§1 - CONFRONTO LOCALE: I SIMBOLI DI LANDAU

§1
- CONFRONTO LOCALE: I SIMBOLI DI LANDAU
Nello studio del comportamento di una funzione vicino ad un punto x0 , dopo aver visto se la funzione
ammette limite (finito, nullo o infinito), per x → x0 , può interessare come la funzione tende a tale valore.
Inoltre, se si studiano due funzioni f e g, entrambe definite in un intorno di x0 escluso al più il punto
x0 stesso, ha interesse studiare se c’è relazione tra i loro limiti (ammesso che esistano), per x → x0 . Le
definizioni che seguono precisano proprio questa indagine.
Le funzioni f, g, h ... che consideriamo sono tutte definite e non nulle in un intorno U del punto x0 ,
escluso al più il punto x0 stesso.
DEFINIZIONE 1
f (x) è equivalente a g(x) per x → x0 (in simboli:f ∼ g (x → x0 ) ) se :
lim
x→x0
f (x)
=1
g(x)
ESEMPI
a) 3x2 + 5x ∼ 5x, per x → 0
b) 3x2 + 5x ∼ 3x2 , per x → ±∞
c) sin x ∼ tan x ∼ x ∼ log (1 + x), per x → 0
√
√
d) 3x + x ∼ x, per x → 0
e) x3 + sin x ∼ x3 , per x → ±∞
f) log x ∼ (x − 1) , per x → 1
DEFINIZIONE 2
f (x) è dello stesso ordine di grandezza di g(x) per x → x0 (in simboli:f g (x → x0 ) ) se :
lim
x→x0
f (x)
= l = 0 l ∈ R
g(x)
ESEMPI
a) 1 − cos x x2 per x → 0
b) sin 2x x per x → 0
c) 3x3 − 5x2 + x 5x3 + 7x2 − 1 x3 per x → ±∞
d) 2x2 + x |x| per x → ±∞
e) log x 2x − 2 per x → 1
Si osservi che se f e g sono entrambe infinitesime (oppure infinite) (per x → x0 ) non è detto che siano
equivalenti, né dello stesso ordine di grandezza.
Si considerino, ad esempio, le due funzioni f (x) = x, g(x) = x2 per x → 0 oppure per x → +∞
Le relazioni ∼ e forniscono quindi risultati nuovi se applicate alle funzioni infinitesime o infinite.
ALCUNE PROPRIETA’ DELLE RELAZIONI ∼ , (x → x0 )
a) f ∼ f
a’) f f
b) f ∼ g ⇒ g ∼ f
b’) f g ⇒ g f
c) f ∼ g ∧ g ∼ h ⇒ f ∼ h
c’) f g ∧ g h ⇒ f h
d) f → l = 0 ∧ g → l = 0 ⇒ f ∼ g
e) f → l ∧ g ∼ f ⇒ g → l
f) f1 ∼ g1 ∧ f2 ∼ g2 ⇒ f1 f2 ∼ g1 g2
f1
g1
g) f1 ∼ g1 ∧ f2 ∼ g2 f2 , g2 = 0 in U(x0 ) ⇒
∼
f2
g2
d’) f → l = 0 ∧ g → m = 0 ⇒ f g
e’) f → 0 (o f → +∞) ∧ g f ⇒ g → 0 (o g → +∞)
f’) f1 g1 ∧ f2 g2 ⇒ f1 f2 g1 g2
f1
g1
g’) f1 g1 ∧ f2 g2 f2 , g2 = 0 in U(x0 ) ⇒
f2
g2
h) f ∼ g ⇒ f g
OSSERVAZIONI
a) L’implicazione h) non è invertibile. Ad esempio, se f (x) = sin x e g(x) = x , si ha: f (x) ∼ g(x) (e
quindi f (x) g(x)), per x → 0.
Invece, se f (x) = sin(3x) e g(x) = x, si ha f (x) g(x) ma non f (x) ∼ g(x), per x → 0.
b) Non vale la proprietà additiva, né per la relazione ∼ né per , cioè se f1 ∼ g1 ∧ f2 ∼ g2 non è
detto che f1 + f2 ∼ g1 + g2 . La stessa cautela vale per la relazione . Ad esempio si considerino le funzioni
f1 (x) = x , g1 (x) = x , f2 (x) = x2 − x , g2 (x) = x3 − x , per x → 0.
DEFINIZIONE 3
f (x) è o-piccolo di g(x) per x → x0 (in simboli: f = o(g) x → x0 ) se
lim
x→x0
f (x)
=0
g(x)
(Si dice anche che f è trascurabile rispetto a g per x → x0 .)
OSSERVAZIONE: f = o(1) ⇔ lim f (x) = 0 , cioè f = o(1) ⇔ f è INFINITESIMA per x → x0 .
x→x0
Analogamente, 1 = o(f ) ⇔ lim f (x) = ∞ , cioè 1 = o(f ) ⇔ f è INFINITA per x → x0 .
x→x0
ESEMPI
a) x2 = o(x) per x → 0
b) x = o(x2 ) per x → ∞
c) 1 − cos x= o(x) per x → 0
1
1
d) 2 = o
per x → ∞
x
x
ALCUNE PROPRIETA’ DELLA RELAZIONE o-piccolo
(x → x0 )
a) f = o(g) ∧ g = o(h) ⇒ f = o(h)
b) f1 = o(g1 ) ∧ f2 = o(g2 ) ⇒ f1 f2 = o(g1 g2 )
c) f1 g1 ∧ f2 = o(g2 ) ⇒ f1 f2 = o(g1 g2 )
d) f ∼ g ⇔ f − g = o(g)
Ad esempio:
per x → 0 1 − cos x = o(x) , sin(x2 ) = o(x) ; quindi (1 − cos x) sin(x2 ) = o(x2 );
per x → 0 1 − cos x = o(x) e quindi x(1 − cos x) = o(x2 );
per x → 0
sin x ∼ x
e, equivalentemente, sin x = x + o(x);
L’introduzione dei concetti di funzione trascurabile e di funzione equivalente a un’altra consente di semplificare il calcolo dei limiti. Valgono infatti le due proprietà seguenti:
PRINCIPIO DI ELIMINAZIONE DEI TERMINI TRASCURABILI.
Supponiamo che f1 (x) = o(f (x)) , g1 (x) = o(g(x)) per x → x0 . Allora
lim
x→x0
(f (x) + f1 (x))
f (x)
= lim
x→x0 g(x)
(g(x) + g1 (x))
L’applicazione del principio di eliminazione dei termini trascurabili, nel calcolo di un limite, consiste appunto
nel trascurare in una somma, sia a numeratore che a denominatore, i termini trascurabili (ad esempio gli
infinitesimi di ordine superiore, se f, g, f1 , g1 sono infinitesimi per x → x0 , ovvero gli infiniti di ordine
inferiore, se f, g, f1 , g1 sono infiniti per x → x0 ).
Cosı̀, ad esempio, si ha:
(3 − x + x2 )
x2
= −∞.
= lim
3
x→+∞ (7 − 2x − x )
x→+∞ −x3
(x + x2 )
x
1
= lim
= ;
x→0 (2x − x3 )
x→0 2x
2
lim
lim
PRINCIPIO DI SOSTITUZIONE CON FUNZIONI EQUIVALENTI
Supponiamo che f1 (x) ∼ f (x) , g1 (x) ∼ g(x) per x → x0 . Allora;
Inoltre, se g, g1 =
0 in U(x0 ) :
lim f (x)g(x) = lim f1 (x)g1 (x)
x→x0
x→x0
lim
x→x0
f (x)
f1 (x)
= lim
g(x) x→x0 g1 (x)
Cioè: nel calcolo del limite del prodotto (o quoziente) di funzioni si possono sostituire le funzioni con altre
ad esse equivalenti.
Ad esempio:
sin2 x
x2
= lim x2 = 2
x→0 1 − cos x
x→0
2
lim
lim
x→0
tan 4x · log(1 + 6x)
4x · 6x
= lim
= −4
x→0 −2x · 3x
(1 − e2x ) · sin 3x
ATTENZIONE: non si può usare nelle somme il principio di sostituzione con funzioni equivalenti.
Ad esempio:
x
tan x sin x
tan x − sin x
x
lim
=
lim
=0
=
lim
−
−
x→0
x→0
x→0 x3
x3
x3
x3
x3
Si ha invece:
2
x · x2
tan x − sin x
tan x(1 − cos x)
1
= lim
= lim
=
3
3
x→0
x→0
x→0 x3
x
x
2
lim
§2
- CONFRONTO DI INFINITESIMI E DI INFINITI
Consideriamo le funzioni f (x) e g(x) che per x → x0 tendono a zero (oppure a infinito); ha interesse
stabilire un confronto fra di esse per conoscere se una delle due funzioni tende a zero (o a infinito) “più
rapidamente” dell’altra o entrambe tendono a zero (o a infinito) “nello stesso modo”. Si parla di ordine di
infinitesimo (oppure di ordine di infinito) delle due funzioni , per x → x0 , e lo si denota con ord(f ) e ord(g)
(oppure con Ord(f ) , Ord(g)).
Più precisamente, se f (x) e g(x) sono due funzioni entrambe infinitesime (per x → x0 ) e se g(x) = 0
in un intorno U(x0 ), diamo le seguenti :
DEFINIZIONI
f (x)
= 0.
x→x0 g(x)
f (x)
2)f e g sono INFINITESIMI DELLO STESSO ORDINE se f g, cioè se lim
= l = 0
x→x0 g(x)
g(x)
3)f è un INFINITESIMO DI ORDINE INFERIORE a g se g = o(f ), cioè se lim
=0
x→x0 f (x)
1) f è un INFINITESIMO DI ORDINE SUPERIORE a g se f = o(g), cioè se lim
ESEMPI
x3
=0
x→0 x2
In generale, se pn (x) e qm (x) sono due polinomi di grado, rispettivamente, n ed m senza termine noto (e
dunque infinitesimi per x → 0), si ha:
a) Siano f (x) = x3 e g(x) = x2 . Si vede subito che ord(f ) > ord (g) (per x → 0); infatti: lim
ord (pn ) > ord (qm ) ⇔ n > m
b) Le due funzioni f (x) = 1 − cos x e g(x) = x2 sono infinitesime dello stesso ordine per x → 0, poiché
1 − cos x
1
=
lim
x→0
x2
2
log x
log(1 + t)
c) ord (log x) = ord (x − 1), per x → 1. Infatti: lim
= lim
=1
x→1 x − 1
t→0
t
In modo analogo, se f (x) e g(x) sono due funzioni entrambe infinite (per x → x0 ) e se g(x) = 0 in
un intorno U(x0 ), diamo le seguenti :
DEFINIZIONI
1) f è INFINITO di ORDINE INFERIORE a g (e scriviamo Ord(f ) <Ord(g)) se f = o(g) , cioè se
lim
x→x0
f (x)
=0
g(x)
2) f e g sono INFINITI DELLO STESSO ORDINE (e scriviamo Ord(f ) = Ord(g)) se f (g) , cioè se
lim
x→x0
f (x)
= l = 0
g(x)
3) f è INFINITO di ORDINE SUPERIORE a g (e scriviamo Ord(f ) = Ord(g)) se g = o(f ), cioè se
lim
x→x0
g(x)
=0
f (x)
ESEMPI
a) Siano f (x) = x3 e g(x) = x2 . Si vede subito che Ord(f ) > Ord (g) (per x → ∞).
In generale, se pn (x) e qm (x) sono due polinomi qualunque di grado, rispettivamente, n ed m , si ha:
Ord (pn ) > Ord (qm ) ⇔ n > m e Ord (pn ) = Ord (qm ) ⇔ n = m
√
√
√
3
b) Ord( x) < Ord( x2 ) < Ord(x) < Ord( x3 ) < . . . per x → +∞
1
π
π
c) Ord(tan x) = Ord
, per x → . Infatti, operando la sostituzione x − = t, si ha:
x − π2
2
2
tan(t + π2 )
tan x
t
lim 1 = lim
= −1
= − lim (t cot t) = − lim cos t ·
1
t→0
t→0
t→0
x→ π
sin t
2 x− π
t
2
Comportamento di Esponenziali e Logaritmi
Le funzioni esponenziali e logaritmo si comportano in modo particolare rispetto alle funzioni polinomiali.
Fissiamo l’attenzione sulle funzioni esponenziale e logaritmo con base a > 1.
Si può provare che:
- l’esponenziale ha ordine di infinito superiore a qualunque potenza di x, per x → +∞
1
- l’esponenziale ha ordine di infinitesimo superiore a qualunque potenza di |x|
, per x → −∞
-
il logaritmo ha ordine di infinito inferiore a qualunque potenza di x, per x → +∞
-
il logaritmo ha ordine di infinito inferiore a qualunque potenza di
In simboli,
∀a > 1 , ∀k ∈ R+ :
a) Ord (ax ) > Ord (xk )
b) ord (ax ) > ord |x|1 k
c) Ord (loga x) < Ord (xk )
d) Ord (loga x) < Ord x1k
per x → +∞ ,
ovvero
per x → −∞ ,
ovvero
per x → +∞ ,
ovvero
per x → 0+ ,
ovvero
1
x,
per x → 0+
ax
= +∞
x→+∞ xk
ax
k x
lim
1 == lim |x| a = 0
lim
x→−∞
|x|k
x→−∞
loga x
lim
=0
x→+∞ xk
loga x
lim
== lim xk loga x = 0
1
x→0+
xk
x→0+
E’ facile dedurre che, se consideriamo basi 0 < a < 1, abbiamo, ∀k ∈ R+ :
ax
a) Ord (ax ) > Ord (|x|k )
per x → −∞ , ovvero
lim
= +∞
x→−∞ |x|k
x
a
b) ord (ax ) > ord x1k
per x → +∞ , ovvero
lim 1 == lim xk ax = 0
x→+∞
c) Ord (loga x) < Ord (xk )
d) Ord (loga x) < Ord x1k
per x → +∞ ,
ovvero
per x → 0+ ,
ovvero
xk
x→+∞
loga x
lim
=0
x→+∞ xk
log x
lim+ 1a == lim+ xk loga x = 0
x→0
xk
x→0
OSSERVAZIONI
x
a) Esistono infiniti di ordine ancora maggiore di ex (ad esempio ee ) oppure di ordine inferiore a log x ,
come log (log x).
b) Se a > b > 1 si ha che Ord (ax ) > Ord (bx ) , per x → +∞ ,; infatti
a x
ax
lim x = lim
= +∞ in quanto ab > 1
x→+∞ b
x→+∞ b
c) Le funzioni logaritmo invece hanno sempre lo stesso ordine di infinito, qualunque sia la base; infatti:
loga x
log x
lim
= lim log a x = loga b
a
x→+∞ logb x
x→+∞
loga b
§3
- ORDINE E PARTE PRINCIPALE RISPETTO AD UN CAMPIONE
Quando si renda utile non solo avere una misura relativa di infinitesimo o di infinito (confrontando
cioè tra loro due funzioni f e g entrambe infinitesime o infinite in un punto x0 ), ma anche poter “misurare
la velocità” con cui una singola funzione f tende a zero - o a infinito - per x → x0 , si introduce una “unità
di misura” degli infinitesimi o degli infiniti, dette infinitesimo campione e infinito campione.
Gli infinitesimi campione standard sono:
per x → x0
per x → ∞
u(x) = |x − x0 |
1
u(x) = |x|
Gli infiniti campione standard sono:
1
per x → x0
U (x) = |x−x
0|
per x → ∞
U (x) = |x|
Diamo adesso la seguente :
Definizione. Si dice che f è un infinitesimo di ordine α ∈ R+ rispetto all’infinitesimo campione u(x) ,
f (x)
(per x → x0 ), se f (x) [u(x)]α per x → x0 , ovvero se lim
= , = 0, ∈ R.
x→x0 [u(x))]α
Sotto tale ipotesi risulta anche:
f (x) = (uα (x)) + o(uα (x))
La funzione p(x) = (uα (x)) si dice parte principale di f (x) per x → x0 , mentre con il termine o(uα (x))
si indica un infinitesimo di ordine superiore ad α rispetto all’infinitesimo campione u(x).
In modo analogo, riguardo agli infiniti:
Definizione. Si dice che f è un infinito di ordine α ∈ R+ rispetto all’infinito campione U (x), (per
f (x)
x → x0 ), se f (x) [U (x)]α per x → x0 , cioè se lim
= , = 0, ∈ R.
x→x0 [U (x)]α
Sotto tale ipotesi risulta anche:
f (x) = (U α (x)) + o (U α (x))
La funzione P (x) = (U α (x)) si dice parte principale di f (x) per x → x0 , mentre con il termine o(U α (x))
si indica un infinito di ordine inferiore ad α rispetto all’infinito campione U (x).
ESEMPI
√
1) f (x) = x per x → 0+ è un infinitesimo di ordine α = 12 rispetto all’infinitesimo campione x poiché
√
x
lim
= 1, se α = 12
x→0+ (xα )
2) Un polinomio di grado n , pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . am xm , am = 0, m = 0 è infinitesimo di
ordine m per x → 0 (rispetto all’infinitesimo campione u(x) = |x|) e la funzione p(x) = am xm è la sua
parte principale.
f (x) = sin x per x → 0 ha ordine di infinitesimo α = 1 rispetto all’infinitesimo campione x ; infatti
sin x
lim
= 1 . La funzione p(x) = x è la parte principale di f (x) per x → 0.
x→0 x
3)
√
La funzione f (x) = x − 1 ha ordine di infinitesimo 12 per x → 1, rispetto all’infinitesimo campione
√
x−1
x − 1; infatti: lim
= 1 se α = 12 .
+
x→1 (x − 1)α
√
Invece, la funzione f√(x) = x − 1 ha√ordine di
√ infinitesimo 1 per x → 1, rispetto all’infinitesimo campione
x−1
( x − 1)( x + 1)
1
x−1
1
1
√
x − 1; infatti: lim
= lim
= lim (x − 1)1−α =
= lim √
lim
x→1 (x − 1)α
x→1 (x − 1)α ( x + 1)
x→1
2 x→1
2
x + 1 x→1 (x − 1)α
se α = 1.
3x − 5
5) f (x) = 3
per x → −∞ è infinitesima di ordine 2 (rispetto all’infinitesimo campione u(x) =
8x − x2 + 7
3x−5
3
8x3 −x2 +7
1
;
infatti:
lim
=
se α = 2. La funzione p(x) = 8x3 2 è la parte principale di f (x) per
|x|
1 α
x→−∞
8
x
x → −∞.
√
6) f (x) = x per x → +∞ è un infinito di ordine α = 12 rispetto all’infinito campione U (x) = x poiché
√
x
lim
= 1, se α = 12 .
x→+∞ (xα )
4)
Un polinomio pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . a1 x + a0 , an = 0 è un infinito di ordine n per x → ∞
(rispetto all’infinito campione U (x) = |x|) e la funzione P (x) = an xn è la sua parte principale.
7)
f (x) = 3x2 + arctan(3x) per x → +∞
2 rispetto all’infinito campione x poiché:
è2 un infinito di ordine
3x
3x2 + arctan(3x)
arctan(3x)
lim
=3
= lim
+
x→+∞
x→+∞
x2
x2
x2
2
La funzione P (x) = 3x è la parte principale di f (x) per x → +∞.
8)
9)
f (x) =
3x6 − 5x2
per x → 0 è un infinito di ordine 1 (rispetto all’infinito campione U (x) = x1 ; infatti:
8x4 − x3
3x6 −5x2
4
3
1−x
α
lim 8x
x→0
x
10)
= 5 se α = 1.
f (x) = tan x per x →
π −
2
è un infinito di ordine 1 , rispetto all’infinito campione U (x) =
come risulta dall’esempio c) del §2.
1
|x− π2 |
,
11) Ripensando a quanto detto nel §2 sul comportamento particolare delle funzioni esponenziale e logaritmo,
possiamo affermare che, rispetto agli infinitesimi e agli infiniti campione standard:
∀a ∈ R, a > 1, ∀k ∈ R+
ord(ax ) > k
∀a ∈ R, 0 < a < 1, ∀k ∈ R+
∀a ∈ R, a > 0, ∀k ∈ R+
Ord(ax ) > k
ord(loga x) < k
per x → −∞ ;
Ord(ax ) > k
per x → +∞
per x → −∞ ;
ord(ax ) > k
per x → +∞
per x → 0+ ;
Ord(loga x) < k
per x → +∞.
OSSERVAZIONI
Esistono inoltre funzioni “inclassificabili” ripetto ai campioni standard, pur essendo comprese nelle
limitazioni della scala.
Ad esempio
f (x) = x log x:
rispetto al campione U (x) = x l’ordine di infinito di f (x) ( per x → +∞) è > 1 , poiché
eppure l’ordine di f (x) è minore di ogni numero > 1; infatti
lim
x→+∞
x log x
= +∞;
x
x log x
log x
= lim
= 0,
1+
x→+∞ x
x→+∞ x
lim
∀ > 0.