...

Le domande dei numeri primi una sfida aperta da 23 secoli

by user

on
Category: Documents
33

views

Report

Comments

Transcript

Le domande dei numeri primi una sfida aperta da 23 secoli
LE DOMANDE DEI NUMERI PRIMI
UNA SFIDA APERTA DA
23 SECOLI
Progetto di attività didattica
102
103
104
106
109
5
Classe destinataria: 2° anno del Liceo Scientifico
7
Durata e periodo dell’attività: 8 h nel 2° semestre
2
a
3
Serena Cenatiempo - Classe di abilitazione A049
Obiettivo insegnamento della matematica:
comprensione dei procedimenti
argomentativi e dimostrativi
del pensiero matematico
FINALITÀ DIDATTICHE
(cf. indicazioni MIUR)
Cosa vuol dire fare matematica? Porsi un problema e
provare a risolverlo con un metodo logico-deduttivo
Approfondire i concetti di dimostrazione, congettura,
verifica (a mano e con il calcolatore)
Potenziare la capacità di ragionamento logico
(dimensioni del «gioco» e della «sfida»)
Offrire una visione, anche se elementare,
degli sviluppi della matematica moderna
Discussione sulle finalità della matematica
(le inattese applicazioni dei numeri primi)
2
PREREQUISITI
Concetto intuitivo degli insiemi
numerici, operazioni elementari,
elevamento a potenza
Algoritmo euclideo
delle divisioni successive
Criteri di divisibilità
Concetto di funzione
Passaggio dall’aritmetica
all’algebra (1° semestre):
- caratterizzare i numeri dispari;
- numeri quadrati e
somma dei primi n dispari;
- numeri triangolari e
somma dei primi n naturali;
- indovinare sequenze di numeri
(es. numeri di Fibonacci)
3
METODOLOGIA DIDATTICA IMPIEGATA
Metodologia laboratoriale
Attività utili a rendere concreti i concetti
introdotti (esempi, esercizi, supporto di software
informatici, materiale multimediale)
Incoraggiamento alla ricerca autonoma
Verifiche volte a indagare la comprensione
degli argomenti affrontati, scoraggiando lo
studio mnemonico
4
MAPPA CONCETTUALE
NUMERI PRIMI
COME RICONOSCERLI?
Definizione, storia,
importanza, fattorizzazione
in numeri primi
QUANTI SONO?
Il teorema di Euclide
Dimostrazione
teorema di
fattorizzazione*
Attività: trovare i numeri
primi in una lista data.
Quale strategia?
COME OTTENERLI?
Crivello di Eratostene
Attività: trovare i numeri
primi minori di 100
E’ sufficiente?
ESISTE UNA REGOLA?
Numeri di Mersenne
e numeri di Fermat
Attività: indicare
quali numeri di
Mersenne M=2n -1
con n ≤11 sono primi
Eulero (1732): la
congettura è falsa.
Problema: i primi di
Fermat sono infiniti?
5
MAPPA CONCETTUALE
NUMERI PRIMI
COME RICONOSCERLI?
Definizione, storia,
importanza, fattorizzazione
in numeri primi
QUANTI SONO?
Il teorema di Euclide
Dimostrazione
teorema di
fattorizzazione*
Attività: trovare i numeri
primi in una lista data.
Quale strategia?
COME OTTENERLI?
Crivello di Eratostene
Attività: trovare i numeri
primi minori di 100
E’ sufficiente?
ESISTE UNA REGOLA?
Numeri di Mersenne
e numeri di Fermat
Congettura
dei primi gemelli
Attività: indicare
quali numeri di
Mersenne M=2n -1
con n ≤11 sono primi
Attività: trovare le
coppie di primi gemelli
e primi cugini minori
di 100
Congettura di Goldbach
Attività: verificare la
congettura per i numeri
pari fino a 100
5
MAPPA CONCETTUALE
NUMERI PRIMI
QUANTI?
COME
OTTENERLI?
ESISTE UNA REGOLA?
«Scoprire qualche ordine nella progressione
dei numeri primi e un mistero che lo spirito
umano non sara mai in grado di penetrare.»
Eulero (1751)
«Quando le cose diventano troppo complicate,
qualche volta ha un senso fermarsi e chiedersi:
ho posto la domanda giusta?» E. Bombieri
6
MAPPA CONCETTUALE
NUMERI PRIMI
QUANTI?
COME
OTTENERLI?
ESISTE UNA REGOLA?
IL CAMBIO DI PROSPETTIVA DI GAUSS (1798)
quanti sono i numeri primi minori di x?
Attività: - disegnare π(x) per x≤50;
- comando Prime[x] di Mathematica;
- esempio con «dadi»
102
103
104
106
«Quando le cose diventano troppo complicate,
qualche volta ha un senso fermarsi e chiedersi:
ho posto la domanda giusta?» E. Bombieri
109
6
MAPPA CONCETTUALE
NUMERI PRIMI
QUANTI?
COME
OTTENERLI?
ESISTE UNA REGOLA?
IL CAMBIO DI PROSPETTIVA DI GAUSS (1798)
quanti sono i numeri primi minori di x?
Attività: - disegnare π(x) per x≤50;
- comando Prime[x] di Mathematica;
- esempio con «dadi»
(1777 - 1855):
CONGETTURA DI GAUSS
E IPOTESI DI RIEMANN (1859)
presentazione qualitativa focalizzata sulle idee
Attività*: grafico di x/logx, Li[x], R[x]
6
MAPPA CONCETTUALE
NUMERI PRIMI
QUANTI?
COME
OTTENERLI?
ESISTE UNA REGOLA?
PRIMI E CRITTOGRAFIA
IL CAMBIO DI PROSPETTIVA DI GAUSS (1798)
quanti sono i numeri primi minori di x?
Attività: - disegnare π(x) per x≤50;
- comando Prime[x] di Mathematica;
- esempio con «dadi»
Breve storia della
crittografia
Attività: cifrario di Cesare,
frequenza delle lettere
CONGETTURA DI GAUSS
E IPOTESI DI RIEMANN (1859)
presentazione qualitativa focalizzata sulle idee
Cifrario RSA
Attività*: grafico di x/logx, Li[x], R[x]
Attività: cifratura con
demo on-line
RIFLESSIONE SUL PERCORSO E CONCLUSIONI
Crittografia
quantistica
Visione del documentario della BBC
«L’enigma dei numeri primi»
6
VALUTAZIONE: OBIETTIVI E MODALITÀ
seguendo la tassonomia degli obiettivi di Bloom
CONOSCENZA
# Qual è il più piccolo numero primo di due cifre?
# Quando due numeri primi si dicono gemelli?
COMPRENSIONE
# Il prodotto di due numeri primi può essere un numero primo? Perché?
# Quale può essere la cifra delle unità di un numero primo maggiore di 5?
APPLICAZIONE
# Saper fattorizzare in primi numeri interi assegnati
# Ogni numero primo nella forma 4n+1 può essere
espresso come somma di due quadrati
ANALISI
# Una formula per trovare numeri primi? Es. n2 + n + 41
# Qual è approssimativamente la probabilità che
un numero scelto a caso tra 2 e 100 sia primo?
SINTESI
# Approfondimenti personali
# Esposizione orale
7
SITOGRAFIA
http://critto.liceofoscarini.it/mate/primi.html
Sito sui numeri primi del Liceo Classico Foscarini di Venezia, con
approfondimenti sulla crittografia e demo sul metodo RSA
http://www.youtube.com/watch?v=vt8o6BnP5Pk
Video divulgativo della BBC sui numeri primi
http://www.youtube.com/watch?v=PgqEaUT8Qo0
Intervento divulgativo sui numeri primi, Marcus du Sautoy,
Oxford University, Maggio 2008
http://www.youtube.com/watch?v=xC9jAyGMNjE
La teoria dei numeri, intervista ad Andrew Wiles
http://www.matematicamente.it/cimolin/teorema numeri primi.pdf
Percorso sui numeri primi, spiegazione rigorosa, ma adattata per liceo
http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/ParoleMate/
Ott_11/NumeriPrimi.htm
http://www.vialattea.net/esperti/php/risposta.php?num=8731
Siti divulgativi, con link interessanti
8
Fly UP