I teoremi di Levi e Nordstrom che enunciamo nelle slides successive
mostrano che questo criterio può essere applicato anche ai finanziamenti in
senso lato e ai finanziamenti puri, in quanto essi hanno un unico tir positivo,
sotto minime ipotesi aggiuntive.
Al di fuori di queste classi il criterio del TIR non è ben definito e può
portare a risultati paradossali.
© Fabio Bellini 2013
Teorema di Levi
Un investimento in senso lato che abbia alla scadenza un saldo contabile
positivo ammette un unico TIR positivo.
Un finanziamento in senso lato che abbia alla scadenza un saldo contabile
negativo ammette un unico TIC positivo.
Osserviamo che il saldo contabile a scadenza non è altro che la somma di
tutti i flussi.
Ad esempio, possiamo riconsiderare la operazione
A=[-2000, 2600, -1000, 3000, 600].
Abbiamo già visto che si tratta di un investimento in senso lato; il saldo
contabile a scadenza è pari a 3200, pertanto esiste un unico TIR positivo;
con la funzione TIR di Excel verifichiamo che i*=62,82%.
© Fabio Bellini 2013
Teorema di Nordstrom
Un investimento puro ha sempre un unico TIR positivo.
Un finanziamento puro ha sempre un unico TIC positivo.
Osserviamo che per definizione in un investimento puro il vettore dei saldi
contabili cambia segno una volta sola passando da negativo a positivo,
pertanto anche in questo caso il saldo contabile a scadenza è positivo.
Ad esempio, possiamo riconsiderare la operazione
A=[-2000, 2600, 1000, 3000, -400, 6000; 0, 1, 2, 3, 7, 8].
Abbiamo già visto che si tratta di un investimento in senso puro; il vettore
dei saldi di cassa cambia segno una sola volta, passando da negativo a
positivo.
Con Excel verifichiamo che i*=104,8%.
© Fabio Bellini 2013