BRAIN 2014 - soluzioni

BRAIN 2014 - soluzioni
1) Nella città di Arkam esistono solo persone che mentono e persone che dicono la verità. Tutti
sanno se i loro concittadini sono bugiardi o sinceri. Ad una cena si trovano sette persone.
Ognuno di loro afferma di essere seduto tra due bugiardi. Quanti sono i sinceri?
Ogni sincero deve essere seduto tra due bugiardi, ma non possono esserci più di due bugiardi consecutivi
altrimenti quello al centro sarebbe veramente tra due bugiardi e direbbe la verità.
Iniziamo a disporre intorno al tavolo partendo da un sincero S B, qui si può sedere o un bugiardo o un
sincero.
Caso 1) mettiamo un bugiardo e otteniamo S B B S (perché non posso avere tre B consecutivi) B.
Mancano due persone ma il settimo deve essere B perché è accanto a S al posto n1
SBBSBxB
Poiché non ci possono essere 3 bugiardi consecutivi, x deve essere sincero. Totale sinceri 3.
Caso 2) mettiamo un sincero e otteniamo S B S B x y B Poiché non posso avere tre bugiardi consecutivi,
devono essere un bugiardo e un sincero. Totale sinceri 3.
Risposta corretta A (10 punti)
2) Ad un’altra cena a Arkam sono presenti quattro convitati. Le loro affermazioni sono:
Gino: Lino mente;
Lino: Gino e Pino sono bugiardi;
Pino: Arcibaldo non è sincero;
Arcibaldo: Uno tra Gino e Lino è sincero, l’altro bugiardo.
Quanti sono i sinceri?
Se Gino è sincero Lino non lo è. Viceversa se Gino è bugiardo, Lino è sincero. Quindi, tra Gino e Lino uno è
sincero e uno bugiardo. Da cui Arcibaldo è certamente sincero, e Pino mente affermando che è bugiardo.
Dunque i sinceri sono due, Arcibaldo e uno solo tra Gino e Lino.
Risposta corretta B (10 punti)
3) Tre abitanti di Arkam, trovandosi al bar per un aperitivo, parlano del loro essere bugiardi o
sinceri. Le loro affermazioni sono le seguenti:
Mirko: io e Marco siamo entrambi bugiardi;
Marco: io e Antonio siamo entrambi sinceri;
Antonio: se Mirko è sincero, allora Marco è bugiardo.
Quanti sono i bugiardi?
Mirko non può essere sincero (perché afferma di mentire, quindi lui è bugiardo e Marco sincero (altrimenti
Mirko direbbe la verità). Quindi anche Antonio è sincero.
D’altra parte Antonio afferma che se Mirko è sincero, Marco è bugiardo. Poiché Mirko non è sincero,
l’affermazione è sempre vera, quindi c’è un bugiardo ed è Mirko.
Risposta corretta C (10 punti)
4) Un gatto nero pesa quanto tre topi, purché i topi siano bianchi. Un topo bianco e uno grigio
insieme equilibrano un pappagallo, a meno che il pappagallo non sia verde. Un pappagallo
rosso e uno giallo pesano quanto un cane blu. Un cane blu pesa quanto un topo grigio e un
gatto nero. Quanto pesa un topo grigio rispetto ad uno bianco?
Poniamo per semplicità
gatto nero = A
topo bianco = B
topo grigio = C
pappagallo non verde = D
cane blu = E
1.
2.
3.
4.
Un gatto nero pesa quanto tre topi bianchi  A = 3B
Un topo bianco e uno grigio insieme equilibrano un pappagallo non verde B + C = D
Un pappagallo rosso e uno giallo pesano quanto un cane blu 2D = E
Un cane blu pesa quanto un topo grigio e un gatto nero E = C + A
Esprimiamo il cane in termini di topi (sostituiamo i pappagalli nella formula 3 con la formula 2 e il
gatto nella formula 4 con la 1)
E = 2(B+C) ossia E = 2B + 2C
E = C + 3B
Sottraendo termine a termine è facile vedere come un topo grigio pesi quanto uno bianco.
Risposta corretta A (15 punti)
5) Ho cinque monete uguali che mostrano testa su un lato e croce sull’altro. Le lancio tutte. Vinco
se ottengo almeno tre teste. Qual è la probabilità di vittoria? (corretta 10 omessa 2 errata 0)
Avendo 5 monete, evidentemente avrò più teste, oppure più croci, e non posso avere parità.
Poiché non ci sono motivi per privilegiare l’una o l’altra situazione, evidentemente in metà dei casi
avrò più teste, e nell’altra più croci.
Risposta corretta B (10 punti)
6) Nonna Rosalba prepara una torta di mele ma qualcuno ne mangia una fetta. In casa ci sono i
quattro nipoti Pia, Nino, Ada e Gino e la loro babysitter Serena. Si chiede a tutti loro chi ha
mangiato la torta e si ottengono le risposte:
Pia: non è stato Nino, Ada l’ha mangiata;
Ada: Gino è innocente, e neanche Nino l’ha presa;
Gino: Pia non mangia mai torte, è stato Nino;
Nino: Pia è innocente, l’ha mangiata Serena.
Serena: è Gino che ha mangiato la torta, Ada è colpevole di furto di torte;
Ognuno di loro ha dato una risposta corretta e una sbagliata.
Chi ha mangiato la torta?
Se tutti dicono almeno una bugia e una verità, il colpevole deve essere tra i due indicati come innocenti da
Ada, quindi Nino oppure Gino. Ma anche tra i due che indica Serena ci deve essere il colpevole, e dunque
Gino o Ada. Dunque il colpevole è Gino. Gli altri tre indicano un diverso colpevole che quindi è innocente e
questa è la loro bugia e nessuno di loro indica Gino come innocente.
Risposta corretta D (10 punti)
7) Come prosegue la serie 3 6 9 13 20 25 (corretta 20 omessa 3 errata 0)
Ogni termine a partire dal è ottenuto sommando al termine precedente, il numero di lettere dello stesso.
Quindi 6 = 3 + 3 (lettere del numero tre), 9 = 6 + 3 (lettere del numero sei), 13 = 9 + 4 (lettere del numero
nove), 20 = 13 + 7 (lettere del numero tredici), 25 = 20 +5 (lettere del numero venti) e il termine successivo
è 25 + 11 (lettere del numero venticinque), ossia 36
Risposta corretta B (20 punti)
Per entrambi i problemi che seguono si è applicata la formula di Bayes, della quale una chiara spiegazione si
trova (ad esempio) qui http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Bayes
8) In un sacchetto ci sono tre biglie, che possono casualmente essere bianche o nere. Pesco una
biglia a caso, è bianca. La rimetto a posto. Qual è la probabilità che nel sacchetto ci siano tre
biglie bianche? (corretta 20 omessa 4 errata 0)
Risposta corretta D (20 punti)
9) In un sacchetto ci sono tre biglie, che possono essere casualmente bianche o nere. Pesco una
biglia a caso, è bianca. La rimetto a posto. Pesco una seconda volta, è ancora bianca. La
rimetto a posto. Qual è la probabilità che nel sacchetto ci siano tre biglie bianche? (corretta 30
omessa 6 errata 0)
Risposta corretta A (30 punti)
Riepilogo risposte corrette e punteggio
1
A 10
2
B 10
3
C 10
4
A 15
5
D 10
6
D 10
7
B 20
8
D 20
9
A 30