Come si controlla un sistema che ha una memoria tenace?

Come si controlla un sistema che
ha una memoria tenace?
Controllabilità e basi di Riesz
L. Pandolfi
Dipartimento di Scienze Matematiche
“Giuseppe Luigi Lagrange”
Politecnico di Torino
Come si controlla un sistema che ha una memoria tenace? – p. 1/??
Equazione del calore-1
L’equazione del calore combina due leggi fisiche:
Leggi fisiche
• conservazione dell’energia (e energia
interna, q flusso di calore) d e = −qx
dt
• Temperatura come misura dell’energia
(θ=temperatura): d e = γ d θ
dt
dt
Come si controlla un sistema che ha una memoria tenace? – p. 2/??
Equazione del calore-1
L’equazione del calore combina due leggi fisiche:
Leggi fisiche
• conservazione dell’energia (e energia
interna, q flusso di calore) d e = −qx
dt
• Temperatura come misura dell’energia
(θ=temperatura): d e = γ d θ
dt
dt
Legge costitutiva: Legge di Fourier (1822):
q = −k∇θ .
Come si controlla un sistema che ha una memoria tenace? – p. 2/??
Equazione del calore-2
Combinando le relazioni
d
e = −qx ,
dt
d
d
e = γ θ,
dt
dt
q = −k∇θ
si trova l’equazione del calore
θt = ∆θ = θxx
(costanti k e γ poste = 1).
Usata per rappresentare: a) diffusione del calore;
b) diffusione di soluti in solventi (legge di Fick
(1855)–strutture molecolari semplici).
Come si controlla un sistema che ha una memoria tenace? – p. 3/??
Critica all’equazione del calore
La velocità di propagazione (del calore, del
soluto nel solvente. . . ) è infinita.
Segnali termici che si propagano con velocità
infinita: non fisicamente accettabile.
Maxwell (∼1860) nota questa difficoltà ma nota
anche che l’attenuazione del segnale termico è
così forte che prima che esso sia distinguibile dal
rumore passa un certo tempo.
Come si controlla un sistema che ha una memoria tenace? – p. 4/??
Seconda osservazione
Secondo l’equazione del calore, il segnale si
diffonde da zone più calde a zone più fredde
senza che si veda una separazione netta tra
zone calde e zone fredde: niente di simile ad
un fronte d’onda nella propagazione termica,
o di soluti in solventi.
Come si controlla un sistema che ha una memoria tenace? – p. 5/??
Seconda osservazione
Secondo l’equazione del calore, il segnale si
diffonde da zone più calde a zone più fredde
senza che si veda una separazione netta tra
zone calde e zone fredde: niente di simile ad
un fronte d’onda nella propagazione termica,
o di soluti in solventi.
Perché preoccuparsene?
Come si controlla un sistema che ha una memoria tenace? – p. 5/??
Seconda osservazione
Secondo l’equazione del calore, il segnale si
diffonde da zone più calde a zone più fredde
senza che si veda una separazione netta tra
zone calde e zone fredde: niente di simile ad
un fronte d’onda nella propagazione termica,
o di soluti in solventi.
Perché preoccuparsene?
Landau(1941) propone una teoria dei solidi a
bassa temperatura (∼elio liquido) secondo
cui dovrebbero verificarsi dei “fronti d’onda”
nella propagazione della temperatura.
Come si controlla un sistema che ha una memoria tenace? – p. 5/??
Verifiche sperimentali?
“Fronti d’onda” nella propagazione termica
nell’elio liquido sperimentalmente verificati nel
1944.
Dunque, almeno a bassissime temperature,
l’equazione del calore non è un buon modello.
Come si controlla un sistema che ha una memoria tenace? – p. 6/??
Verifiche sperimentali?
“Fronti d’onda” nella propagazione termica
nell’elio liquido sperimentalmente verificati nel
1944.
Dunque, almeno a bassissime temperature,
l’equazione del calore non è un buon modello.
Negli stessi anni viene studiata la
propagazione di soluti in polimeri (struttura
molecolare complessa). Si verifica
sperimentalmente una separazione netta tra
zone “bagnate” e zone “asciutte”—fronte
d’onda di propagazione di solventi in
soluti—NO legge di Fick.
Come si controlla un sistema che ha una memoria tenace? – p. 6/??
Legge di Cattaneo
Per queste ragioni Cattaneo (1948) sostituisce la
legge di Fourier/Fick con
d
τ q = −q − k∇θ
dt
da cui
q(t) = −
Z
t
e
0
−(t−s)/τ k
τ
∇θ(s) ds
(se q(0) = 0).
Come si controlla un sistema che ha una memoria tenace? – p. 7/??
Equazione del calore con memoria
Combinando con la conservazione dell’energia,
si trova l’equazione del calore con memoria
Z t
θt = M
e−(t−s)/τ ∆θ(s) ds
0
(M = k/τ )
Il lavoro di Cattaneo non viene notato e il
modello riproposto da Vernotte (1958).
Come si controlla un sistema che ha una memoria tenace? – p. 8/??
In seguito
Successivamente, problemi come assorbimento
di creme dalla pelle, suggeriscono
θt =
Z t nX
0
o
Mi e−ai (t−s) ∆θ(s) ds .
In fine: Gurtin e Pipkin (1966) propongono il
modello
Z t
dθ
′
=
N (t − s)θxx (s) ds .
θ =
dt
0
Come si controlla un sistema che ha una memoria tenace? – p. 9/??
Equazione di Boltzmann
L’equazione
dθ
′
=
θ =
dt
Z
t
0
N (t − s)θxx (s) ds
si può anche scrivere come
Z t
θ′′ = N (0)θxx +
N ′ (t − s)θxx (s) ds
0
Proposta da Maxwell (in casi speciali) e poi da
Boltzmann (1870) e Volterra (1909) per
descrivere mezzi viscoelastici.
Come si controlla un sistema che ha una memoria tenace? – p. 10/??
Equazione dei telegrafisti
L’equazione
θt = M
Z
t
e−(t−s)/τ ∆θ(s) ds .
0
si può anche scrivere
M
θtt = M ∆θ − θt
τ
Equazione dei telegrafisti (Heaviside 1880—per
modellare la propagazione dei segnali nelle
lunghe linee telegrafiche).
Come si controlla un sistema che ha una memoria tenace? – p. 11/??
Caso speciale
E’ l’equazione dei telegrafisti, ma anche
Rt
′
θ = 0 N (t − s)θxx (s) ds con N (t) = 1
Rt
′
θ = 0 θxx (s) ds
ossia θtt = θxx .
dà
Ci saranno relazioni tra le proprietà
dell’equazione del calore con memoria e
quelle dell’equazione delle onde!
Come si controlla un sistema che ha una memoria tenace? – p. 12/??
Telegrafisti e onde
Rispettivamente le equazioni
M
θtt = M ∆θ − θt ,
τ
θtt = M ∆θ .
In ambedue i casi velocità di propagazione finita,
fronte d’onda “anteriore”, ossia netta
separazione tra zone raggiunte e non raggiunte
dal segnale. Ma il segnale:
onde: non si auoestingue, ma “passa via”.
telegrafisti: si attenua col tempo, ma permane
nei punti che ha raggiunto.
Come si controlla un sistema che ha una memoria tenace? – p. 13/??
Equazione delle onde
u
0
1
x
dato iniziale
Come si controlla un sistema che ha una memoria tenace? – p. 14/??
Equazione delle onde
u
0
x
1
dato iniziale
u
−3
−2
0
1
3
4
x
soluzione all’istante T = 3
Come si controlla un sistema che ha una memoria tenace? – p. 14/??
Telegrafisti
u
0
1
x
dato iniziale
Come si controlla un sistema che ha una memoria tenace? – p. 15/??
Telegrafisti
u
0
x
1
dato iniziale
u
0
−3
−2
1
3
4
x
soluzione all’istante T = 3
Come si controlla un sistema che ha una memoria tenace? – p. 15/??
Calore:
√1
4πt
u
5
−5
R +1
0
e
−(x−s)2 /4t
u0(s) ds > 0
x
soluzione all’istante T = .1
x
soluzione all’istante T = 3
u
−5
5
Come si controlla un sistema che ha una memoria tenace? – p. 16/??
Nostro scopo
Presentare un metodo per lo studio della
controllabilità delle equazioni con memoria del
tipo
Z t
θt =
N (t − s)θxx (s) ds
0
con N (0) > 0 (per semplicità N (0) = 1) e
useremo N ′ (0) = 0—per semplicità ma non
necessario.
Come si controlla un sistema che ha una memoria tenace? – p. 17/??
Controllabilità?
Controllabilità: termine con tanti significati.
Per noi:
assegnamo un “bersaglio” ξ. Si vuol sapere se è
possibile agire sul sistema in modo da colpire ξ.
Come si controlla un sistema che ha una memoria tenace? – p. 18/??
Preliminare: problema dei momenti
I problemi di controllabilità, almeno nel caso di
equazioni lineari, possono ricondursi a trovare
una funzione f (t) che verifica, per ogni n, le
equazioni
Z T
f (s)en (s) ds = cn
0
con {cn } successione numerica e {en }
successione di funzioni.
I numeri {cn } sono i momenti di f (x) rispetto alla
successione di funzioni {en (x)} e il problema di
trovare f dati {en } e {cn } si chiama Problema dei
momenti.
Come si controlla un sistema che ha una memoria tenace? – p. 19/??
Momenti di Stiltjes
Il problema dei momenti rispetto alla
successione {tn } è stato introdotto da Stiltjes
(1893) ed è molto delicato. Di fatto è stato uno
dei problemi che hanno contribuito alla nascita
dell’analisi funzionale.
Ci sono casi “semplici” del problema dei
momenti?
Come si controlla un sistema che ha una memoria tenace? – p. 20/??
La serie di Fourier
Si sa che “ogni” funzione definita su (0, π) può
svilupparsi in serie di Fourier
Z π
X 1
1
f (x) =
fn √ sin nx , fn = √
f (x) sin nx dx .
π
π 0
Più precisamente, una tale serie dà f ∈ L2 (0, π)
SE E SOLO SE {fn } verifica
X
{fn } ∈ l2
ossia
fn2 < +∞ .
Come si controlla un sistema che ha una memoria tenace? – p. 21/??
La serie di Fourier e i momenti
Sviluppare in serie di Fourier una funzione
equivale a trovarne i momenti rispetto alla
successione {en },
1
en (x) = √ sin nx .
π
Viceversa, dati i momenti {fn } ∈ l2 rispetto ad
√
{en } = {(1/ π) sin nx}, scrivendo la serie di
Fourier corrispondente si risolve il problema dei
momenti col dato {fn }.
Come si controlla un sistema che ha una memoria tenace? – p. 22/??
Ossia:
La serie di Fourier è un caso semplicissimo del
problema dei momenti.
PERCHE’ ?
Come si controlla un sistema che ha una memoria tenace? – p. 23/??
Problema semplice perché?
La ragione si capisce considerando
l’interpretazione geometrica della
√ serie di
Fourier: le funzioni en (x) = (1/ π) sin nx sono
una BASE “ortonormale” di L2 (0, π), ossia
Z π
Z π
2
(en (x)) dx = 1 ,
en (x)ek (x) dx = 0 se n 6= k.
0
0
Ossia, la serie di Fourier è come rappresentare il
“vettore” f ∈ L2 (0, π) rispetto ad un “sistema di
riferimento cartesiano ortogonale”.
Come si controlla un sistema che ha una memoria tenace? – p. 24/??
Riferimento obliquo?
Niente vieta di fare una geometria analitica (più
complessa) rispetto ad un sistema di riferimento
obliquo.
Se x1 , x2 , x3 è una base di R3 non ortogonale,
ogni x ∈ R3 si rappresenta come
X
x=
an xn
ma
an =
∗
yn x
con y1 , y2 , y3 una DIVERSA base di R3 (che si
dice “biortogonale” alla {xk }).
Come si controlla un sistema che ha una memoria tenace? – p. 25/??
Osservare:
Se x3 è “quasi su piano” di x1 ed x2 , allora la
corrispondente componente a3 è enorme.
E ora si capisce la difficoltà del problema di
Stiltjes: L’angolo tra tn ed il sottospazio generato
da {tk }, k < n, tende a zero velocissimamente.
Così velocemente che se assegnamo una
successione anche “ragionevole” {cn } questa in
generale non è la successione dei momenti di
una funzione.
Come si controlla un sistema che ha una memoria tenace? – p. 26/??
Corda elastica—Controllabilità-1
Sul segmento [0, π] dell’asse x. Se messo in
vibrazione, lo scostamento u(x, t) dalla posizione
di equilibrio verifica l’equazione
utt (x, t) = uxx (x, t)
(almeno se le scostamento è “piccolo”).
Vincoliamo l’estremo x = π all’asse delle ascisse
e permettiamoci di muovere a nostro arbitrio
l’estremo sinistro.
Allora avremo le “condizioni ai limiti”
u(0, t) = f (t) ,
u(π, t) = 0 .
Come si controlla un sistema che ha una memoria tenace? – p. 27/??
Corda elastica—Controllabilità-2
Ora chiediamoci questo: la corda è ferma per
t ≤ 0 ed è assegnata una funzione ξ(x). Si vuol
sapere se esistono un tempo T ed un controllo
f (t) tali che
u(x, T ) = ξ(x) .
Problemi di questo tipo si chiamano problemi di
controllabilità.
Ha un interesse studiarli? Ossia, a che serve
controllare la corda di una chitarra per farle
assumere la forma di una scala di Cantor? Chi lo
vuole?
Come si controlla un sistema che ha una memoria tenace? – p. 28/??
Stabilizzazione
La controllabilità implica, o equivale, alla
risolubilità di altri problemi che sono importanti.
Il primo (in ordine storico) tra questi è la
stabilizzazione: si può agire sul solo estremo
x = 0 in modo da provocare una “veloce”
dissipazione di energia.
Come si controlla un sistema che ha una memoria tenace? – p. 29/??
Prove non distruttive—1
lungo la corda agisce una ulteriore forza
applicata dall’esterno, ossia
utt = uxx + b(x)g(t)
La b(x) identifica come e dove la forza
esterna agisce e spesso è ignota o solo
parzialmente nota. Si vuole identificare b(x)
studiando la trazione che la corda esercita ai
suoi estremi. Problema dell’identificazione di
una sorgente: risolubile e la risolubilità
equivale alla controllabilità.
Come si controlla un sistema che ha una memoria tenace? – p. 30/??
Prove non distruttive—2
La densità della corda non è uniforme,
magari a causa di difetti di fabbricazione o
guasti successivi. In tal caso (trascuro il
modulo di elasticità) l’equazione è
1
utt =
uxx
ρ(x)
E’ possibile identificare la densità ρ(x) dalla
trazione che la corda esercita ai suoi estremi,
grazie alla controllabilità dell’equazione delle
onde.
Come si controlla un sistema che ha una memoria tenace? – p. 31/??
Corda elastica: la soluzione–1
Consideriamo
√ la successione di funzioni
en (x) = (1/ π) sin nx. Moltiplicando i due
membri dell’equazione per en (x), integrando su
(0, π) e integrando per parti si trova che la
componente un (t) di u(x, t) lungo en (x) verifica
1
2
′′
un = −n un + n √ f (t)
π
con dato iniziale
un (0) = 0 ,
u′n (0) = 0
(corda elastica ferma per t ≤ 0)
Come si controlla un sistema che ha una memoria tenace? – p. 32/??
Corda elastica: la soluzione–2
Dunque si ha
Z t
1
1
un (t) =
sin n(t − s)n √ f (s) ds ,
n 0
π
Z
t
X
1
u(x, t) =
en (x)
sin n(t − s) √ f (s) ds .
π
0
Il “bersaglio” ξ(x) si rappresenta come
X
ξ(x) =
ξn en (x)
e quindi u(x, T ) = ξ(x) se e solo se f (t) risolve
un problema dei momenti.
Come si controlla un sistema che ha una memoria tenace? – p. 33/??
Controlabilità–momenti–Fourier
Problema dei momenti equivalente alla
controllabilità:
Z T
1
sin ns √ f (T − s) ds = ξn
π
0
La teoria della serie di Fourier ci dice che questo
problema è risolubile se T = π (e anche se
T > π) e che il controllo f (t) è dato da
√ X
f (π − s) = ( π)
ξn sin ns .
Da ora in poi ignoreremo il fattore
√
π.
Come si controlla un sistema che ha una memoria tenace? – p. 34/??
Corda vibrante: problema realistico?
Non tanto: l’equazione delle onde non tiene
conto che la corda è soggetta ad una serie di
dissipazioni. Un problema un po’ più realistico è
utt = uxx − 2ut
telegrafisti! che tiene conto di una dissipazione
di tipo “viscoso” nella
√ corda. In questo caso un (t)
verifica (ignorando π)
u′′n = −n2 un − 2u′n + nf (t) .
Come si controlla un sistema che ha una memoria tenace? – p. 35/??
Controllabilità/momenti in questo caso
e quindi il problema dei momenti diviene
Z T
p
β
n
sin βn s e−s f (T −s) ds = cn ,
βn = n2 − 1
n
0
E’ questo problema risolubile? E, in caso
positivo, come si rappresenta f (t)?
Si vede facilmente che {sin βn s} non è
ortonormale: la norma degli elementi non è 1 e
gli elementi non sono due a due ortogonali.
Dunque il problema non si può risolvere usando
la serie di Fourier.
Come si controlla un sistema che ha una memoria tenace? – p. 36/??
Basi “oblique”
Ciò nonostante, si può provare in più modi che la
successione
p
sin βn t ,
βn = n2 − 1
ha tutte le buone proprietà di una “base obliqua”
di L2 (0, π) e che il problema dei momenti è
risolubile per ogni {ξn } ∈ l2 se T ≥ π.
Il problema di capire se una successione eiβn t
con βn “vicino” ad n ha le buone proprietà della
successione eint è stato studiato inizialmente da
R. Paley e N. Wiener (∼1930).
Come si controlla un sistema che ha una memoria tenace? – p. 37/??
Basi di Riesz
Introduciamo la definizione seguente: una
successione {en } si chiama una base di
Riesz(1913) in L2 (0, T ) se il problema dei
momenti
Z
T
g(s)en (s) ds = cn
0
è risolubile per ogni {cn } ∈ l2 ; la soluzione f (t) è
in L2 (0, T ) e dipende in modo continuo dal dato
{cn }.
Esistono caratterizzazioni utili delle basi di Riesz.
Come si controlla un sistema che ha una memoria tenace? – p. 38/??
Problema dei momenti: soluzione
Se {en } è una base di Riesz, esiste una
successione {Φn } biortogonale ad {en }, che a
sua volta è una base di Riesz, e la soluzione del
problema dei momenti è data da
g(s) =
X βn
n
ξn Φn (s) .
Nel nostro caso quindi si ha:
e−s f (π − s) =
X βn
ξn Φn (s) .
n
L’equazione dei telegrafisti è controllabile.
Come si controlla un sistema che ha una memoria tenace? – p. 39/??
Controllabilità e memoria
Passiamo ora a considerare la controllabilità
dell’equazione
Z t
ut (x, t) =
N (t − s)uxx (x, s) ds .
0
Considerazioni termodinamiche impongono varie
restrizioni al nucleo N (t), che non interessano
per la controllabilità. Si usa solamente i N (0) > 0
(velocità di propagazione finita).
Per semplicità sia N ′ (0) = 0, condizione che si
può rimuovere, ed N (0) = 1.
Come si controlla un sistema che ha una memoria tenace? – p. 40/??
Controllabilità e momenti
Moltiplicando
√ ancora i due membri per
en (x) = (1/ π) sin nx e integrando per parti, si
trova che la componente un (t) lungo en (x) di
u(x, t) verifica
Z t
Z t
u′n = −n2
N (t − s)un (s) ds + n
N (t − s)f (t)
0
0
Come si controlla un sistema che ha una memoria tenace? – p. 41/??
Rappresentazione di un(t)
Introduciamo le funzioni zn (t) che risolvono
Z t
N (t − s)zn (s) ds ,
zn (0) = 1 .
zn′ (t) = −n2
0
Si ha
Z
t
Z
s
un (t) = n
zn (t − s)
N (s − r)f (r) dr ds
0
0
Z r
Z t
=
f (t − r) n
N (r − s)zn (s) ds dr
0
0
Come si controlla un sistema che ha una memoria tenace? – p. 42/??
Rappresentazione di u(x, t)
X
u(x, t) =
en (x) ·
Z t
Z r
·
f (t − r) n
N (r − s)zn (s) ds dr
0
0
La controllabilità equivale al problema dei
momenti
Z r
Z T
f (T − r) n
N (r − s)zn (s) ds dr = ξn
0
0
∀{ξn } ∈ l2 .
Come si controlla un sistema che ha una memoria tenace? – p. 43/??
Problema dei momenti
E’ un Problema dei momenti rispetto alla
successione
Z r
N (r − s)zn (s) ds
n
0
Non più di tipo trigonometrico, e piuttosto
complessa. Sarà risolubile? E, se risolubile, la
soluzione dipende con continuità da ξ ∈ L2 (0, π)?
La risposta ad ambedue le questioni è positiva
perché vale il risultato seguente.
Come si controlla un sistema che ha una memoria tenace? – p. 44/??
Teorema di controllabilità
Rr
Se T ≥ π, (A): n 0 N (r − s)zn (s) ds è una
successione di Riesz e quindi:
il problema dei momenti ammette soluzione
f (t) ∈ L2 (0, T ) per ogni {ξn } ∈ l2 , purché sia
T ≥ π;
se T ≥ π il problema di controllo è risolubile e
il controllo che conduce al bersaglio ξ è
X
f (t) =
ξn Ψn ∈ L2 (0, T )
e {Ψn } è biortogonale alla successione (A).
Come si controlla un sistema che ha una memoria tenace? – p. 45/??
Serve a qualcosa saperlo?
Ricordiamo, per l’equazione delle onde: la
controllabilità serve per gli esami non distruttivi
del sistema: identificazioni di sorgenti e di
“difetti”.
La controllabilità equivale all’identificazione di
sorgenti anche in presenza di memoria.
La relazione della controllabilità con
l’identificazione di difetti non è ancora nota.
Come si controlla un sistema che ha una memoria tenace? – p. 46/??
Stabilizzazione?
Nel caso dell‘equazione delle onde,
controllabilità implica stabilizzabilità: si aumenta
la dispersione di energia agendo su un estremo.
Per l‘equazione del calore con memoria:
la memoria stessa implica dissipazione di
energia.
“Quanto” si può aumentare la dissipazione
agendo su un estremo? Non lo so. Problema
NON studiato per l’equazione del calore con
memoria. Penso NON collegato al problema
della controllabilità.
Come si controlla un sistema che ha una memoria tenace? – p. 47/??
Problema semplificato
Diamo un’idea della dimostrazione mostrando
che è successione di Riesz in L2 (0, T ), T ≥ π, la
successione
{zn (t)}
con zn (t) soluzione di
Z t
zn′ (t) = −n2
N (t − s)zn (s) ds ,
zn (0) = 1 .
0
Equazione integro-differenziale per zn (t).
Come si controlla un sistema che ha una memoria tenace? – p. 48/??
Idea base
Se una successione è “vicina” ad una base allora
essa è una base. Questa è l’idea di Paley e
Wiener.
In che senso “vicina”?
Teorema di Paley-Wiener: se {en } è base
ortogonormale e se
X
kzn − en k2 < 1
notare <1
allora {zn } è base di Riesz.
Dunque, troviamo una base a cui {zn } è “vicina”.
Come si controlla un sistema che ha una memoria tenace? – p. 49/??
Equazione di zn(t)
zn′′ (t) = −n2 zn (t) − n2
Z
t
0
N ′ (t − s)zn (s) ds
e
zn (0) = 1 .
Da qui si deduce
zn (t) = cos nt
Z t
Z s
sin n(t − s)
N ′ (s − r)zn (r) dr ds
−n
0
0
Come si controlla un sistema che ha una memoria tenace? – p. 50/??
Integrare per partier parti
Notando che
d
cos n(t − s)
n sin n(t − s) =
ds
Si trova (usando N ′ (0) = 0)
zn (t) = cos nt
Z t
Z s
−
cos n(t − s)
N ′′ (s − r)zn (r) dr ds .
0
0
Come si controlla un sistema che ha una memoria tenace? – p. 51/??
Ancora per parti
zn (t) − cos nt
Z t
1
=
sin n(t − s) [N ′′ (0)zn (s)
n 0
Z s
+
N ′′′ (s − r)zn (r) dr ds .
0
Notare: è un’equazione Integrale (del tipo di
Volterra) per zn (t).
Se ne traggono le conseguenze seguenti.
Come si controlla un sistema che ha una memoria tenace? – p. 52/??
Conseguenze
per ogni T esiste MT tale che |zn (t)| < MT .
per ogni T esiste M = MT tale che
M
|zn (t) − cos nt| ≤
n
E dunque
X
|zn (t) − cos nt|2L2(0,T ) < +∞
MA NON < 1! —No Paley-Wiener!
Come si controlla un sistema che ha una memoria tenace? – p. 53/??
Però:
|zn (t) − cos nt|2L2 (0,T ) < +∞
=⇒
P
2
|z
(t)
−
cos
nt|
n>N n
L2 (0,T ) < 1
P
Per ogni T > 0 esiste N tale che {zn (t)}n>N è
Riesz in L2 (0, T ).
Cosa manca a {zn (t)}n>1 per essere Riesz?
Come si controlla un sistema che ha una memoria tenace? – p. 54/??
Teorema di Bari
Risponde il Teorema di Bari Manca
l’ω-indipendenza:
Teorema di Bari: (1946) Se, in L2 (0, T ),
+∞
X
n=1
+∞
X
n=1
|zn (t) − cos nt|2L2 (0,T ) < +∞
αn zn (t) = 0 =⇒ {αn } = 0
allora {zn (t)} è Riesz.
Come si controlla un sistema che ha una memoria tenace? – p. 55/??
Alla fine
Ci siamo ricondotti a provare l’ω-indipendenza in
L2 (0, T ):
+∞
X
n=1
αn zn (t) = 0 =⇒ {αn } = 0
Questa NON vale per ogni T . Però, argomenti
alquanto complessi provano
l’ω-indipendenza vale se T ≥ π.
C’è controllabilità se T ≥ π.
Come si controlla un sistema che ha una memoria tenace? – p. 56/??
Anzi:
Anzi, T = π (dipende da N (0) = 1) è il “miglior”
tempo di controllabilità per ogni nucleo N (t)
(con N (0) = 1).
Come si controlla un sistema che ha una memoria tenace? – p. 57/??
Come si prova l’ω-indipendenza?–1
L’idea è questa:
X
X
αn cos nt
0=
αn zn (t) =
X αn Z t
+
sin n(t − s) [N ′′ (0)zn (s)
n 0
Z s
+
N ′′′ (s − r)zn (r) dr ds .
0
Come si controlla un sistema che ha una memoria tenace? – p. 58/??
Come si prova l’ω-indipendenza?–2
Dunque
X
αn cos nt
X αn Z t
=
sin n(t − s) [N ′′ (0)zn (s)
n 0
Z s
+
N ′′′ (s − r)zn (r) dr ds
−
0
Lecito perché {αn } ∈ l2 .
Il membro sinistro potrebbe non essere
derivabile (e nemmeno continuo).
Come si controlla un sistema che ha una memoria tenace? – p. 59/??
Come si prova l’ω-indipendenza?–3
Il membro sinistro potrebbe non essere
derivabile (e nemmeno continuo).???
Non proprio: lavorando sul membro destro si
prova che c’è differenziabilità termine a termine e
ciò si usa per provare usando T ≥ π
δn
αn = ,
n
{δn } ∈ l2 .
Come si controlla un sistema che ha una memoria tenace? – p. 60/??
Come si prova l’ω-indipendenza?–4
L’argomento si ripete e si prova:
Se
X
αn zn (t) = 0
allora
γn
{γn } ∈ l2 :
αn = 2 ,
n
la {αn } tende a zero “velocemente”.
Ciò si usa per provare che
X
αn zn (t)
si deriva termine a termine.
Come si controlla un sistema che ha una memoria tenace? – p. 61/??
Come si prova l’ω-indipendenza?–5
Se ne deduce
X
n2 αn zn (t) = 0
n≥1
che insieme a
X
αn zn (t) = 0
n≥1
dà
X
n>2
(1 − n2 )αn zn (t) = 0 .
Come si controlla un sistema che ha una memoria tenace? – p. 62/??
Come si prova l’ω-indipendenza?–6
Ora si itera e si trova
X
α̃n zn (t) = 0
con α̃n = 0 se e solo se αn = 0
n>N
Ma, Teorema di Paley-Wiener {zn (t)}n>N è
successione di Riesz e quindi
0 = α̃n = αn
se n > N .
Come si controlla un sistema che ha una memoria tenace? – p. 63/??
Come si prova l’ω-indipendenza?–7
Ossia, la nostra serie
X
αn zn (t) = 0
n≥1
era in realtà una somma finita
N
X
αn zn (t) = 0 .
n=1
Come si controlla un sistema che ha una memoria tenace? – p. 64/??
Come si prova l’ω-indipendenza?–8
infine si prova che la successione {zn (t)} è
linearmente indipendente:
N
X
αn zn (t) = 0 =⇒ αn = 0
n=1
e quindi la {zn (t)} è ω-indipendente.
Come si controlla un sistema che ha una memoria tenace? – p. 65/??