3. IL PROBLEMA DI DIDONE

3. IL PROBLEMA DI DIDONE
(SOLUZIONI)
• La leggenda: Didone era la figlia di un re di Tiro che secondo la leggenda era sposata
al proprio zio Acerba. Questo fu ucciso a causa delle sue molte ricchezze e cosı̀ Didone
si trovò costretta a fuggire. Approdò a Cipro e da lı̀ salpò verso le coste dell’Africa di
fronte alla Sicilia. Approdata sulla costa, chiese al signore del luogo di poter acquistare
un po’ di terra lungo la spiaggia: un pezzo non più grande di quanto potesse essere
cinto con una pelle di bue. Egli acconsentı̀ a questa modesta richiesta da parte di una
bella signora e le offrı̀ generosamente una grande pelle.
Didone si fece furba due volte, e riuscı̀ ad ottenere ben più terra di quanta il signore
del luogo avesse immaginato. Tagliò infatti la pelle in sottilissime striscioline che legò
insieme in modo da formare una fune. Si trovò poi di fronte al problema:
Qual è la figura di area massima che si può circondare con una fune di data lunghezza
i cui estremi poggiano su una linea retta? (Si suppone che la spiaggia sia rettilinea)
Didone trovò la soluzione del problema e divenne, in parte a causa della sua soluzione
ben riuscita, la fondatrice e regina della prospera città di Cartagine.
• Il problema di Didone: Tra tutte le curve di lunghezza fissata i cui estremi appartengono ad una retta fissata, quale ha area massima?
soluz. La semicirconferenza.
Si fissino L la lunghezza e una retta r (che per comodità consideriamo orizzontale).
Si consideri una qualunque curva di lunghezza L che poggia i suoi estremi sulla retta
e chiamiamo tale curva γ. Si consideri la riflessa di γ rispetto alla retta e sia la curva
chiusa cosı̀ ottenuta γγ −1 . Osserviamo che la curva γγ −1 è una curva chiusa, simmetrica
rispetto all’asse r e lunga 2L .
Per il Problema Isoperimetrico, tra tutte le curve di lunghezza fissata e simmetriche
rispetto ad un asse quella di area massima è la circonferenza. Infatti la classe di tutte le
figure di dato perimetro include anche quelle con un asse di simmetria e la circonferenza
ha un asse di simmetria (in realtà ne ha infiniti!).
Questo garantisce che tra tutte le curve di lunghezza 2L e simmetriche rispetto alla
retta r quella di area massima è la circonferenza, e quindi la curva γ che massimizza
l’area racchiusa sotto di sé, e delimitata dalla retta r, è la semicirconferenza.
• Tra tutte le curve di lunghezza fissata e estremi fissati, quale ha area massima?
soluz. L’arco di circonferenza passante per i punti fissati.
Si considerino L la lunghezza e r una retta sulla quale si fissino due punti A, B in
modo che AB < L . Sia γ una curva di lunghezza L che poggia i suoi estremi su A e
B rispettivamente. Sia inoltre C l’arco di circonferenza passante per A, B e lungo L
(esiste sempre tale arco: perché?). Si consideri infine la curva C ′ che completa l’arco
C in una circonferenza passante per A e per B.
Componiamo adesso le curve γ e C con C ′ . La curva γC ′ ha la stessa lunghezza della
circonferenza C C ′ e per il Teorema Isoperimetrico, vale
AγC ′ ≤ AC C ′ ,
e si ha l’uguale se e solo se γC ′ = C C ′ cioè se e solo se γ = C .
Quindi la curva di lunghezza L e con estremi in A, B che massimizza l’area è l’arco di
circonferenza.
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4. LA SIMMETRIZZAZIONE DI STEINER
Ammettendo che vi sia una figura di area massima fra quelle di dato perimetro, si può
usare la riflessione anche per dimostrare il Teorema Isoperimetrico. Steiner escogitò varie
dimostrazioni di questo tipo, per arrivare a provare che la figura massimale deve avere asse
di simmetria per ogni possibile direzione.
Una delle sue idee consisteva nel dimostrare che
• la figura massimale deve essere simmetrica rispetto ad ogni retta che ne divida il
perimetro in due parti uguali.
Vediamo in dettaglio come.
Sia F una figura di perimetro P e sia c una corda che divide in due parti uguali il perimetro
di F : c sarà delimitata da due punti su c che chiamiamo A e B. Se c non divide anche l’area
di F in due parti uguali, allora si può togliere la parte di area minore, ad esempio quella
delimitata dall’arco di curva AB, e sostituirla con la parte di area maggiore, l’arco di curva
BA. In questo modo si ottiene una nuova figura F ′ il cui perimetro è ancora P, ma la cui
area è maggiore di quella di F e F ′ è simmetrica rispetto alla corda c.
Può capitare che l’area della figura delimitata dall’arco AB e dalla corda c sia uguale a
quella della figura delimitata dalla corda e dall’arco complementare BA. È allora indifferente
quale dei due archi si sostituisce, poiché in questo caso anche l’area resta invariata.
Quindi se F è una figura massimizzante l’area e di perimetro P, necessariamente deve
essere simmetrica rispetto ad ogni retta che ne divida il perimetro in due parti uguali (altrimenti potrei rendere l’area maggiore con un procedimento analogo al precedente). Segue
necessariamente che deve essere una circonferenza.
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