SISTEMI LINEARI E STAZIONARI A TEMPO CONTINUO Movimento

CONTROLLI AUTOMATICI
Prof. Bruno SICILIANO
SISTEMI LINEARI E STAZIONARI A TEMPO
CONTINUO
Movimento ed equilibrio
Stabilità
Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori
1
CONTROLLI AUTOMATICI
Prof. Bruno SICILIANO
MOVIMENTO ED EQUILIBRIO
Sistema lineare e stazionario (u 2 R m , x 2 Rn , y
2 Rp )
x_ (t) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t) + Du(t)
Formula di Lagrange
In risposta a u(t), t t0 , x(t0 ) = xt0 :
x(t) = eA(t;t0 ) xt0 +
Z
t
t0
y(t) = CeA(t;t0 ) xt0 + C
eA(t; )Bu( )d
Z
t
t0
eA(t; ) Bu( )d + Du(t)
Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori
2
CONTROLLI AUTOMATICI
?
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movimenti liberi (t0
= 0)
xl (t) = eA(t;t0 ) xt0
yl (t) = CeA(t;t0 ) xt0
?
movimenti forzati
xf (t) =
t
Z
t0
yf (t) = C
eA(t; )Bu( )d
t
Z
t0
eA(t; )Bu( )d + Du(t)
Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori
3
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Rappresentazioni equivalenti
Trasformazione di stato
x^(t) = Tx(t)
x(t) = T ;1x^(t)
?
+
sistema dinamico equivalente (A e A^: stessi autovalori)
^ (t)
x^_ (t) = A^x^(t) + Bu
^ (t)
y(t) = C^ x^(t) + Du
A^ = TAT ;1 B^ = TB C^ = CT ;1 D^ = D
Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori
4
CONTROLLI AUTOMATICI
Esempio: sistema meccanico
2
0
0
x_ 1 (t) 3
0
0
6 x_ 2 (t) 7 6
4
5=6
k
x_ 3 (t) 4 ; M1 M11
k ;k
x_ 4 (t)
M2
M2
2
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1 0 3 2 x1 (t) 3 2 0
0 1 77 6 x2 (t) 7 66 0
0 0 5 4 x3 (t) 5 + 4 M11
0
0 0 x4 (t)
2
x1 (t) 3
y(t)=[ 1 0 0 0 ] 64 xx2 ((tt)) 75
3
x4 (t)
Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori
0
0
0
1
M2
3
7
7
5
u1 (t)
u2 (t)
5
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?
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trasformazione di stato
x^1 (t) = x1 (t)
x^2 (t) = x2 (t) ; x1 (t)
x^3 (t) = x3 (t)
x^4 (t) = x4 (t) ; x3 (t)
2
1
T = 64 ;01
0
+
0
1
0
0
0
0
1
;1
03
0 75
0
1
2
0
1 0 3 2 x^1 (t) 3 2 0
x^_ 1 (t) 3 0
_ 2 (t) 7 66 0
0
0 1 77 6 x^2 (t) 7 66 0
^
6x
k
4_
0 0 5 4 x^3 (t) 5 + 4 M11
x^3 (t) 5 = 4 0
M1
x^_ 4 (t)
; M11
0 ; (MM1 +1 MM22 )k 0 0 x^4 (t)
2
x^1 (t) 3
y(t) = [ 1 0 0 0 ] 64 xx^^2 ((tt)) 75
3
x^4 (t)
2
Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori
0
0
0
3
7
7
5
1
M2
6
u1 (t)
u2 (t)
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Autovalori e modi
Matrice della dinamica diagonalizzabile (autovalori distinti:
T = TD )
A^ = A^D = diagfs1 ; s2 ; : : : ; sn g
?
movimento libero dello stato
k
^D t
A
x^l (t) = eAD t x^0 =
x^0
k
!
k=0
(1
1 (s t)k
1 (s t)k )
X (s1 t)k X
X
2
n
= diag
;
;
:
:
:
;
x^0
k
!
k
!
k
!
k=0
k=0
k=0
= diagfes1t ; es2 t ; : : : ; esn t gx^0
^
1
X
+
xl (t) = TD;1x^l (t) = TD;1 diagfes1t ; es2 t ; : : : ; esn t gTD x0
yl (t) = CTD;1diagfes1 t ; es2 t ; : : : ; esn t gTD x0
?
?
esi t : modi aperiodici
ei t sin (!i t + 'i ): modi pseudoperiodici
Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori
7
CONTROLLI AUTOMATICI
Esempio
?
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A = ;11 11
autovalori: s1;2
C = [1 1]
=1j
TD;1 = 1j ;1j
+
A^ = TD ATD;1 = 1 +0 j 1 ;0 j
?
movimenti liberi
jt
xl (t) = 0:5 1j ;1j e 0 e(10;j)t 11 ;jj x0
(t) sin (t) x
= et ;cos
sin (t) cos (t) 0
cos
(
t
)
sin
(
t
)
yl (t) = et [ 1 1 ] ;sin (t) cos (t) x0
p t
= 2e [ cos (t + =4) cos (t ; =4) ] x0
(1+ )
Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori
8
CONTROLLI AUTOMATICI
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Modi dei sistemi dinamici con autovalori distinti
Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori
9
CONTROLLI AUTOMATICI
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Esempio: sistema massa-molla
?
legge fondamentale della dinamica
M y(t) = ;ky(t) ; hy_ (t) + u(t)
?
rappresentazione di stato (x 1
?
= y, x2 = y_ )
x_ 1 (t) = 0
1
x_ 2 (t)
;k=M ;h=M
y(t) = [ 1 0 ] x(t)
x1 (t) + [ 0 1=M ] u(t)
x2 (t)
autovalori
r
s1 = ; 2hM + 4hM 2 ; Mk
2
r
2
h
h
s2 = ; 2M ; 4M 2 ; Mk
Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori
10
CONTROLLI AUTOMATICI
?
Prof. Bruno SICILIANO
autovalori distinti (h2
6= 4MK )
TD = s ; s ;ss2 ;11
1
2
1
1
A^D = TD ATD;1 = diagfs1 ; s2 g
?
movimenti liberi (h2
1
+
> 4MK )
s
t
s
t
1
2
(s2 x01 ; x02 )e ; (s1 x01 ; x02 )e
(s1 s2 x01 ; s1 x02 )es1 t ; (s1 x01 ; x02 )es2t
xl (t) = s ; s
2
1
yl (t) = s ;1 s (s2 x01 ; x02 )es1 t ; (s1 x01 ; x02 )es2 t
2
?
1
movimenti liberi (h2
< 4MK )
h
= ; 2M
p
= 2 + !2
r
2
h
k
! = M ; 4M 2
= arcsin ! = arccos sin (!t ; )x01 + 1 sin (!t)x02 ;
!
xl (t) = et ; !2
sin (!t)x01 + ! sin (!t + )x02 !
yl (t) = et ; ! sin (!t ; )x01 + !1 sin (!t)x02
Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori
11
CONTROLLI AUTOMATICI
Prof. Bruno SICILIANO
Risposta all’impulso e movimento forzato
Risposta all’impulso (m = 1, u(t) = imp(t), x(0) = 0)
gx (t) = eAt B
gy (t) = CeAt B + Dimp(t)
?
?
coincide con il movimento libero prodotto da
combinazioni lineari dei modi del sistema
x(0) = B :
estensione al caso m > 1: risposta di x i (yi ) all’impulso
unitario uj (per uk = 0, k 6= j )
Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori
12
CONTROLLI AUTOMATICI
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Movimento forzato
gx (t) ? u(t) =
=
gy (t) ? u(t) =
=
1
Z
+
;1
t
Z
0
+
;1
Z
0
0
gx (t ; )u( )d
eA(t; )Bu( )d = xf (t)
1
Z
gx (t ; )u( )d =
t
Z
gy (t ; )u( )d =
t
Z
t
0
gy (t ; )u( )d
CeA(t; )B + Dimp(t ; )
u( )d = yf (t)
? A diagonalizzabile
xf (t) = T ;1 x^f (t) = T ;1
D
= T ;1
t
Z
D
n
0
^ ( )d
eA^D (t; ) Bu
diag es1 (t; ); es2 (t; ); : : : ; esn (t; )
0
yf (t) = CT ;1
D
D
t
Z
t
Z
0
n
o
diag es1 (t; ) ; es2(t; ) ; : : : ; esn (t; )
TD Bu( )d
o
TD Bu( )d
+ Du(t)
Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori
13
CONTROLLI AUTOMATICI
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Esempio (precedente)
u(t) = sca(t)
?
movimento forzato (s 1
xf (t) = s1 s1
1
2
Z
t
0
6= s2 , k 6= 0)
n
o
diag es1 (t; ); es2 (t; ) d
2
; M (s21;s1 ) 1
M (s2 ;s1 )
3
s1 t ; 1 es2 t ; 1
e
= M (s 1; s ) 4 s1 ; s2 5
1
2
es1 t ; es2 t
s t
s2 t ; 1 1 ;1
e
e
1
; s
yf (t) = M (s ; s )
s
1
2
1
2
?
movimento forzato (s 12
2
= j!, k 6= 0)
3
1 1 + et sin (!t ; )
!
xf (t) = M1 64 2
1 et sin (!t)
!
1
yf (t) = M2 1 + ! et sin (!t ; )
Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori
7
5
14
CONTROLLI AUTOMATICI
?
Prof. Bruno SICILIANO
movimento forzato (k = 0, s 1
Z
t
= 0)
n
xf (t) = 10 s1
diag 1; es2(t; )
2
0
2 s t
3
2 ;1
e
1 4
; t5
= Ms
s
2
s
2
2
e t;1
s2 t ; 1
e
1
;t
yf (t) = Ms
s
2
2
?
movimento forzato (s 1
o
1
;
2
d Ms
1
Ms2
= s2 = s0 6= 0)
2
3
s0 t tes0 t
1
e
xf (t) = M1 4 s20 ; s20 + s0 5
tes0 t
s
t
s
t
0
0
yf (t) = M1 s12 ; es2 + tes
0
0
0
?
movimento forzato (s 1
= s2 = 0 )
xf (t) = M1 0:5t t
1 t2
yf (t) = 2M
Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori
2
15
CONTROLLI AUTOMATICI
Prof. Bruno SICILIANO
Equilibrio
u(t) = u
Ax + B u = 0
y = C x + Du
? A invertibile (si 6= 0)
x = ;A;1 B u
;
;
1
y = ;CA B + D u
? D ; CA;1B : guadagno statico del sistema SISO (rapporto
tra uscita e ingresso quando tutte le variabili sono costanti)
Esempio (precedente)
0 = x2
k x ; h x + 1 u
0 = ;M
1
M 2 M
x = 1=k
0
+
y = k1 u
Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori
16
CONTROLLI AUTOMATICI
Prof. Bruno SICILIANO
Esempio: motore elettrico a corrente continua
? u1 (t) = v, u2 (t) = Cr
r
h
v
+
k
C
x1 = k2 + Rh
r
h
v
;
R
C
x2 = k2 + Rh
det(A) = 0 ) infiniti stati di equilibrio o nessuno (guadagno
statico perde senso)
Esempio
x_ (t) = 01 02 x(t) + 13 24 u(t)
y(t) = [ 5 6 ] x(t)
? u: u1 6= ;2u2 ) non esistono stati di equilibrio (x_ 6= 0)
? u1 = ;2u2 ) infiniti stati e uscite di equilibrio
x = 2(u2; )
y = 2(5u2 ; 2)
Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori
17
CONTROLLI AUTOMATICI
Prof. Bruno SICILIANO
STABILITÀ
Sistema lineare stazionario: facile determinazione delle proprietà di stabilità
Stabilità del sistema
Stabilità di x
~(t) prodotto da u~(t), t 0 con x~(0) = x~0
?
principio di sovrapposizione degli effetti: u 0 (t) =
u~(t), x00 = x~0 , x000 = x~0 + x0 , = ;1, = 1
x_ (t) = Ax(t)
u00 (t) =
x(0) = x0
? x~ stabile se 8 > 0, 9 > 0: 8x0
kx0 k risulti
kx(t)k t0
altrimenti instabile
Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori
18
CONTROLLI AUTOMATICI
?
Prof. Bruno SICILIANO
asintoticamente stabile se
lim kx(t)k = 0
t!1
?
+
proprietà di stabilita del sistema (di tutti i movimenti o stati
di equilibrio)
Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori
19
CONTROLLI AUTOMATICI
Prof. Bruno SICILIANO
Stabilità e movimento libero
Sistema stabile iff tutti i movimenti liberi dello stato sono limitati; asintoticamente stabile iff tutti i movimenti liberi dello
stato tendono a zero per t ! 1; instabile se almeno un movimento libero dello stato non è limitato
Esempio: circuito elettrico
xl (t) = e;t=RC x(0)
? 8x(0), xl (t) limitato per t 0; si annulla per t ! 1
Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori
20
CONTROLLI AUTOMATICI
Prof. Bruno SICILIANO
Stabilità e autovalori
Sistema asintoticamente stabile iff tutti i suoi autovalori hanno
parte reale negativa
?
semipiano sinistro aperto del piano complesso: regione di
asintotica stabilità
Sistema instabile se almeno uno dei suoi autovalori ha parte
reale positiva
Autovalori a parte reale nulla: sistema stabile o instabile
Esempio: circuito elettrico;
stabilità
s = ;1=RC < 0 ) asintotica
Esempio: sistema massa-molla
? h > 0 (attrito presente) ) asintotica stabilit à
n
0 ) stabilità
? h = 0 ) kk 6=
= 0 ) instabilità
Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori
21
CONTROLLI AUTOMATICI
Prof. Bruno SICILIANO
Stabilità e polinomio caratteristico
Calcolo degli autovalori: radici del polinomio caratteristico
?
forma più generale del polinomio caratteristico
'(s) = '0 sn + '1 sn;1 + '2 sn;2 + : : : + 'n;1 s + 'n
= '0
n
Y
(s ; si )
i=1
'0 6= 0
'1 ='0 = ;tr(A) = ;
n
X
i=1
si
n
Y
n
'n='0 = det(;A) = (;1) si
i=1
Asintotica stabilità
n
X
i=1
si < 0 =) tr(A) < 0
(;1)n
?
n
Y
i=1
si > 0 =) det(;A) > 0
condizioni necessarie
'1 ='0 > 0
'n ='0 > 0
Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori
22
CONTROLLI AUTOMATICI
?
Prof. Bruno SICILIANO
in generale: 'i , i = 0; 1; : : : ; n tutti dello stesso segno =
condizione necessaria di asintotica stabilit à (sufficiente per
n = 1 e n = 2)
Esempio
? '(s) = s3 + 3s2 ; s ; 3: instabile (;3; ;1; +1)
? '(s) = s4 + 5s2 + 4: instabile (j; 2j )
? '(s) = s3 + s2 + s + 1: condizione necessaria OK, ma
instabile (;1; j )
Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori
23
CONTROLLI AUTOMATICI
Prof. Bruno SICILIANO
Criterio di Routh
?
tabella di Routh (n + 1 righe)
'0
'1
:
:
h1
k1
l1
:
:
:
li = ; k1 det
i
?
'2
'3
:
:
h2
k2
l2
:
:
:
'4
'5
:
:
h3
k3
l3
:
:
:
h1 hi+1
k1 ki+1
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
: :
: :
:
:
= hi+1 ; h1kki+1
1
k1 6= 0
asintotica stabilità iff tutti gli elementi della prima colonna
hanno lo stesso segno
Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori
24
CONTROLLI AUTOMATICI
Prof. Bruno SICILIANO
Esempio
'(s) = s5 + 15s4 + 85s3 + 225s2 + 274s + 120
?
tabella di Routh
1
15
70
168
216
120
?
85 274
225 120
266
120
+
asintotica stabilità
'(s) = (s + 1)(s + 2)(s + 3)(s + 4)(s + 5)
Non è indispensabile la divisione per k 1
È possibile determinare il numero di autovalori con parte reale
positiva e nulla (sistemi non asintoticamente stabili)
Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori
25
CONTROLLI AUTOMATICI
Prof. Bruno SICILIANO
Regione di asintotica stabilità nell’insieme dei parametri
?
?
analisi di stabilità di sistemi parzialmente incerti
sintesi di controllori di struttura prefissata (parametri di progetto)
Esempio
'(s) = s3 + (2 + )s2 + (1 + 2 )s + + ?
tabella di Routh
1
1 + 2
2+
+
2( + 1)2 ; 2+
+
Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori
26
CONTROLLI AUTOMATICI
?
Prof. Bruno SICILIANO
condizione necessaria
> ;2
> ; 12
> ;
Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori
27
CONTROLLI AUTOMATICI
?
Prof. Bruno SICILIANO
regione di asintotica stabilità nell’insieme dei parametri
; :
> ;2
2( + 1)2 > > ;
Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori
28
CONTROLLI AUTOMATICI
Prof. Bruno SICILIANO
Proprietà dei sistemi asintoticamente stabili
Sistemi asintoticamente stabili di maggiore interesse per le applicazioni
?
?
movimento per t ! 1 indipendente dallo stato inziale
?
risposta ad ingresso limitato tende a zero ( t~: istante in cui
l’ingresso diventa definitivamente nullo)
risposta all’impulso (stato/uscita) tende asintoticamente a
zero
x(t) = eA(t;t~) z~ t > t~
y(t) = CeA(t;t~) z~ t > t~
? u(t) = usca(t) ) movimento tende allo stato (uscita) di
equilibrio
?
stabilità interna ) stabilità esterna (BIBO) (in generale non
vale il viceversa)
Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori
29