Parte I la perdita di energia delle particelle cariche

Introduzione ai rivelatori di particelle
Introduzione
ai rivelatori
di particelle
Parte I
la perdita di
energia delle
particelle
cariche
AA 2011/2012
Carlin - Checchia - Pisent
1
Introduzione ai rivelatori di particelle
Interazioni con la materia di particelle
subnucleari
•  Ci interessano le particelle stabili, o quelle con
vita media lunga rispetto al tempo di
attraversamento del detector. Le altre decadono
prima di essere rivelate (ma nota lo studio dei
vertici secondari di decadimento)
•  Particelle cariche
–  Interazioni elettromagnetiche con elettroni e nuclei
del mezzo
–  Se ad alto γanche emissione di radiazione E.M
(tipicamente per gli elettroni)
–  Se adroni, anche interazioni forti con i nuclei che
producono altre particelle (cariche o neutre)
•  Adroni neutri (neutroni, k0)
–  Interazioni forti con i nuclei
•  Leptoni neutri (neutrini)
–  Interazioni deboli con elettroni o nucleoni
•  Fotoni
–  Effetto fotoelettrico
–  Scattering su elettroni atomici
–  Creazione di coppie e+e-
•  Fenomeni 1,2,4 rilevanti per il corso
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Introduzione ai rivelatori di particelle
la perdita di energia delle particelle cariche
Volume dell’atomo è 1015 volte maggiore di
quello del nucleo (10-10/10-15)3. Le particelle
cariche interagiscono soprattutto con gli
elettroni atomici
Una particella carica in un mezzo perde energia
con molti piccoli urti con gli elettroni
continuando la sua traiettoria fino a fermarsi
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Introduzione ai rivelatori di particelle
la perdita di energia delle particelle cariche
•  Processo principale
–  interazione EM con gli elettroni
dell’assorbitore
•  ionizzazione
•  eccitazione
–  l’energia cinetica diminuisce a piccoli
passi, fino all’arresto
–  le particelle sono in generale molto più
pesanti degli elettroni, subiscono
deflessioni trascurabili
•  deflessioni importanti negli urti con i
nuclei, molto più rari
–  Range
•  percorso medio nell’assorbitore
•  I processi individuali sono soggetti a
fluttuazioni statistiche
–  Range straggling
•  fluttuazioni del range attorno alla media
–  Energy straggling
•  fluttuazioni dell’energia persa in un dato
spessore
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Introduzione ai rivelatori di particelle
la perdita di energia delle particelle cariche
•  Perdita di energia media:
dE
−
dx
•  Si utilizza spesso al posto dello
spessore la “mass thickness”
–  dt=ρdx [g/cm2]
•  In questo modo la perdita di
energia si esprime come
dE MeV
−
[
2]
dt g/cm
(moltiplicando per la densità si
ottiene la perdita di energia in
MeV/cm)
• 
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NB spesso nei testi si usa
comunque “x”, si capisce dall’unità
di misura
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Introduzione ai rivelatori di particelle
calcolo della perdita di energia in un mezzo
•  Impulso I acquisito da un elettrone quando una particella con
carica ze passa a distanza b (parametro d’impatto)
I = ∫ F dt = e ∫ E⊥ dt =e ∫ E⊥
dt
dx
dx =e ∫ E⊥
dx
v
•  Utilizzando Gauss per ottenere E⊥ (cilindro centrato sulla
traiettoria e passante per l’elettrone)
2ze
b
2ze2
I2
2z 2 e4
I=
→ ΔEK ( b ) =
=
bv
2me meb 2 v 2
∫ E⊥ 2π b dx = 4π ze → ∫ E⊥ dx =
•  Se Ne è la densità di elettroni l’energia persa verso gli elettroni
in un volumetto dV attorno a b è
dV = 2π b ⋅ db ⋅ dx
4π z 2 e 4
db
−dE ( b ) = ΔEk ( b ) N e dV =
N
dx
e
2
me v
b
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Introduzione ai rivelatori di particelle
Perdita di energia - Bohr
•  Calcolo l’energia trasferita tra un bMIN e un bMAX. Nota che per
bMIN=0 avrei una divergenza, quando invece esiste un
massimo di energia trasferita
⎛ bMAX ⎞
dE 4π z 2 e4
−
=
N
ln
e
⎜⎝ b ⎟⎠
dx
me v 2
MIN
ΔE ( bMIN ) = ΔEMAX = 2meγ 2 v 2
(urto frontale)
2z 2 e4
ze2
2 2
ΔE ( bMIN ) =
= 2meγ v → bMIN =
2
mebMIN
v2
meγ v 2
•  Per calcolare bMAX tengo conto che l’urto deve avvenire in un
tempo piccolo rispetto alla frequenza orbitale (gli elettroni
sono legati)
tURTO ≤ T =
1
ν
b
b
→
(relativisticamente)
v
γv
b 1
γv
tURTO =
≤ →b≤
γv ν
ν
γv
bMAX =
ν
⎛ bMAX ⎞ 4π z 2 e4
⎛ γ 2 me v 3 ⎞
dE 4π z 2 e4
−
=
N e ln ⎜
=
N e ln ⎜
2
⎟
dx
me v 2
b
m
v
⎝ ze2ν ⎟⎠
⎝ MIN ⎠
e
tURTO 
•  Funziona bene per particelle massive e materiale con nuclei
pesanti. Per stime più precise → Bethe-Bloch
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Introduzione ai rivelatori di particelle
Bethe-Bloch
dE ⎡ MeV ⎤
2me c 2γ 2β 2
δ⎞
2
2 2 Z 1 ⎛
2
−
= 4πN A re me c z ρ
−β − ⎟
⎜ ln
dx ⎢⎣ cm ⎥⎦
A β2 ⎝
I
2⎠
•  z è la carica della particella incidente (in unità
di carica elementare)
•  Z,A sono numero atomico e peso atomico
dell’assorbitore
•  4πNAre2mec2=D=0.3071 MeV/(g/cm2)
contiene costanti (massa dell’eletrone, raggio
classico dell’elettrone, numero di Avogadro)
•  I è l’energia di eccitazione media
dell’assorbitore
•  I=16Z0.9 eV
•  β=v/c
•  γ= 1/√(1-β2) fattore di Lorentz
•  δè un parametro che descrive la
schermatura del campo eletrico della
particella incidente dovuta alla polarizzazione
del mezzo (effetto densità)
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mean excitation energy: I
22
20
Iadj / Z (eV)
18
ICRU 37 (1984)
(interpolated values are
not marked with points)
16
14
Barkas & Berger 1964
12
Bichsel 1992
10
8
0
10
20
30
40
50
Z
60
70
80
90
100
• E’ il parametro più importante che
descrive le caratteristiche dell’assorbitore
• Dipende anche dallo stato molecolare e
dalla fase (per elementi leggeri):
• idrogeno atomico I=15eV
• idrogeno molecolare I=19.2 eV
• idrogeno liquido I=21.8eV
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Bethe-Bloch: dipendenza dall’energia
δ (γ ) ⎞
dE ⎡ MeV ⎤
2me c 2γ 2 β 2
2
2 2 Z 1 ⎛
2
− ⎢
=
4
π
N
r
m
c
z
ρ
ln
−
β
−
A e
e
dx ⎣ cm ⎥⎦
A β 2 ⎜⎝
I
2 ⎟⎠
•  L’equazione è valida per velocità molto superiori
a quella degli elettroni atomici
–  β>>αz (α=1/137)
–  per velocità inferiori entrano in gioco effetti di
cattura degli elettroni atomici (se la particella è uno
ione positivo)
•  per valori di β≤0.96, domina il termine 1/β2
–  la perdita di energia diminuisce rapidamente con
l’energia
•  Si arriva ad un minimo molto largo perβγ≈ 4
–  βdiventa quasi costante al crescre dell’energia
–  particelle al minimo di ionizzazione, MIP
•  poi la ionizzazione ricresce come 2lnγ
–  relativistic rise
•  il relativistic rise è poi limitato dal termine
δ(correzioni di densità, importanti ad alte
energie)
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Introduzione ai rivelatori di particelle
Bethe-Bloch, dipendenza dall’energia
1/β2
lnγ2
•  Dato un assorbitore, la perdita di energia a parità di
momento dipende dalla massa della particella (diverso
β)
•  Se è noto il momento, si può usare per
l’identificazione della particella
•  Al minimo di ionizzazione la perdita di energia è la
stessa per tutte
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Introduzione ai rivelatori di particelle
Bethe-Bloch dipendenze dall’assorbitore
10
! dE / dx (MeV g!1cm2)
8
6
5
H2 liquid
4
He gas
3
2
1
0.1
Sn
Pb
1.0
0.1
0.1
0.1
10
100
"# = p/ Mc
Fe
Al
1000
10 000
1.0
10
100
Muon momentum (GeV/c)
1000
1.0
10
100
Pion momentum (GeV/c)
1.0
C
10
100
1000
Proton momentum (GeV/c)
1000
10 000
•  a parità di βγ l’energy loss dipende
dall’assorbitore
−
dE
Z
= z 2 f (I)
dt
A
•  le dipendenze sono modeste, a parte per i materiali
più leggeri (H,He)
•  naturalmente, il tutto va moltiplicato per la
densità
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B-B dipendenza dall’assorbitore
!– dE / dx"min (MeV g –1cm2)
2.5
H2 gas: 4.10
H2 liquid: 3.97
2.35 – 0.28 ln(Z)
2.0
1.5
Solids
Gases
1.0
0.5
H
He
1
2
Li Be B C NO Ne
5
10
Fe
20
Sn
50
100
Z
•  al crescere di Z diminuisce Z/A
•  la differenza tra solidi e gas diminuisce con Z, è
rilevante solo per assorbitori leggeri
•  Il termine z2 è importante, una particella α ionizza
il quadruplo di una particella di carica unitaria a
parità di altre condizioni
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Introduzione ai rivelatori di particelle
esempi di calcolo
•  Argon gassoso STP
•  0 °C, 100 kPa: ρ=1.78×10-3 g/cm3
•  Z=18, A=40, I=16Z0.9=215.7 eV
⎞
dE 0.246 ⋅10 −3 ⎛ ⎛
β2 ⎞
2
−
=
ln⎜ 8.463⋅
⎜
2
2 ⎟ − β ⎟ MeV/cm
dx
β
1− β ⎠
⎝ ⎝
⎠
–  minimo per β=0.952, βγ=3.12
–  dE/dx =2.66 KeV/cm (1.49 MeV/(g/
cm2)
–  per βγ=100 aumenta di un fattore
1.54
•  Argon liquido
•  ρ=1.4g/cm3
–  cambia il fattore moltiplicativo
–  dE/dx al minimo = 2.09 MeV/cm
–  uguale in termini di MeV/(g/cm2)
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Introduzione ai rivelatori di particelle
esempi di calcolo
•  alluminio
•  ρ=2.7g/cm3, Z=13, A=27, I=16Z0.9=160.9 eV
•  minimo per β=0.954, βγ=3.175
•  dE/dx =4.47 MeV/cm (1.65 MeV/(g/cm2) al
minimo di ionizzazione
•  idrogeno liquido
•  ρ=0.07g/cm3, Z=1, A=1, I=21.8 eV
•  minimo per β=0.962, βγ=3.504
•  dE/dx =0.287 MeV/cm (4.1MeV/(g/cm2) al
minimo di ionizzazione
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Introduzione ai rivelatori di particelle
curve di Bragg
•  Particelle al minimo di ionizzazione perdono una
quantità di energia circa costante per unità di lunghezza,
fino a che vengono rallentate a βγ< 4
•  Poi la perdita di energia cresce con 1/β2 le particelle si
portano rapidamente a riposo
•  Questo fatto viene usato nei trattamenti con radiazioni,
in quanto gran parte della dose viene depositata nella
parte finale del percorso
•  calibrazione dell’energia in modo che il range
corrisponda alla zona da trattare
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Introduzione ai rivelatori di particelle
eccezioni alla B-B
•  elettroni e positroni
–  gli elettroni sono in generale ultrarelativistici:
γ=4 a 2MeV
–  nell’urto con gli elettroni atomici non si
possono trascurare le deflessioni
–  differenze tra elettroni e positroni
(indistinguibilità)
⎞
dE
Z 1 ⎛ γme c 2β γ − 1
−
= D ρ 2 ⎜ ln
+ f (γ )⎟
dx
A β ⎝
2I
⎠
–  dove f(γ) è differente per e+ ed e- :
f (γ ) elettroni =
1
2γ − 1
1 ⎛ γ − 1⎞
2
1−
β
−
ln2
+
( ) 2γ 2
⎜
⎟
2
16 ⎝ γ ⎠
2
β2 ⎛
14
10
4 ⎞
f (γ ) positroni =
23 +
+
2 +
3⎟
⎜
24 ⎝
γ + 1 (γ + 1)
(γ + 1) ⎠
–  la differenza più significativa però è che
esistono fenomeni radiativi che diventano
presto più importanti delle perdite di energia
per collisione
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Introduzione ai rivelatori di particelle
eccezioni alla B-B
•  Channeling
•  l’assorbitore è un solido cristallino
•  la particella incidente è allineata con un piano
di simmetria del reticolo
–  la particella viene guidata lungo il canale
–  perdita di energia ridotta
•  fenomeni diversi per particelle positive o
negative
–  angolo critico rispetto al piano per avere
channeling:
φC =
zZa0 Ad
1670 β γ
•  dove d è la distanza interatomica e a0 il raggio
di Bohr
–  l’angolo è piccolo e diminuisce con l’energia
φC  1 per β  0.1
–  il channeling può essere usato per deflettere e
collimare fasci di particelle
•  Con cristalli piegati si possono ottenere deflessioni
equivalenti a quella di un magnete da 100T
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Introduzione ai rivelatori di particelle
Range
•  Integrando la Bethe-Bloch si può pensare di
calcolare il range di una particella carica in un
assorbitore
•  R= spazio percorso fino a fermarsi
E TOT
R(E TOT ) =
∫
0
−1
⎛ dE ⎞
dE
⎝ dx ⎠
•  Ci sono effetti minori da tenere in considerazione
•  il moto della particella non sarà esattamente
rettilineo (vedi “multiple scattering” più
avanti)
•  la B-B non vale a energie molto basse
•  Si usano formule semi-empiriche:
(
E TOT
) ∫
R(E TOT ) = R0 E MIN ) +
E MIN
−1
⎛ dE ⎞
dE
⎝ dx ⎠
•  dove EMIN è la minima energia a cui la B-B
funziona
•  Per energie non relativistiche R è proporzionale a
ETOT1.75
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Introduzione ai rivelatori di particelle
Range
50000
20000
C
Fe
10000
Pb
R / M (g cm#2 GeV#1)
5000
2000
H2 liquid
He gas
1000
500
200
100
50
20
10
5
2
1
0.1
2
0.02
1.0
5
0.05
2
0.2
0.1
5
!" = p/ Mc
0.5
10.0
1.0
2
5
2.0
5.0
100.0
10.0
Muon momentum (GeV/c)
0.02
0.05
0.1
0.2
0.5
1.0
2.0
Pion momentum (GeV/c)
0.1
0.2
0.5
1.0
2.0
5.0
10.0 20.0
5.0
10.0
50.0
Proton momentum (GeV/c)
•  Range espresso in R/M, dove M è la massa della
particella incidente in GeV/c2
•  NB per alte energie (range lungo) bisogna tenere conto
anche di radiazione ed interazioni con i nuclei
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fluttuazioni (straggling)
•  Grandi spessori:
–  dt ≥ 1 g/cm2
–  numero grande di urti, distribuzione gaussiana
della perdita di energia:
Z
σ 0 = D ⋅ mec z ρ x
A
D = 0.307MeVcm 2 /mole
2
2 2
–  dove x è lo spessore di materiale attraversato
–  il tutto vale se le perdite di energia sono piccole
rispetto all’energia totale
•  piccole variazioni di velocità
•  Esempi
–  x=1cm di Al,
•  σ=0.45MeV, ΔE=4.5MeV
•  dispersione di circa il 10% (al minimo di ionizzazione)
–  muone al minimo di ionizzazione in Pb
•  dE/dx=12.83 MeV/cm (≈1GeV/m)
•  σ=8.5MeV in un metro
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Introduzione ai rivelatori di particelle
fluttuazioni della perdita di energia
•  Piccoli spessori
–  grande fluttuazione della perdita di energia
–  grandi code ad alti trasferimenti di energia,
distribuzione asimmetrica
–  curve di “Landau”
•  valore più probabile (picco) molto più piccolo del valore
medio
0.50
1.00
" /x (MeV g#1 cm2)
1.50
1.0
2.50
500 MeV pion in silicon
640 !m (149 mg/cm2)
320 !m (74.7 mg/cm2)
160 !m (37.4 mg/cm2)
80 !m (18.7 mg/cm2)
0.8
f (" /x)
2.00
0.6
w
0.4
"p /x
0.2
0.0
100
200
300
Mean energy
loss rate
400
" /x (eV/!m)
500
600
–  NB spesso il detector sottile non vede queste
fluttuazioni
•  elettroni che ricevono una grande energia (δelectrons)
possono sfuggire dal rivelatore
•  Energia rivelata minore dell’energia persa dalla particella
•  Fluttuazioni rivelate minori della fluttuazione di energia
persa
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Introduzione ai rivelatori di particelle
fluttuazioni della perdita di energia
(
1
L (λ ) =
e
2
ΔE − ΔE Picco
λ=
ζ
)
⎛ 1
⎞
⎜ − λ +e − λ ⎟
⎝ 2
⎠
Z 1
ζ = 2πN r me c z
2 ρx
Aβ
2
A e
2 2
⎛ ⎛ 2me c 2β 2λ2 ⎞
⎞
ζ
2
ΔE Picco = ζ ⎜ ln⎜
⎟ + ln + 0.2 − β − δ ⎟
I
I
⎠
⎝ ⎝
⎠
•  Curva di Landau complessa
•  valori medio e di picco tabulati per i casi più
comuni
•  Esempio:
•  particella al minimo di ionizzazione (βγ=4)
•  1 cm di Ar in condizioni standard
•  ΔEPicco =1.2keV
•  ΔEMedio=2.71keV
•  Rilevante per rivelatori a gas (poco densi) e per
rivelatori sottili (silicio)
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Introduzione ai rivelatori di particelle
ionization yield
•  Quante coppie ione-elettrone vengono
prodotte lungo la traccia?
–  Ionizzazione primaria: ioni prodotti
direttamente dall’interazione particellaassorbitore
–  Ionizzazione secondaria: ioni prodotti da
elettroni primari sufficientemente energetici
•  Numero di ioni prodotti
–  nT=ΔE/W
–  W potenziale efficace di ionizzazione
(maggiore del potenziale di ionizzazione
dell’elemento, spesso le interazioni sono con
elettroni dei gusci interni)
•  Esempio
–  in Ar gassoso a STP, per una MIP
•  W = 26 eV
•  nP=29/cm
•  nT=94/cm
–  In Si
•  W=3.6 eV
•  numero di coppie molto maggiore per unità di t
(g/cm2): dE/dx = 3.87 MeV/cm
•  30000 coppie per 300μm di Si (circa 4 fC)
•  valori molto variabili per i vari gas e miscele
–  tabulati
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Introduzione ai rivelatori di particelle
Bremsstrahlung
•  Radiazione di frenamento
–  le particelle cariche che vengono frenate emettono
energia sotto forma di fotoni (Bremsstrahlung)
•  la sezione d’urto è proporzionale a 1/m2
⎛ e2 ⎞
σ ∝⎜ 2⎟
⎝ mc ⎠
2
–  a energie inferiori a qualche centinaio di GeV, solo gli elettroni
perdono sensibilmente energie per radiazione
–  me/mμ≈ 200
–  fattore 40.000 in probabilità di radiazione
•  L’effetto principale è dovuto allo scattering con il campo
elettrico dei nuclei
•  L’energia radiata per unità di lunghezza è
proporzionale all’energia della particella, ed è
funzione del materiale
–  Lunghezza di radiazione X0
−
dE
E
≈
dx X 0
–  X0 = distanza percorsa nel mezzo tale che l’energia
diminuisce di un fattore 1/e
x
–  integrando:
−
E = E 0e
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X0
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Introduzione ai rivelatori di particelle
Bremsstrahlung
•  Valore approssimato per X0 (per
elettroni)
2
1
Z
183
= 4αr02 N A
ρ ln 1 3
X0
A
Z
1
α=
137
1 e2
r0 =
4πε 0 mc 2
•  Anche l’interazione con gli elettroni del
mezzo contribuisce
–  proporzionale a Z e non a Z2
–  inoltre ci sono correzioni coulombiane
1
ρ ⎞ 2 ⎛ 183
⎛
⎞
= 4 Z ( Z + 1) N A
αr0 ln 1 3 − f (Z)
⎝
⎝ Z
⎠
X0
A⎠
F(Z) = α 2
⎛ 1
2
4
6⎞
+
0.202
−
0.036
α
+
0.008
α
−
0.002
α
⎝1 + α 2
⎠
α = Z 137
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26
Introduzione ai rivelatori di particelle
Bremsstrahlung
• Lo spettro dell’energia di emissione dE/
dνè costante, quindi il numero di fotoni
emessi diminuisce con l’energia
• L’energia massima è l’energia cinetica della
particella (tutta l’energia emessa in
un’unica interazione)
• Un fascio di particelle cariche che frena in
un materiale emette un fascio di fotoni non
monocromatico
d(N f hν )
dN f
dE
1
= cos t =
⇒
∝
dν
dν
dν
ν
hν max = E k = E − mc 2 = mc 2 (γ − 1)
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Introduzione ai rivelatori di particelle
Energia critica
•  EC
•  Energia per cui la perdita per radiazione è
uguale alla perdita per collisione
⎛ dE ⎞
⎛ dE ⎞
=
⎝ dx ⎠ rad ⎝ dx ⎠ coll
Positrons
0.15
Bremsstrahlung
0.10
Ionization
0.5
Møller (e !)
0.05
Bhabha (e +)
0
1
(cm2 g!1)
Electrons
! 1 dE ( X0!1)
E dx
1.0
Lead (Z = 82)
0.20
Positron
annihilation
10
E (MeV)
100
1000
•  NB -1/E×dE/dx, la curva di Bremsstrahlung sarebbe
piatta se la relazione dE/dx=E/X0 fosse esatta
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28
Introduzione ai rivelatori di particelle
Energia critica
400
200
Ec (MeV)
100
710
MeV
________
Z + 0.92
610
MeV
________
Z + 1.24
50
Solids
Gases
20
10
5
H
He
1
2
Li Be B C NO Ne
5
10
Z
Fe
20
Sn
50
100
•  L’energia critica scala con il quadrato del rapporto
delle masse
2
⎛ mµ ⎞
E ≈E ⎜ ⎟
⎝ me ⎠
µ
C
µ
C
•  in Fe l’energia critica di un μè 890 GeV (20.7 MeV
per un elettrone )
•  Formula approssimativa (per l’elettrone):
700MeV
EC ≈
Z + 1.2
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29
Introduzione ai rivelatori di particelle
Energia critica
200
30
E
em
Ex
s"
ac
tb
re
m
Rossi:
Ionization per X0
= electron energy
50
40
ss
tr
ah
l
ta
o
T
70
Br
dE /dx × X0 (MeV)
100
lu
ng
Copper
X0 = 12.86 g cm!2
Ec = 19.63 MeV
Ionization
20
Brems = ionization
10
2
5
10
20
50
Electron energy (MeV)
100
200
•  Definizione di Rossi dell’energia critica
•  energia in cui la perdita di energia per
ionizzazione in una lunghezza di radiazione è
uguale all’energia dell’elettrone
⎛ dE ⎞
X 0 = E elettrone
⎝ dx ⎠ ion
•  sono equivalenti in buona approssimazione
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30
Introduzione ai rivelatori di particelle
Stopping power [MeV cm2/g]
Riassunto perdite energia
!+ on Cu
100
LindhardScharff
10
!%
Bethe-Bloch
Radiative
AndersonZiegler
E!c
Radiative
losses
Radiative
Minimum
effects
ionization reach 1%
Nuclear
losses
Without "
1
0.001
0.01
0.1
1
10
0.1
1
10
100
1
[MeV/c]
#$
100
1000
10 4
10 5
10 6
10
100
1
10
100
[GeV/c]
Muon momentum
[TeV/c]
•  muoni positivi su rame
•  9 ordini di grandezza di energia del mu!
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31
Introduzione ai rivelatori di particelle
lunghezze di radiazione
Materiale
Z
A
X0[g/cm2]
X0 [cm]
EC [MeV]
Idrogeno
1
1.01
61.3
731000
350
Elio
2
4.00
94
530000
250
Litio
3
6.94
83
156
180
Carbonio
6
12.01
43
18.8
90
Azoto
7
14.01
38
30500
85
Ossigeno
8
16
34
24000
75
Alluminio
13
26.98
24
8.9
40
Silicio
14
28.09
22
9.4
39
Ferro
26
55.85
13.9
1.76
20.7
Rame
29
63.55
12.9
1.43
18.8
Argento
47
109.9
9.3
0.89
11.9
Tungsteno
74
183.9
6.8
0.35
8.0
Piombo
82
207.2
6.4
0.56
7.4
Aria
7.3
14.4
37
30000
84
Acqua
7.5
14.2
36
36
83
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Introduzione ai rivelatori di particelle
Miscele
•  Regole di Bragg
–  dE/dx
1 dE w1 ⎛ dE ⎞ w 2 ⎛ dE ⎞
=
+
+
ρ dX ρ1 ⎝ dx ⎠ 1 ρ2 ⎝ dx ⎠ 2
–  wi sono le frazioni in PESO dei
vari elementi
–  Analogamente per X0
⎛ 1⎞
⎛ 1⎞
1
= w1 ⎜ ⎟ + w 2 ⎜ ⎟ + 
X0
⎝ X0 ⎠1
⎝ X0 ⎠ 2
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33
Introduzione ai rivelatori di particelle
diffusione multipla
x
x /2
splane
!plane
yplane
"plane
•  Le collisioni elastiche con i nuclei sono meno
probabili rispetto alle collisioni inelastiche con gli
elettroni
•  elastiche → non contribuiscono alla perdita di
energia
•  Contribuiscono però alla deviazione della
traiettoria
•  Se il materiale non è troppo sottile, si può usare una
trattazione statistica degli urti per calcolare le
quantità medie (angolo, deviazione dalla retta)
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Introduzione ai rivelatori di particelle
diffusione multipla
x
x /2
splane
!plane
yplane
"plane
• Ingrediente principale: scattering di
Rutherford
dσ
1
2 2 2 (mec )
= z1 z 2 re
2
4
dΩ
4
sin
(θ 2)
(βp)
2
• dominano i piccoli angoli
• nuclei in generale molto più pesanti
delle particelle (trasferimento di energia
piccolo)
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35
Introduzione ai rivelatori di particelle
diffusione multipla
•  Approssimazione gaussiana per piccoli
angoli
x
x /2
splane
!plane
yplane
"plane
•  probabilià di trovare una deviazione
(proiettata nel piano)
ϑ 2 compresa tra ϑ e ϑ
−
1
+dϑ
2ϑ 02
dp(ϑ ) =
2πϑ 0
e
dϑ
14.1MeV /c
x ⎛
x ⎞
ϑ0 =
z
⎜1 + log10
⎟
pβ
X0 ⎝
X0 ⎠
•  ϑ0 angolo quadratico medio
•  p in MeV/c, β e z della particella incidente
•  x spessore attraversato
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Introduzione ai rivelatori di particelle
diffusione multipla
•  Approssimazione gaussiana per piccoli
angoli
x
x /2
splane
!plane
yplane
"plane
1
y
=
xϑ 0
3
1
RMS
ψ plane =
ϑ0
3
RMS
plane
RMS
ϑ space
= 2ϑ 0
•  pione con p=1 GeV/c (β=0.9905) su una
foglio di acciaio di 1mm (X0=1.76 cm)
•  ϑ0=2.92×10-3 ≈ 0.17°
–  NB per grandi spessori p diminuisce →
programmi di simulazione
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Introduzione ai rivelatori di particelle
backscattering
•  Nello scattering multiplo sono comunque
possibili diffusioni a grande angolo
–  per gli elettroni, non è improbabile uno
scattering all’indietro
•  elettroni di energia limitata (sotto 10
MeV) hanno probabilità di backscattering
non trascurabili,
–  in particolare da nuclei pesanti come Pb
•  Coefficiente di backscattering o “albedo”
–  rapporto tra numero di elettroni con angolo di
scattering >90° e numero di elettroni incidenti
–  fino a 0.5 per elettroni di energia <1MeV su
oro
•  rilevante per gli sciami elettromagnetici
nei calorimetri
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38
Introduzione ai rivelatori di particelle
altre perdite di energia
•  produzione diretta di coppie e+e–  importante per muoni ad alta energia
–  μ+ nucleo -> μ+ e+e- + nucleo
dE
−
dx
= bPAIR (Z, A, E) ⋅ E
pairproduction
–  il parametro bPAIR varia poco con E per
alte energie. Attorno a 100 GeV in
Ferro:
dE
−
dx
pair
MeV
MeV
= 0.3
2 = 2.34
g /cm
cm
–  da confrontare con circa 1GeV/m per
ionizzazione. Al crescere di E compete
con la bremsstrahlung.
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39
Introduzione ai rivelatori di particelle
perdite di energia dei muoni
• Dato un assorbitore, per i muoni di alta
energia si può scrivere
• -dE/dx = a(E)+bTOTAL(E)×E
• domina il termine bTOTAL(E) in cui
bremsstrahlung e pair production sono
comparabili
• Vedi figura, in Fe
9
106 b(E ) (g!1 cm2)
8
Iron
7
btotal
6
5
4
bpair
3
bbremsstrahlung
2
1
0
1
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bnuclear
10
102
103
Muon energy (GeV)
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104
105
40
Introduzione ai rivelatori di particelle
altre perdite di energia
•  Interazioni nucleari degli adroni
–  soprattutto processi inelastici
–  interazione forte, adroni secondari
prodotti nel processo
–  lunghezza di interazione λI
•  descrive l’assorbimento esponenziale
degli adroni con lo spessore
attraversato
x
N = N 0e
−
λI
–  lunghezza di interazione in Fe è
circa 17cm
•  per spessori comparabili, non ha più
senso parlare di dE/dx perché l’adrone
interagisce e crea uno sciame
–  Dettagli nel capitolo dei calorimetri
adronici
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41
Introduzione ai rivelatori di particelle
radiazione Cherenkov
•  onda d’urto elettromagnetica
–  si genera quando la velocità della
particella nel mezzo è maggiore
della velocità della luce
•  βc ≥ c/n
•  β≥ 1/n
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42
Introduzione ai rivelatori di particelle
Cherenkov
•  La particella carica polarizza gli
atomi
–  n ≈ √ke costante dielettrica relativa
del mezzo
1.  se v<c/n la polarizzazione è
simmetrica e i dipoli non
emettono radiazione
2.  se v>c/n la polarizzazione è
asimmetrica ed i dipoli
emettono radiazione
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43
Introduzione ai rivelatori di particelle
Cherenkov
•  Dalla geometria:
–  cosϑc= 1/n(ω)β
–  nota che l’indice di rifrazione
dipende dalla frequenza della
luce emessa (dispersione)
•  l’angolo dipende dalla frequenza
delle luce
–  l’angolo cresce con β e n
•  vetro, n≈1.5, β≈1 si ottiene ϑc ≈ 48°
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44
Introduzione ai rivelatori di particelle
Cherenkov
•  numero di fotoni emesso:
⎞
d 2 N 2π z 2α ⎛
1
=
1−
⎜
2 2⎟
2
dxd λ
λ ⎝
n (λ ) β ⎠
•  spettro va come 1/λ2
–  ma a piccole lunghezze d’onda (sopra
l‘UV) n=1 quindi non c’è emissione
Cherenkov
•  integrando si può ottenere numero
di fotoni emessi nel visibile
(400÷700nm) in vetro
dN
1 ⎞
2 ⎛ 1
2
= 2π z α ⎜
−
sen ϑ C
⎟
dx
⎝ λmin λmax ⎠
–  273 fotoni/cm
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45
Introduzione ai rivelatori di particelle
perdita di energia per radiazione Cherenkov
•  Perdita di energia per radiazione
Cherenkov
2
dE
4
π
 ⎛
1 ⎞
2
−
=z
⎜1− 2
2 ⎟ νdν
∫
dx
c
⎝ β n(ν ) ⎠
–  integrata sulle frequenze per cui β>1/
n(ν)
•  La perdita di energia è piccola
–  5% per idrogeno, 1% per Z>5, rispetto
alla ionizzazione
–  comunque già contenuta nella Bethe
Bloch
•  Cherenkov importante perché la
radiazione può essere utilizzata per
identificare le particelle (PID)
–  effetto soglia, presente se β>1/n(ν)
–  se è noto p =βγmc, misurando β si
risale alla massa
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46
Introduzione ai rivelatori di particelle
Radiazione di transizione
•  dipolo elettrico:
vuoto n=1)
dielettrico (n>1)
-
+
carica immagine
–  dipolo elettrico variabile (si
annulla quando la carica entra
nel dielettrico)
–  emissione di radiazione E.M.
–  presente anche sotto la soglia
Cherenkov
–  trascurabile dal punto di vista di
dE/dx
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Introduzione ai rivelatori di particelle
Radiazione di transizione
•  Angolo di emissione ϑ ≈ 1/γ
•  Energia media emessa per singola transizione
α
E = z ω P ⋅ γ
3
2
nee 2
ωP =
,
ε 0 me
n e = ρN A
Z
A
–  energia cresce con γ
–  proporzionale alla frequenza di plasma: hωP
= 20÷30eV per radiatori tipici
–  E=320eV per γ=4×103 e ωP=33eV
–  metà dell’energia è irradiata nel range:
0.1 <
γω
<1
ω P
–  quindi con energie negli X soffici per grandi γ
•  se l’energia media è ≈ 300eV, la probabilità di
radiare un fotone da 10kEv ≈ 3%
•  conviene usare molte transizioni (stack di qualche
centinaio di fogli di radiatore)
•  Interessante la dipenenza da γ (e non da β),
possibile discriminare particelle ad alto γ
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48
Introduzione ai rivelatori di particelle
la radiazione di transizione
•  frequenza di plasma
–  consideriamo un gas di ioni negativi e positivi
(plasma)
–  se si spostano di una piccola quantità x le due
distribuzioni, si ottiene una forza di richiamo
elastica, con pulsazione ωP.
σ n e xe
E= =
ε0
ε0
2
2
n e xe
d x
Fe = −eE = −
= me 2
ε0
dt
2
2
d x n e xe
=0
2 +
dt
meε 0
ωP =
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-
E
+
+
+
+
+
+
+
x
nee 2
meε 0
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49