Applicazioni del metodo delle immagini

Applicazioni del metodo delle immagini
A. Pompili - Esercitazioni Fisica II - Anno Acc. 2010-2011
A.P.-1
Applicazioni del metodo delle immagini
Il metodo delle immagini e stato introdotto per trattare la situazione di una
carica puntiforme di fronte ad un piano conduttore (indefinito) e messo a terra.
Adesso andiamo a studiare ulteriori applicazioni di notevole interesse:
a) Sfera conduttrice - messa a terra - nel campo di una carica puntiforme;
b) Sfera conduttrice nel campo di una carica puntiforme;
c) Sfera conduttrice immersa in un campo elettrico uniforme.
A.P.- 2
Configurazione (a) [carica puntiforme positiva]
-
q>0
!
-
q" < 0
!
+
+
"q# > 0
!
Induzione elettrostatica non completa: |q |<q
-
V = cost " 0
Laboratorio
elettroni salgono a neutralizzare la carica!-q sulla superficie del conduttore !
Volendo discutere del perche questo avvenga, possiamo immaginare che
- nel transitorio - degli elettroni vengono indotti sulle pareti del laboratorio ma
essendovi il collegamento fra conduttore e pareti (stesso potenz.) non puo
aversi un campo elettrico fra di essi; le cariche pertanto si neutralizzano.
A.P.- 3
Configurazione (a) alternativa [carica puntiforme negativa]
+
q<0
!
+
+
q" > 0
!
-
"q# < 0
!
Induzione elettrostatica non completa: q <|q|
V = cost " 0
+
Laboratorio
elettroni dalla superf. del conduttore
!
scendono
verso le pareti del lab. !
Una descrizione immaginaria del fenomeno puo essere data in modo
analogo alla precedente configurazione; stavolta gli elettroni migrano
dalla superf. del conduttore verso terra per neutralizzare la carica
positiva indotta transitoriamente sulle pareti del laboratorio.
A.P.- 4
Applicazioni del metodo delle immagini:
a) Sfera conduttrice messa a terra nel campo di una carica puntiforme
A.P.- 5
A.P.- 6
Problema: calcolare potenziale e campo
elettrico nei vari punti circostanti il conduttore.
q" < 0
-
q>0
h
!
V "0
!
Difficolta del problema: la carica q indotta sulla sfera non e nota (induzione elettro! il segno (opposto
statica non completa: |q |<q); ne conosciamo solo
! a quello della
carica inducente). Inoltre la distribuzione superficiale di q non e uniforme (a causa
della diversa distanza dalla carica puntiforme inducenti dei vari elementi di superficie).
Per determinare V(x,y,z) nei punti dello spazio vuoto (per poi ricavare il campo) non e
dunque possibile utilizzare direttamente il principio di sovrapposizione! Tuttavia il potenziale deve soddisfare l equazione di Laplace nei punti dello spazio vuoto ( " 2V = 0 )
con le seguenti condizioni al contorno:
V =0
(sulla supericie sferica del conduttore)
q
V=
(su superfici sferiche di raggio r<<h
4 "#o r
!
centrate sulla carica puntiforme)
!
V "0
q" < 0
Soluzione: si ricorre al metodo delle immagini.
q>0
!
Considero un sistema di riferimento cartesiano centrato
- C
-
h
V "0
sulla carica puntiforme q. L asse x passi per q ed il centro C.
!
!
!
Si va a considerare una carica immagine q anch essa negativa
(come la carica indotta sulla sfera) da porre :
1) sull asse x : unica direzione privilegiata in uno spazio altrimenti isotropo;
2) dentro la sfera: non puo essere posta nella regione vuota (dove calcolo
V)
h
q>0
!
O
!
!
h"R
C
x
q" < 0
!
A.P.- 7
A.P.- 8
Il potenziale V(x,y,z) associato alle 2 cariche puntiformi puo essere ottenuto per
sovrapposizione:
q
q$
V (x, y,z) =
dove
r2 = x 2 + y 2 + z2
r"2 = (x # d) 2 + y 2 + z 2
4 "#0 r
(1)
(2)
+
(x, y,z)
4 "#0 r$
r
C
d
!
!
!
!
!
r"
Il!luogo dei punti per i quali V(x,y,z)=0 e quello per cui si ha:
!
b
q
q#
="
r
r#
r"
"
q > 0 si!
Tale condizione implica: 1) q = #q
(essendo !
trova correttamente q" < 0 )
r
2
!
2
# q" & 2 (1)
$ q# ' 2
2
2
2
2
!
(x " d) + y + z = & ) (x + y 2 + z 2 )
2) r " = % ( r
! (2)
$q'
% q!(
[1" (q# q) ](x
2
!
!
!
!
2
+ y 2 + z 2 ) " 2xd + d 2 = 0
d
d
2
2
2
(x
+
y
+
z
)
"
2x
+
d
=0
!
2
2
[1" (q# q) ] [1" (q# q) ]
A.P.- 9
Bisogna trovare le condizioni per le quali la superficie sferica (per V=0)…
(x 2 + y 2 + z 2 ) " 2x
d
d
+
d
=0
2
2
#
#
[1" (q q) ] [1" (q q) ]
… possa coincidere con la superficie sferica (reale) di centro C e raggio R
d equazione:
!
(x " h) 2 + y 2 + z 2 " R 2 = 0
Per !
confronto:
!
!
!
x 2 + y 2 + z 2 " 2xh + (h 2 " R 2 ) = 0
d
h=
2
#
1"
(
q
q)
[
]
h " h(q# q) 2 = d
!
2
d
h 2 " R2 =
[1" (q# q)2 ]
h " d = h(q# q) 2
h 2 " R 2 = hd
!
b!
"h#d
R 2 = h(h " d)
!
b = h(q" q) 2
R 2 = hb
!
A.P.- 10
Ricapitolando:
Il potenziale associato alle 2 cariche puntiformi q e q
e nullo sulla superficie sferica di centro C e raggio R
(coincidente con la superficie del conduttore) se la
carica q si trova a distanza d dalla carica q ed a
2
2
distanza b = h(q" q) = R h dal centro.
+q
(x, y,z) q"
r r"
Il valore della carica puntiforme immagine deve essere: !
b
R2
R
q" = #q
= #q 2 = #q !
h
h
h
!
!
!
d
h
V(x,y,z)=0
C
b = h(q" q) 2
!
1 % q q$ (
' + *
Nei punti esterni alla sfera il campo e derivabile dal potenziale:V (x, y,z) =
4 "#0 & r r$ )
! del conduttore.
Il campo elettrico sara normale rispetto alla superficie
!
!
!
Quando q si allontana dalla sfera (h aumenta) q si avvicina al centro ( b " cost h ).
Se h >> R si ha b " 0 e q puo essere posta con!buona approx.nel centro C; in tale condizione limite la carica indotta puo essere considerata distribuita uniformemente.
Inoltre h >> R implica q" << q .
2
!
N.B.: R!" h # b = R h $ R % [< 1] < R implica che q sia comunque entro la sfera
(come ci si aspettava: la carica immagine non puo stare nella regione in cui calcolo V!)
!
!
!
Applicazioni del metodo delle immagini:
b) Sfera conduttrice nel campo elettrico di una carica puntiforme
A.P.- 11
Nel caso la sfera conduttrice non sia collegata a terra bensi inizialmente isolata,
deve aversi su di essa della carica indotta di entrambi i segni e stesso valore (la
carica totale deve essere nulla).
q>0
q" < 0
+
+
V = cost " 0
! V "0
!
!
-
"q# > 0
!
La superficie della sfera conduttrice sara ancora equipotenziale, con V non piu
!
nullo!
Per soddisfare tale condizione bisogna introdurre una ulteriore carica immagine -q
che rappresenti l ulteriore carica presente sulla sfera conduttrice.
Per evidenti ragioni di simmetria, dovendo garantire V=cost sulla superficie sferica,
questa seconda carica immagine puntiforme non puo che essere posta sul centro C!
q>0
q" < 0
-
+
+
q>0
"q# > 0
q" < 0
!
!
!
!
"q# > 0
A.P.- 12
!
!
Il potenziale in un punto generico esterno alla sfera si ottiene per sovrapposizione
dei contributi associati a ciascuna delle tre cariche puntiforme (una reale, 2 immagine):
(x, y,z)
q>0
r
!
!
r"
r""
h
!
!q ! ! q$
"q# > 0
q
q#
="
r
r#
q" < 0
(%q$)
1 & q q$ q$ )
V (x, y,z) =
+
+
=
( + % +
4 "#0 r 4 "#0 r$ !4 "#o r$$ 4 "#0 ' r r$ r$$ *
!
!
Pertanto sulla sfera (di centro C e raggio R):
!
!
q"
q
VSF = V ( r"" # R) = $
=
4 %&o R 4 %&o h
q" = #q
R
h
Il potenziale sui punti della sfera e pari
1) al potenziale generato da q nel punto che corrisponde al centro della sfera
!
… o equivalentemente …
2) a quello associato alla sfera conduttrice - supposta avente carica q - nel punto
occupato dalla carica q medesima.
A.P.- 13
Applicazioni del metodo delle immagini:
c) Sfera conduttrice immersa in un campo elettrico uniforme
A.P.- 14
!
!
Eo
Il campo uniforme
puntiforme infinita (
!
!
Eo =
q
e considerabile come quello prodotto da una carica
" #) posta a distanza infinita ( h " # ):
R
q" = #q
h
! ancora:
Poiche vale
!
,
R2
b=
h
!
h "#
si ha:
!
b"0
!
q"#
o
uniforme quindi costante):
R R
q
$
= # 2 $ R 3 = #4 %&o R 3 E o = cos t
h h
h
!
!…la carica immagine
Si noti che
!
!
… si avra (E
!
2
q"b = #q
Per
q
= 4 "#o E o
2
h
1
q
$ 2 zˆ
4 "#o h
; cioe …
q" si avvicina indefinitamente al centro !
non implica
q" # $
perche anche h
"#
!
Essendo la sfera isolata c e una 2a carica indotta "q# > 0 posta approx. nel suo centro.
!
!
!
!
!
A.P.- 15
Complessivamente: le cariche immagine q" e "q# sono ( b " 0 ) vicinissime
e praticamente sul centro della sfera e rappresentano la carica superficiale presente sulla sfera ed indotta dal campo uniforme:
!
!
Eo
!
!
q" "q#
C
zˆ
!
Eo
zˆ
! !
!
! di carica indotta
E " prodotto dalla distribuzione superficiale
Il controcampo
sulla sfera e equivalente a quello prodotto da 2 cariche puntiformi q" e "q#
(cariche immagine) poste nel centro della sfera e vicinissime fra loro.
!
!
Questo sistema di 2 cariche elettriche puntiformi opposte e vicinissime fra loro
!
costituisce il cosidetto dipolo elettrico che verra studiato !
in dettaglio
piu avanti.
!
A.P.- 16
A.P.- 17
La quantita (costante) che caratterizza il dipolo elettrico e il …
… momento di dipolo elettrico :
!
!
!
p = q"b
con
!
b
!
! q" "q#
!
Eo
che punta da q"(< 0) a "q#(> 0)
!
p
!
zˆ
C
! !
!
% 4 3(
!!
3
Si noti che:
p = q"b = 4 #$!
o R E o = ' #R * 3$ o E o = 3$ oVSF E o
& 3 !)
!
! !
! !
ˆ
ˆ
p
=
cost
p
=
p
z
=
cost
"
z
Dunque:
(e
) nonche p " E o
Si vedra
(piu avanti) che il potenziale associato ad un dipolo elettrico
!
gode di simmetria azimuthale ( " # , essendo " l angolo di rotazione
!
Intorno
): !
!
pcos "
zˆ
Vdip (r," ) #
!
4 $%o r
!
2
!
!
zˆ
"
"
r
A.P.- 18
Il controcampo, cioe il campo elettrico del dipolo, e deducibile dal potenziale:
! !
!
& ! %V ! %V ! %V )
E " = E dip = #Vdip = $( i
+j
+k
+
%
x
%
y
%
z
'
*
Passando a coordinate polari e facendo le derivate parziali (cfr. Appendice):
! ! ! !
) & V 1 &V
1
&V , ) 2 pcos $ psin $ ,
E " = E dip = #Vdip (r,$ ) = +% ,% '
,%
'
,
,0.
./+
3
3
* &r r &$ r sin $ &( - * 4 01o r 4 01o r -
!
Dunque: E dip "
!
!
p
(2cos% & rˆ + sin % & %ˆ )
3
4 #$o r
Operiamo la seguente manipolazione:
! !
!
2 pcos " # rˆ + psin" # "ˆ = 2cos " # rˆ + psin " # "ˆ $ p + p = 2 pcos " # rˆ + psin" # "ˆ $ p + ( pcos" # rˆ $ psin " # "ˆ )
!
!
!
= 2 pcos " # rˆ $ p + pcos" # rˆ = 3pcos" # rˆ $ p
!
Pertanto: E dip "
!
p
(3cos% & rˆ ' zˆ )
3
4 #$o r
"ˆ
" 2 #$
!
p
!
r
!
p " #ˆ = $ pcos(90 o $ # ) = $ psin #
!
!
!
zˆ
!
!
!
E Tot = E o + E "
Il campo totale (esterno + controcampo) e :
!
!
3#oVSF E o
VSF
ˆ
ˆ
ˆ
(3cos
%
&
r
'
z
)
=
E
z
+
E o (3cos % & rˆ ' zˆ )
Poiche p = 3"oVSF E o si ha: E Tot " E o zˆ +
o
3
3
4 $# R
4 3 $r
o
!
Per punti sulla sfera (r = R) deve aversi:
!
!
!V
SF
ˆ
E Tot (r = R) = E o z +
E o (3cos# $ rˆ % zˆ ) = E o zˆ + 3E o cos # $ rˆ % E o zˆ = 3E o cos # $ rˆ
3
4 3 "R
!
!
"
zˆ
Per punti sulla sfera il campo e normale alla superficie (come ci si aspetta) !
!
"
Confrontando con la solita espressione sulla
! superficie E (r = R) = # nˆ si ricava:
!
o
nˆ = rˆ
"
= 3E o cos $ % " = 3#o E o cos $
#o
!
A.P.- 19
!
Pertanto la distribuzione della carica indotta sulla superficie sferica (r = R)
non e uniforme e dipende solo da " :
" (# = 0) = " MAX = 3$o E o
" = 3#o E o cos $
!
" (#! = $ 2,3$ 2) = 0
" (# = $ ) = " MIN = %3&o E o
!
-
!!
Eo
+
---!
!
" +++
++
+
+
-
e massima per " = 0
decresce proporz. a cos"
" =# 2
e minima
! per " = #
!
si annulla per
!
!
zˆ
L integrale della densita superf. di carica indotta e nullo (come ci si deve aspettare):
&
'
SFERA
"dS =
(1
' 3# E
0
0
!
2
0
2
+1
2
cos$ % 2&R sin $d$ =6&R #0 E 0 ' cos$ [(d(cos$ )] = 6&R #0 E 0 ' cos $ d(cos$ ) = 0
+1
(1
A.P.- 20
Conclusione: in base al metodo delle cariche immagini la soluzione del nostro
problema (per punti!esterni alla superficie della sfera) si ottiene sovrapponendo,
al campo uniforme E o!, il campo di un dipolo posto nel centro della !sfera !di !
!
momento p = 4 "#o R 3 E o (con R raggio della sfera) [controcampo]: E Tot = E o + E "
Sulla superficie sferica (r = R) la densita della carica indotta e " = 3#o E o cos $
ed il campo
per punti immediatamente esterni e
! totale (esterno+controcampo)
Ext
!
perpendicolare alla sfera e vale E Tot = " #o = 3E o cos$
!
!
-
!
---!
+
! Int
E Tot
-
" +++
= 0 + +!
+
! Ext
E Tot
zˆ
+
!
!
!
La distorsione del campo
! uniforme E o dovuto alla carica indotta sulla sfera che
genera il controcampo E " (che garantisce campo
nullo) e apprezzabile
! interno
!
3
solo nei pressi della superficie sferica poiche E " = E dip #1 r !
A.P.- 21
Appendice: passaggio a coordinate sferiche
Vogliamo esprimere l operatore gradiente in coordinate curvilinee sferiche:
! $#
!
# ˆ # ˆ'
ˆ
" =& i +
j + k ) * " = [?] rˆ + [?]+ˆ + [?],ˆ
#y
#z (
% #x
(
)
Definiamo le coordinate sferiche:
ˆ
k
!
"
!
! z
!
!!
!
iˆ !
!
!
rˆ
"
"ˆ
"ˆ
r
! "!
y
x "
!
!
Invertendo…
" /2 + #
!
!
!
x 2 + y 2 + z2
#
&
z
%
(
" = arccos% 2
2
2 (
$ x +y +z '
# y&
) = arctg% (
$ x'
r=
Versori!delle coordinate sferiche in funzione
!
dei versori delle coordinate cartesiane
:
ˆj
r sin "
x = r sin" cos#
y = r sin " sin# …si ha:
z = r cos"
!
iˆ = (sin " cos # ) rˆ + (cos" cos# )"ˆ + ($sin # )#ˆ
ˆj = (sin " sin # ) rˆ + (cos " sin # )"ˆ + (cos # )#ˆ
kˆ = (cos" ) rˆ + (#sin " )"ˆ
A.P.- 22
Appendice: passaggio a coordinate sferiche - 2
Le derivate parziali nelle coordinate cartesiane vanno riespresse in coordinate sferiche:
!
%f
%f ˆ %f ˆ & %f %r %f %# %f %$ ) ˆ & %f %r %f %# %f %$ ) ˆ & %f %r %f %# %f %$ ) ˆ
"f (r,# ,$ ) = iˆ +
j + k =(
+
+
+
+
+
+
+i + (
+j +(
+k
%x
%y
%z
' %r %x %# %x %$ %x * ' %r %y %# %y %$ %y * ' %r %z %# %z %$ %z *
[A]
"r "
=
"x "x
!
(
)
x 2 + y 2 + z2 =
"r "
=
"y "y
(
x
x 2 + y 2 + z2
)
x 2 + y 2 + z2 =
"r "
=
"z "z
(
=
[B]
[C]
r cos # sin $
= cos # sin $
r
y
x 2 + y 2 + z2
)
=
x 2 + y 2 + z2 =
r sin # sin $
= sin # sin $
r
z
x 2 + y 2 + z2
=
r cos #
= cos#
r
"# " $
y'
= & arctg ) = 0
"z "z %
x(
!
y
"# " $
y'
r sin + sin #
sin #
x2 = * y
= & arctg
=
*
=
*
! )=
y2
"x "x %
x(
x2 + y2
r 2 sin 2 +
r sin +
1+ 2
x
*
!
1
"# " $
y'
x
r sin * cos # cos #
= & arctg ) = x 2 = 2
=
=
y
"y "y %
x(
x + y2
r 2 sin 2 *
r sin *
1+ 2
x
A.P.- 23
!
Appendice: passaggio a coordinate sferiche - 3
Un utile trasformazione di coordinate: µ "
Pertanto:
"# "
1
= (arccos µ) = $
=$
"µ "µ
1$ µ 2
!
%
(
z
* = arccos µ
# $ = arccos'' 2
2
2
2
2
2 *
x +y +z
& x +y +z )
z
1
2
1$
z
x + y 2 + z2
$
x 2 + y 2 + z2
2
x +y
2
=$
r
1
=$
r sin #
sin #
2
"µ "
1
xz
r 2 cos $ sin $ cos %
cos$ sin $ cos %
2
2
2 #1/ 2
2
2
2 #3 / 2
= ( z(x + y + z ) ) = # z(x + y + z ) 2x = # 2
=
#
=
#
"x "x
2
(x + y 2 + z 2 ) 3 / 2
r3
r
!
"µ "
1
yz
r 2 cos $ sin $ sin %
cos $ sin $ sin %
2
2
2 #1/ 2
2
2
2 #3 / 2
= ( z(x + y + z ) ) = # z(x + y + z ) 2y = # 2
=#
=#
2
2 3/2
3
"y "y
2
(x + y + z )
r
r
!
!
"µ "
1
2z
x 2 + y 2 + z 2 # z 2 r 2 sin 2 $ sin 2 $
2
2
2 #1/ 2
2
2
2 #1/ 2
= ( z(x + y + z ) ) = (x + y + z ) # z
=
=
=
"z "z
2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 / 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 / 2
r3
r
!
[A]
"# "# "µ
1 $cos # sin # cos % cos# cos %
=
=$
=
"x "µ "x
sin #
r
r
[B]
"# "# "µ
1 $cos # sin # sin % cos # sin %
=
=$
=
"y "µ "y
sin #
r
r
!
[C]
!
!
"# "# "µ
1 sin 2 #
sin #
=
=$
=$
"z "µ "z
sin # r
r
A.P.- 24
Appendice: passaggio a coordinate sferiche - 4
!
%f
%f ˆ %f ˆ & %f %r %f %# %f %$ ) ˆ & %f %r %f %# %f %$ ) ˆ & %f %r %f %# %f %$ ) ˆ
"f (r,# ,$ ) = iˆ +
j + k =(
+
+
+
+
+
+
+i + (
+j +(
+k
%x
%y
%z
' %r %x %# %x %$ %x * ' %r %y %# %y %$ %y * ' %r %z %# %z %$ %z *
& "f
"f cos# cos $ "f sin # )
ˆ
= ( cos # sin $ +
%
+ rˆ sin $ cos # + $ cos$ cos # % #ˆ sin # +
"$
r
"# r sin $ *
' "r
[
!
]
% "f
"f cos$ sin # "f cos# (
ˆ
+' sin # sin $ +
+
* rˆ sin # sin $ + $ cos$ sin # + #ˆ cos # +
"$
r
"# r sin $ )
& "r
[
!
% "f
"f sin# (
+' cos# $
* rˆ cos# $ #ˆ sin # =
& "r
"# r )
[
!
!
!
!
]
]
1
1
"f
1 "f
= rˆ (sin 2 # cos 2 $ + sin 2 # sin 2 $ + cos 2 # ) + #ˆ
cos2 # cos 2 $ + cos2 # sin 2 $ % sin 2 # ) +
(
"r
r "#
1 #f % sin 2 " cos2 " (
+"ˆ
+
'
* + [somma di termini che si elidono a coppie]
r #" & sin $
sin $ ) !
!
1/sin "
= rˆ
"f ˆ 1 "f
1 "f
+#
+ $ˆ
"r
r "#
r sin # "$
!
!
A.P.- 25
Esercizio -1
TRACCIA :
Una sfera conduttrice, isolata e scarica, di raggio R = 1cm , viene immersa in un
campo elettrico uniforme di modulo E o = 10 4 V /m ; il potenziale vale Vo = 10 4 V
nel punto coincidente con il centro della sfera quando questa non c e .
a) Calcolare il potenziale della sfera, la !
densita di carica indotta ed il campo elettrico
!
!
sulla superficie.
Ripetere il calcolo nei due casi :
"8
b) in cui la sfera pur restando isolata possieda una carica Q = 10 C
c) in cui la sfera sia a potenziale zero.
!
A.P.- 26
Esercizio - 2
RISOLUZIONE (a) :
In base al metodo delle immagini la soluzione del nostro problema per! i punti esterni
alla superficie della sfera si ottiene sovrapponendo al campo!esterno E o !il campo di
un dipolo elettrico, posto nel centro della sfera, di momento p = 4 "#o R 3 E o (se R e il
raggio della sfera).
Ext
4
Il campo elettrico sulla superficie della sfera vale: E Tot
= 3E
!o cos" = 3#10 cos"
!
V
m
La densita di carica indotta sulla superficie della sfera vale:
Ext
&7
" (# ) = $o E Tot
= 3$o E!
o cos # = 2.66 %10 cos #
C
m2
Vo = 10 4 V
Il potenziale assunto dalla sfera e
proprio
!
Nota: il campo totale dentro la sfera deve essere nullo
! quindi le cariche indotte
generano un controcampo uguale!ed opposto ad E o
A.P.- 27
!
Esercizio - 3
RISOLUZIONE (b) :
Nel caso in cui la sfera isolata possieda gia una carica Q, agli effetti gia visti
bisogna aggiungere quelli della carica Q (per il principio di sovrapposizione):
Il campo elettrico sulla superficie della sfera (r=R) vale:
Ext
E Tot
=
Q
V
4
4
+
3E
cos
$
=
(90
%10
+
3%10
cos
$
)
o
4 "#o R 2
m
La densita di carica indotta sulla superficie della sfera vale:
!
Ext
" (# ) = $o E Tot
=
Q
C
(7
(7
+
3
$
E
cos
#
&
(79.61'10
+
2.66
'10
cos
#
)
o o
4 %R 2
m2
Il potenziale sulla superficie della sfera vale:
!
!
V=
Q
+ Vo $ 1.9 %10 4 V
4 "#o R
A.P.- 28
Esercizio - 4
RISOLUZIONE (c) :
Si noti che una carica Q = "4#$o RVo % "1.11&10"8 C
darebbe potenziale nullo sulla sfera:
V =
Q
+ Vo = $Vo + Vo = 0
4 "#o R
Questo vuol dire!che una sfera conduttrice tenuta a massa e posta in un campo elettrico uniforme in un punto in cui il potenziale!vale Vo (in sua assenza) deve presentare
sulla sua superficie una carica pari a Q = "4 #$o RVo .
Tale carica sara distribuita con densita superficiale variabile:
" (# ) =
Q
Vo
C
!
&7
&7
+
3
%
E
cos
#
=
&
%
+
3
%
E
cos
#
'
(&88.5
(10
+
2.7
(10
cos
#
)
o o
o
o o
4 $R 2
R
m2
Il campo elettrico sulla superficie della sfera vale:
!
Ext
E Tot
=
Q
Vo
V
6
4
+
3E
cos
$
=
%
+
3E
cos
$
=
(%10
+
3&10
cos
$
)
o
o
4 "#o R 2
R
m
N.B.: tutti i risultati visti presuppongono implicitamente che la presenza di cariche sulla !
superficie della sfera non alteri la distribuzione delle cariche ( lontane ) che
Eo
generano
.
!
A.P.- 29