4.1 Conduttore carico e isolato

Nicola GigliettoA.A. 2013/14
4.1 Conduttore carico e isolato
4.1 Conduttore carico e isolato
I conduttori sono caratterizzati dal fatto che le cariche al loro interno sono
relativamente libere di muoversi. L’applicazione di un campo elettrico nei
conduttori di conseguenza porta ad un movimento di cariche che da luogo
Tuttavia in condizioni di
a quella che chiameremo corrente elettrica.
equilibrio elettrostatico le cariche devono rimanere mediamente ferme
per cui si deve avere che il campo elettrico deve essere nullo all’interno del
conduttore isolato in equilibrio elettrostatico anche quando è carico. Come
conseguenza si hanno le seguenti proprietà per i conduttori in equilibrio
elettrostatico:
• la carica in eccesso del conduttore può stare solo sulla superficie esterna
del conduttore
• il potenziale è costante su tutto il conduttore
• il campo elettrico sulla superficie del conduttore è perpendicolare alla
superficie e di intensità E = ǫσ0
Dal teorema di gauss discende la prima di queste proprietà dei conduttori
: La carica fornita ad un conduttore isolato si dispone totalmente
sulla superficie del conduttore in quanto nessuna carica in eccesso
può trovarsi all’interno del conduttore Infatti se per assurdo vi fosse
della carica all’interno, allora dal teorema di gauss vi sarebbe del flusso di
campo elettrico su una superficie gaussiana interna al conduttore. Ma se
c’è un flusso, c’è un campo elettrico e se ci fosse un campo elettrico dentro
il conduttore le sue cariche sarebbero soggette a forze che le farebbero muovere. Questa situazione è possibile ma non in condizioni di equilibrio
elettrostatico quando il conduttore è isolato. Di conseguenza questo non
può avvenire ed il campo elettrico deve essere nullo all’interno del conduttore. Anche se ci fosse una cavità nel conduttore il discorso non cambia
(E=0 all’interno del conduttore). Per quanto riguarda il potenziale, basta applicare la definizione: consideriamo due generici punti all’interno del
conduttore:
Z P2
~ · d~
E
s = 0 ⇒ V (P2 ) = V (P1 ) = V0
V (P2 ) − V (P1 ) = −
P1
Cap4-Vol II-Conduttori e dielettrici
1
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il discorso continua a rimanere valido anche nel caso in cui si scelgono punti
sulla superficie e di conseguenza le superfici dei conduttori sono equipotenziali L’unico caso da verificare con un ragionamento più esteso è
quando vi è una cavità nel conduttore: verifichiamo che la carica sulla cavità è nulla e non può neanche esserci una separazione di carica +q -q
sulla cavità interna. Supponiamo di trovarci il caso come quello in figura
allora consideriamo un percorso chiuso, di cui un ramo (C1) è nella cavità
l’altro(C2) tratto nel conduttore. Se per assurdo vi fosse una separazione di
carica sulla cavità allora si avrebbe che
Z
Z
I
Z
~ 6= 0
~
~
~
~ · ds
~
~
~
E
(1)
E · ds =
E · ds +
E · ds =
C1
C1
C2
cosa che contraddice il fatto che il campo E è conservativo
Campo elettrico all’esterno del conduttore
Campo elettrico all’esterno del conduttore
Approssimiamo una porzione della superficie del conduttore ad
una porzione di piano (quindi
infinitesima).
Su questa porzione abbiamo che
la carica del conduttore è solo sulla
superficie, il campo è perpendicolare alla superficie, e considero come
superficie gaussiana un cilindretto
che attraversi il conduttore.
Abbiamo che E = ǫσ0 con σ =
superficie.
Cap4-Vol II-Conduttori e dielettrici
q
A
2
la densità di carica per unità di
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Potenziale elettrico di un conduttore isolato
Potenziale elettrico di un conduttore isolato
Il conduttore anche scarico immerso in
un campo elettrico esterno, lo distorce e
forza ad evere le condizioni precedenti,
sfruttando la mobilità delle cariche.
Questo discende dal fatto che le cariche
del conduttori sono mobili e si risistemano
per addatarsi al campo elettrico esterno.
Il fenomeno viene detto di induzione e le cariche che si sono manifestate
sulla superficie del conduttore che rimane complessivamente con la stessa carica iniziale se era isolato (vedi figura), vengono dette cariche indotte Come conseguenza delle precedenti considerazioni anche quando più conduttori
vengono collegati tra loro essi si portano tutti allo stesso potenziale
Parte I
4.2 Conduttore cavo, schermo elettrostatico
4.2 Conduttore cavo, schermo elettrostatico
Consideriamo un conduttore cavo nella cui cavità non vi siano cariche. Se
anche il conduttore è carico il campo elettrico nel conduttore è E = 0 per cui
dal teorema di Gauss Φ(E) = 0 ⇒ q = 0 quindi anche sulle pareti della
cavità q=0 Sulle pareti della cavità non è possibile neanche avere una
carica +q e -q separate. Infatti se teniamo conto che il campo è conservativo
e consideriamo due distiniti percorsi: C1 che va dalla carica + a quella - da
dentro la cavità e C2 che ritorna dall’interno del conduttore dalla
carica - a quella +, si deve avere:
Z
Z
I
Z
~ · d~
~
~
~
E
s 6= 0
E · d~
s=
E · d~
s+
E · d~
s=
C1
C2
C1
il secondo termine è nullo perchè lo è il campo elettrico, il primo sarebbe
diverso da zero perchè ci sarebbe un campo elettrico che va dalla carica + a
quella - nella cavità ; e se il risultato è diverso da zero contraddiciamo la proprietà del campo elettrostatico di essere conservativo. Pertanto anche sulla
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4.3- CONDENSATORI
superficie della cavità non possono esserci cariche elettriche ed il potenziale
della cavità è uguale a quello del resto del conduttore. Infine consideriamo
il caso in cui nella cavità del conduttore inizialmente neutro inserisco una
carica (senza appoggiarla alle pareti della cavità ): si verifica che la parete
interna della cavità per induzione completa manifesta una carica pari a
-q e ovviamente sulla superficie esterna del conduttore (che rimane con la
sua carica complessiva inziale pari a zero) si manifesta +q. Anche questo
fatto si spiega completamente con il teorema di Gauss e le proprietà dei
conduttori. Proprio questo esempio ci suggerisce che la carica nella cavità
produce un campo all’interno della cavità , diventa nullo nel conduttore e
all’esterno poi riprende il comportamento del campo elettrico dovuto alla
carica. Questo effetto viene detto schermo elettrostatico e agisce anche
al contrario (con un campo esterno al conduttore)
4.3 Capacità
4.3 Capacità
Abbiamo visto che nel calcolo del potenziale
R dq di un qualunque oggetto di
carica Q bisogna effettuare l’integrale C 4πǫ
pertanto se aumentiamo tutta
0r
la carica di un fattore arbitrario k allora si haR Q′ = kQR ⇒ dq ′ = kdq
dq
dq′
= C k 4πǫ
= kV
e di conseguenza cambia il potenziale a V′ = C 4πǫ
0r
0r
per cui possiamo dire che q ∝ V. In altri termini possiamo stabilire una
equazione del tipo Q = C · V e la costante di proporzionalità C è detta
capacità elettrica.
1
4.3- Condensatori
26.2- Condensatori
La capacità dipende dalla forma dell’oggetto (o degli oggetti) carichi ed è
alla base del funzionamento del condensatore. I condensatori sono utilizzati
per immagazzinare energia in forma di campo elettrico. I condensatori
sono costituiti da due conduttori che vengono chiamati armature e distanziati tra loro. Il condensatore tipico è il condensatore piano ad armature
paralelle: le armature sono piane di area A, parallele e distanti d tra loro. Il
simbolo per rappresentare un condensatore è −k−. Il condensatore si dice
essere carico se le sue armature sono cariche con la stessa carica ma di segno
opposto. La capacità , definita prima è allora data per il condensatore come
Cap4-Vol II-Conduttori e dielettrici
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4.3- CONDENSATORI
Q
Q
C = |∆V|
o semplicemente C = V
avendo indicato con Q la carica positiva e V la differenza di potenziale tra l’armatura positiva e negativa (che è
positiva). La capacità si misura in Farad: 1F=1Coulomb/1Volt
Carica del condensatore
La procedura di carica si può immaginare che avvenga tramite un agente
esterno che chiameremo batteria, che trasferisce, collegandola al condensatore cariche da una armatura all’altra. In questo modo se togliamo una
carica +Q ad un’armatura questa si troverà priva di questa carica ovvero
con carica -Q che viene trasferita all’altra armatura, che di conseguenza si
troverà carico con carica +Q.
4.3- Calcolo della capacità di un condensatore
4.3- Calcolo della capacità di un condensatore
26.3- Calcolo della capacità di un condensatore
Per il calcolo della capacità di un condensatore le procedure da seguire sono
le seguenti:
• calcolo del campo elettrico: tramite il teorema di Gauss, si considera una superficie
gaussiana che avvolge una sola delle armature (la
H
~ = q;
~ · dA
positiva) ǫ0 E
Rf
~
~ · ds
• calcolo del potenziale elettrico dalla definizione Vf − Vi = − i E
poichè il campo elettrico ha direzione che va dall’armatura carica positivamente a quella carica negativamente allora
R − il percorso da seguire è
~ (ovvero cambiando
~ · ds
quello che va dal (+) al (-): V− − V+ = − + E
R−
~ nel caso in cui E è costante questo
~ · ds)
di segno V+ − V− = + E
comporta che V+ − V− = E · d con d la distanza tra le armature.
Esempio 4.4: Condensatore piano
Cap4-Vol II-Conduttori e dielettrici
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4.3- CONDENSATORI
Esempio 4.4: Condensatore piano
Applicando il teorema di Gauss all’armatura positiva del condensatore piano abbiamo che quando si possono trascurare gli effetti di bordo(distorsione delle linee di campo) le linee di campo
sono tutte perpendicolari al piano per cui il campo è costante (sulla superficie
gaussiana): E · A = ǫq0 ⇒ E = ǫ0qA . Di conseguenza in questo caso il campo
è costante in tutta la regione entro
R − il condensatoreqdpiano. Per il potenziale
~ = E ·d =
~ · ds
quindi abbiamo che V+ −V− = + E
ǫ0 A . Adesso possiamo calq
q
= qd
colare la capacità del condensatore piano che è C = V
= ǫ0dA (ǫ0 =
ǫ0 A
8.85 pF/m) (notare che la capacità dipende solo dalla geometria)
Esempio 4.3:Condensatore cilindrico
Esempio 4.3:Condensatore cilindrico
La figura mostra la sezione di un condensatore cilindrico
di lunghezza L e raggi a(interno) e b(esterno). La simmetria del campo
in questo caso è cilindrica. Se scelgo una sup. gaussiana cilindrica di raggio r (a < r < b) si ha ǫ0 EA = ǫ0 (2πr)L · E = q da cui E = 2πǫq0 Lr il
campo elettrico
R b è quindi non uniforme e dipendente da r. Il potenziale
è allora V = a 2πǫq0 Lr dr = 2πǫq0 L ln( ba ). Pertanto la capacità è data da:
0L
(b > a)
C = q/V = 2πǫ
ln( b )
a
Esempio 4.2:Condensatore sferico
Cap4-Vol II-Conduttori e dielettrici
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Esempio 4.2:Condensatore sferico
La stessa figura di prima si può pensare come sezione di un condensatore
cilindrico. In questo caso la superficie gaussiana è sferica per cui E = 4πǫq0 r2
(come la carica puntiforme o la sfera carica) ed è il campo tra i due gusci
Rb
q b−a
q
( 1 − 1b ) = 4πǫ
sferici. Il potenziale invece è V = a 4πǫq0 r2 dr = 4πǫ
.
0 a
0 ab
ab
Pertanto la capacità del condensatore sferico è C = 4πǫ0 b−a
Sfera isolata
Sfera isolata
Sfera isolata
Come detto all’inizio la capacità si può definire a partire da un singolo
conduttore isolato. Se abbiamo un singolo conduttore isolato a forma sferica possiamo ricavarne la capacità riscrivendo l’espressione del condensatore
sferico e mandando ad ∞ l’altra armatura:
C = lim 4πǫ0
b→∞
a
ab
= lim 4πǫ0
= 4πǫ0 a
b − a b→∞
1 − a/b
per cui per una sfera carica di raggio R possiamo dire che la capacità è data
da C = 4πǫ0 R
Parte II
4.4-Collegamento tra condensatori
4.4-Collegamento tra condensatori
Chiameremo circuito un collegamento tramite conduttori di più elementi.
Quando in un circuito sono presenti due o più condensatori, interessa conoscere qual’è il valore equivalente di capacità , ovvero trovare il condensatore equivalente che sostituito al posto dei condensatori nel circuito,
presenti stessa carica, differenza di potenziale e capacità (stesse grandezze
elettriche).
Cap4-Vol II-Conduttori e dielettrici
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2
3
CONDENSATORI IN SERIE
Condensatori in parallelo
Condensatori in parallelo
COLLEGAMENTO IN PARALLELO
+
V
C1
C2
C3
I condensatori sono collegati in parallelo quando
la differenza di potenziale di ognuno di essi è la stessa ed è uguale a quella
del loro insieme. Affinchè la sostituzione dell’insieme dei condensatori in
parallelo con uno equivalente non produca alterazioni al circuito, esso dovrà
avere la stessa differenza di potenziale e carica pari alla somma delle cariche
di ciascuno dei condensatori. Quindi guardando la figura di sopra abbiamo
che q1 = C1 V q2 = C2 V q3 = C3 V di conseguenza la carica totale è Q =
q1 + q2 + q3 = (C1 + C2 + C3 )V un condensatore equivalente deve presentare
stessa q e V ovvero Q = Ceq V ⇒ Ceq = (C1 + C2 + C3 ) che estendiamo in
generale
n
X
Ci
Ceq =
i
3
Condensatori in serie
Condensatori in serie
C1
+
V
C2
C3
I condensatori sono in serie quando sono collegati in catena e con una differenza di potenziale agli estremi della
catena. I condensatori sono in serie quando la differenza di potenziale V
è applicata all’insieme di tutti i condensatori e su ciascuno di essi vi è la
stessa carica q. La differenza di potenziale (ddp) è in questo caso la somma delle ddp di ciascun condensatore. Perchè la carica deve essere
la stessa? Questo lo possiamo capire solo partendo da condensatori tutti
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scarichi. Nel momento in cui colleghiamo la serie ad una batteria questa
muove una carica per esempio dal condensatore 3 della figura dall’armatura in basso (che rimane con carica -q) questa armatura per induzione
provoca sull’armatura opposta (che è sempre un conduttore) una carica di
segno opposto (+q) che sarà la carica sull’altra armatura del (3). Però il
conduttore tra 2 e 3 era neutro inizialmente, per cui se l’armatura sup.
del 3 ha segno +q l’altro lato del conduttore (che è l’armatura inf. di 2)
avrà carica -q, e cosı̀ via. Come deve essere il condensatore equivalente?
Esso dovrà avere carica q (la stessa di tutti i condensatori) e ddp pari alla somma delle ddp. Le ddp sono: V1 = q/C1 V2 = q/C2 V3 = q/C3 e
V = V1 + V2 + V3 = q( C11 + C12 + C13 ) per cui la capacità equivalente deve
essere:V = Cqeq = q( C11 + C12 + C13 ) ⇒ C1eq = C11 + C12 + C13 o in generale
P 1
1
i Ci
Ceq =
Esempio 4.6-partitore capacitivo
Supponiamo di avere 3 condensatori in serie con una ddp complessiva ai capi
della serie pari a 100V ed una capacità equivalente della serie pari a 100pF.
Calcolare i 3 valori C1,C2,C3 affinchè tra Va e C1 (ai capi di C1) vi siano
50V e tra A e C2 vi siano 70V.
su ogni armatura della serie vi è q = CV = 100 · 10−12 · 102 = 10−8 C
per cui si deve avere che:
q
10−8
=
= 200pF
∆V
50
10−8
C2 =
= 500pF
70 − 50
10−8
C3 =
= 333pF
100 − 70
C1 =
Parte III
4.5-Energia immagazzinata in un condensatore
4.5-Energia immagazzinata in un condensatore
Per caricare un condensatore occorre un agente esterno che compia lavoro
per trasferire cariche sulle armature del condensatore. Per valutare questo
Cap4-Vol II-Conduttori e dielettrici
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lavoro fissiamo un momento qualsiasi dell’operazione di carica del condensatore e supponiamo vi sia sul condensatore a questo istante una carica q ′ .
Se vogliamo trasferire sul condensatore una ulteriore carica dq ′ dobbiamo
fare del lavoro, e dal momento che sul condensatore ci sarà una ddp pari a
′
′ ′
V ′ = qC il lavoro è dL = dq ′ V ′ = q Cdq . Pertanto il lavoro complessivo per
caricare il condensatore (da 0 alla carica Q finale) è :
Z
Z Q ′ ′
Q2
q dq
=
L = dL =
C
2C
0
Questo lavoro (esterno) per la cons. dell’energia è immagazzinato nel conQ2
densatore come energia potenziale che è U = 2C
= 12 CV 2 Con quale meccanismo è conservata l’energia? L’energia è stata immagazzinata in forma
di campo elettrico all’interno del condensatore.
4
Densità di energia
Densità di energia
Dal momento che il campo elettrico è solo all’interno del condensatore allora
possiamo considerare l’energia all’interno del condensatore e calcolare di
2
U
1
V 2
conseguenza la densità volumetrica di energia.u = Ad
= CV
2Ad = 2 ǫ0 ( d ) =
1
2
2 ǫ0 E da cui si vede il legame diretto tra la densità di energia elettrostatica
e la resenza del campo. Questo risultato si estende dicendo che quando c’è
un campo E la densità di energia presente è u = 21 ǫ0 E 2
Parte IV
4.6-Condensatore con dielettrici
4.6-Condensatore con dielettrici
Se consideriamo un condensatore piano con ddp V0 e carico con densità di
carica σ0 si avrà tra le armature un campo elettrico pari a ǫσ0 e se la distanza
tra le armature è h si avrà V − 0 = Cq00 = E0 h. Se adesso inseriamo una
lastra conduttrice di spessore s < h tra le armature si ha che il conduttore
inserito presenterà per induzione sulle due facce una carica uguale e opposta
a quella dell’armatura cui si affaacia (senza che si tocchino) e il potenziale
complessivo si riduce a V = E0 (h − s) < V0 indipendentemente dalla posizione della lastra. Se invece tra le armature di un condensatore inseriamo
Cap4-Vol II-Conduttori e dielettrici
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un dielettrico anche in questo caso si osserva una riduzione del potenziale
ma di entità inferiore e cosa più importante le cariche che si manifestano
anche nel dielettrico non possono muoversi da esso.
Se allora inseriamo un dielettrico che occupi l’intero spazio tra le armature si trova che la
V0
capacità del condensatore aumenta di una fattore pari a k = V
che viene
k
detto costante dielettrica relativa del materiale introdotto (il vuoto e
l’aria hanno valore 1 tutti gli altri materiali hanno valori maggiori di 1).
Inoltre ogni materiale ha un valore massimo di differenza di potenziale che
si può applicare superato il quale il materiale viene perforato da una scarica elettrica. A questo valore di potenziale corrisponde un massimo valore
di campo elettrico detto rigidità dielettrica. Assumendo che il campo
elettrico nell’inserimento è rimasto uniforme la diminuzione l’introduzione
della costante dielettrica implica questo:
Ek =
Vk
V0
E0
σ0
=
=
=
h
kh
k
kǫ0
e l’attenuazione del campo elettrico si può riscrivere cosı̀
E0 − Ek =
σ0
σ0
−
=
ǫ0
kǫ0
χ σ0
k − 1 σ0
=
k ǫ0
χ − 1 ǫ0
avendo indicato con χ = k − 1 che viene detta suscettibilità elettrica
del dielettrico. Per quanto riguarda i conti sul campo elettrico abbiamo
quindi che nel dielettrico
Ek = E0 − (E0 − Ek ) =
=
σ0 k − 1 σ0
−
=
ǫ0
k ǫ0
σ0 σp
−
ǫ0
ǫ0
(2)
avendo posto σp = k−1
k σ0 la eq.(1) di fatto ci indica che nel dielettrico si
sommano i campi dovuti alle cariche sulle armature (E0 ) e quelle dovute alle
σ
cariche nel dielettrico (con verso opposto, ǫ0p ) e ci indica la relazione tra le
cariche nel dielettrico dovute alla polarizzazione e le cariche sulle armature. Di conseguenza la capacità del condensatore nel complesso è aumentata
Ck = Vq0k = k Vq00 = kC0 Da quello che abbiamo imparato deduciamo che la
Cap4-Vol II-Conduttori e dielettrici
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presenza di un dielettrico che occupi interamente lo spazio tra le armature
ha l’effetto complessivo di ”scalare” la costante dielettrica ǫ0 → ǫ = kǫ0 e la
costante ǫ viene detta costante dielettrica assoluta del dielettrico. Il
ragionamento fatto quindi ci permette di ricalcolare le capacità per le altre
geometrie di condensatori cambiando semplicemente la costante dielettrica
e di ritrovare il risultato relativo alla densità di energia elettrostatica che
troveremo essere ue = 12 ǫE2
Esempio 4.11-lastra dielettrica all’interno di un condensatore piano
Vediamo qual’è la capacità del condensatore se la lastra dielettrica ha uno
+
+
+
+
spessore s < h ma abbia la stessa area
delle armature del condensatore.
h
s
x
-
-
-
Se indichiamo con x la posizione verticale della lastra abbiamo che:
Z h
Z x
Z x+s
Z h
′
~
~
~
~
~
~
~ 0 · d~
Vk =
E · dh =
E 0 · dh +
E k · dh +
E
h=
0
0
x
x+s
E0 x + Ek (s) + E0 (h − x − s) = E0 (h − s) + Ek s
ed è indipendente dalla posizione x in verticale della lastra
adesso le espressioni dei campi:
Introduciamo
σ0
σ0
(h − s) +
s=
ǫ0
kǫ0
s
σ0
sk−1
σ0
(h − s + ) =
h(1 −
)
ǫ0
k
ǫ0
h k
Vk′ =
di conseguenza si ha:
Vk′
1
hσ0
sk−1
=
=
(1 −
)⇒
q0
C
ǫ0 σ0 A
h k
1
h
sk−1
h
shk
sh
=
(1 −
)=
−
+
=
C
ǫ0 A
h k
ǫ0 A khǫ0 A hkǫ0 A
s
h−s
+
ǫ0 A
kǫ0 A
Da cui possiamo dedurre che il condensatore complessivo ha una capacità
equivalente che si ottiene considerando due condensatori in serie: il primo
con spessore h-s e riempito di aria il secondo come se fosse un condensatore
Cap4-Vol II-Conduttori e dielettrici
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di spessore s tutto riempito di dielettrico ed entrambi della stessa area
A.
Condensatore con parziale inserimento di una lastra dielettrica
-esempio 4.13
Supponiamo di cominciare ad inserire
una lastra dielettrica che occupi tutto lo
+
+
+
+
spessore h del condensatore piano, ma
questa volta abbiamo iniziato ad inserih
re il dielettrico solo di un tratto x. Calcolare la forza e il lavoro W con cui la lastra è risucchiata tra le armature quando il condensatore è mantenuto collegato ad un generatore di ddp costante V
tra le armature.
x
In questo caso possiamo certamente pensare il condensatore complessivo come due condensatori in parallelo entrambi dello stesso spessore
collegati in parallelo dalle armature stesse, quello della porzione sinistra
con dielettrico, la porzione destra con il vuoto. Se indichiamo con l il lato
dell’armatura quadrata e x il tratto inserito di dielettrico la capacità è
C = Cd + Cs = k
ǫ0 lx ǫ0 l(l − x)
+
h
h
nell’avanzamento di un tratto infinitesimo dx la capacità cambia di
dC =
dC
ǫ0 (k − 1)l
dx =
dx
dx
h
ad ogni cambiamento di capacità corrisponde una variazione di carica
dq = V dC che il generatore trasferisce sulle armature compiendo un lavoro dWgen = V dq = V 2 dC. Il condensatore invece immagazzina energia
pari a dUel = 21 dCV 2 = 21 dWgen Il lavoro è quindi complessivamente
1 ǫ0 (k − 1)l
1
dx ⇒
W = F dx = dWgen − Uel = dCV 2 = V 2
2
2
h
dUel
1 ǫ0 (k − 1)l
F =(
)V=cost = V 2
dx
2
h
4.7-Dielettrici l’aspetto atomico
Cap4-Vol II-Conduttori e dielettrici
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4.7-Dielettrici l’aspetto atomico
Le molecole delle varie sostanze possono essere polari o non. Nel primo caso
sono equivalenti a dei dipoli elettrici. Nel secondo non lo sono. Tuttavia
molecole non polari sotto azione di un campo esterno si deformano diventando dipoli. In entrambe le situazioni un campo elettrico esterno i dipoli si
manifestano nel materiale e tendono ad allinearsi secondo il campo elettrico
(vedi dipolo el. in campo el. esterno). Questo insieme di dipoli allineati
generato un campo opposto a quello esterno che quindi risulta attenuato.
In ogni caso possiamo parlare per ogni molecola di momento di dipolo
elettrico p
~a = Ze~
x per cui nel caso di molecole non polari il momento b~
pa è indotto dal campo elettrico esterno, ed è parallelo e concorde ad
esso, e sparisce alla rimozione del campo esterno. In questo caso si parla
di polarizzazione elettronica. Nell’altro caso le molecole hanno già un
momento di dipolo elettrico e si parlerà di polarizzazione per orientamento, anche qui mediamente il momento di dipolo risulterà parallelo al
campo elettrostatico. Per cui a prescindere dal meccanismo si ottiene che
mediamente l’applicazione di un campo elettrostatico ad un dielettrico comporta il realizzarsi di un momento di dipolo < ~
p > parallelo e concorde al
~
E Se consideriamo allora un punto interno del dielettrico, ed un elemento
di volume τ centrato nel punto in esame, il momento di dipolo complessivo del volume è p
~ = N < p
~ > per cui per unità di volume si ottiene
~ = p~ = N <~p> = n < p
~
>
con
n il numero di molecole per unità di volume.
P
τ
τ
Tornando allora al caso di un condensatore piano, dividiamo il dielettrico
tra le superfici di un condensatore piano, in elementi infinitesimi tipo prismi,
di volume dτ , area dΣ0 ed altezza dh. In questo caso il momento di dipolo
~ · d~
che si manifesta nell’elemento di volume è d~
p=P
τ = P dΣ0 d~
h. Dalla
definizione di dipolo, allora possiamo pensare che il dipolo cosı̀ costituito sia
dovuto a due cariche dqp = ±P dΣ0 separate di un tratto dh (come se fosse
vuoto) queste cariche sono uniformemente distribuite sulla superficie dΣ0 .
dq
Possiamo definire allora dσp = dΣp0 = P come densità di carica e dal punto
di vista elettrostatico le due cariche distanziate nel vuoto sono equivalenti al dielettrico polarizzato. Se adesso continuiamo a impilare prismi
infinitesimi, se il vettore P è uniforme, si ha che due prismi affiancati tra
loro, hanno le facce affiancate di segni opposti e complessivamente cambia
solo la distanza tra gli estremi, e l’operazione continua sino a quando non
si arriverà sulle armature del condensatore. In definitiva l’intero dielettrico equivale ad una distribuzione di carica ±σp = ±P che è affacciata (e
di segno opposto) a quella sulle armature. Generalizzando a dielettrici di
0
~
forma qualunque, si ha che σp = P dΣ
dΣ = P cos θ = P · ûN cioè la densità
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Nicola GigliettoA.A. 2013/14
di carica di polarizzazione è uguale alla componente di P nella direzione
normale alla superficie. Lo stesso ragionamento basato su una divisione in
prismi invece estende anche al caso di una polarizzazione non uniforme il
risultato: in questo caso mediamente la carica nel volume non è più nulla e
~ ·P
~ = ρP La proporzionalità tra P
~ eE
~ si esprime come
si ottiene che ∇
~
~
~
P = ǫ0 (k −1)E = ǫ0 χE I dielettrici che obbediscono a questa legge si dicono
lineari e sono materiali amorfi caratterizzati da isotropia spaziale. Esistono
~ eE
~ non sono paralleli.
comunque dei materiali in cui P
4.8-Equazioni elettrostatica in presenza di dielettrici
4.8-Equazioni elettrostatica in presenza di dielettrici
Abbiamo visto che fisicamente le cariche di polarizzazione sono realmente
presenti (anche se non mobili) e verifichiamo come cambia la situazione
del condensatore piano riempito interamente di dielettrico. Applichiamo il
teorema di Gauss:
I
~
~ · ûN dΣ = q + qp
Φ(E) = E
ǫ0
Considerando la situazione in figura allora abbiamo che la qp =
−σp Σ = −P Σ ed è dovuta alla sola parte che si affaacia sull’armatura. Quindi per l’intera
superficie chiusa della superficie
gaussiana si ha
I
~ · ûn dΣ = pΣ
P
da cui
~ =
Φ(E)
I
+
-
+
-
ǫ0
-
I
I
15
+
-
~ · ûn dΣ) ⇒
P
~ · ûN dΣ + P
~ · ûn dΣ = q ⇒
E
I
~ +P
~ ) · ûn dΣ = q
(ǫ0 E
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+
-
E
P
~ · ûN dΣ = q + qp = 1 (q −
E
ǫ0
ǫ0
I
+
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~ = ǫ0 E
~ +P
~ detto induzione dielettrica
Per cui introducendo il vettore D
si ottiene
I
~ = D
~ · ûn dΣ = q
Φ(D)
(3)
che è il teorema di Gauss per l’induzione dielettrica ovvero il flusso
del vettore induzione dielettrica è pari alla somma delle sole cariche libere
all’iinterno della superficie gaussiana Quando possiamo tenere conto della
linearità tra P ed E allora abbiamo:
~ = ǫ0 E
~ +P
~ = ǫ0 E
~ + ǫ0 (k − 1)E
~ = ǫ0 k E
~ = ǫE
~
D
~ =
ed infine nel caso del condensatore piano dove Ek = kǫσ0 si ottiene che D
σ ûN il valore di D, anche nel dielettrico, quindi coincide con la densità di
carica libera Il valore locale dell’espressione trovata si ritrova con i medesimi
~ ·D
~ = ρ la divergenza
passaggi del paragrafo 3.4 che portano a dire che ∇
del vettore D è legata alla densità di cariche libere (se mancano è uguale a
0)
Sfera conduttrice immersa in dielettrico omogeneo indefinito
Una sfera conduttrice di raggio R e carica q è immersa in un dielettrico
omogeneo, indefinito e costante dielettrica k. Calcolare P,D,E e la qp
Applichiamo il teorema di gauss ad una sfera gaussiana di raggio r > R
~
4πr2 D = q ⇒ D(r)
=
q
ûr
4πr2
~ = ǫE
~ allora si ottiene E(r)
~
Dal momento che D
= 4πkǫq 0 r2 ûr e di conseguen~ (r) = ǫ0 (k − 1)E
~ = k−1 q 2 ûr e quindi la σP = −P (R) = − k−1 q 2 =
za P
k 4πr
k 4πR
k−1
− k−1
σ
in
altre
parole
la
carica
di
polarizzazione
risulta
q
=
−
p
k
k q
Riepilogo condensatori con dielettrici
• Quando il dielettrico riempe interamente lo spazio tra le armature la
capacità diventa C = kC0 con k costante dielettrica relativa e C0 la
capacità nel vuoto
• se il dielettrico è posto solo parzialmente tra le armature si dimostra
(vedi es. succ.) che il condensatore risulta equivalente ad una serie
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o parallelo o entrambi della parte con solo aria + la parte con solo
+
-
+
-
P
+
-
+
-
+
-
E
dielettrico Ad esempio
Es. 26.6P
Tra le lamine di area 115 cm2 di un condensatore piano, distanti d=1.24
cm, viene inserito un dielettrico di spessore b=0.78 cm e costante dielettrica relativa ǫr = 2.61. Prima dell’inserimento il condensatore è stato
caricato a V=85.5 V e tenuto isolato. Qual’è la ddp dopo l’inserimento
del dielettrico?
−4
115×10
La capacità iniziale è C0 = ǫ0dS = 8.85 pF 1.24×10
−2 = 8.21 pF e la carica
sul condensatore è q0 = C0 V = 702 pC. Dopo l’inserimento il condensatore complessivo equivale a dei condensatori in serie. Supponiamo di poggiare
il dielettrico contro un’armatura: allora si evidenziano 2 condensatori in serie
(1 pieno d’aria e l’altro pieno di dielettrico) (si dimostra che il risultato non
cambia anche quando la lamina dielettrica è a una posizione x qualunque dalb
l’armatura) la capacità equivalente è : C1eq = d−b
ǫ0 S + ǫr ǫ0 S quindi Ceq = 13.4 pF
702 p
q0
e la ddp finale si ottiene da Ceq = V
⇒ Vf = Cqe0q = 13.4
p = 52.3 V Anaf
logamente se il dielettrico riempe totalmente solo metà (a destra o sinistra)
di tutto lo spessore del condensatore esso si comporterà come 2 condensatori
in parallelo (la metà riempita con dielettrico in parallelo all’altra metà con
l’aria).
+
-
+
-
P
+
-
+
-
+
-
E
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