Le domande dei numeri primi una sfida aperta da 23 secoli
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Le domande dei numeri primi una sfida aperta da 23 secoli
LE DOMANDE DEI NUMERI PRIMI UNA SFIDA APERTA DA 23 SECOLI Progetto di attività didattica 102 103 104 106 109 5 Classe destinataria: 2° anno del Liceo Scientifico 7 Durata e periodo dell’attività: 8 h nel 2° semestre 2 a 3 Serena Cenatiempo - Classe di abilitazione A049 Obiettivo insegnamento della matematica: comprensione dei procedimenti argomentativi e dimostrativi del pensiero matematico FINALITÀ DIDATTICHE (cf. indicazioni MIUR) Cosa vuol dire fare matematica? Porsi un problema e provare a risolverlo con un metodo logico-deduttivo Approfondire i concetti di dimostrazione, congettura, verifica (a mano e con il calcolatore) Potenziare la capacità di ragionamento logico (dimensioni del «gioco» e della «sfida») Offrire una visione, anche se elementare, degli sviluppi della matematica moderna Discussione sulle finalità della matematica (le inattese applicazioni dei numeri primi) 2 PREREQUISITI Concetto intuitivo degli insiemi numerici, operazioni elementari, elevamento a potenza Algoritmo euclideo delle divisioni successive Criteri di divisibilità Concetto di funzione Passaggio dall’aritmetica all’algebra (1° semestre): - caratterizzare i numeri dispari; - numeri quadrati e somma dei primi n dispari; - numeri triangolari e somma dei primi n naturali; - indovinare sequenze di numeri (es. numeri di Fibonacci) 3 METODOLOGIA DIDATTICA IMPIEGATA Metodologia laboratoriale Attività utili a rendere concreti i concetti introdotti (esempi, esercizi, supporto di software informatici, materiale multimediale) Incoraggiamento alla ricerca autonoma Verifiche volte a indagare la comprensione degli argomenti affrontati, scoraggiando lo studio mnemonico 4 MAPPA CONCETTUALE NUMERI PRIMI COME RICONOSCERLI? Definizione, storia, importanza, fattorizzazione in numeri primi QUANTI SONO? Il teorema di Euclide Dimostrazione teorema di fattorizzazione* Attività: trovare i numeri primi in una lista data. Quale strategia? COME OTTENERLI? Crivello di Eratostene Attività: trovare i numeri primi minori di 100 E’ sufficiente? ESISTE UNA REGOLA? Numeri di Mersenne e numeri di Fermat Attività: indicare quali numeri di Mersenne M=2n -1 con n ≤11 sono primi Eulero (1732): la congettura è falsa. Problema: i primi di Fermat sono infiniti? 5 MAPPA CONCETTUALE NUMERI PRIMI COME RICONOSCERLI? Definizione, storia, importanza, fattorizzazione in numeri primi QUANTI SONO? Il teorema di Euclide Dimostrazione teorema di fattorizzazione* Attività: trovare i numeri primi in una lista data. Quale strategia? COME OTTENERLI? Crivello di Eratostene Attività: trovare i numeri primi minori di 100 E’ sufficiente? ESISTE UNA REGOLA? Numeri di Mersenne e numeri di Fermat Congettura dei primi gemelli Attività: indicare quali numeri di Mersenne M=2n -1 con n ≤11 sono primi Attività: trovare le coppie di primi gemelli e primi cugini minori di 100 Congettura di Goldbach Attività: verificare la congettura per i numeri pari fino a 100 5 MAPPA CONCETTUALE NUMERI PRIMI QUANTI? COME OTTENERLI? ESISTE UNA REGOLA? «Scoprire qualche ordine nella progressione dei numeri primi e un mistero che lo spirito umano non sara mai in grado di penetrare.» Eulero (1751) «Quando le cose diventano troppo complicate, qualche volta ha un senso fermarsi e chiedersi: ho posto la domanda giusta?» E. Bombieri 6 MAPPA CONCETTUALE NUMERI PRIMI QUANTI? COME OTTENERLI? ESISTE UNA REGOLA? IL CAMBIO DI PROSPETTIVA DI GAUSS (1798) quanti sono i numeri primi minori di x? Attività: - disegnare π(x) per x≤50; - comando Prime[x] di Mathematica; - esempio con «dadi» 102 103 104 106 «Quando le cose diventano troppo complicate, qualche volta ha un senso fermarsi e chiedersi: ho posto la domanda giusta?» E. Bombieri 109 6 MAPPA CONCETTUALE NUMERI PRIMI QUANTI? COME OTTENERLI? ESISTE UNA REGOLA? IL CAMBIO DI PROSPETTIVA DI GAUSS (1798) quanti sono i numeri primi minori di x? Attività: - disegnare π(x) per x≤50; - comando Prime[x] di Mathematica; - esempio con «dadi» (1777 - 1855): CONGETTURA DI GAUSS E IPOTESI DI RIEMANN (1859) presentazione qualitativa focalizzata sulle idee Attività*: grafico di x/logx, Li[x], R[x] 6 MAPPA CONCETTUALE NUMERI PRIMI QUANTI? COME OTTENERLI? ESISTE UNA REGOLA? PRIMI E CRITTOGRAFIA IL CAMBIO DI PROSPETTIVA DI GAUSS (1798) quanti sono i numeri primi minori di x? Attività: - disegnare π(x) per x≤50; - comando Prime[x] di Mathematica; - esempio con «dadi» Breve storia della crittografia Attività: cifrario di Cesare, frequenza delle lettere CONGETTURA DI GAUSS E IPOTESI DI RIEMANN (1859) presentazione qualitativa focalizzata sulle idee Cifrario RSA Attività*: grafico di x/logx, Li[x], R[x] Attività: cifratura con demo on-line RIFLESSIONE SUL PERCORSO E CONCLUSIONI Crittografia quantistica Visione del documentario della BBC «L’enigma dei numeri primi» 6 VALUTAZIONE: OBIETTIVI E MODALITÀ seguendo la tassonomia degli obiettivi di Bloom CONOSCENZA # Qual è il più piccolo numero primo di due cifre? # Quando due numeri primi si dicono gemelli? COMPRENSIONE # Il prodotto di due numeri primi può essere un numero primo? Perché? # Quale può essere la cifra delle unità di un numero primo maggiore di 5? APPLICAZIONE # Saper fattorizzare in primi numeri interi assegnati # Ogni numero primo nella forma 4n+1 può essere espresso come somma di due quadrati ANALISI # Una formula per trovare numeri primi? Es. n2 + n + 41 # Qual è approssimativamente la probabilità che un numero scelto a caso tra 2 e 100 sia primo? SINTESI # Approfondimenti personali # Esposizione orale 7 SITOGRAFIA http://critto.liceofoscarini.it/mate/primi.html Sito sui numeri primi del Liceo Classico Foscarini di Venezia, con approfondimenti sulla crittografia e demo sul metodo RSA http://www.youtube.com/watch?v=vt8o6BnP5Pk Video divulgativo della BBC sui numeri primi http://www.youtube.com/watch?v=PgqEaUT8Qo0 Intervento divulgativo sui numeri primi, Marcus du Sautoy, Oxford University, Maggio 2008 http://www.youtube.com/watch?v=xC9jAyGMNjE La teoria dei numeri, intervista ad Andrew Wiles http://www.matematicamente.it/cimolin/teorema numeri primi.pdf Percorso sui numeri primi, spiegazione rigorosa, ma adattata per liceo http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/ParoleMate/ Ott_11/NumeriPrimi.htm http://www.vialattea.net/esperti/php/risposta.php?num=8731 Siti divulgativi, con link interessanti 8