Ajuste de una recta por mínimos cuadrados

Ajuste de una recta por mínimos
cuadrados
• Los datos y su interpretación
• Los parámetros que mejor ajustan.
• Estimación de la incertidumbre de los
parámetros.
• Coeficiente de correlación lineal.
• Presentación de los resultados. Ejemplo.
Técnicas experimentales de Física General
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Los datos y su interpretación
Razones teóricas: y = mx + n
N pares de medidas ( x1 , y1 );( x2 , y2 );";( xN , yN )
Antes de tomar las medidas:
El intervalo elegido para la variable independiente,
¿abarca todo el rango de interés?
¿Están los puntos uniformemente distribuidos en este
intervalo?
xi
1
2
3
5
6
8
9
10
yi
1.5
2.0
4.0
4.6
4.7
8.5
8.8
9.9
y(unidades)
Ordenación y representación gráfica de los datos
12
10
8
6
4
2
0
0
2
4
6
8
10
12
x(unidades)
¿Se comportan los pares de medidas visualmente según una línea
recta?
¿Hay algún punto que presente un comportamiento anómalo?
Técnicas experimentales de Física General
2/7
Los parámetros que mejor ajustan
¿Cuál es la recta que mejor se ajusta a las N medidas?
N
χ ( n, m) = ∑ ( yi − mxi − n )2
2
i =1
y
12
10
NS xy − S x S y
m=
8
6
NS xx − S x S x
(y i -mx i -n)
4
2
n=
0
0
2
4
6
8
10
S xx S y − S x S xy
12
NS xx − S x S x
X
(
2
¿Qué valores de m y n hacen mínimo χ ?
N
N
∂χ 2
= 0 → 0 = ∑ −2 ( yi − mxi − n )xi = −2∑ ( yi xi − mxi2 − nxi )
∂m
i =1
i =1
N
∂χ 2
= 0 → 0 = ∑ −2 ( yi − mxi − n )
∂n
i =1
Definiendo
N
Sx = ∑ xi
i =1
N
Sy = ∑ yi
i =1
Técnicas experimentales de Física General
N
Sxx =
∑x
i =1
2
i
N
Sxy = ∑ xi yi
i =1
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Estimación de la incertidumbre de los
parámetros
¿Cuál es el mejor estimador de las incertidumbres de m y
de n?
Suponemos que:
• Solo los valores yi tienen error: δyi
• Los errores en y son todos iguales: δyi = δy = σy y se
estima a partir de la varianza de los datos:
2
χ 2 ( n, m )
1 N
2
( yi − mxi − n ) =
σy =
∑
N − 2 i =1
N −2
Aplicando propagación de errores:
2
 ∂m 
σ y  ;
j =1  ∂y j

N
σ m2 = ∑ 
 ∂n

2

σn = ∑
σ y 
j =1  ∂y j

N
2
y operando se obtiene:
S xx
χ 2 ( n, m )
σ =
NS xx − S x S x N − 2
2
n
N
χ 2 ( n, m )
σ =
NS xx − S x S x N − 2
2
m
Técnicas experimentales de Física General
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Coeficiente de correlación lineal
¿Cómo podemos saber cuán bueno es el comportamiento
lineal de los N pares de datos medidos?
Los errores en las medidas σ y son conocidos:
i
• ¿La recta pasa por casi todos las barras de error de los
puntos?
2
• Test de χ .
Los errores en las medidas σ y son desconocidos:
i
• A partir de la dispersión de los datos.
• Coeficiente de correlación lineal: r
• Mide el grado de correlación lineal entre x e y.
• r ≤1
‰
‰
r=
r = 1 Correlación total.
r = 0 No hay correlación.
NS xy − S x S y
NS xx − S x S x
NS yy − S y S y
Técnicas experimentales de Física General
N
siendo
S yy = ∑ y i2
i =1
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Presentación de los resultados
Ejemplo
Tabla de datos y cálculos
i
xi
yi
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
5
6
8
9
10
1.5
2.0
4.0
4.6
4.7
8.5
8.8
9.9
N=8 Sx=44
xi2
xi y i
1.5
4.0
12.0
23.0
28.2
68.0
79.2
99.0
Sy=44 Sxy=314.9
1.0
4.0
9.0
25.0
36.0
64.0
81.0
100.0
yi2
(n+mxi -yi)2
2.25
4.00
16.00
21.16
22.09
72.25
77.44
98.01
0.042
0.052
0.699
0.187
1.606
0.440
0.000
0.037
Sxx=320 Syy=313.2
χ2=3.066
PARÁMETROS DEL AJUSTE :
m=
n=
r=
NS xy − S x S y
NS xx − S x S x
S xx S y − S x S xy
NS xx − S x S x
=0.935
N
χ 2 (n, m)
= 0.081
ε (m)=
NS xx − S x S x N − 2
= 0.36
S xx
χ 2 (n, m)
= 0.512
NS xx − S x S x N − 2
ε (n)=
NS xy − S x S y
NS xx − S x S x NS yy − S y S y
Técnicas experimentales de Física General
= 0.978
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Ajuste de datos a una recta
y(unidades)
12,0
10,0
8,0
6,0
4,0
2,0
0,0
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
12,0
x(unidades)
y = ( 0.94 ± 0.08 ) x + ( 0.4 ± 0.5 )
Técnicas experimentales de Física General
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