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Le domande dei numeri primi una sfida aperta da 23 secoli

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Le domande dei numeri primi una sfida aperta da 23 secoli
LE DOMANDE DEI NUMERI PRIMI
UNA SFIDA APERTA DA
23 SECOLI
Progetto di attività didattica
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104
106
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5
Classe destinataria: 2° anno del Liceo Scientifico
7
Durata e periodo dell’attività: 8 h nel 2° semestre
2
a
3
Serena Cenatiempo - Classe di abilitazione A049
Obiettivo insegnamento della matematica:
comprensione dei procedimenti
argomentativi e dimostrativi
del pensiero matematico
FINALITÀ DIDATTICHE
(cf. indicazioni MIUR)
Cosa vuol dire fare matematica? Porsi un problema e
provare a risolverlo con un metodo logico-deduttivo
Approfondire i concetti di dimostrazione, congettura,
verifica (a mano e con il calcolatore)
Potenziare la capacità di ragionamento logico
(dimensioni del «gioco» e della «sfida»)
Offrire una visione, anche se elementare,
degli sviluppi della matematica moderna
Discussione sulle finalità della matematica
(le inattese applicazioni dei numeri primi)
2
PREREQUISITI
Concetto intuitivo degli insiemi
numerici, operazioni elementari,
elevamento a potenza
Algoritmo euclideo
delle divisioni successive
Criteri di divisibilità
Concetto di funzione
Passaggio dall’aritmetica
all’algebra (1° semestre):
- caratterizzare i numeri dispari;
- numeri quadrati e
somma dei primi n dispari;
- numeri triangolari e
somma dei primi n naturali;
- indovinare sequenze di numeri
(es. numeri di Fibonacci)
3
METODOLOGIA DIDATTICA IMPIEGATA
Metodologia laboratoriale
Attività utili a rendere concreti i concetti
introdotti (esempi, esercizi, supporto di software
informatici, materiale multimediale)
Incoraggiamento alla ricerca autonoma
Verifiche volte a indagare la comprensione
degli argomenti affrontati, scoraggiando lo
studio mnemonico
4
MAPPA CONCETTUALE
NUMERI PRIMI
COME RICONOSCERLI?
Definizione, storia,
importanza, fattorizzazione
in numeri primi
QUANTI SONO?
Il teorema di Euclide
Dimostrazione
teorema di
fattorizzazione*
Attività: trovare i numeri
primi in una lista data.
Quale strategia?
COME OTTENERLI?
Crivello di Eratostene
Attività: trovare i numeri
primi minori di 100
E’ sufficiente?
ESISTE UNA REGOLA?
Numeri di Mersenne
e numeri di Fermat
Attività: indicare
quali numeri di
Mersenne M=2n -1
con n ≤11 sono primi
Eulero (1732): la
congettura è falsa.
Problema: i primi di
Fermat sono infiniti?
5
MAPPA CONCETTUALE
NUMERI PRIMI
COME RICONOSCERLI?
Definizione, storia,
importanza, fattorizzazione
in numeri primi
QUANTI SONO?
Il teorema di Euclide
Dimostrazione
teorema di
fattorizzazione*
Attività: trovare i numeri
primi in una lista data.
Quale strategia?
COME OTTENERLI?
Crivello di Eratostene
Attività: trovare i numeri
primi minori di 100
E’ sufficiente?
ESISTE UNA REGOLA?
Numeri di Mersenne
e numeri di Fermat
Congettura
dei primi gemelli
Attività: indicare
quali numeri di
Mersenne M=2n -1
con n ≤11 sono primi
Attività: trovare le
coppie di primi gemelli
e primi cugini minori
di 100
Congettura di Goldbach
Attività: verificare la
congettura per i numeri
pari fino a 100
5
MAPPA CONCETTUALE
NUMERI PRIMI
QUANTI?
COME
OTTENERLI?
ESISTE UNA REGOLA?
«Scoprire qualche ordine nella progressione
dei numeri primi e un mistero che lo spirito
umano non sara mai in grado di penetrare.»
Eulero (1751)
«Quando le cose diventano troppo complicate,
qualche volta ha un senso fermarsi e chiedersi:
ho posto la domanda giusta?» E. Bombieri
6
MAPPA CONCETTUALE
NUMERI PRIMI
QUANTI?
COME
OTTENERLI?
ESISTE UNA REGOLA?
IL CAMBIO DI PROSPETTIVA DI GAUSS (1798)
quanti sono i numeri primi minori di x?
Attività: - disegnare π(x) per x≤50;
- comando Prime[x] di Mathematica;
- esempio con «dadi»
102
103
104
106
«Quando le cose diventano troppo complicate,
qualche volta ha un senso fermarsi e chiedersi:
ho posto la domanda giusta?» E. Bombieri
109
6
MAPPA CONCETTUALE
NUMERI PRIMI
QUANTI?
COME
OTTENERLI?
ESISTE UNA REGOLA?
IL CAMBIO DI PROSPETTIVA DI GAUSS (1798)
quanti sono i numeri primi minori di x?
Attività: - disegnare π(x) per x≤50;
- comando Prime[x] di Mathematica;
- esempio con «dadi»
(1777 - 1855):
CONGETTURA DI GAUSS
E IPOTESI DI RIEMANN (1859)
presentazione qualitativa focalizzata sulle idee
Attività*: grafico di x/logx, Li[x], R[x]
6
MAPPA CONCETTUALE
NUMERI PRIMI
QUANTI?
COME
OTTENERLI?
ESISTE UNA REGOLA?
PRIMI E CRITTOGRAFIA
IL CAMBIO DI PROSPETTIVA DI GAUSS (1798)
quanti sono i numeri primi minori di x?
Attività: - disegnare π(x) per x≤50;
- comando Prime[x] di Mathematica;
- esempio con «dadi»
Breve storia della
crittografia
Attività: cifrario di Cesare,
frequenza delle lettere
CONGETTURA DI GAUSS
E IPOTESI DI RIEMANN (1859)
presentazione qualitativa focalizzata sulle idee
Cifrario RSA
Attività*: grafico di x/logx, Li[x], R[x]
Attività: cifratura con
demo on-line
RIFLESSIONE SUL PERCORSO E CONCLUSIONI
Crittografia
quantistica
Visione del documentario della BBC
«L’enigma dei numeri primi»
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VALUTAZIONE: OBIETTIVI E MODALITÀ
seguendo la tassonomia degli obiettivi di Bloom
CONOSCENZA
# Qual è il più piccolo numero primo di due cifre?
# Quando due numeri primi si dicono gemelli?
COMPRENSIONE
# Il prodotto di due numeri primi può essere un numero primo? Perché?
# Quale può essere la cifra delle unità di un numero primo maggiore di 5?
APPLICAZIONE
# Saper fattorizzare in primi numeri interi assegnati
# Ogni numero primo nella forma 4n+1 può essere
espresso come somma di due quadrati
ANALISI
# Una formula per trovare numeri primi? Es. n2 + n + 41
# Qual è approssimativamente la probabilità che
un numero scelto a caso tra 2 e 100 sia primo?
SINTESI
# Approfondimenti personali
# Esposizione orale
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SITOGRAFIA
http://critto.liceofoscarini.it/mate/primi.html
Sito sui numeri primi del Liceo Classico Foscarini di Venezia, con
approfondimenti sulla crittografia e demo sul metodo RSA
http://www.youtube.com/watch?v=vt8o6BnP5Pk
Video divulgativo della BBC sui numeri primi
http://www.youtube.com/watch?v=PgqEaUT8Qo0
Intervento divulgativo sui numeri primi, Marcus du Sautoy,
Oxford University, Maggio 2008
http://www.youtube.com/watch?v=xC9jAyGMNjE
La teoria dei numeri, intervista ad Andrew Wiles
http://www.matematicamente.it/cimolin/teorema numeri primi.pdf
Percorso sui numeri primi, spiegazione rigorosa, ma adattata per liceo
http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/ParoleMate/
Ott_11/NumeriPrimi.htm
http://www.vialattea.net/esperti/php/risposta.php?num=8731
Siti divulgativi, con link interessanti
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