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capitolo 9 processi aleatori in banda traslata

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capitolo 9 processi aleatori in banda traslata
CAPITOLO
9
PROCESSI ALEATORI IN BANDA TRASLATA
Indice
9.1
Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
9.2
Inviluppo Complesso di Segnali Modulati Fase-Quadratura . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
9.2.1
Spettro del Segnale Modulato Fase-Quadratura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
9.2.2
Estrazione delle Componenti di Bassa Frequenza per Demodulazione Omodina . . . . 264
9.2.3
Rappresentazione di Segnali in Banda Traslata mediante Inviluppo Complesso . . . . . 266
9.2.4
Sommario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
9.2.5
9.3
Descrizione Energetica di Segnali in Banda Traslata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
Processi Aleatori in Banda Traslata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
9.3.1
Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
9.3.2
Modulazione Fase-Quadratura di Processi Aleatori
9.3.3
Rappresentazione di Processi Aleatori in Banda Traslata mediante Inviluppo Complesso e Componenti di Bassa Frequenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
9.3.4
Funzioni di Autocorrelazione dell’Inviluppo Complesso e delle Componenti di Bassa
Frequenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
9.3.5
Densità Spettrale di Potenza dell’Inviluppo Complesso
9.4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
Commenti Finali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
9.4.1
Filtraggio d’Inviluppi Complessi
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
9.5
Trasferimento della Potenza in Banda Traslata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
9.6
Sequenze e Serie Aleatorie in Banda Traslata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
9.7
Appendice: Dimostrazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
9.8
Appendice: Inviluppo Complesso e Propria Complessità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
260
9.1. INTRODUZIONE
9.1
261
Introduzione
I
n questo capitolo ci occuperemo della rappresentazione di segnali in processi in banda traslata, i.e.
segnali con densità spettrale di energia/potenza limitata nella banda di larghezza B intorno a una
frequenza f 0, con f 0 > B/2. Avendo presente la definizione di densità spettrale di energia/potenza,
cfr. il par.5.2, un segnale limitato nella banda B intorno alla frequenza f 0, gode della seguente
proprietà.9.19.2
Segnali in Banda Traslata
Un segnale x( t ) è limitato nella banda B intorno alla frequenza f 0 se resta inalterato nel transito del
corrispondente filtro passabanda:
( B, f 0 )
x( t ) = x ∗ h BP
(t)
Conseguentemente, l’energia/potenza di un segnale in banda traslata è interamente contenuta nella sua
banda B intorno alla frequenza f 0:
(densità spettrale d’energia)
(densità spettrale di potenza)
9.2
| X( f )|2 = 0 per | f ± f 0 | >
B
2
Px ( f ) = 0 per | f ± f 0 | >
B
2
Inviluppo Complesso di Segnali Modulati Fase-Quadratura
Considerati due segnali xc ( t ) e xs ( t ), limitati nella banda base di larghezza B, e una frequenza f 0, con f 0 > B/2,
costruiamo il segnale x( t ) ottenuto mediante modulazione d’ampiezza fase-quadratura:
x( t ) = xc ( t ) cos (2π f 0t ) − xs ( t ) sin (2π f 0t )
(9.1)
Vedremo che x( t ) risulta limitato nella banda B intorno alla frequenza portante f 0 (banda traslata).9.3
La coppia di segnali xc ( t ) e xs ( t ) è formata dalle cosiddette componenti di bassa frequenza del segnale x( t ),
altrimenti dette, rispettivamente, componente in fase e componente in quadratura;9.4 per compatezza, come meglio
vedremo più avanti, si conviene di raccoglierle nel segnale inviluppo complesso x ( t ) (rispetto alla frequenza f 0):
x( t ) = xc ( t ) + jxs ( t )
(9.2)
Poichè xc ( t ) e xs ( t ) sono limitati nella banda base di larghezza B, anche l’inviluppo complesso x( t ) risulta
limitato nella medesima banda base di larghezza B. Mediante l’inviluppo complesso, il segnale x( t ) nella (9.1)
si esprime nel modo seguente:
x( t ) e j2π f0 t + x( t ) e− j2π f0 t
x( t ) = x( t ) ej2π f0 t =
2
9.1 Rammentiamo
9.2 Il
(9.3)
le forme della risposta impulsiva e della risposta in frequenza del filtro passabanda B intorno alla frequenza f0 :
f − f0
f + f0
def
FT
def
(B, f )
(B, f )
hBP 0 (t) = 2B cos(2π f0 t) sinc(Bt) ⇐⇒ HBP 0 ( f ) = rect
+ rect
B
B
lettore interessato alla sola descrizione tramite inviluppo complesso e componenti di bassa frequenza, potrà evitare di leggere le parti
scritte in corpo più piccolo, senza incontrare soluzioni di continuità concettuale, seppur omettendo qualche dimostrazione. Una lettura più
fluida vedrà trascurare le parti scritte in corpo più piccolo, nelle quali sono esposte concetti e dimostrazioni imperniate sulla trasformazione
di Hilbert e il filtraggio analitico.
9.3 La trasmissione dell’informazione mediante propagazione di onde elettromagnetiche impiega segnali nella forma (9.1), e per questo
il segnale x(t) è spesso riferito come forma d’onda a radiofrequenza.
9.4 Nel senso della potenza incrociata nulla, preso come riferimento (fase) il segnale cos(2π f t), ad esso ortogonale (in quadratura) risulta
0
il segnale sin(2π f0 t).
262
CAPITOLO 9. PROCESSI ALEATORI IN BANDA TRASLATA
Dalla (9.1), o meglio ancora dalla (9.3), il segnale a radiofrequenza x( t ) si può anche scrivere nel modo seguente:
(
t
)
x
s
x( t ) =
x2c ( t ) + x2s ( t ) · cos 2π f 0t + arctan
xc ( t )
inviluppo istantaneo
fase istantanea
dove il segnale x2c ( t ) + x2s ( t ) prende il nome di inviluppo istantaneo, o semplicemente inviluppo, del segnale
x( t ) e il segnale arctan xs ( t )/xc ( t ) quello di fase istantanea del segnale x( t ).
Come esempio, consideriamo le seguenti componenti di bassa frequenza, limitate nella banda base di larghezza B = 2 cicli/s e aventi
stessa energia:
;
xs (t) = sinc2 (Bt/2)
xc (t) = sinc(Bt)
L’andamento del corrispondente segnale x(t) intorno alla portante a frequenza f0 = 5cicli/s è riportato in Fig.9.1.
Figura 9.1: Andamento di un segnale modulato fase-quadratura.
9.2.1
Spettro del Segnale Modulato Fase-Quadratura
A partire dalla (9.3), calcoliamo facilmente lo spettro del segnale modulato fase-quadratura:
F
F
xc ( t ) + jxs ( t ) e j2π f0 t
xc ( t ) − jxs ( t ) e− j2π f0 t
+
X( f ) =
2
2
Xc ( f − f 0) + jXs ( f − f 0)
Xc ( f + f 0 ) − jXs ( f + f 0 )
=
+
2
2
X( f − f 0)
X (−( f + f 0 ))
=
+
2
2
freq. positive
(9.4)
freq. negative
La Fig.9.2 illustra l’operazione di modulazione nel dominio della frequenza con riferimento allo spettro dell’inviluppo complesso. Nel seguito, un segnale avente densità spettrale d’energia che si estende solo nella
banda di larghezza B intorno a f 0, con f 0 > B/2 sarà brevemente riferito come segnale in banda traslata.
Per concludere, nella Fig.9.3 troviamo gli spettri separando i contributi della portante in fase da quelli della
portante in quadratura.9.5
9.5 Per
quanto riguarda le parti reale e immaginaria dei vari segnali, abbiamo:
{Xc ( f − f0 )} − {Xs ( f − f0 )}
{Xc ( f + f0 )} + {Xs ( f + f0 )}
+
2
2
{Xc ( f − f0 )} + {Xs ( f − f0 )}
{Xc ( f + f0 )} − {Xs ( f + f0 )}
{X( f )} =
+
2
2
{X( f )} =
9.2. INVILUPPO COMPLESSO DI SEGNALI MODULATI FASE-QUADRATURA
reale
263
X (f )
1
immag.
-B 2
f
B2
X (f )
X (-(f + f0 ))
2
X (f -f0 )
2
12
f
f0
-f0
Figura 9.2: Spettro di un segnale modulato fase-quadratura.
1
k
p
k
-B 2
f
B2
F {xc (t) cos(2 pf0 t)}
Xc (f + f0 )
2
p
Xc (f ) = R Xc (f ) + j I Xc (f )
Xc (f - f0 )
2
12
f
f0
−f0
k
p
k
p
Xs (f ) = R Xs (f ) + j I Xs (f )
1
B2
-B 2
f
F {-xs (t) sin(2 pf0 t)}
X (f + f0 )
-j s
2
12
j
Xs (f - f0 )
2
f
f0
−f0
-1 2
Figura 9.3: Spettri del segnale modulato fase-quadratura.
X( f ) = F
x(t)e j2π f 0 t + x(t)e −j2π f 0 t
2
=
Xc ( f − f0 ) + jXs ( f − f0 )
X ( f + f0 )− jXs ( f + f0 )
+ c
2
2
I due grafici in alto illustrano la modulazione in fase, i due in basso quella in quadratura.
264
9.2.2
CAPITOLO 9. PROCESSI ALEATORI IN BANDA TRASLATA
Estrazione delle Componenti di Bassa Frequenza per Demodulazione Omodina
Dalla Fig.9.3, osserviamo che, a parte il fattore 2, lo spettro dell’inviluppo complesso X( f ) = Xc ( f ) + jXs ( f )
si ottiene centrando in banda base la sola parte delle frequenza positive dello spettro X( f ).
Spettro di un Segnale Modulato Fase-Quadratura e Componenti di Bassa Frequenza
Consideriamo il segnale x( t ), limitato nella banda base di larghezza B e f 0 > B/2, e il corrispondente segnale
modulato fase-quadratura:
x( t ) = x( t ) ej2π f0 t
Lo spettro del segnale modulato assume la forma seguente:
X( f ) =
X( f − f 0 )
X (−( f + f 0))
+
2
2
freq. positive
(9.5)
freq. negative
Osservando la (9.5), (cfr. anche la Fig.9.3), notiamo che possiamo ottenere, a parte il fattore moltiplicativo pari
a 2, lo spettro dell’inviluppo complesso centrando a frequenza zero la sola parte dello spettro che insiste sulle
frequenze positive, i.e. quella centrata intorno alla frequenza f 0.
L’operazione di centratura nella banda base può effettuarsi mediante mixer che operano la moltiplicazione per
un opportuno segnale sinusoidale. La Fig.9.4 riporta lo schema che implementa l’estrazione delle componenti
di bassa frequenza in accordo alla procedura sopra descritta. Poichè tale schema ottiene i segnali di banda base
xc ( t ) e xs ( t ) dal segnale a radiofrequenza x( t ), esso implementa una vera e propria operazione di demodulazione; inoltre, poiché i mixer sono relativi a segnali sinusoidali tutti alla stessa frequenza f 0, si parla propriamente
di demodulazione omodina.
e
xc (t)
modulante
in fase
(B )
hLP
( t)
j
cos(2pf0 t)
e
portante
in fase
cos(2 pf0t)
j
+
p2
e
j
x(t)
p2
-
sin(2pf0 t)
modulante
in quadratura
e
portante
in quadratura
j
sin(2 pf0t)
(B )
hLP
( t)
xs (t)
xc (t) 2
-xs (t) 2
(mixer)
Figura 9.4: Estrazione delle componenti di bassa frequenza per demodulazione omodina.
9.2. INVILUPPO COMPLESSO DI SEGNALI MODULATI FASE-QUADRATURA
265
Per l’analisi dello schema di Fig.9.4 si procede come segue. Iniziamo dalla componente in fase (ramo superiore); il segnale prima dell’ultimo filtro passabasso si scrive come segue:
x( t ) e j2π f0t + x( t ) e− j2π f0 t e j2π f0 t + e− j2π f0 t
x( t ) e j4π f0t + x( t ) e− j4π f0 t
·
=
+
2
2
4
x(t)={ x (t) ej2π f 0 t }
cos(2π f 0 t)
segnale nella banda B intorno a 2 f 0
x( t ) + x( t )
4
1
2 { x(t)}
(indesiderato)
=
1
2 xc (t )
(desiderato)
Come si vede anche dalla Fig.9.5, poichè f 0 > B/2, la componente in fase xc ( t ), che è un segnale limitato nella
banda base di larghezza B, risulta separata dalla componente indesiderata che il mixer genera nella banda di
larghezza B intorno a 2 f 0; per questo, il filtraggio passabasso seleziona il solo segnale desiderato xc ( t ) (a parte
il fattore di scala 1/2).
(B )
H LP (f )
Xc (f )
2
X (-(f + 2f0 ))
4
X (f - 2f0 )
4
f
-2f0
B
2f0
Figura 9.5: Estrazione delle componenti di bassa frequenza per demodulazione omodina.
Il calcolo per il ramo inferiore, che restituisce la componente in quadratura, procede in modo analogo.
x( t ) ej2π f0 t + x( t ) e− j2π f0t e j2π f0 t − e− j2π f0 t
x( t ) ej4π f0 t − x( t ) e− j4π f0 t
x( t ) − x( t )
·
=
+
2
2j
4j
4j
x(t)={ x (t) ej2π f 0 t }
sin(2π f 0 t)
segnale nella banda B intorno a 2 f 0
1
1
2 { x(t)}= 2 xs (t)
Lasciamo al lettore interessato la valutazione degli effetti indesiderati prodotti da un possibile sfasamento
relativo tra le portanti di modulazione e di demodulazione.
266
CAPITOLO 9. PROCESSI ALEATORI IN BANDA TRASLATA
9.2.3
Rappresentazione di Segnali in Banda Traslata mediante Inviluppo Complesso
Nel par.9.2 abbiamo visto che costruendo un segnale a radiofrequenza nella forma (9.1), ossia mediante modulazione fase-quadratura intorno a f 0 di un segnale complesso limitato nella banda base di larghezza B, lo
spettro del segnale modulato resta limitato nella banda di larghezza B intorno a f 0 (per f 0 > B/2).
Per poter compiutamente parlare di rappresentazione di segnali in banda traslata mediante inviluppo complesso nella forma (9.1), dobbiamo dimostrare anche la relazione inversa, e cioè che un qualsiasi segnale limitato
nella banda di larghezza B intorno a f 0, e quindi non necessariamente originato mediante modulazione fasequadratura, possa essere espresso mediante un segnale inviluppo complesso/componenti di bassa frequenza,
opportunamente definito per lo scopo.
Per semplificare l’esposizione degli argomenti che seguono, denotiamo le operazioni di modulazione e
demodulazione fase-quadratura mediante blocchi funzionali, definiti mediante le relazioni ingresso/uscita
che essi rappresentano,9.6 e presentati nella Fig.9.6.
x(t) = xc (t) + j xs (t)
( x(t) limitato nella banda B )
MFQ
x(t) = MFQ {x(t), f0 }= < {x(t)×e j 2 pf0 t }
= xc (t)cos(2 pf0 t) - xs (t)sin(2 pf0 t)
f0
x(t) = < {x(t)×e j 2 pf0 t }
DFQ
x(t) = DFQ {x(t), f0 }= xc (t) + j xs (t)
f0
Figura 9.6: Blocchi funzionali descrittivi delle operazione di modulazione e demodulazione fase-quadratura.
La rappresentabilità di un segnale limitato nella banda di larghezza B intorno a f 0 mediante inviluppo complesso
e componenti di bassa frequenza permette di utilizzare tali enti matematici nella valutazione delle prestazioni
del ricevitore, il quale, operando anche in presenza di segnali indesiderati, e.g. altri segnali modulati intorno a
frequenze diverse dalla f 0 considerata, e segnali disturbanti, e.g. rumore e interferenze, isola il segnale (utile)
mediante semplice filtraggio passabanda, come evidenziato nella Fig.9.7, dove abbiamo anche sfruttato la
linearità dell’operazione di demodulazione fase-quadratura, i.e. DFQ { x( t ) + v FB ( t ), f 0} = DFQ { x( t ), f 0} +
DFQ { vFB( t ), f 0}.
Ricevitore
( B , f0 )
HBP
(f )
x( t )
z ( t)
B
vFB (t)
disturbo
a banda larga
z
1
-f0
0
( B , f0 )
( t)
B
DFQ
f0
f0
z ( t ) = x( t ) + v ( t )
z ( B ,f0 ) (t) = x(t) + v ( B ,f0 ) (t)
Figura 9.7: Filtraggio passabanda di larghezza B intorno a f0 operato al ricevitore prima dell’operazione di demodulazione.
9.6
L’implementazione del blocco demodulatore tramite demodulazione omodina, illustrata in Fig.9.4, non è l’unica possibile, anche se
essa è largamente impiegata nei concreti dispostivi di ricezione. Per quanto concerne l’obiettivo posto in questo paragrafo, i.e. stabilire
che un segnale limitato nella banda B intorno a f0 possa essere espresso mediante inviluppo complesso e componenti di bassa frequenza, vedremo più avanti uno schema equivalente di estrazione delle componenti di bassa frequenza, realizzato scambiando l’ordine di
esecuzione delle operazioni di mixing e filtraggio, che permette di svolgere i calcoli in modo particolarmente semplice. Infatti, per l’analisi della relazione ingresso/uscita stabilite dall’operazione di demodulazione fase-quadratura, i.e. l’estrazione delle componenti di bassa
frequenza, siamo liberi di operare la scelta che più aggrada tra una moltitudine di schemi equivalenti.
Gli elementi di criticità emergono, invece, quando la scelta riguarda lo schema più adatto a una realizzazione concreta, dove occorre
tener conto di vari compromessi riguardanti, fra gli altri, la scelta dei vari componenti, operata in accordo al costo, alla sensibilità e alla
dinamica di funzionamento, e alla tolleranza con la quale si possono sopportare valori caratteristici di grandezze fisiche che caratterizzano
il componente diversi da quelli nominali, l’approssimazione con la quale si realizza la relazione ingresso/uscita utilizzando i componenti
scelti, la deviazione dal comportamento desiderato dovuta all’invecchiamento, la quantità di calore dissipata dai dispositivi durante il
funzionamento e la conseguente necessità di raffredamento, la potenza elettrica necessaria per il funzionamento dell’intero apparato, etc.
9.2. INVILUPPO COMPLESSO DI SEGNALI MODULATI FASE-QUADRATURA
267
Quanto illustrato nella Fig.9.7, preannuncia la Prop.9.1, e cioè che, anche per un generico segnale a banda
larga, e.g. il disturbo vFB ( t ), la sola operazione di limitazione nella banda B intorno alla frequenza f 0, realizzata mediante semplice filtraggio passabanda, permette di usare la rappresentazione mediante inviluppo
complesso e componenti di bassa frequenza, cfr. anche la Fig.9.8:
r( t ) = DFQ r(B, f0 ) ( t ), f 0 = rc ( t ) + jrs ( t )
r(B, f0 ) ( t ) = r( t ) e j2π f0t = rc ( t ) cos(2π f 0t ) − rs ( t ) cos(2π f 0t )
Ricevitore
( B , f0 )
HBP
(f )
rFB (t)
segnale
a banda larga
r ( B ,f0 ) (t)
1
B
B
-f0
0
DFQ
r ( t)
f0
f0
Figura 9.8: Filtraggio passabanda di larghezza
B intorno
a f0 operato al ricevitore prima dell’operazione di demodulazione. Dopo il
filtraggio possiamo scrivere: r( B, f0 ) (t) = r(t)e j2π f0 t .
Ciò premesso, enunciamo e dimostriamo la proposizione che interessa.
Rappresentazione di Segnali in Banda Traslata mediante Inviluppo Complesso
P ROPOSIZIONE 9.1 Considerato il segnale inviluppo complesso (9.3) limitato nella banda base di larghezza B e presa
una frequenza portante f 0 > B/2, il segnale a radiofrequenza ottenuto per modulazione fase-quadratura (9.1) è limitato
nella banda traslata di larghezza B intorno a f 0.
Viceversa, ogni segnale limitato nella banda di larghezza B intorno a f 0, con f 0 > B/2 può essere espresso mediante le
componenti di bassa frequenza (9.1), o equivalentemente mediante l’inviluppo complesso (9.3).
Dim.: la prima parte è stata già dimostrata nel par.9.2. Per quanto riguarda la seconda parte, con riferimento alla Fig.9.9, occorre dimostrare l’uguaglianza tra il segnale modulato fase-quadratura r(t) e il segnale r(B, f 0 ) (t), quest’ultimo caratterizzato unicamente dall’avere
(B, f )
spettro limitato nella banda di larghezza B intorno a f0 , con f0 > B/2, in quanto prelevato all’uscita del filtro passabanda HBP 0 ( f ) al
cui ingresso è stato applicato un generico e arbitrario segnale a banda larga rFB (t). In altri termini, occorre dimostrare che la cascata
MFQ {DFQ {(·), f0 } , f0 } equivale alla trasformazione identica quando l’ingresso è un segnale limitato nella banda di larghezza B intorno a f0 ,
con f0 > B/2.
rFB ( t)
r
( B , f0 )
( t)
( B , f0 )
HBP
(f )
segnale a
banda larga
Trasformazione
Identica
DFQ
segnale limitato
nella banda B
intorno a f0
f0
MFQ
f0
r ( t) = r ( B ,f0 ) ( t)
segnale limitato
nella banda B
intorno a f0
Figura 9.9: Sulla rappresentabilità di un segnale limitato nella B intorno a f0 mediante inviluppo complesso e componenti di bassa
frequenza.
A tale scopo, conveniamo di descrivere l’operazione di demodulazione fase-quadratura come illustrato nella Fig.9.10.
268
CAPITOLO 9. PROCESSI ALEATORI IN BANDA TRASLATA
r
( B , f0 )
DFQ
filtro
analitico
( t)
+
r ( t)
2
r (t) = rc (t) + j rs (t)
H + (f )
f
0
e-j 2 pf0 t
Figura 9.10: Demodulazione fase-quadratura mediante filtraggio analitico e demixing.
Il filtro avente risposta in frequenza H + ( f ) = 2u( f ) è un particolarissimo filtro passa-alto complesso: del segnale al suo ingresso, le componenti componenti sinusoidali con frequenza negativa sono filtrate via (annullate), e le componenti sinusoidali con frequenza positiva sono
FT
invece preservate, a parte un guadagno 2. Per questo motivo, abbiamo indicato con r+ (t) ⇐⇒ R+ ( f ) = 2R( f )u( f ) il segnale complesso
alla sua uscita, e riferiremo ad esso con il nome di contenuto di frequenze positive (del segnale r(t)).9.7
Che lo schema di filtraggio e demixing di Fig.9.10 effettivamente realizzi la funzione di demodulazione fase-quadratura si comprende
osservando la Fig.9.11, dove troviamo gli spettri dei vari segnali, e dalla quale si evince che, a valle del demixer finale, la porzione dello
spettro del segnale modulato x(t) intorno alla portante f0 è stata riportata nella banda base.
R ( B ,f0 ) (f )
B
B
1
reale
f
−f0
+
R (f ) = R
f0
( B , f0 )
(f ) + jRˆ ( B ,f0 ) (f )
immag.
2
f
R (f ) = R+ (f + f0 )
B
2
f
Figura 9.11: Spettri del segnale analitico e dell’inviluppo complesso.
Infatti, per il segnale all’uscita del mixer vale la seguente relazione di trasformazione di Fourier:
FT
r+ (t) · e−j2π f 0 t ⇐⇒ R+ ( f + f0 ) = 2 R(B, f 0 ) ( f + f0 ) u( f + f0 )
La particolare forma del filtro analitico determina anche la struttura del segnale complesso r+ (t). Infatti, possiamo operare la seguente
scomposizione additiva: H + ( f ) = 2u( f ) = 1 + sign( f ). Inoltre, ricordando l’espressione del filtro passatutto di Hilbert (cfr. il par.3.6.5):
HH ( f ) = − j sign( f ) possiamo scrivere:
H + ( f ) = 1 + j HH ( f )
Quindi, denontando con r̂(B, f 0 ) (t), o anche con H {r(B, f 0 ) (t)}, l’uscita del filtro di Hilbert quando all’ingresso è applicato il segnale
r(B, f 0 ) (t), i.e. la cosiddetta trasformata di Hilbert di r(B, f 0 ) (t), il segnale analitico si scompone nella forma che segue:
r+ (t) = r(B, f 0 ) (t) + jr̂(B, f 0 ) (t)
Vale la pena notare che il segnale r(B, f 0 ) (t) si ottiene prelevando la sola parte reale del segnale analitico r+ (t), mentre la trasformata di
Hilbert si ottiene prelevando la sola parte immaginaria:
r(B, f 0 ) (t) = {r+ (t)}
;
r̂(B, f 0 ) (t) = {r+ (t)}
segnale complesso r+ (t) é altrimenti conosciuto con il nome di segnale analitico, poichè esso risulta essere una funzione complessa
olomorfa. Per questo, il filtro con risposta in frequenza H + ( f ) = 2u( f ) che lo genera è noto con il nome di filtro analitico.
9.7 Il
9.2. INVILUPPO COMPLESSO DI SEGNALI MODULATI FASE-QUADRATURA
269
Tenendo conto della particolare struttura del filtro analitico,
ridisegnato
abbiamo
la Fig.9.9 nella Fig.9.12, dove possiamo facilmente
verificare l’uguaglianza tra i segnali r(B, f 0 ) (t) e r(t) = MFQ DFQ r(B, f 0 ) (t), f0 , f0 .
r+ (t) = r ( B ,f0 ) (t) + j H
r ( t)
r ( B ,f0 ) (t)
H
( B , f0 )
BP
(f )
r+ ( t )
+
H (f )
{r
( B , f0 )
(t)}
< {×}
r (t) = < {r+ (t) }
= r ( B ,f0 ) (t)
DFQ
e-j 2 pf0 t
e j 2 pf0 t MFQ
Figura 9.12: Sulla rappresentabilità di un segnale limitato nella B intorno a f0 mediante inviluppo complesso e componenti di bassa
frequenza.
Infatti, l’azione complessiva dei due mixer non altera il segnale analitico r+ (t) che transita attraverso essi, e l’operazione di prelevamento
della sola parte reale di r+ (t) = r( B, f 0 ) (t) + jH r(B, f 0 ) (t) restituisce proprio il segnale r(B, f 0 ) (t).
9.2.4
Sommario
Segnali in Banda Traslata, Inviluppo Complesso
e Componenti di Bassa Frequenza
• i segnali x( t ) limitati nella banda di larghezza B intorno a f 0, con f 0 > B/2, sono rappresentabili, nel
senso esplicato nella Prop.9.1, per mezzo del segnale inviluppo complesso x ( t ) = xc ( t ) + jxs ( t ), limitato
nella banda base di larghezza B:
x( t ) = x( t ) · e j2π f0 t = xc ( t ) cos(2π f 0t ) − xs ( t ) sin(2π f 0t )
• lo schema di demodulazione omodina in Fig.9.4 realizza l’estrazione delle componenti di bassa
frequenza;
• le relazioni sussistenti tra i vari segnali si comprendono più facilmente operando nel dominio della
frequenza;
• l’introduzione del filtro analitico e del segnale contenuto di frequenze positive semplifica l’analisi nel
dominio della frequenza;
• come si vede dagli spettri riportati nella Fig.9.11, le operazioni che estraggono l’inviluppo complesso
di un segnale limitato nella banda di larghezza B intorno alla frequenza f 0, con f 0 > B/2 sono:
1) mediante filtraggio analitico si isola la parte dello spettro che insiste sulle frequenze positive;
2) mediante demixing complesso, si centra il segnale nella banda base.
270
9.2.5
CAPITOLO 9. PROCESSI ALEATORI IN BANDA TRASLATA
Descrizione Energetica di Segnali in Banda Traslata
Calcoliamo il modulo quadro dello spettro del segnale modulato fase-quadratura; usando la (9.4), abbiamo:
| Xc ( f − f 0 ) + jXs ( f − f 0 )|2 | Xc ( f + f 0 ) − jXs ( f + f 0 )|2
+
4
4
| Xc ( f − f 0 )|2 + | Xs ( f − f 0 )|2 + jXs ( f − f 0 ) Xc ( f − f 0 ) − jXc ( f − f 0 ) Xs ( f − f 0 )
=
4
| Xc ( f + f 0 )|2 + | Xs ( f + f 0 )|2 − jXs ( f + f 0 ) Xc ( f + f 0 ) + jXc ( f + f 0 ) Xs ( f + f 0)
+
4
| X( f )|2 =
(9.6)
Dalla (9.6) riconosciamo immediatamente che anche lo spettro | X( f )|2 descrive un segnale modulato faseFT
quadratura, che in questo caso è la funzione di autocorrelazione R x ( τ ) ⇐⇒ | X( f )|2 del segnale x( t ). Posto
FT
FT
FT
R xc ( τ ) ⇐⇒ | Xc ( f )|2, R xs ( τ ) ⇐⇒ | Xs ( f )|2 e R xs xc ( τ ) ⇐⇒ Xs ( f )Xc ( f ), possiamo quindi scrivere:
Rx(τ ) =
R xc ( τ ) + R xs ( τ )
R x x ( τ ) − R xc xs ( τ )
cos(2π f 0τ ) − s c
sin(2π f 0τ )
2
2
(9.7)
La (9.7) indica chiaramente che il legame che si stabilisce tra la terna { R xc ( τ ), R xs ( τ ), R xs xc ( τ )} delle funzioni
di correlazione delle componenti di bassa frequenza, e la funzione di autocorrelazione R (τ ) del segnale a
radiofrequenza, è del tipo molti a uno.
Ambiguità della Descrizione Energetica di Segnali a Radiofrequenza
Senza informazioni aggiuntive, non è possibile stabilire quale terna { R xc ( τ ), R xs ( τ ), R xsxc ( τ )} di funzioni
di correlazione delle componenti di bassa frequenza ha prodotto la funzione di autocorrelazione R ( τ ) del
segnale a radiofrequenza.
Mutatis mutandis, l’ambiguità della descrizione energetica di segnali a radiofrequenza si riporta anche sulla
classe dei segnali di potenza.
Nei sistemi di trasmissione dell’informazione, l’ambiguità è rimossa grazie alla conoscenza che il ricevitore
possiede circa la natura del segnale trasmesso; normalmente il trasmettitore opera con le seguenti posizioni:
R xc ( τ )= R xs ( τ )
R xs xc ( τ )= − R xsxc (− τ )
=⇒
R x ( τ ) = R xc ( τ ) cos(2π f 0τ ) − R xs xc ( τ ) sin(2π f 0τ )
(9.8)
Diversa situazione il ricevitore incontra quando la descrizione energetica riguarda segnali dei quali non ha conoscenza del meccanismo di formazione, primo fra tutti il segnale di rumore termico caratterizzato dall’avere
densità spettrale di potenza costante nella banda di larghezza B intorno a f 0.
Nel successivo par.9.3, vedremo come rimuovere l’ambiguità della descrizione energetica di segnali a radiofrequenza rappresentando il segnale a radiofrequenza come membro di un processo aleatorio. In particolare,
dimostreremo come la la sola ipotesi di stazionarietà permette di spendere la (9.8) per la classe dei processi
limitati nella banda di larghezza B intorno a f 0.
9.2. INVILUPPO COMPLESSO DI SEGNALI MODULATI FASE-QUADRATURA
271
Appendice: Trasformata di Hilbert, Segnale Analitico, Componenti di Bassa Frequenza
Per il suo peculiare comportamento nel dominio della frequenza, il filtro di Hilbert è riferito anche come filtro sfasatore (phase splitter) di
π/2 rad.; in particolare, il filtro di Hilbert trasforma coseni in seni e viceversa:
H {cos(2π f0 t)} = sin(2π f0 t)
H {sin(2π f0 t)} = − cos(2π f0 t)
;
Tale comportamente sfasatore si mantiene anche sui segnali limitati nella banda di larghezza B intorno a f0 , con f0 > B/2, i.e. per il segnale
modulato fase quadratura:
x(t) = xc (t) cos (2π f0 t) − xs (t) sin ( 2π f0 t) = x+ (t) = x (t)e j2π f 0 t
(9.9)
abbiamo:
x̂(t) = xc (t) sin (2π f0 t) + xs (t) cos ( 2π f0 t) = x+ (t) = x (t)e j2π f 0 t
(9.10)
La (9.10) si osserva direttamente della Fig:9.12, cha abbiamo ridisegnato nella Fig:9.13 per mettere in evidenza anche come possiamo
ottenere la trasformata di Hilbert come parte immaginaria del segnale analitico, risultando anche
x+ (t) = x (t) · e j2π f 0 t
x (t) = x+ (t) · e−j2π f 0 t
x( t) = xc ( t) + jxs ( t)
x( t)
+
H + (f )
DFQ
x (t)
x( t) = < {x+ ( t) }= < {x( t) e j 2 pf0t }
< {×}
= xc ( t) cos(2 pf0t) - xs ( t) sin(2 pf0t)
x( t)
e-j 2 pf0t
e j 2 pf0t
xˆ( t) = I {x+ ( t) }= I {x( t) e j 2 pf0t }
I {×}
= xc ( t) sin(2 pf0t ) + xs ( t) cos(2 pf0t )
x+ ( t) = x( t) + j xˆ ( t )
Figura 9.13: Sulla rappresentabilità di un segnale limitato nella B intorno a f0 mediante trasformata di Hilbert, segnale analitico,
inviluppo complesso e componenti di bassa frequenza.
Riassumiamo i risultati ottenuti.
Segnale Analitico (Contenuto di Frequenze Positive)
x+ (t) = x(t) + jx̂ (t)
X + ( f ) = 2X ( f ) · u( f )
;
Occorre sottolineare la presenza del fattore moltiplicativo 2 nella costruzione dello spettro del contenuto di frequenze positive. Come già
visto, dal segnale analitico si ottengono sia il segnale che la sua trasformata di Hilbert:
x(t) = {x+ (t)}
;
x̂ (t) = {x+ (t)}
Segnale Analitico e Inviluppo Complesso
FT
FT
x(t) = x + (t)e −j2π f 0 t ⇐⇒ X ( f ) = X + ( f + f0 ) ; x+ (t) = x (t)e j2π f 0 t ⇐⇒ X + ( f ) = X ( f − f0 )
Costruzione dello Spettro dell’Inviluppo Complesso
Lo spettro dell’inviluppo complesso si ottiene mediante i seguenti passi (cfr. Fig.9.14):
1) si moltiplica per 2 lo spettro del segnale;
2a) si prende il solo contenuto di frequenze positive
2b) e lo si porta in banda base, traslando verso l’origine della quantità f0 .
Possiamo convenientemente scrivere la (9.9) e la (9.10) in forma compatta:
cos (2π f0 t) − sin ( 2π f0 t)
xc (t)
x(t)
·
=
sin ( 2π f0 t)
cos ( 2π f0 t)
xs (t)
x̂(t)
in modo da invertire facilmente e ottenere
xc (t)
xs (t)
=
cos (2π f0 t)
− sin (2π f0 t)
sin (2π f0 t)
cos (2π f0 t)
·
x(t)
x̂(t)
(9.11)
(9.12)
Vediamo, quindi, che le componenti di bassa frequenza si ottengono dal segnale e dalla trasformata di Hilber mediante una sorta di
rotazione che, istante per istante, avvita il segnale complesso alla velocità dettata dalla frequenza portante f0 .
Gli spettri dei vari segnali sono riportati nella Fig.9.14.
272
CAPITOLO 9. PROCESSI ALEATORI IN BANDA TRASLATA
X(f )
B
B
1
reale
f
-f0
a
f
jX$ (f ) = jX(f )× -jsign(f )
= X(f )× sign(f )
jX$ (f )
f0
immag.
1
f
sign(f )
-1
+
$
2 X (f ) = X(f ) + jX(f )
f
X(f ) = X + (f + f0 )
B
2
f
Figura 9.14: Spettri di un segnale modulato fase-quadratura.
9.2. INVILUPPO COMPLESSO DI SEGNALI MODULATI FASE-QUADRATURA
273
Infine, in Fig.9.15 troviamo lo schema di principio che estrae le componenti di bassa frequenza dal segnale analitico in accordo alle seguenti
relazioni:
x(t) + jx̂ (t) · cos(2π f0 t) − j sin(2π f0 t)
xc (t) = { x(t)} = x+ (t) · e−j2π f 0 t = = x̂ (t) · sin(2π f0 t) + x(t) · cos(2π f0 t)
xs (t) = { x(t)} = x+ (t) · e−j2π f 0 t = x(t) + jx̂ (t) · cos(2π f0 t) − j sin(2π f0 t)
= x̂ (t) · cos(2π f0 t) − x(t) · sin(2π f0 t)
xc (t)
e
modulante
in fase
j
cos(2pf0 t)
e
portante
in fase
p2
e
modulante
in quadratura
j
j
cos(2pf0 t)
+
x(t)
xc (t)
p2
-
sin(2pf0 t)
e
portante
in quadratura
sin(2pf0 t)
j
xs (t)
(mixer)
hH ( t)
x$(t)
sin(2pf0 t)
p2
+
cos(2pf0 t)
xs (t)
estrattore componenti
bassa frequenza
Figura 9.15: Estrazione delle componenti di bassa frequenza.
Estrazione delle Componenti di Bassa Frequenza mediante Trasformazione di Hilbert
xc (t) = x̂(t) · sin(2π f0 t) + x(t) · cos(2π f0 t)
xs (t) = x̂(t) · cos(2π f0 t) − x(t) · sin(2π f0 t)
(9.13)
Vale la pena notare che, nel limite dell’approssimazione pratica di un filtro di Hilbert, la (9.13) indica una concreta possibilità di ottenere le
componenti di bassa frequenza direttamente dal segnale x(t), come illustrato nello schema di Fig.9.15. Nella stessa figura, la parte a valle
del segnale modulato x(t) descrive uno schema per la demodulazione (coerente) di segnali modulati fase-quadratura, alternativo rispetto
a quello basato su demodulazione omodina di Fig.9.4. In genere, si preferisce lo schema che usa la demodulazione omodina poichè, oltre
a risparmiare due mixer e due sommatori, si riesce a realizzare molto più accuratamente un filtro passabasso che un trasformatore di
Hilbert.
274
9.3
9.3.1
CAPITOLO 9. PROCESSI ALEATORI IN BANDA TRASLATA
Processi Aleatori in Banda Traslata
Introduzione
La rappresentazione mediante l’inviluppo complesso è conveniente anche quando il segnale a radiofrequenza
è membro di un processo aleatorio. Nelle applicazioni di trasmissione dell’informazione, molto spesso è ragionevole assumere che l’inviluppo complesso sia membro di un processo aleatorio stazionario in senso lato al
secondo ordine, a valor medio nullo e complesso proprio;9.8 sebbene il caso generale non presenti particolari
difficoltà concettuali, la trattazione riportata nel seguito sarà limitata a questo caso.
Gli argomenti sviluppati nel seguito si articolano intorno alle dimostrazioni delle due proprietà seguenti.
I Proprietà
Inviluppo Complesso Proprio =⇒ Processo Modulato Stazionario
Consideriamo il processo aleatorio x( t ) = xc ( t ) + jxs ( t ), complesso proprio, limitato nella banda base di
larghezza B, stazionario ed ergodico in senso lato al secondo ordine, a valor medio nullo e con funzione di
autocorrelazione R x ( τ ) = 2R xc ( τ ) + 2jR xs xc ( τ ); consideriamo anche il processo aleatorio ottenuto mediante
modulazione fase-quadratura intorno a f 0, con f 0 > B/2:
x( t ) = { x( t ) · e j2π f0 t } = xc ( t ) · cos (2π f 0t ) − xs ( t ) · sin(2π f 0t )
Orbene, il processo modulato x( t ) risulta stazionario ed ergodico in senso lato al secondo ordine, limitato
nella banda base di larghezza B intorno a f 0, con funzione di autocorrelazione
1 R x ( τ ) = R x ( τ )e j2π f0τ = R xc ( τ ) · cos (2π f 0τ ) − R xs xc ( τ ) · sin(2π f 0τ )
2
Inoltre, la densità spettrale di potenza Px ( jΩ ) risulta priva d’impulsi matematici in f = ± f 0.
Commento
Al trasmettitore, la I Proprietà:
Inviluppo Complesso Proprio
=⇒
Processo Modulato Stazionario
costringe ad assicurare la simmetria coniugata al II ordine delle componenti di bassa frequenza per ottenere mediante
modulazione fase-quadratura un segnale a radio-frequenza stazionario. Notiamo altresı̀ che da questa circostanza non derivano particolari limitazioni, in quanto molto spesso possiamo assumere statistica indipendenza
e identica densità spettrale di potenza per le componenti di bassa frequenza.9.9
9.8 Nel caso
di valor medio nullo, la condizione di propria complessità per x(t) = xc (t) + jxs (t) si semplifica come segue:
Rxc (τ)
= Rxs (τ)
E { x(t) · x(t − τ)} = 0 ⇐⇒
Rxs xc (τ) = − Rxs xc (−τ )
Allora risulta anche:
{Rx (τ)} = 2Rxc (τ) = 2Rxs (τ)
;
{Rx (τ)} = 2Rxs xc (τ)
Quindi la funzione di autocorrelazione dell’inviluppo complesso assume la forma seguente:
Rx (τ) = 2Rxc (τ) + 2jRxs xc (τ)
9.9
Per esempio, questo può ragionevolmente assumersi nella radiodiffusione del segnale televisivo analogico a colori (PAL), dove le due
componenti di crominanza sono allocate sulla cosiddetta sottoportante di crominanza mediante modulazione fase-quadratura, e non vi è
ragione per non ritenere soddisfatte le condizioni di propria complessità per le due componenti di crominanza. Ancora, nei moderni
collegamenti numerici, l’inviluppo complesso al trasmettitore è un segnale numerico PAM complesso formato su simboli appartenenti a
una certa costellazione complessa di cardinalità N; tali simboli sono ottenuti a valle di un dispositivo cosiddetto mapper che opera sulle cifre
binarie risultato delle operazioni di codifica di sorgente e di canale, specificatamente, il mapper associa ogni carattere della costellazione a
un certo gruppo di ν = log 2 N bit, cfr. il cap.10 e il par:17.6. Anche in questo caso, non vi è ragione per non ritenere soddisfatte le condizioni
di propria complessità per la parte reale e la parte immaginaria della sequenza di simboli in uscita al mapper.
9.3. PROCESSI ALEATORI IN BANDA TRASLATA
275
II Proprietà
Processo Stazionario in Banda Traslata =⇒ Inviluppo Complesso Proprio
Sia dato un processo aleatorio stazionario ed ergodico, avente densitá spettrale di potenza limitata nella
banda di larghezza B intorno a f 0, e inoltre priva d’impulsi matematici in f = ± f 0. Allora, il suo inviluppo
complesso é un processo complesso proprio, stazionario ed ergodico, a componente continua nulla.
Commento
Consideriamo al ricevitore, la II Proprietà:
Processo Stazionario in Banda Traslata =⇒ Inviluppo Complesso Proprio
Essa assicura la simmetria coniugata al II ordine delle componenti di bassa frequenza estratte mediante demodulazione fase-quadratura di un segnale a radio-frequenza stazionario e limitato nella banda B intorno a f 0. Pertanto,
anche quei segnali che non necessariamente nascono a seguito di una modulazione fase-quadratura, e.g. disturbi, rumore termico, interferenze, etc., possono essere convenientemente rappresentati mediante inviluppo
complesso proprio ovvero componenti di bassa frequenza con simmetria coniugata al secondo ordine.
9.3.1.1
Funzioni di Autocorrelazione di Processi Aleatori in Banda Traslata
Passiamo in rassegna le conseguenze indotte sulle Funzioni di Autocorrelazione e sulle Densità Spettrali di
Potenza dei vari segnali coinvolti nella descrizione energetica di Processi Aleatori in Banda Traslata, dalle
ipotesi sopra descritte, i.e. propria complessità a bassa frequenza⇔stazionarietà a radiofrequenza.
Come dimostreremo nel seguito, sia per segnali in banda traslata, che per le loro funzioni di autocorrelazione, è possibile impiegare una rappresentazione complessa.
Inviluppo Complesso di Segnali e Processi Stazionari in Banda Traslata
x( t )= xc ( t ) cos(2π f 0t )− xs ( t ) sin(2π f 0t ) = x ( t )ej2π f0 t
1 R x ( τ )= R xc ( τ ) cos(2π f 0τ )− R xsxc ( τ ) sin(2π f 0τ ) = R x ( τ )e j2π f0τ
2
(9.14)
(9.15)
Ne segue un calambour piuttosto curioso:
le componenti di bassa frequenza della funzione di autocorrelazione sono, rispettivamente, la funzione di
autocorrelazione e la funzione di correlazione incrociata delle componenti di bassa frequenza.
Ricordando quanto esposto nel par.9.2.1 a proposito di come si struttura lo spettro di segnali di energia, proprio
questa analogia tra le forme (9.15) e (9.15) permette immediatamente di affermare che anche la densità spettraFT
le di potenza Px ( f ) ⇐⇒ R x ( τ ) andrà a occupare la banda B intorno a f 0, dove B misura l’occupazione spettrale
FT
della densità spettrale di potenza dell’inviluppo complesso, i.e. Px ( f ) ⇐⇒ R x ( τ ); alternativamente, possiamo
FT
usare le densità spettrali di potenza delle componenti di bassa frequenza Pxc ( f ) = Pxs ( f ) ⇐⇒ R xc ( τ ) = R xs ( τ )
FT
e Pxs xc ( f ) ⇐⇒ R xs xc ( τ ).
9.3.1.2
Densità Spettrale di Potenza di Processi Aleatori in Banda Traslata
Innanzi tutto notiamo che dalla (9.15) risulta (cfr. anche la nota 9.8):
simm. pari
simm. dispari
R x ( τ ) = 2 R xc ( τ ) + 2j R xs xc ( τ )
(9.16)
Quindi, la funzione di autocorrelazione dell’inviluppo complesso proprio risulta essere a simmetria complessa
FT
coniugata (cfr. il par.1.3.9). Allora, considerate le densità spettrali di potenza Pxc ( f ) = Pxs ( f ) ⇐⇒ R xc ( τ ) =
276
CAPITOLO 9. PROCESSI ALEATORI IN BANDA TRASLATA
FT
R xs ( τ ) e la densità spettrale di potenza incrociata Pxs xc ( f ) ⇐⇒ R xs xc ( τ ), uguagliando membro a membro
le trasformate di Fourier della (9.16), otteniamo la seguente notevole espressione per la densità spettrale di
FT
potenza Px ( f ) ⇐⇒ R x ( τ ) dell’inviluppo complesso:
reale pari
imm. dispari
Px ( f ) = 2 Pxc ( f ) + 2j Pxs xc ( f )
Complessivamente, e come doveva essere, poichè l’inviluppo complesso è un processo complesso proprio, la
sua densità spettrale di potenza Px ( f ) risulta reale e non negativa.9.10 Inoltre, scomponendo Px ( f ) in parte pari
e parte dispari otteniamo, rispettivamente, la densità spettrale di potenza delle componenti di bassa frequenza
Pxc ( f ) = Pxs ( f ) = E { Px ( f )} /2, e la densità spettrale di potenza incrociata Pxs xc ( f ) = O { Px ( f )} /2j.
Dalla (9.15) calcoliamo facilmente la densità spettrale di potenza a radiofrequenza; infatti, ricordando che
Px ( f ) è reale abbiamo (cfr. anche la Fig.9.16):
{Rx (τ)e j2π f 0 τ }
Px (−( f + f 0 ))
1
Px ( f − f 0 ) + Px (−( f + f 0 ))
Px ( f − f 0 ) + Px (−( f + f 0 ))
R x ( τ )ej2π f0 τ + R x ( τ )e− j2π f0 τ
Px ( f ) = F
=
=
2
2
4
4
Px (f )
1
f
-B 2
Px(-(f + f0 ))
4
0
1
-f0
B2
Px (f )
Px (f - f0 )
4
4
f0
0
B
f
B
Figura 9.16: Densità spettrale di potenza di processi aleatori in banda traslata.
Densità Spettrale di Potenza di Processi Stazionari in Banda Traslata
1
Px ( f ) = ( Px ( f − f 0) + Px (−( f + f 0 )))
4
9.10 La
non-negatività della densità spettrale di potenza di un qualsiasi segnale complesso ξ (t) è assicurata dalla simmetria coniugata
della funzione di autocorrelazione Rξ (τ) = − Rξ (−τ ), dalla quale discende
f +B/2
0
f 0 −B/2
Pξ ( f ) d f ≥ 0, ∀ f0 ∈ R, ∀B > 0 (cfr. il cap.5).
9.3. PROCESSI ALEATORI IN BANDA TRASLATA
9.3.2
277
Modulazione Fase-Quadratura di Processi Aleatori
Analizziamo più dettagliamente e dimostriamo la prima delle proprietà descritte nel precedente par.9.3.1.
Inviluppo Complesso Proprio
=⇒
Processo Modulato Stazionario
P ROPOSIZIONE 9.2 Sia x( t ) = xc ( t ) + jxs ( t ) un processo aleatorio complesso proprio, stazionario ed ergodico in
senso lato al secondo ordine, limitato nella banda base di larghezza B, a valor medio nullo. Il processo aleatorio
x( t ) = { x( t ) · e j2π f0 t } = xc ( t ) · cos (2π f 0t ) − xs ( t ) · sin(2π f 0t )
ottenuto mediante modulazione fase-quadratura intorno a f 0, con f 0 > B/2, risulta stazionario ed ergodico in senso
lato al secondo ordine, limitato nella banda B intorno a f 0, con funzione di autocorrelazione:
1 R x ( τ ) = R x ( τ )ej2π f0 τ = R xc ( τ ) cos(2π f 0τ )− R xs xc ( τ ) sin(2π f 0τ )
2
(9.17)
FT
Inoltre, la densità spettrale di potenza Px ( jΩ ) ⇐⇒ R x ( τ ) risulta priva d’impulsi matematici in f = ± f 0.
Dim: nel procedere lungo la dimostrazione, conviene usare la seguente scomposizione:
x (t) · e j2π f 0 t + x(t) · e−j2π f 0 t
2
Per quanto riguarda il valor medio, ricordando che E { x(t)} = 0 per ipotesi, abbiamo:
x(t) =
E { x(t)} · e j2π f 0 t + E { x(t)} · e−j2π f 0 t
=0
2
Per quanto riguarda la funzione di autocorrelazione, E { x(t) x(t − τ )} , dobbiamo dimostrare che essa dipende solo dalla differenza τ.
Ricordando che, nel caso di valor medio nullo, l’ipotesi di propria complessità (simmetria coniugata al secondo ordine) per x (t) recita
E { x (t)x (t− τ )} = 0, abbiamo:
1 E { x(t) x( t − τ )} = E x(t)e j2π f 0 t + x(t)e −j2π f 0 t x (t− τ )e j2π f 0 (t−τ) + x (t− τ )e −j2π f 0 (t−τ)
4
1
1
= E { x(t) x (t − τ)} e j4π f 0 t e−j2π f 0 τ + E { x(t) x (t − τ)} e j2π f 0 τ
4 4
E { x(t)} =
Rx (τ )
0 (propria complessità)
1
1
+ E { x(t) x (t − τ)} e−j2π f 0 τ + E { x(t) x (t − τ)} e−j4π f 0 t e j2π f 0 τ
4
4 Rx (τ )
(9.18)
0 (propria complessità)
1 Rx (τ)e j2π f 0 τ + Rx (τ)e −j2π f 0 τ
1 =
= Rx (τ)e j2π f 0 τ
2
2
2
Notiamo che i vari contributi che dipendono da t non scompaiono, e quindi si perde la stazionarietà, quando l’inviluppo complesso x (t)
è un generico processo complesso non proprio.9.11
Infine, l’ultimo segno uguale nella (9.17) segue considerando l’espressione della funzione di autocorrelazione dell’inviluppo complesso proprio x (t), la quale assume la forma:
Rx (τ) = 2Rxc (τ) + 2jRxs xc (τ)
Assodata la stazionarietà, l’ergodicità di x(t) discende direttamente dall’irriducibilità della sorgente che ha generato x(t).
Per quanto riguarda l’assenza d’impulsi matematici nella densità spettrale di potenza di x(t) alle frequenze f = ± f0 , dobbiamo
dimostrare che risulta A Rx (τ)e ∓j2π f 0 = 0. Per l’ipotesi di valor medio nullo di x (t) sappiamo che la densità spettrale di potenza di x (t)
non ha un’impulso matematico a frequenza f = 0, i.e. A { Rx (τ)} = 0. Usando la (9.18), otteniamo facilmente per f = f0 , e similarmente per
f = − f0 :
4 · A Rx (τ) e−j2π f 0 =
A Rx (τ)
+
A Rx (τ) e−j4π f 0 τ = 0
0 per l’ipotesi di valor medio nullo
9.11 Tali contributi non
0 per la limitazione nella banda B < 2 f 0
svaniscono se il valor medio di x(t) è diverso da zero, anche in ipotesi di propria complessità. In questo caso, occorrebbe far riferimento alla funzione di covarianza Kx (τ) = A {(x(t)− A { x(t)} )(x(t − τ )− A { x(t− τ )} )} . Per semplicità, questa trattazione
resta limitata a inviluppi complessi aventi componente continua nulla.
278
9.3.2.1
CAPITOLO 9. PROCESSI ALEATORI IN BANDA TRASLATA
Sulla funzione di autocorrelazione del processo a radiofrequenza
Dalla (9.17), notiamo che anche la funzione di autocorrelazione R x ( τ ) del processo a radiofrequenza si struttura
come un segnale modulato fase-quadratura, i.e. anche per R x ( τ ) possiamo considerare la rappresentazione
mediante le sue componenti di bassa frequenza. Vale la pena sottolineare tale proprietà nel seguente corollario.
Struttura della Funzione di Autocorrelazione
di Processi Modulati Fase-Quadratura
C OROLLARIO 9.1 Si consideri un processo stazionario ed ergodico x( t ) = x ( t ) ej2π f0 t ottenuto mediante modulazione fase-quadratura di un processo x( t ) = xc ( t ) + jxs ( t ) complesso proprio, limitato nella banda base di larghezza B, con f 0 > B/2, avente funzione di autocorrelazione R x ( τ ) = 2R xc ( τ ) + 2jR xs xc ( τ ) (con R xc ( τ ) = R xs ( τ )
e R xs xc ( τ ) = − R xs xc (− τ )). Orbene, la funzione di autocorrelazione R x ( τ ) del processo modulato si esprime in
componenti di bassa frequenza:
1 R x ( τ ) = R x ( τ )ej2π f0 τ = R xc ( τ ) cos(2π f 0τ ) − R xs xc ( τ ) sin(2π f 0τ )
2
Dim: ripetiamo l’ultima parte della dimostrazione della Prop.9.2. Ricordando che l’ipotesi di propria complessità (simmetria coniugata
al secondo ordine) per x (t) induce le seguenti relazioni tra le funzioni di autocorrelazione delle componenti di bassa frequenza
Rxc (τ)
= Rxs (τ)
E { x(t) · x(t − τ)} = 0 ⇐⇒
Rxs xc (τ) = − Rxs xc (−τ )
risultando anche
{Rx (τ)} = 2Rxc (τ) = 2Rxs (τ)
;
{Rx (τ)} = 2Rxs xc (τ)
possiamo riscrivere la (9.17) come segue:
Rx (τ) =
1 Rx (τ)e j2π f 0 τ = Rxc (τ) cos(2π f0 τ) − Rxs xc (τ) sin(2π f0 τ)
2
Notiamo come la potenza del processo a radiofrequenza resti limitata nella banda di larghezza B intorno a f 0.
FT
FT
Infatti, le densità spettrali di potenza Pxc ( f ) ⇐⇒ R xc ( τ ) e Pxs xc ( f ) ⇐⇒ R xs xc ( τ ) sono, per ipotesi, limitate
nella banda base di larghezza B, e possiamo scrivere:
Px ( f ) = F { R xc ( τ ) cos(2π f 0τ ) − R xs xc ( τ ) sin(2π f 0τ )}
=
Pxc ( f − f 0 ) + jPxs xc ( f − f 0 )
2
limitata nella banda B intorno a + f 0
+
Pxc ( f + f 0 ) − jPxs xc ( f + f 0 )
2
(9.19)
limitata nella banda B intorno a − f 0
Non lasciamoci ingannare dalla (9.19): poichè R xs xc ( τ ) é simmetrica dispari, la densità spettrale di potenza incrociata Pxs xc ( f ) è puramente immaginaria e simmetrica dispari, per cui la densità spettrale di potenza dell’inviluppo
complesso Px ( f ) = 2Pxc ( f ) + j2Pxs xc ( f ) è reale, e tale risulta anche la densità spettrale di potenza Px ( f ) del
segnale a radiofrequenza. Inoltre, essendo R x ( τ ) una funzione di autocorrelazione, per definizione definita
non-negativa, risulterà anche Px ( f ) ≥ 0.
9.3. PROCESSI ALEATORI IN BANDA TRASLATA
9.3.3
279
Rappresentazione di Processi Aleatori in Banda Traslata mediante Inviluppo Complesso e Componenti di Bassa Frequenza
Passiamo ora all’analisi della seconda delle proprietà descritte nel precedente par.9.3.1. In analogia a quanto
fatto nel par.9.2.3, occorre stabilire se un processo con densità spettrale di potenza limitata nella banda di
larghezza B intorno a f 0 possa essere rappresentato mediante inviluppo complesso e componenti di bassa
frequenza.
Processo Modulato Stazionario
=⇒ Inviluppo Complesso Proprio
P ROPOSIZIONE 9.3 L’inviluppo complesso x ( t ) di un processo aleatorio x( t ) stazionario, ergodico, e densità spettrale
di potenza limitata nella banda di larghezza B intorno a f 0, e inoltre priva d’impulsi matematici alle frequenze f = ± f 0,
é un processo complesso proprio, a valor medio nullo.
Dim: la dimostrazione si basa sulla seguente proprietà, peraltro dimostrata nell’Appendice 9.7:
Segnale Analitico di Processi Aleatori
L EMMA 9.1 Il segnale analitico x+ (t) di un processo aleatorio x(t) stazionario, ergodico, a valor medio nullo, e densità spettrale di potenza limitata
nella banda di larghezza B intorno a f0 , é un processo stazionario ed ergodico, complesso proprio, e a valor medio nullo.
Tenendo presente il Lemma 9.1, possiamo procedere con la dimostrazione riguardante l’inviluppo complesso, il quale si ottiene dal segnale
analitico nel modo che sappiamo:
x(t) = x+ (t) e−j2π f 0 t
Immediatamente notiamo che risulta E { x+ (t)} = 0 ⇒ E { x(t)} = 0; quindi, per verificare la propria complessità di x (t), occorre
controllare solo che sia nullo il momento del II ordine E { x(t) x(t − τ)} :
E x+ (t), x+ (t − τ)
· e−2j2π f 0 t e j2π f 0 τ = 0
Cov { x(t), x(t − τ)} = E { x(t) · x(t − τ)} =
nullo poichè x+ (t) complesso proprio
Per quanto riguarda l’ergodicità, essa segue direttamente dalla irriducibilità della sorgente di x(t), che a sua volta si trasporta direttamente
sulla sorgente di x (t) a meno del caso patologico di presenza d’impulsi matematici nella densità spettrale di potenza di x(t) alle frequenze
f = ± f0 , nel qual caso viene meno l’ergodicità per la componente continua dell’inviluppo complesso. La dimostrazione procede come
segue: la condizione d’assenza d’impulsi matematici nella densità spettrale di potenza di x(t) alle frequenze f = ± f0 si traduce nell’assenza
di un impulso matematico nella densità spettrale di potenza di x+ (t) alla frequenza f = f0 ; infatti, essendo Rx+ (τ) = Rx (τ)e j2π f 0 τ
possiamo scrivere:
⇒
A { Rx (τ)} = 0
⇒ A { x(t)} = 0
A Rx+ (τ) e−j2π f 0 τ = 0
assenza d’impulso matematico in Px+ ( f ) a f = f 0
assenza d’impulso matematico in Px ( f ) a f = 0
Poichè sappiamo che E { x (t)} = 0, abbiamo verificato l’ergodicità della componente continua, i.e. A { x(t)} = E { x(t)} = 0.
280
9.3.4
CAPITOLO 9. PROCESSI ALEATORI IN BANDA TRASLATA
Funzioni di Autocorrelazione dell’Inviluppo Complesso e delle Componenti di
Bassa Frequenza
Funzioni di Autocorrelazione delle Componenti di Bassa Frequenza
Abbiamo dimostrato che l’inviluppo complesso di un processo stazionario limitato nella banda B intorno a f 0
è un processo complesso proprio; quindi, la sua funzione di autocorrelazione possiede la seguente struttura:
1
R xc ( τ ) = R xs ( τ ) = { R x ( τ )}
2
;
1
R xs xc ( τ ) = − R xsxc (− τ ) = { R x ( τ )}
2
(9.20)
In particolare, dalla (9.20) valutata per τ = 0, notiamo che le potenze delle componenti di bassa frequenza
coincidono, e che la loro potenza incrociata è nulla:
P xc = P xs
;
P xs xc = 0
Inoltre, la funzione di autocorrelazione dell’inviluppo complesso si scrive nel modo che segue:
R x ( τ ) = 2R xc ( τ ) + 2jR xs xc ( τ )
= 2R xs ( τ ) + 2jR xs xc ( τ )
e quindi, valutando le diverse funzioni di autocorrelazione in τ = 0, notiamo che la potenza dell’inviluppo
complesso è pari al doppio della potenza della singola componente di bassa frequenza:
Px = 2Pxc = 2Pxs
(9.21)
Scrivendo la funzione di autocorrelazione dell’inviluppo complesso in funzione di quella del segnale analitico otteniamo:
Rx (τ) = E { x (t) · x (t − τ)} = E x+ (t)e− j2π f 0 t · x+ (t − τ) e j2π f 0 (t−τ) = Rx+ (τ)e −j2π f 0 τ
(9.22)
x (τ):
Ricordando la (9.45), che riscriviamo tenendo conto che risulta Rx̂ x (τ) = R
x (τ)
Rx+ (τ) = 2 Rx (τ) + jR
(9.23)
possiamo scrivere la relazione che ottiene direttamente la funzione di autocorrelazione dell’inviluppo complesso Rx (τ) da quella del
processo in banda traslata Rx (τ):
x (τ) e−j2π f 0 τ
Rx (τ) = 2 Rx (τ) + jR
(9.24)
1
x (τ)
Rx (τ) e jπ f 0 τ = Rx (τ) + j R
2
(9.25)
Prendendo la parte reale di entrambi i membri della (9.25), si ottiene il legame tra la funzione di autocorrelazione del processo a radiofrequenza, e la funzione di autocorrelazione dell’inviluppo complesso.
Funzione di Autocorrelazione del Processo in Banda Traslata
La funzione di autocorrelazione del processo in banda traslata si esprime in funzione delle funzioni di
correlazione delle componenti di bassa frequenza nella forma che segue:
Rx(τ ) =
1 R x ( τ )ej2π f0 τ = R xc ( τ ) cos(2π f 0τ ) − R xs xc ( τ ) sin(2π f 0τ )
2
9.3. PROCESSI ALEATORI IN BANDA TRASLATA
281
Per completezza, riportiamo anche l’espressione della trasformata di Hilbert della funzione di autocorrelazione, ottenuta prendendo la
parte immaginaria di entrambi i membri della (9.25).
x (τ) = 1 Rx (τ)e j2π f 0 τ = Rxc (τ) sin(2π f0 τ) + Rxs xc (τ) cos(2π f0 τ)
R
2
(9.26)
Inoltre, a partire dall’espressione (9.24) che ottiene la funzione di autocorrelezione dell’inviluppo complesso a partire da quella del segnale
a radio-frequenza, otteniamo facilmente le funzioni di correlazione delle componenti di bassa frequenza.
Estrazione delle Funzioni di Correlazione delle Componenti di Bassa Frequenza
x (τ) e−j2π f 0 τ = Rx (τ) cos(2π f0 τ) + R
x (τ) sin(2π f0 τ)
Rxc (τ) = Rxs (τ) = Rx (τ) + jR
x (τ) e−j2π f 0 τ = − Rx (τ) sin(2π f0 τ) + R
x (τ) cos(2π f0 τ)
Rxc xs (τ) = Rx (τ) + jR
Occorre notare che l’estrazione della funzione di autocorrelazione dell’inviluppo complesso, ovvero delle funzioni di correlazione delle
componenti di bassa frequenza, avviene in maniera più agevole operando direttamente sulle densità spettrali di potenza nel dominio
della frequenza, cfr. il par.9.3.5.
9.3.5
Densità Spettrale di Potenza dell’Inviluppo Complesso
Concludiamo riportando i passaggi che ottengono la densità spettrale di potenza dell’inviluppo complesso.
Abbiamo visto come possiamo scrivere la funzione di autocorrelazione del processo in banda traslata nella
forma:
1 R x ( τ ) = R x ( τ )ej2π f0 τ = R xc ( τ ) cos (2π f 0τ ) − R xs xc ( τ ) sin(2π f 0τ )
2
Non é difficile ottenere la densità spettrale del processo in banda traslata:
Px ( f ) =
1F
R x ( τ ) ej2π f0 τ + F R x ( τ ) e− j2π f0 τ
2
2
=
Px ( f − f 0 ) Px (−( f + f 0))
+
4
4
Px ( f − f 0 )
Px (−( f + f 0))
=
+
4
4
freq. positive
(9.27)
freq. negative
dove abbiamo tenuto in conto che Px ( f ) è una funzione che, in quanto densità spettrale di potenza, assume
valori reali (e non-negativi).
Per comprendere come si ottiene la densità spettrale di potenza dell’inviluppo complesso a partire dalla densità spettrale di potenza del
processo modulato si parte dalla (9.23):
x (τ)
Rx+ (τ) = 2 Rx (τ) + jR
(9.28)
Dalla (9.28) osserviamo che la funzione di autocorrelazione del segnale analitico Rx+ (τ) è strutturata essa stessa come un segnale analitico,
i.e. segnale nella parte reale e trasformata di Hilbert nella parte immaginaria, e pertanto il suo spettro conterrà solo frequenze positive.
Infatti, prendendo la trasformata di Fourier di ambo i membri della (9.45), e, mutatis mutandis, ripetendo i passi già illustrati in Fig.9.14,
otteniamo:
x (τ)} = 2 Px ( f ) + j (− j sign( f ) · Px ( f ))
Px+ ( f ) = 2F {Rx (τ)} + 2jF {R
= 2 ( Px ( f ) + sign( f ) · Px ( f )) = 4Px ( f )u( f )
Analogamente, possiamo calcolare la densità spettrale di potenza dell’inviluppo complesso trasformando la (9.22), che qui riscriviamo
per comodità:
(9.29)
Rx (τ) = Rx+ (τ) e−j2π f 0 τ
Otteniamo:
Px ( f ) = Px+ ( f + f0 ) = 4Px ( f + f0 )u( f + f0 )
282
CAPITOLO 9. PROCESSI ALEATORI IN BANDA TRASLATA
Densità Spettrale di Potenza dell’Inviluppo Complesso
Il procedimento che ottiene Px ( f ) da Px ( f ) si comprende meglio per via grafica. Dalla Fig.9.17 vediamo che
occorre compiere le seguenti operazioni:
1. si considera solo la parte per frequenze positive dello spettro Px ( f );
2. si moltiplica per un fattore d’ampiezza pari a 4;
3. si trasla verso l’origine per una quantità pari a f 0 (si riporta in banda base).
Px(-(f + f0 ))
1
4
Px(f - f0 )
Px (f )
4
4
f
-f0
f0
0
Px+ (f )
B
B
1
f
f0
0
Px (f ) = Px+ (f + f0 )
1
f
0
Figura 9.17: Densità spettrale di potenza di processi aleatori in banda traslata.
Dalla Fig.9.17 rileviamo la seguente relazione tra le potenze:
Px =
Px
2
Utilizzando la potenza delle componenti di bassa frequenza, possiamo anche scrivere (cfr. la (9.21)):
Px = P x c = P x s
9.3. PROCESSI ALEATORI IN BANDA TRASLATA
283
Densità Spettrali di Potenza delle Componenti di Bassa Frequenza
Per trovare come la densità spettrale di potenza dell’inviluppo complesso si relaziona con le densità spettrali delle componenti di bassa frequenza, scriviamo la funzione di autocorrelazione dell’inviluppo complesso
mettendo in evidenza le simmetrie pari e dispari:
R x ( τ ) = 2 R xc ( τ ) + j R xs xc ( τ )
simm. pari
simm. dispari
Allora, uguagliando le trasformate di Fourier membro a membro, otteniamo:
Px ( f ) = 2 Pxc ( f ) + j Pxs xc ( f )
reale pari
e quindi9.12
Pxc ( f ) = Pxs ( f ) =
imm. dispari
1
E { Px ( f )}
2 Pxs xc ( f ) =
1
2j
parte pari (even)
O { Px ( f )}
parte dispari (odd)
Estrazione delle Densità Spettrali di Potenza
delle Componenti di Bassa Frequenza
Con riferimento alla Fig.9.17, riportiamo la sequenza d’operazioni da compiere:
1. si estrae la densità spettrale di potenza dell’inviluppo complesso:
Px ( f ) = 4Px ( f + f 0 ) u ( f + f 0 )
2. le densità spettrali di potenza delle componenti di bassa frequenza, e quindi le relative funzioni di
correlazione, si ottengono direttamente dalla scomposizione di Px ( f ) in parte pari e parte dispari:
FT
R xc ( τ ) = R xs ( τ ) ⇐⇒
Pxc ( f ) = Pxs ( f ) =
=
Px ( f ) + Px (− f )
2
O { Px ( f )} =
Px ( f ) − Px (− f )
2
1
E { Px ( f )}
2 parte pari (even)
FT
R xs xc ( τ ) ⇐⇒
Pxs xc ( f ) =
1
2j
parte dispari (odd)
Osserviamo, inoltre, che la densità spettrale di potenza dell’inviluppo complesso risulta simmetrica pari se e
solo se le componenti di bassa frequenza sono tra loro incorrelate; in questo caso, la densità spettrale di potenza
dell’inviluppo complesso vale il doppio della densità spettrale di potenza della componente in fase - ovvero
della componente in quadratura:
R xs xc ( τ ) = 0 ⇐⇒ Px ( f ) = Px (− f ) (simmetrica pari)
⇓
Pxc ( f ) = Pxs ( f ) = Px ( f )/2
9.12 Rammentiamo
come si ottengono la parte pari e la parte dispari di Px ( f ) :
E { Px ( f )} =
Px ( f ) + Px (− f )
2
;
O { Px ( f )} =
Px ( f ) − Px (− f )
2
284
CAPITOLO 9. PROCESSI ALEATORI IN BANDA TRASLATA
9.4
Commenti Finali
Nella prima parte di questo capitolo abbiamo trattato la questione della rappresentabilità, nel senso illustrato
dalla Prop.9.1, di segnali in banda traslata mediante inviluppo complesso e componenti di bassa frequenza.
Specificatamente, abbiamo dimostrato che:
• i segnali modulati fase-quadratura nella forma:
x( t ) = xc ( t ) cos(2π f 0t ) − xs ( t ) sin(2π f 0t ) = x( t ) ej2π f0 t
(9.30)
sono limitati nella banda di larghezza B intorno a f 0, con f 0 > B/2.
Il segnale x( t ) = xc ( t ) + jxs ( t ) prende il nome d’inviluppo complesso, e le sue parti reale e immaginaria
componenti di bassa frequenza;
• viceversa, ogni segnale x( t ) limitato nella banda di larghezza B intorno a f 0, con f 0 > B/2 si può
esprimere mediante inviluppo complesso e componenti di bassa frequenza nella forma di un segnale
modulato fase-quadratura, come indicato nella (9.30).
L’impiego della notazione complessa si rivela particolarmente utile nella decrizione di processi aleatori in banda traslata. Infatti, nelle Prop.9.2 e 9.3 abbiamo dimostrato che, per x( t ) membro di un processo aleatorio con
densità spettrale di potenza limitata nella banda di larghezza B intorno a f 0, a valor medio nullo, la stazionarietà in senso lato al secondo ordine è garantita se e solo se l’inviluppo complesso è un processo complesso
proprio (a valor medio nullo),9.13 i.e. se e solo se per i processi di bassa frequenza xc ( t ) e xs ( t ) vale la proprietà
di simmetria coniugata al II ordine:
R xc ( τ )
= R xs ( τ )
E { x( t ) · x( t − τ )} = 0 ⇐⇒
(9.31)
R xs xc ( τ ) = − R xs xc (− τ )
Allora, possiamo scrivere la funzione di autocorrelazione dell’inviluppo complesso nella forma che segue:
R x ( τ ) = 2R xc ( τ ) + j2R xs xc ( τ )
Quindi, il generico membro del processo x( t ) e la funzione di autocorrelazione R x ( τ ) condividono la stessa
struttura di segnale modulato fase-quadratura.
Inviluppo Complesso di Segnali e Processi Stazionari in Banda Traslata
x( t )= xc( t ) cos(2π f 0t ) − xs ( t ) sin(2π f 0t ) = x ( t )e j2π f0t
(9.32)
1 R x ( τ )= R xc ( τ ) cos(2π f 0τ )− R xs xc ( τ ) sin(2π f 0τ ) = R x ( τ )ej2π f0 τ
2
(9.33)
Osservando le (9.32) e (9.33) possiamo affermare che “le componenti di bassa frequenza della funzione di
autocorrelazione sono le funzioni di autocorrelazione e correlazione incrociata delle componenti di bassa freFT
quenza”. Inoltre, dal punto di vista spettrale, la formazione della densità spettrale di potenza Px ( f ) ⇐⇒ R x ( τ )
FT
avviene secondo le stesse modalità con le quali si forma lo spettro X( f ) ⇐⇒ x( t ); in altri termini, la densità
FT
FT
spettrale di potenza Px ( f ) si ottiene da Pxc ( f ) ⇐⇒ R xc ( τ ) e Pxs xc ( f ) ⇐⇒ R xs xc ( τ ) operando in accordo alle
regole della modulazione fase-quadratura, e pertanto risulta limitato nella banda B intorno a f 0 dove stavolta
9.13 La condizione di valor medio nullo per x(t) si traduce nell’assenza d’impulsi matematici nella densità spettrale di potenza P ( f ) per
x
f = ± f0 , a sua volta ipotesi sufficiente per l’ergodicità della componente continua di x(t).
9.4. COMMENTI FINALI
285
B misura l’occupazione della densità spettrale di potenza delle componenti di bassa frequenza Pxc ( f ) = Pxs ( f )
e Pxs xc ( f ), ovvero dell’inviluppo complesso Px ( f ) = 2Pxc ( f ) + 2jPxs xc ( f )
Inoltre, come illustrato in Fig.9.17, la densità spettrale di potenza dell’inviluppo complesso Px ( f ) si ottiene
considerando la sola parte della densità spettrale di potenza Px ( f ) del segnale intorno a f 0, demodulata in banda
base, e non dimenticando il fattore di scala delle potenze che è pari a 4.
Densità Spettrale di Potenza di Processi Stazionari in Banda Traslata
Px ( f ) = 4 Px ( f + f 0 ) u ( f + f 0 )
Px ( f ) =
Px ( f − f 0 ) + Px (−( f + f 0 ))
4
In quanto densità spettrale di potenza, Px ( f ) assume valori reali e non negativi, ma non gode, in generale, di
alcuna proprietà di simmetria pari, essendo R x ( τ ) un segnale complesso. L’estrazione delle densità spettrali
di potenza, e delle relative funzioni di correlazione, delle componenti di basssa frequenza procede proprio in
accordo alle proprietà di simmetria pari e dispari.
FT
R xc ( τ ) = R xs ( τ ) ⇐⇒ Pxc ( f ) = Pxs ( f )=
=
Px ( f ) + Px (− f )
4
O { Px ( f )} =
Px ( f ) − Px (− f )
4
1
E { Px ( f )}
2 parte pari (even)
1
Pxs xc ( f )=
2j
FT
R xs xc ( τ ) ⇐⇒
parte dispari (odd)
Solo nel caso { R x ( τ )} = 2 R xs xc ( τ ) = 0, i.e. per componenti di bassa frequenza incorrelate come nel caso
notevole di rumore bianco descritto più avanti nel par.9.5, scompare la parte dispari di Px ( f ):
R xs xc ( τ ) = 0 ⇔ Px ( f ) = Px (− f ) (simmetrica pari)
⇓
Pxc ( f ) = Pxs ( f ) =
1
Px ( f )
2
Spettri di Segnali con Energia Finita
Per segnali con energia finita, come illustrato nella Fig.9.14, lo spettro dell’inviluppo complesso si ottiene
considerando la sola parte dello spettro del segnale intorno a f 0, demodulato in banda base:
X ( f ) = 2 X( f + f 0 ) u ( f + f 0 )
1
X( f ) =
X ( f − f 0 ) + X(−( f + f 0 ))
2
(segnali con energia finita)
286
CAPITOLO 9. PROCESSI ALEATORI IN BANDA TRASLATA
Descrizione Energetica del Segnale Analitico e della Trasformata di Hilbert
Abbiamo visto come il contenuto energetico del segnale intorno alla frequenza portante f0 possa essere rappresentato in modo compatto
dal segnale di banda base cosiddetto inviluppo complesso e dalla relativa funzione di autocorrelazione.
A sua volta, l’inviluppo complesso è direttamente ottenuto dal segnale analitico, altrimenti detto contenuto di frequenze positive, a sua
volta esprimibile mediante la trasformazione di Hilbert dei segnali, come illustrato nelle Figg.9.14 e 9.17. La trasformata di Hilbert x̂(t) é il
segnale prelevato all’uscita del filtro passa-tutto di Hilbert, con risposta in frequenza HH ( f ) = − j sign( f ).
Segnale analitico e Inviluppo Complesso
+
x (t) = x(t) + jx̂ (t) = x (t) e j2π f 0 t ⇒ X ( f ) = X + ( f + f0 ) = 2X ( f + f0 ) u( f + f0 )
(9.34)
x (τ) = Rx (τ) e j2π f 0 τ ⇒ Px ( f ) = Px+ ( f + f0 ) = 2Px ( f + f0 ) u( f + f0 )
Rx+ (τ) = 2Rx (τ) + j 2 R
(9.35)
Come si vede dalle Figg.9.14 e 9.17, il nome di contenuto di frequenze positive mette in evidenza la struttura dello spettro del segnale analitico,
diverso da zero solo nel semiasse f ≥ 0. Dalle stesse figure, inoltre, appare chiaro come il passaggio dal segnale analitico all’inviluppo
complesso si ottiene mediante demodulazione intorno a f0 , cosi come espresso nelle (9.34) e (9.35).
Per completezza, riportiamo anche le espressioni della trasformata di Hilbert e della sua funzione di autocorrelazione, e l’uso di esse
nell’estrazione delle componenti di bassa frequenza e delle loro funzioni di correlazione.
Trasformate di Hilbert di Segnali e Processi in Banda Traslata
x̂(t) = xc (t) sin(2π f0 t) + xs (t) cos(2π f0 t) = x(t)e j2π f 0 t
x (τ) = Rxc (τ) sin(2π f0 τ) + Rxs xc (τ) cos(2π f0 τ) = 1 Rx (τ)e j2π f 0 τ
R
2
Estrazione delle Componenti di Bassa Frequenza
xc (τ) = ( x(τ) + jx̂ (τ)) e−j2π f 0 τ = x(τ) cos(2π f0 τ) + x̂(τ) sin(2π f0 τ)
xs (τ) = ( x(τ) + jx̂ (τ)) e−j2π f 0 τ = − x(τ ) sin(2π f0 τ) + x̂(τ) cos(2π f0 τ)
Estrazione delle Funzioni di Correlazione delle Componenti di Bassa Frequenza
x (τ) e−j2π f 0 τ = Rx (τ) cos(2π f0 τ) + R
x (τ) sin(2π f0 τ)
Rx (τ) + jR
x (τ) e−j2π f 0 τ = − Rx (τ) sin(2π f0 τ) + R
x (τ) cos(2π f0 τ)
Rxc xs (τ) = Rx (τ) + jR
Rxc (τ) = Rxs (τ) = 9.4. COMMENTI FINALI
9.4.1
287
Filtraggio d’Inviluppi Complessi
La rappresentazione dei segnali tramite inviluppo complesso permette di descrivere in modo compatto le trasformazioni subite dalle componenti di bassa frequenza quando il segnale in banda traslata subisce operazioni
di filtraggio e modulazione.
Come illustrato nella Fig.9.18, supponiamo che il segnale modulato x( t ) con banda di larghezza B intorno
FT
alla portante a frequenza f 0 transiti in un filtro con risposta impulsiva (a banda piena) hFB( t ) ⇐⇒ HFB( f ).
x(t)
hFB (t)
y(t)
X(f )
H FB (f )
1
f
−f0
f0
X(f )
H (f )
f
B
H (f )
X(f )
B
2
f
B
x(t)
1
h(t)
2
y(t)
Figura 9.18: Filtraggio di inviluppi complessi.
Poiché il segnale x( t ) ha spettro non nullo solo nell’intorno delle frequenze ± f 0, l’uscita y ( t) del filtro è la
stessa che si avrebbe se il filtro avesse risposta impulsiva h ( t) ottenuta da h FB ( t ) mediante limitazione in banda
passante:
f − f0
f + f0
H ( f ) = HFB ( f ) · rect
+ rect
B
B
Di conseguenza, anche h ( t ) è un segnale modulato con banda di larghezza B intorno alla frequenza portante
f 0, e pertanto vale anche per esso la rappresentazione mediante componenti di bassa frequenza h c ( t ) e h s ( t ), e
inviluppo complesso h( t ) = hc( t ) + jhs ( t ):
h ( t ) = h c ( t ) cos(2π f 0t ) − h s ( t ) sin(2π f 0t ) = h ( t )ej2π f0 t
L’uscita y ( t), per la linearità dell’operazione di filtraggio, è ancora un segnale in banda traslata, poiché il prodotto delle trasformate di Fourier risulta non nullo solo nella banda di larghezza B intorno alle frequenze ± f 0,
e quindi sarà a sua volta un segnale in banda traslata rappresentabile tramite il suo inviluppo complesso y ( t )
288
CAPITOLO 9. PROCESSI ALEATORI IN BANDA TRASLATA
e le sue componenti di bassa frequenza y c ( t ) e y s ( t ). Dalla Fig.9.18 appare chiaro che lo spettro dell’inviluppo
complesso dell’uscita del filtro y ( t) si ottiene come prodotto tra gli spettri degl’inviluppi complessi dell’ingresso x( t ) e della risposta impusiva h ( t ), tenendo presente però che ciascun inviluppo complesso vede un fattore
di scala pari a 2:
1
1
Y( f ) = H ( f ) · X( f ) ⇒ y( t ) = h( t ) ∗ x( t )
(9.36)
2
2
Dim: scriviamo gli spettri dei segnali a radiofrequenza usando l’inviluppo complesso:
X ( f − f0 )
X (−( f + f0 ))
+
2
2
H ( f − f0 )
H (−( f + f0 ))
+
H( f ) =
2
2
X( f ) =
Per lo spettro di y(t) = ( x ∗ h)(t) calcoliamo:
Y( f ) = X( f ) · H ( f ) =
X ( f − f0 ) H ( f − f0 )
X (−( f + f0 )) H (−( f + f0 ))
·
+
·
2
2
2
2
(9.37)
dove abbiamo considerato che vale zero la moltiplicazione delle porzioni di spettro centrate in + f0 con quelle centrate in − f0 , cfr. anche
la Fig.9.18.
Usando l’inviluppo complesso, scriviamo anche lo spettro di y(t):
Y( f ) =
Y ( f − f0 )
Y(−( f + f0 ))
+
2
2
Confrontando la (9.37) con la (9.38), concludiamo Y ( f ) = X ( f ) H ( f )/2.
(9.38)
Riassumendo, a meno di un fattore di scala 1/2, alla convoluzione dei segnali in banda traslata corrisponde la
convoluzione dei relativi inviluppi complessi. Osserviamo che la relazione sopra scritta tra segnali complessi
corrisponde a due relazioni fra segnali reali:
yc ( t ) =
1
h c ( t ) ∗ xc ( t ) − h s ( t ) ∗ xs ( t )
2
1
h c ( t ) ∗ xs ( t ) + h s ( t ) ∗ xc ( t )
ys ( t ) =
2
(9.39)
Vale la pena notare che, in generale, il filtraggio comporta il mescolamento tra le componenti in fase e in
quadratura della risposta impusiva e del segnale in ingresso. Tuttavia, se il filtro ha una caratteristica con simmetria coniugata intorno alla portante, i.e. parte reale simmetrica pari e parte immaginaria simmetrica dispari
intorno alla portante (cfr. anche la Fig.9.19), la componente hs ( t ) svanisce, e le componenti di bassa frequenza
di x( t ), pur filtrate, non si mescolano. Tale condizione è particolarmente auspicabile nei casi applicativi, in cui
h ( t) rappresenta la risposta impulsiva del canale di comunicazione.
9.4. COMMENTI FINALI
289
1
Hc (f ) = RfHc (f )} + j IfHc (f )}
f
-B 2
B2
Hs (f ) = RfHs (f )} + j IfHs (f )}
1
f
-B 2
B2
k
2
p
R H (f )
R {Hc (f + f0 )}+ IfHs(f + f0 )
l
q l
q
R H c (f - f0 ) - I H s (f - f0 )
2
12
f
f0
-f0
I {Hc (f + f0 )}- R {Hs(f + f0 )}
2
k
p
I H (f )
12
I {Hc (f - f0 )}+ R {Hs (f - f0 )}
2
f
f0
-f0
-1 2
Figura 9.19: Rappresentazione mediante le componenti di bassa frequenza.
Hc ( f − f 0 ) + Hc ( f + f0 )
Hs ( f − f 0 )− Hs ( f + f0 )
FT
+j
h(t) = hc (t) cos(2π f0 t)− hs (t) sin(2π f0 t) ⇐⇒ H( f ) =
2
2
290
9.5
CAPITOLO 9. PROCESSI ALEATORI IN BANDA TRASLATA
Trasferimento della Potenza in Banda Traslata
Ricordando la relazione di convoluzione tra gli inviluppi complessi
y ( t) = x( t ) ∗ h ( t) ⇐⇒ y( t ) =
1
( x ∗ h) ( t )
2
abbiamo immediatamente:
Ry ( τ ) =
1
| H( f )|2
FT
R x ∗ R h ( τ ) ⇐⇒ Py ( f ) = Px ( f ) ·
4
4
Vale la pena notare che il fattore 4 necessario per il calcolo di H ( f ) a partire da H ( f ) si compensa nel calcolo
dello spettro di densità di potenza dell’inviluppo complesso dell’uscita al filtro. Infatti, risulta:
H( f ) 1 +
1
= H ( f + f 0 ) = (2H ( f + f 0 ) u ( f + f 0 )) = H ( f + f 0 ) u ( f + f 0)
2
2
2
2
| H( f )|2 1 +
= H ( f + f 0 ) = | H ( f + f 0 )|2 u ( f + f 0 )
4
4
9.5. TRASFERIMENTO DELLA POTENZA IN BANDA TRASLATA
9.5.0.1
291
Esempio Notevole: Rumore Bianco in Banda Traslata
Consideriamo il processo a banda larga w ( t) con funzione di autocorrelazione e densità spettrale di potenza:
Rw ( τ ) =
N0
· δ(τ)
2
Pw ( f ) =
;
N0
2
Sia n ( t ) l’uscita del filtro passabanda ideale9.14 quando all’ingresso è applicata una realizzazione di w ( t). Il
processo n ( t) ha densità spettrale di potenza limitata nella banda di larghezza B intorno a f 0, e perciò si
rappresenta convenientemente per mezzo dell’inviluppo complesso:
; n( t ) = nc( t ) + jns ( t )
n ( t )= nc ( t ) cos(2π f 0t )− ns( t ) sin(2π f 0t ) = n( t ) e j2π f0t
Lo densità spettrale di potenza dell’inviluppo complesso n( t ) assume la forma seguente, cfr. anche la Fig.9.20:
E { Pn ( f )}
f
f
Pn ( f ) = 2N0 rect
; Pnc ( f ) = Pns ( f ) =
= N0 rect
(9.40)
B
2
B
simm. pari
Per quanto riguarda la potenza complessiva abbiamo:
Pn = 2N0 B
Pn = Pn c = Pn s =
;
Pn
= N0 B
2
Per le funzioni di correlazione abbiamo:
R n ( τ ) = 2N0 · F
−1
{rect B ( f )} = 2N0 B sinc( Bτ )
e quindi
R nc ( τ ) = R ns ( τ ) = N0 B sinc( Bτ ) ;
R ns nc ( τ ) = 0
Pw (f )
B
B
Pn (f )
N0 2
-f0
N0 2
f
f0
0
Pn+ (f )
2N 0
f
f0
0
Pn (f ) = Pn+ (f + f0 )
2N 0
f
0
Figura 9.20: Densità spettrali di potenza del processo bianco nella banda B intorno a f0 .
9.14 La
risposta in frequenza del filtro passabanda ideale:
(B, f 0 )
HBP
( f ) = rect
f − f0
B
+ rect
f + f0
B
292
9.6
CAPITOLO 9. PROCESSI ALEATORI IN BANDA TRASLATA
Sequenze e Serie Aleatorie in Banda Traslata
Quanto esposto nei paragrafi precedenti per il caso di segnali analogici, si applica anche al caso dei segnali
discreti. Occorre sottolineare, però, che i risultati si estendono in modo diretto solo se la massima frequenza
radiante dei segnali in gioco si mantiene limitata e inferiore a π, i.e. ogni qualvolta la periodicità modulo 2π
degli spettri non provoca effetti di ripiegatura (folding e aliasing).9.15 Per quanto riguarda l’estrazione delle
componenti di bassa frequenza, poichè possiamo utilizzare l’aritmetica complessa nella manipolazione delle
sequenze, lo schema di Fig.9.4 diventa quello di Fig.9.21, dove notiamo la presenza del mixer complesso. Poichè
la generazione della sequenza sinusoidale e− jω0 n è particolarmente semplice, la complessità computazionale
della struttura di calcolo è quasi interamente concentrata nel filtro passabasso finale.
Le componenti di bassa frequenza si leggono direttamente nei registri della parte reale e della parte immaginaria all’uscita del filtro.
e-jw0n
x[n]
R{×}
xc[n] 2
I {×}
xs[n] 2
(B )
hLP
[n]
(B )
hLP
[ n ] = B sinc(Bn)
( B ) jw
H LP
(e )
1
-p
0
p
w
2pB
Figura 9.21: Estrazione delle componenti di bassa frequenza di una sequenza.
9.15 Tali effetti di ripiegatura risultano talvolta utilizzabili in specifiche situazioni d’interesse
testo.
pratico che però esulano dagli scopi di questo
9.7. APPENDICE
9.7
293
Appendice: Dimostrazioni
Lemma 9.1 Il segnale analitico x+ (t) di un processo aleatorio x(t) stazionario, ergodico, a valor medio nullo, e densità spettrale di potenza limitata
nella banda di larghezza B intorno a f0 , é un processo stazionario ed ergodico, complesso proprio, a valor medio nullo.
Dim: il segnale analitico si ottiene considerando la trasformata di Hilbert nel modo che sappiamo:
x+ (t) = x(t) + jx̂ (t)
Ricordiamo che la trasformata di Hilbert x̂(t) si ottiene da di x(t) mediante il filtraggio passa-tutto con risposta in frequenza:
HH ( f ) = − j sign( f )
Poichè il filtro di Hilbert è un filtro passa-tutto, i.e. | HH ( f )|2 = 1, gli spettri di densità di potenza di x(t) e x̂(t) coincidono:
Px̂ ( f ) = | HH ( f )|2 Px ( f ) = Px ( f )
(9.41)
Rx (τ) = Rx̂ (τ)
(9.42)
e quindi anche le funzioni di autocorrelazione:
Essendo la risposta in frequenza del filtro di Hilbert immaginaria e simmetrica dispari, lo spettro di densità di potenza incrociato
simmetrica dispari
Px̂x ( f ) = Px ( f ) · HH ( f )
(9.43)
simm. pari simm. dispari
eredita la proprietà di simmetria dispari, e quindi anche la funzione di correlazione incrociata risulta simmetrica dispari:9.16
Rx̂x (τ) = − Rx̂ x (−τ )
(9.44)
x+ (t);9.17
infatti,
Le relazioni (9.42) e (9.44) sono proprio le cercate condizioni di simmetria coniugata al II ordine per il processo complesso
tenendo presente che E { x(t)} = 0 ⇒ E { x+ (t)} = 0, potendo scambiare valori attesi con medie temporali per l’ipotesi di stazionarietà ed
ergodicità (ISE) di x(t), che il filtraggio riporta anche su x̂(t), risulta:
Cov x+ (t), x+ (t − τ) = E x+ (t) x+ (t − τ) = E { x(t) x( t − τ)} + jE { x̂(t) x (t − τ)} + jE { x(t) x̂ (t − τ)} − E { x̂(t) x̂(t − τ)}
= Rx (τ) − Rx̂ (τ) + jRx̂ x (τ) + jRxxˆ (τ) = 0
(ISE)
= 0 per la (9.42)
Infine, la stazionarietà ed ergodicità di
x+ (t)
= 0 per la (9.44)
= x(t) + x̂(t), segue direttamente dall’ipotesi di stazionarietà ed ergodicità (ISE) di x(t),
riportata per filtraggio anche su x̂(t).
9.16 Notiamo
(9.47)
x (τ).
che dalla (9.43) possiamo anche scrivere Rx̂x (τ) = R
del processo complesso proprio x(+) (t) è sufficiente la sola funzione di autocorrelazione:
(9.45)
Rx+ (τ) = E x+ (t) · x+ (t − τ) = 2Rx (τ) + 2jRx̂ x (τ)
9.17 Ricordiamo che per la descrizione al II ordine
x (τ) = Rx̂x (τ), possiamo anche scrivere
Poichè R
x (τ)
Rx+ (τ) = 2Rx (τ) + 2jR
(9.46)
294
9.8
CAPITOLO 9. PROCESSI ALEATORI IN BANDA TRASLATA
Appendice: Inviluppo Complesso e Propria Complessità
Spesso, ignorando la proprietà di simmetria coniugata al II ordine, per dimostrare le relazioni nella (9.20) si incontra la seguente dimostrazione, molto più onerosa dal punto di vista degli sviluppi algebrici. Posto Ω0 = 2π f0 , si calcola dapprima Rxc (τ):
x+ (t)e −jΩ0 t + x+ (t)e +jΩ0 t x+ (t − τ)e − jΩ0 (t−τ) + x+ (t − τ)e+ jΩ0 (t−τ)
Rxc (τ) = E { xc (t) xc (t − τ)} = E
·
2
2
e−jΩ0 τ
e−jΩ0 (2t−τ )
= E x+ (t) x+ (t − τ) ·
+ E x+ (t)x + (t − τ) ·
4
4
=0
e+jΩ0 (2t−τ)
e+jΩ0 τ
1 + E x+ (t)x + (t − τ) ·
+ E x+ (t) x+ (t − τ) ·
= E x+ (t) x+ (t − τ) · e−jΩ0 τ
4
4
2
=0
1 = Rx+ (τ) · e−jΩ0 τ = Rx (τ) cos(Ω0 τ) + Rx̂ x (τ) sin(Ω0 τ)
2
Poi, si dimostra Rxs (τ) = Rxc (τ):
Rxs (τ) = E { xs (t) xs (t − τ)} = E
x+ (t)e − jΩ0 t − x+ (t)e +jΩ0 t x+ (t − τ)e− jΩ0 (t−τ) − x+ (t − τ)e+ jΩ0 (t−τ)
·
2j
2j
e−jΩ0 τ
e−jΩ0 (2t−τ )
= E x+ (t) x+ (t − τ) ·
− E x+ (t)x + (t − τ) ·
4j2
4j2
=0
e+jΩ0 (2t−τ)
e+jΩ0 τ
1 + E x+ (t) x+ (t − τ) ·
− E x+ (t) x+ (t − τ) ·
= E x+ (t) x+ (t − τ) · e−jΩ0 τ
2
2
4j
4j
2
=0
= Rxc (τ)
Infine, si dimostra Rxs xc (τ) = − Rxs xc (−τ ):
Rxs xc (τ) = E { xs (t) xc (t − τ)} = E
x+ (t)e− jΩ0 t − x+ (t)e+ jΩ0 t x+ (t − τ)e − jΩ0 (t−τ) + x+ (t − τ)e + jΩ0 (t−τ)
·
2j
2
e−jΩ0 τ
e−jΩ0 (2t−τ)
= E x+ (t) x+ (t − τ) ·
+ E x+ (t) x+ (t − τ) ·
4j
4j
=0
e+jΩ0 (2t−τ)
e+jΩ0 τ
1 − E x+ (t) x+ (t − τ) ·
− E x+ (t) x+ (t − τ) ·
= E x+ (t) x+ (t − τ) · e−jΩ0 τ
4j
4j
2
=0
1 Rx+ (τ) · e−jΩ0 τ = − Rx (τ) · sin(Ω0 τ) + Rx̂ x (τ)
2
simm. pari simm. dispari
simm. dispari
· cos(Ω0 τ) ⇒ simmetrica dispari
simm. dispari
simm. pari
simm. dispari
Fly UP