Sistema completo di osservabili.

Sistema completo di osservabili.
Definizione - Un insieme di operatori autoaggiunti A, B, C, . . . associati ad osservabili
fisiche definisce un sistema completo di osservabili se gli operatori commutano tra
di loro, quindi corrispondono ad osservabili compatibili, e se ogni altro operatore che
commuta con loro é una funzione degli operatori stessi.
Nota:
• Un sistema completo di osservabili ammette una base comune di autostati;
• In generale il sistema completo di osservabili non é unico
Theorem 1 Siano A e B due osservabili non compatibili, il cui commutatore é
C = C†
[A, B] = iC
(1)
Le indeterminazioni nelle misure di A e B soddisfano la disuguaglianza
∆A ∆B ≥
| < [A, B] > |
|<C>|
=
2
2
(2)
Prova: Definiamo gli operatori Ab e Bb
Ab = A − < A >
Bb = B − < B >
(3)
tali che
b B]
b = iC
[A,
(∆A)2 = < Ab2 >
(∆B)2 = < Bb 2 >
(4)
Definiamo l’operatore Ab − iλBb dove λ é un parametro reale. Calcoliamo la norma quadra
b
del vettore (Ab − iλB)ψ
b
b
b
b A
b − iλB)ψ)
b
||(Ab − iλB)ψ||
= ((Ab − iλB)ψ,
(Ab − iλB)ψ)
= (ψ, (Ab + iλB)(
b B]ψ)
b
= (ψ, Ab2 ψ) + (ψ, λ2 Bb 2 ψ) + (ψ, −iλ[A,
= < Ab2 > +λ2 < Bb 2 > +λ < C >≥ 0
(5)
Cerchiamo il minimo dell’espressione eq.(5) rispetto al parametro λ
b
d||(Ab − iλB)ψ||
=0
dλ
−→
λ=−
<C>
2 < Bb 2 >
(6)
Inserendo il valore dato dall’eq.(6) nell’eq.(5) si ha
< Ab2 > +
< C >2
< C >2
−
≥ 0; −→
4 < Bb 2 > 2 < Bb 2 >
1
∆A ∆B ≥
|<C>|
2
(7)