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Progetto Lauree Scientifiche
“Scienza & Sport”
I.S.I.S. “Dante Alighieri” - Gorizia
Liceo Scientifico
“Duca degli
Abruzzi”
Liceo Classico
“Dante Alighieri”
Liceo Scienze Sociali
Liceo Socio- Pedagogico
“Scipio Slataper”
I docenti, che hanno proposto il progetto sono docenti di
Matematica e Fisica del Liceo Scientifico e hanno dato un’
impostazione di tipo
“matematico-fisica” al progetto stesso.
Hanno proposto le attività tenendo conto della diversa provenienza
e preparazione degli studenti ( L.C., L.S., L.S.S e L.S.P.P., classi
III, IV, V).
Ogni incontro è iniziato con una presentazione frontale del
problema e della sua contestualizzazione nella matematica e nella
fisica.
Poi il lavoro è stato suddiviso fra gruppi omogenei, tenendo conto
del livello di conoscenze e competenze di ciascuno.
Si è dato ampio spazio al lavoro di gruppo, al brain storming, al
peer tutoring.
Abbiamo scelto alcuni sport non solo per studiarli in
modo più profondo, ma anche come pretesto per utilizzare
o approfondire strumenti matematici o argomenti della
fisica, per applicare strumenti informatici o della statistica.
In particolare abbiamo preso in considerazione lo sci,
alcuni aspetti dell’atletica ed alcuni del nuoto. Abbiamo
effettuato un’uscita in montagna per approfondire leggi
fisiche legate allo sci e nove incontri di due ore e mezza
ciascuno, in aula o in laboratorio di informatica.
Certe attività sono state uguali per tutti gli studenti, altre
differenziate.
Questa presentazione comprende le attività proposte per le
classi terze, quarte, quinte.
La storia dello sci
L’uso dello sci è il più antico mezzo di locomozione inventato dall’uomo,
prima ancora della ruota. Un’incisione rupestre all’isola di Rodoy in
Norvegia databile nel 3000 a.c. raffigura uomini che hanno ai piedi degli
sci. Alcuni studiosi fanno però risalire l’origine di questa invenzione nelle
zone della Siberia e Mongolia.
Veri specialisti degli sci furono però i lapponi; circa 2000 anni fa che
usavano sci simili a quelli odierni.
La Storia...
Inizialmente (circa 5000 anni fa) gli sci erano dei pezzi di legno
lavorati e servivano come mezzo di locomozione in quanto
adatti a scivolare sulla neve che ricopriva per molto mesi i
territori nordici.
Nel 1800 i norvegesi furono i primi ad usare lo sci oltre che come
mezzo per spostarsi con più agilità anche per divertimento.
Dopo la metà dell’800 lo sci si diffuse anche nel resto d’Europa. A
quel tempo gli sci erano fatti di quercia e betulla, erano lunghi
più di due metri e gli attacchi che legavano gli sci erano staffe in
cuoio.
Nel ‘900 in ogni paese miglioravano i materiali e si sviluppavano
nuove tecniche. Gli sci diventavano più corti e più facili da
girare. Inoltre non si usava più la quercia e la betulla, bensì il
metallo per far sì che i piedi fossero ben fissi allo sci evitando
scivolamenti e favorendo l’agilità.
E’ un continuo cambiamento di materiali, si passa dal legno alla
fibra di vetro all’alluminio. Questa viene denominata struttura a
Sandwich che permette allo sci di essere più leggero e
flessibile, ma allo stesso tempo rigido in torsione, garantendo
una buona tenuta in curva senza sbandamenti.
Recentemente gli sci hanno anche cambiato forma: fino alla fine
degli anni ‘80 erano dritti, mentre adesso si usano i “carve” o
“carving”, cioè sci larghi in testa e in coda e stretti al centro.
Questa nuova forma permette di deformare gli sci in poco
tempo e di farli girare senza troppi sforzi.
Per fare il salto di qualità occorre fare degli studi matematici e fisici
sullo sciatore e sui materiali. La matematica offre gli strumenti
per creare dei modelli che schematizzano la realtà: questi
strumenti sono formule e funzioni. Il modello matematico aiuta a
comprendere meglio ciò che accade e studiando il modello si
ricavano informazioni importanti su come evolve un sistema:
quindi si può “prevedere” quello che accadrà e questo ci dà la
possibilità di intervenire direttamente sulla realtà.
Lo sci come sport
A metà dell'Ottocento, Sondre Nordheim, un abitante del telemark
norvegese (della cittadina di Morgedal) rivoluzionò lo sci, inventando
lo stile detto appunto telemark e facendone uno sport.
Prima della diffusione in Europa centrale, lo sci conobbe una sua fortuna
dal 1854 in poi in Canada, nel Nevada ed ai confini della California.
La diffusione dello sci in Italia dovrà aspettare fino al 1897.
il 21 dicembre 1901 venne fondato lo Sci Club Torino, i cui membri
si riunirono nella sede del CAI (Club Alpino Italiano).
La matematica nello sci
Anche se potrebbe non sembrare vero, lo sci nasconde molta
matematica: nel gesto, negli attrezzi e nelle traiettorie.
L’evoluzione dello sci, soprattutto negli ultimi anni, si deve
principalmente all’applicazione della matematica a questa
disciplina.
Materiali
Gli sci in origine erano costruiti con tavole ricavate da un singolo
pezzo in legno. Attualmente sono costituiti da un complesso
assemblaggio di materiali tra cui fibra di vetro, kevlar, titanio
ma nei modelli commerciali il legno è meno utilizzato.
Gli sci utilizzati per il fondo (il cosiddetto Sci Nordico), sono molto
più sottili e leggeri, hanno inoltre punta maggiormente incurvata
verso l'alto per evitare che lo sci penetri nella neve.
Negli sci da discesa (Sci Alpino) le punte sono meno pronunciate e gli
sci sono più larghi e spessi, oltre che più pesanti.
Montano sui bordi della soletta (la parte a contatto con la neve)
delle lamine in acciaio, che permettono allo sci di tenere in curva,
specialmente su nevi dure e ghiacciate.
Quali sono le forze che agiscono sullo sciatore mentre
scende lungo la pista?
•La forza peso (data dall’attrazione gravitazionale) che ci tira verso
il basso
•la reazione vincolante del terreno, che è uguale e contraria alla
forza peso e ci permette di non sprofondare e di curvare
•l’attrito, che è una forza opposta al movimento: fa rallentare lo
sciatore e permette di tenere il controllo sugli sci. Gli attriti sono
dovuti alla resistenza dell’aria e al contatto degli sci con la neve. La
resistenza dell’aria dipende dalla forma del corpo, dal materiale di
cui è rivestito e dalla velocità di discesa (la posizione raccolta è
una forma più aerodinamica di quella eretta e il tessuto ruvido fa
più attrito con l’aria di uno liscio). Ad alta velocità la resistenza
dell’aria è proporzionale al quadrato della velocità quindi
all’aumentare della velocità aumenta anche la resistenza dell’aria.
L’attrito dipende dal peso esercitato distribuito lungo la superficie
degli sci, e dal contatto degli sci con la neve. Per minimizzare
quest’ultimo, si usano le scioline, cioè delle cere da applicare sulla
soletta degli sci.
I vettori
In fisica, per descrivere un moto o una forza, servono, oltre
alle grandezze scalari, le grandezze vettoriali,per le quali è
necessario fornire, oltre al valore numerico, anche una
direzione e un verso.
Una grandezza vettoriale si rappresenta graficamente con
un segmento “frecciato” detto vettore.
•modulo: rappresenta la lunghezza del vettore;
•direzione: la retta su cui giace il vettore;
•verso: è indicato dalla freccia.
Scomposizione di un Vettore
Un vettore u si può pensare come somma di due vettori componenti
u1 e u2 a condizione di assegnare le rette
r1 e r2 sulle quali devono giacere u1 e u2 (altrimenti si avrebbero
infinite soluzioni).
Componenti cartesiane di un Vettore
Di solito le rette assegnate sono gli assi cartesiani x e y. In tal caso
partendo dalla punta di V si tracciano le
parallele agli assi x e y, si ricavano così i componenti cartesiani Vx e
Vy:
C
D
Vy
B
A
Vx
Con il Teorema di Pitagora dal triangolo rettangolo B A C si ricava:
v=
2
vx + v y
2
I VETTORI: TRIANGOLI PARTICOLARI
Se si considera il vettore
nel piano cartesiano possiamo
scomporlo in due parti: quella parallela all’ascissa,
e quella alla
ordinata,
.
L’angolo formato dal
vettore e dall’ascissa può
essere, in generale, di
tre tipi:
- 30°
- 45°
- 60°
Se l’angolo AOH è di 30° allora il vettore sarà uguale a: AO = OH
Se l’angolo AOH è di 45° allora il vettore sarà uguale a:
Se l’angolo AOH è di 60° allora il vettore sarà uguale a:
2
3
AO = OH 2
AO = 2OH
EQUILIBRIO DI UN PUNTO MATERIALE SU UN
PIANO INCLINATO
Un corpo è in equilibrio quando è in quiete e vi rimane nel tempo. Per un
punto materiale l’unica condizione che deve essere soddisfatta affinché
esso resti fermo è che la somma, o risultante, delle forze sia nulla.
Le forze che agiscono su un punto materiale posto su un piano inclinato
sono la forza peso, la reazione vincolare e la forza d’attrito dell’aria e del
terreno.
La reazione vincolare è sempre diretta in direzione ortogonale al piano
poiché agisce in modo da contrastare l’allontanamento del punto dal piano
inclinato.
Per capire quale deve essere la sua intensità decomponiamo la forza peso
lungo l’asse tangente al piano inclinato, x, e lungo l’asse ortogonale ad
esso, y.
R
P
Allora si può decomporre la somma delle forze lungo
x e y, e, poiché lungo y nulla si muove:
 
R = P⊥

P//
Viceversa, lungo x, non ci sono vincoli e dunque a
provocare la caduta del corpo è:
Se il piano è verticale, non c’è nessun vincolo:
 
R = P⊥
=
O
se il piano è orizzontale, il vincolo impedisce qualsiasi
movimento.

P⊥ =

R=
=

P//
Scomposizione della forza peso
La forza Peso (P) si può scindere in P|| e P
Si vengono così a formare due triangoli simili
Si ricava così che P||=
La componente parallela al piano fa scivolare il corpo lungo il
pendio. La componente perpendicolare al piano spinge il corpo
verso il terreno. Più il pendio è rigido e più prevale la
componente parallela.
SIMILITUDINI DEI TRIANGOLI &
PROPORZIONE
l
A
F
h
α
α
B
E
α
D
b
C
ABC e EDF sono triangoli
simili per il 1°criterio di
uguaglianza.
AC : AB = FD : ED
 
P
//
l : h= P:

P
//
=
h• P
l
Leggi della dinamica
1° legge della dinamica
Ciascun corpo persevera nel suo stato di quiete o di moto rettilineo
uniforme a meno che sia costretto a mutare tale stato da forze
impresse (esterne).
Ad esempio:
lo sciatore se non ci fossero la forza peso, di attrito e la reazione
vincolare proseguirebbe il suo moto rettilineo uniforme.
2° legge della dinamica
Ogni forza F, applicata ad un corpo libero di muoversi, produce
un’accelerazione a del corpo, il cui modulo è direttamente
proporzionale all’intensità della forza e inversamente proporzionale
alla massa inerziale m del corpo. La forza agente e l’accelerazione
prodotta hanno la stessa direzione e lo stesso verso:
Ad esempio:
la forza peso è uguale a:
,dove g rappresenta
l’accelerazione gravitazione è uguale a 9,81 m/s²
3° legge della dinamica
Ad ogni azione corrisponde sempre una reazione uguale e
contraria, agente sulla stessa retta d’azione.
Ad esempio:
la reazione vincolare corrisponde alla reazione della forza peso (la
componente perpendicolare del peso).
Ora si immagini che al
posto del carrello ci sia un
provetto sciatore.
PROBLEMA: il piano inclinato
Una massa di 50 kg si trova sulla sommità di un piano inclinato alto 10 m
e lungo 50 m.
1) Calcolare l’accelerazione con cui la massa scende.
gh 9.8m / s 210m
a=
=
= 1.96m / s 2
l
50m
2) Calcolare il tempo che impiega per arrivare alla base del piano.
at 2
s = vt +
2
v=0 =>
at 2
s=
2
s=l =>
at 2
l=
2
=> t²=2l => t = √2l = √100 = 7.1 s
a
√a
√1.96
3) Calcolare la velocità che impiega per arrivare alla base.
V = v+at v=0 V=at V=1.96m/s² 7.1m= 13.92 m/s
4) Cosa accade se c’è attrito?
Fris = P// - Fa Fris= forza risultante P//= componente parallela della
forza peso - Fa= forza d’attrito opposta al moto
Moto Rettilineo
uniformemente
accelerato
Moto Rettilineo
Uniforme
S=v*t => V=s/t
V=a*t => a=v/t=(v-v0)/
t
S=S0+v*t
V=V0+a*t
x
y
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y=2x
x
y
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
y=5+2*x
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
30
25
25
20
20
15
15
y
10
Serie1
10
5
5
0
0
0
5
10
15
0
5
10
15
Il moto uniformemente accelerato
1° LEGGE dell’ accelerazione
Il moto uniformemente accelerato è il moto di un punto su una traiettoria
rettilinea e sottoposto ad un ’ accelerazione costante in modulo, e .
2° LEGGE della velocità
Nel moto rettilineo uniformemente accelerato l'accelerazione non varia nel
tempo e quindi troviamo:
a = (v - v0) / (t - t0)
così possiamo confermare che il rapporto tra la variazione di velocità(v - v0)
e l'intervallo di tempo(t - t0 ) è uguale a una costante.
Questo vuol dire che la variazione di velocità e l'intervallo di tempo sono
v - v0 = a · (t - t0) .
3° LEGGE oraria
at 2 + v0t + x0
x=
2
In sintesi:
Le leggi che governano il moto uniformemente accelerato sono:
a = costante (legge dell’accelerazione)
v = a t + vo (legge della velocità)
(legge oraria)
Scopriamo che la velocità istantanea è la derivata
prima dello spazio in funzione del tempo:
Analogamente l'accelerazione istantanea è la derivata
seconda dello spazio in funzione del tempo:
Conservazione dell’energia meccanica
Quando lo sciatore è in cima alla montagna l’energia
potenziale gravitazionale iniziale (Ui) sarà massima e
l’energia cinetica iniziale (Ei) sarà nulla perché lo sciatore è
fermo; al contrario quando lo sciatore avrà effettuato la
discesa l’energia potenziale gravitazionale finale (Uf) sarà
nulla e l’energia cinetica finale (Ef) massima in quanto lo
sciatore avrà raggiunto la massima velocità
La forza peso è una forza conservativa, quindi il lavoro
non dipende dal particolare percorso ma dal punto di
partenza e da quello di arrivo
Ei + Ui = Ef + Uf
Ei = 0
Uf = 0
quindi Ui = Ef
e cioè mgh = 1/2 mv2
gh = 1/2 v2
La velocità sarà
v = 2 gh
Effetti fisici dello sci
Basi matematiche necessarie per lo studio degli effetti fisici dello sci
che possono essere presentati mediante esempi derivati dal mondo
dello sci.
PREREQUISITI:
- concetto di vettore, somma, differenza, componenti di un vettore;
- curve del piano e nello spazio: traiettoria curvilinea, curvatura, raggio
di curvatura.
ANALISI DELLA FORZA PESO PARALLELA AL PENDIO LUNGO
UNA TRAIETTORIA CURVILINEA
zoom
v2
ac =
r
V= velocità
tangenziale
ANALISI DELLE
COMPONENTI
RADIALI LUNGO
UNA
TRAIETTORIA
CURVILINEA
TRAIETTORIA CURVILINEA-MOTO VARIO: la velocità del punto
materiale cambia con il passare del tempo, ma non in modo regolare.
VARIAZIONE di velocità nel moto uniforme in una traiettoria circolare.
   

∆ v = v2 − v1 = v2 + (− v1 )
P
Q

v1
La velocità
nel
punto P ela
velocità v2 nel
punto Q sono
vettori di ugual
  
modulo: ∆ v = v2 − v1
opportunamente
traslati individuano i
lati di un triangolo
isoscele di cui
rappresenta la
base.
Su una TRAIETTORIA CURVILINEA a:
in ogni punto di una traiettoria curvilinea percorsa con moto uniforme
l’accelerazione è perpendicolare alla traiettoria e orientata verso il
centro di curvatura.
Se v rimane costante in modulo c’è solo accelerazione centripeta.
MOTO CURVILINEO VARIO (per lo sci-discesa):
in un generico moto su una traiettoria curva sono presenti sia
un’accelerazione centripeta, responsabile della variazione di
direzione della velocità, sia un’accelerazione tangenziale,
responsabile della variazione di modulo della velocità.
L’accelerazione complessiva è la somma vettoriale delle due
accelerazioni componenti (centripeta e tangenziale).
RAGGIO DI CURVATURA: Il raggio di
curvatura di una curva è definito come il
raggio della circonferenza, detta cerchio
osculatore, che meglio approssima la curva
in quel punto.
Le traiettorie
Lo studio della traiettoria non è soltanto una capacità dell'atleta, ma
anche una questione matematica.
Galileo è stato il primo a cercare la via di percorrenza più breve tra due
punti nello spazio non allineati rispetto alla retta verticale.
La soluzione al problema non è il segmento che li unisce, bensì una
curva detta cicloide, scoperta dai fratelli Bernoulli.
La cicloide è la linea descritta da un punto fisso su una circonferenza
che rotola senza strisciare lungo una retta: per questo motivo è anche
detta brachistocrona (dal greco “dal tempo più breve”).
Ovviamente uno sciatore non può percorrere perfettamente una
cicloide, sia per il fatto che il piano è inclinato ed irregolare, sia per
l'esistenza dell'attrito, ma deve cercare di percorrere il tragitto
seguendo una serie di archi di cicloide.
La cicloide non ha equazioni cartesiane ma parametriche, che sono
le seguenti:
Pertanto la curvatura di una cicloide qualunque è:
Moto parabolico
Le equazioni che descrivono un moto parabolico sono
x = v0t
Si noti che il segno –
indica semplicemente
l'orientamento verso il
basso
gt 2
y = y0 −
2
Dalle quali si desume che
v0 =
Dove intendiamo h = y – y0
2
gx
2h
Lunghezza di un arco di curva
L=P1P2+P2P3 ….Pn-1Pn
n
∑
Pn-1Pn
i= 2
La formula indica la lunghezza della poligonale inscritta in un arco
Per poterla calcolare la funzione rappresentante la curva deve essere derivabile
⇒
y=f(x)
Tenuto conto del teorema di Lagrange esiste in x
o
f
⇒
f(b)-f(a) = f
'
( x0 )
'
= f(b)-f(a)
b-a
(b-a)
( x0 )
P (x f(x ))
i-1
i-1,
P Pi=
i-1
i-1
P (x ,f(x ))
i
i
f ( x − x1 ) 2 + ( f ( x1 ) − f ( x − 1)) 2
2
2
2
= f ( x − xi − 1 ) + [ f ' (α 1 )] ( xi − xi − 1 ) =
2
= ( xi − xi − 1 ) 1 + [ f ' (α 1 )]
La lunghezza
della
poligonale è data
da:
n
L=
n
∑
i=1
( xi − xi − 1 ) 1 + [ f ' (α 1 )]2
1
=
Scienza&Sport (disciplina: sci alpino)
Descrizione dell'attività pratico-sperimentale sulla neve
Premessa
Allo scopo di presentare agli studenti coinvolti nel progetto un'attività pratica da svolgere sul campo si
è ritenuto interessante proporre loro la verifica del detto comune che: “lo sciatore più pesante scende
più velocemente”. Tale verifica mette in gioco una serie di elementi che danno la possibilità
all'insegnante di fisica di introdurre e trattare vari aspetti del lavoro di un fisico sperimentale, nonché di
dare un senso pratico ad alcuni concetti fisico-matematici talvolta “freddi” nel loro trattamento in aula.
Tra i primi includiamo:
1. trasformazione di un'affermazione espressa in modo “approssimativo” in una che si possa
sottoporre a verifica sperimentale;
2. costruzione di una “teoria”;
3. semplificazione della teoria giungendo ad un modello che continui a contenere il concetto
fondamentale eliminando le parti matematicamente complesse;
4. analisi dell'insieme di validità della teoria semplificata;
5. scelta dei parametri da sottoporre a misura e criteri per l'accettazione o per il rigetto della teoria.
I secondi comprendono:
1. le leggi della dinamica;
2. vettori e loro scomposizione;
3. il concetto di attrito;
4. il concetto di reazione vincolare;
5. il concetto di incertezza di una misura;
6. la rappresentazione dei dati mediante diagramma cartesiano;
7. il concetto di dipendenza funzionale;
8. il concetto di verifica di un'ipotesi.
Materiali e metodi
L'esperimento si deve per forza svolgere sulla neve in condizioni non completamente standardizzabili.
Verrà utilizzato un set di sci uguali preparati mediante sciolinatura tutti allo stesso modo da un
laboratorio specializzato. Allo scopo di non utilizzare un sistema di cronometraggio, che
comporterebbe, oltre ad un costo aggiuntivo, la necessità di maggior tempo per la preparazione del
terreno di prova, si è deciso di utilizzare il sistema dell'acquisizione video e successiva analisi al
computer. A questo scopo si farà tracciare dagli addetti alla preparazione delle piste una linea sulla
neve mediante colorante che tutti gli sciatori dovranno seguire. Lungo questa linea saranno posti dei
punti di repere in modo da poter ricavare i tempi dei passaggi dai filmati eseguiti.
La discesa da eseguire sarà completamente rettilinea, sfociante in piano. La partenza avverrà senza
alcuna spinta da parte dello sciatore.
Ogni sciatore sarà identificato da un pettorale con numero. Mediante una bilancia si valuteranno i pesi
di ciascuno di essi comprensivi di scarponi, casco e tuta da sci. Non verranno utilizzati bastoncini.
Ad alcuni sciatori si faranno fare più discese, per alcune delle quali gli stessi saranno “appesantiti”
mediante cavigliere da sub.
Ricavati i tempi di percorrenza del tracciato dalle riprese video, gli stessi saranno messi in relazione
con le masse ed i dati riportati su un grafico. Si potranno ricavare relazioni diverse utilizzando i tempi
di passaggio attraverso i vari punti di repere, ad esempio analizzando solamente i tempi di percorrenza
dei primi metri (dove prevale l'attrito sci-neve) oppure solamente della parte finale del percorso. Si
potranno discutere i punti “anomali” osservando le immagini video per evidenziare le modalità con le
quali lo sciatore ha percorso il tracciato ed eventualmente decidere per la loro eliminazione.
I dati raccolti per gli sciatori che hanno usato le cavigliere potranno essere usati per ulteriori analisi.
Considerazioni teoriche
La frase “lo sciatore più pesante scende più velocemente” va modificata nella frase: “ferme restando
tutte le altre altre condizioni (neve, vento, tipo di sci, …) la velocità raggiunta, partendo da fermi senza
alcuna spinta e dopo aver percorso la stessa distanza e lo stesso dislivello, sarà maggiore per lo sciatore
con massa maggiore”. Questa si può facilmente trasformare nella seguente: “… il tempo di percorrenza
della stessa distanza con lo stesso dislivello è inferiore per lo sciatore con massa maggiore”. Questa
seconda frase è sottoponibile a verifica sperimentale in modo piuttosto semplice con il metodo
suggerito.
La “teoria” sarà costruita innanzitutto partendo dalla legge del moto accelerato, che potrebbe
rappresentare la nostra ipotesi nulla. Secondo questa non ci dovrebbero essere differenze in quanto
l'accelerazione di gravità è la stessa per tutti i corpi (e quindi la forza è diversa…). Costruiamo la nostra
ipotesi alternativa introducendo gli attriti tra sci e neve e tra sciatore e aria. Una teoria corretta sarebbe
troppo complessa in quanto questi attriti dipendono dalla velocità. Bisogna allora “semplificarla”.
Questo lo possiamo fare approssimando lo sciatore con una sfera di raggio R e con due ipotesi
aggiuntive: 1) l'attrito sci-neve si può trascurare a patto di percorrere un tratto di lunghezza sufficiente a
far raggiungere una buona velocità di discesa; 2) il rapporto tra le forze di attrito con l'aria che agiscono
su due sciatori diversi non dipende dalla velocità. Questa seconda ipotesi ci permette di lavorare
eliminando la dipendenza dalla velocità dalla forza di attrito con l'aria.
Consideriamo lo sciatore in una posizione di ricerca della massima penetrazione e schematizziamolo
come una sfera di raggio R. La sua massa totale sarà:
m ~ ρR 3
La superficie nella direzione del moto sarà:
σ ~ R2
per cui le forze in gioco saranno:
Fg ~ ρgR 3
la forza di gravità, e:
Fa ~ kR 2
quella dovuta all'attrito con l'aria, della quale consideriamo solamente la dipendenza dalla forma dello
sciatore.
Sommando le forze e dividendo per la massa per ottenere l'accelerazione troviamo:
a~
( ρgR
)
− kR 2
k
~g−
3
ρR
ρR
3
dalla quale si vede che all'aumentare di R, e quindi del peso dello sciatore, la componente negativa
dovuta all'attrito con l'aria diminuisce. Conseguentemente è lo sfavorevole rapporto superficie / volume
che fa sì che lo sciatore più leggero scenda più lentamente.
Tutte le considerazioni fatte limitano l'insieme di applicabilità della “teoria”. L'analisi dei tempi di
percorrenza del primo tratto potrebbe essere significativa a questo scopo.
L'ipotesi nulla verrà rigettata qualora i punti misurati, riportati su un grafico, si discosteranno in modo
significativo da una retta parallela all'asse sul quale avremo riportato le masse. Se si vedrà che
all'aumentare della massa i tempi tendono a diminuire (non ha importanza con quale legge) potremo
concludere che “lo sciatore più pesante è più veloce”. Probabilmente ci troveremo di fronte ad altre, più
perverse, situazioni…
Descrizione dell'esperimento
L'attività “sperimentale” sul campo si è svolta in due momenti diversi; il giorno 27 febbraio 2009 con
gli studenti del Liceo Scientifico “Michelangelo Buonarroti” di Monfalcone ed il giorno 24 marzo 2009
con gli studenti del Liceo Scientifico “Dante Alighieri” di Gorizia.
L'attività del giorno 27 febbraio si è svolta sulla pista servita dalla sciovia “Arvenis” nel comprensorio
del Monte Zoncolan. Il pendio disponibile ha permesso di eseguire discese della durata massima
inferiore agli 8 s. Si sono eseguite discese con sci preparati, con gli sci propri degli studenti e, in alcuni
casi, con un sovraccarico dato da due cavigliere di piombo da 1 kg ciascuna.
Dai dati raccolti si può vedere che:
1. vi è una debole evidenza che lo sciatore con massa maggiore percorre il percorso in un tempo
minore; tale evidenza non è però tale da permettere di rigettare l'ipotesi nulla con “sufficiente
confidenza”;
2. non si evidenzia una variazione significativa tra le discese eseguite dallo stesso sciatore senza e
con sovraccarico;
3. le discese eseguite dallo stesso sciatore con sci preparati sono sempre state significativamente
più veloci di quelle eseguite con gli sci propri (tranne un unico caso);
4. discese successive di un medesimo sciatore hanno fornito tempi con deviazione standard
piuttosto contenuta, quindi molto simili tra di loro;
La seconda fase sperimentale si è svolta anch'essa sulle piste dello Zoncolan. In un primo tempo si era
identificato un pendio tra la pista “Tamai 2” e la stazione a valle della sciovia “Arvenis”. Purtroppo il
giorno del test soffiava un forte vento in direzione contraria alla discesa, per cui si è ripiegato su un
tratto della pista “Zoncolan 4” nei pressi dei laghetti per l'innevamento programmato.
Il pendio a disposizione è comunque risultato più lungo permettendo tempi dell'ordine dei 10 s. Per
semplificare le operazioni, anche alla luce dei precedenti risultati, si sono usati gli sci di proprietà degli
studenti e ridotti a tre i punti di repere.
I risultati ottenuti sono stati decisamente più significativi dei precedenti, anche se un percorso più lungo
sarebbe stato in ogni caso preferibile. Diversamente dalla prima esperienza gli sciatori sono stati pesati
completamente vestiti, quindi anche indossando il casco, e con gli sci utilizzati da ciascuno. Questo
spiega i valori della massa superiori rispetto a quelli riportati nel primo caso. Come per il precedente
esperimento si è analizzata la correlazione tra la massa ed i tempi misurati in ciascuna prova, così come
quella tra la massa ed i tempi medi realizzati da ciascun sciatore. Anche in questo caso si sono
utilizzate le funzioni statistiche di OpenOffice rappresentando l'incertezza sui valori dei tempi medi,
questa volta, mediante due volte la deviazione standard stimata. Riportiamo i valori dei coefficienti di
correlazione ed i diagrammi relativi.
Diagramma
massa-tempo
massa-tempo medio
R2
0,4
0,5
59,5
59,5
59,5
109,5
109,5
109,5
109,5
57
57
57
57
94,5
94,5
94,5
94,5
06.02,00
11.58,28
14.11,40
03.03,68
06.22,20
10.52,88
15.17,28
02.23,36
05.44,24
13.06,40
14.31,80
01.41,28
06.35,32
12.44,52
15.36,80
00.07,12
00.07,20
00.07,40
00.06,80
00.07,00
00.06,96
00.06,96
00.06,96
00.07,08
00.07,24
00.07,32
00.06,92
00.06,96
00.06,92
00.06,92
00.10,48
00.10,76
00.10,96
00.09,84
00.10,16
00.10,08
00.10,08
00.10,28
00.10,40
00.10,84
00.10,84
00.10,16
00.10,12
00.10,08
00.10,12
00.10,60
00.00,33
00.00,66
00.10,04
00.00,14
00.00,28
00.10,59
00.00,29
00.00,58
00.10,12
00.00,03
00.00,06
Conclusioni
Si è voluta sottoporre a verifica la convinzione, diffusa tra gli sciatori, che lo sciatore più “pesante” è
anche più veloce. Tale comportamento, se vero, non può essere spiegato semplicemente con il fatto che
sullo sciatore con più massa la forza peso agisce con maggiore intensità, in quanto nel campo
gravitazionale terrestre l'accelerazione è indipendente dalla massa del corpo. Possiamo invece cercare
una spiegazione facendo intervenire l'attrito con l'aria
ipotizzando, in un modello semplificato, che questo dipenda
principalmente dalla superficie che lo sciatore presenta in
direzione del moto.
Si sono eseguite due esperienze sul campo utilizzando come
sciatori gli studenti di due scuole superiori. La prima esperienza
ha messo in evidenza che la correlazione tra massa e velocità non
è molto evidente quando il tempo di discesa è troppo breve. A
parte i numerosi elementi di variabilità dovuti alla componente
“umana”, l'importanza dell'attrito tra la neve e la soletta degli sci,
prevalente nei primi istanti del moto, sembra intervenire in modo da mostrare una correlazione molto
debole. Conseguentemente si è cercato di eseguire la seconda esperienza su un pendio che permettesse
tempi di scivolamento più alti, contemporaneamente cercando di correggere alcuni errori commessi
nella prima esperienza. Pur non avendo operato su un terreno ideale i risultati ottenuti sembrano
confermare l'ipotesi.
…alcune riflessioni sull’atletica...
Un’altra applicazione della parabola si ha negli sport che
prevedono un lancio:
•salto in alto
•salto in lungo
•lancio del peso
•lancio del giavellotto
•ecc….
Le forze che agiscono sono la forza di gravità, la resistenza
dell’aria, e la velocità iniziale è quella data dall’atleta.
È meglio che l’atleta punti in avanti o in verticale? Qual è
l’ampiezza dell’angolo con l’orizzonte che realizzi il risultato?
EQUAZIONE DELLA PARABOLA E SUE
PROPRIETÀ
Il moto di un proiettile sparato obliquamente (che nello sport trova applicazione nel salto
in alto e nel salto in lungo) graficamente corrisponde ad una parabola:
y=
−
1 g
•
2 v 2o x
vo y
g
• x − 2 • x2
vo x
2v o x
= costante = a
⇒ y = ax 2 + bx
vo y
vo x
= costante = b
Equazione della parabola
Proprietà: 1) passa per l’origine degli assi (c=0; a<0; b>o);
2) il vertice appartiene al 1° quadrante;
3) concavità verso il basso.
Al variare di a e di b troviamo un fascio di parabole passante per l’origine degli
assi O(0;0).
La parabola che interseca l’asse x ha equazione: ax²+bx=0
=> x(ax+b)=0
−
x=0
x=
−
b
a
b
a
= GITTATA =
x=
2v o x • v o y
g
L’altezza massima si raggiunge in corrispondenza della metà
della gittata. Quindi equivale al suo punto medio
h max :
 b 
−

 2a 
.
b2
v y2
 b 
f −
= − o
= −
4a
2g
 2a 
Fascio di
parabole
h max
 b 
−

 2a 
b
- a
Si chiama GITTATA
la distanza che separa il punto di
partenza di un corpo lanciato in direzione obliqua dal
punto in cui esso torna al suolo.
Quando l’angolo cresce allora la gittata aumenta, ma poi
essa giunge a un valore massimo e quindi diminuisce
quando l’angolo di lancio aumenta ancora.
La gittata è massima se, rispetto al terreno,
α = 45°
GITTATA MASSIMA
V0 x = V0 cos α
V 0 y = V0 sen α
v0
α
v0 y
v0 x
G=
2V0 xV0 y
g
2 2
V02
f (α ) = V0 sen α cos α =
sen 2α
g
g
= f (α )
V02
f ' (α ) = 2
cos 2α
g
π
2
f ' (α ) = 0
cos 2α = 0
2α =
f ' (α ) > 0
cos 2α > 0
−
π
π
< 2α <
2
2
Gittata MAX se α
=
π
4
0
π
4
α =
π
4
0< α <
MAX
π
4
v0
Senza usare le funzioni goniometriche,
vogliamo massimizzare la gittata
V0 x = X
v0 y
V0 y =
V02 − X 2 0<x<V0
v0 x
f ( x) =
2
2
V0 xV0 y =
x V02 − x 2
g
g
 2 V 2 − 2x2
2 
− 2x
2
2
= ⋅ 0
f ' ( x) =
V0 − x + x ⋅
g
2 V02 − x 2  g V02 − x 2

f ' ( x) = 0
V − 2x = 0
f ' ( x) > 0
V02 − 2 x 2 > 0
2
0
− V0
2
2
+ V0
2
MAX
2
V
x2 = 0
2
− V0
2
2
Gittata MAX se
x = ± V0
2
2
< x < + V0
2
2
x = + V0
2
2
2
2
Un saltatore in lungo deve essere un buon velocista
perché la gittata del salto è maggiore se è maggiore la
velocità dell’atleta.
V0 y
2
Un saltatore in alto deve ottimizzare h = 2 g
dunque V0y deve essere la massima possibile
…alcune riflessioni sul nuoto...
VISCOSITA’
Con il termine viscosità si intende la difficoltà di scorrimento degli strati
molecolari dovuta alla presenza degli attriti.
Se la viscosità è elevata, gli strati tendono a non muoversi, mentre se la
viscosità è bassa gli strati (dell’acqua) scivolano maggiormente uno
sull’altro. Ogni strato risente di quello superiore finché, arrivati in fondo,
l’ultimo strato non ne risente minimamente.
Ciò è dovuto alla concatenazione tra questi strati, i quali sono legami
molecolari dovuti alla struttura dell’acqua (o, più in generale, del fluido).
S• v
Fa = η
h
Dove F è la forza d’attrito e eta la viscosità dell’acqua
(o,più in generale, del fluido).
La forza e la profondità sono inversamente proporzionali.
Densità e Galleggiamento
Quando un corpo di densità d o e volume V0 è completamente immerso in un fluido di
densità d, affinché esso galleggi, le forze agenti su di esso sono il suo peso ( orientata
verso il basso) e la spinta di Archimede , diretta verso l’alto e di intensità :
s = d • V0 • g
Possono presentarsi 3 casi:
1) Se
2) Se
d 0 > d: il corpo è più denso quindi affonda essendo: P > S a
d 0 = d (corpo e fluido hanno la stessa densità): il corpo galleggia essendo P = S a
3) Se d < d : la forza che prevale è la spinta S a e il corpo emerge dal fluido,
0
diventando un galleggiante. All’equilibrio il corpo si trova parzialmente sopra il livello del
liquido.
Per stabilire se un corpo galleggia o affonda in un liquido è dunque sufficiente confrontare la
densità del corpo con quella del liquido.
Abbiamo considerato i record personali di alcuni campioni di
nuoto su diverse distanze. Fra questi abbiamo preso il seguente
esempio:
Distanza Tempo
Velocità
50
27.10
1.8450
100
57.44
1.7409
200
121.72
1.6431
400
254.45
1.5720
800
519.61
1.5393
Ciò ci ha permesso di usare funzioni statistiche di Excel.
Abbiamo riportato in un grafico i dati, mettendo le distanze (in metri)
sull’asse delle ascisse e le velocità (m/sec) sull’asse delle ordinate.
Abbiamo tracciato il diagramma a dispersione e applicato
l’interpolazione statistica per ottenere una “legge fisica”.
Relazioni fra grandezze fondamentali
Per studiare il legame fra due variabili si cerca di determinare, partendo da coppie
di dati rilevati, una funzione che rappresenti il fenomeno.
Si può procedere determinando una funzione il cui grafico si accosti il più possibile
ai punti rilevati.
Si rappresentano le coppie di valori sul piano cartesiano e si ottiene il diagramma a
dispersione.
Si sceglie la funzione fra la funzione lineare, quadratica, esponenziale, ecc.. E poi
si determinano i parametri della funzione
Il metodo dei minimi quadrati fornisce la condizione di accostamento, cioè
determinare i valori dei parametri in modo che sia minima la somma di quadrati
delle differenze fra i valori osservati e i valori teorici.
Date due variabili statistiche lo studio della regressione consiste nella
determinazione di una funzione matematica che esprime la relazione fra le variabili.
Il coefficiente R2 è detto coefficiente di determinazione e indica quanto il modello
della regressione lineare è aderente al fenomeno in studio.
Quanto più R2 e prossimo a uno tanto e maggiore la bontà del modello lineare.
La curva trovata ci permette di calcolare i dati mancanti dentro l’intervallo dei dati o
fuori.
NUOTO: relazione fra distanza e velocità
DIST
50
100
200
400
800
VEL
1,845
1,7409
1,6431
1,572
1,5396
Retta interpolante
2
1,8
1,6
1,4
1,2
1
R2 = 0,7231
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
200
400
600
800
1000
"Potenza" interpolante
2
1,8
1,6
1,4
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
R2 = 0,9725
0
200
400
600
800
1000
"Esponenziale" interpolante
2
1,8
1,6
1,4
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
R2 = 0,7415
0
200
400
600
800
1000
Poiche l'indice è maggiore nel caso della potenza, la migliore interpolante è la seconda.
Hanno partecipato al progetto:
LICEO SCIENTIFICO
LICEO SCIENZE SOCIALI
3B Ambrosi Francesca
3A Bregant Valentina
3B Falco Emanuela
3A Kriznic Sandra
4B Colautti Giovanna
3A Tosolini Martina
4B Spessot Maria Angela
5B Bruni Andrea
LICEO CLASSICO
5B Canciani Giacomo
2B Tardivo Marta
5B Namar Mattia
2B Sforza Luca
5B Perin Davide
5B Tringali Luca
Docenti:
4C Buran Valentina
Altran Marina
3D Zitter Alice
De Biasio Giuliano
4D Boaro Elisa
Fabris Emanuela
4D Campolo Martina
4D De Biasio Serena
3E Cechet
Sara
Si ringrazia
il maestro di
3E Gabrielcig Federico
sciLetizia
Dottor Mario Fabretto
3E Zitter