Soluzione dell`esercizio 7 Con ovvio significato dei simboli nei

Soluzione dell’esercizio 7
Con ovvio significato dei simboli nei passaggi intermedi, e sfruttando l’algebra di Dirac:
[[γ µ , γ ν ], γ ρ ] = µνρ − νµρ − ρµν + ρνµ
= (µνρ + µρν) + (−νµρ − νρµ) + (−ρµν − µρν) + (ρνµ + νρµ) = 4(γ µ η νρ − γ ν η µρ ) ,
da cui segue il risultato intermedio
[Σµν , γ ρ ] = i (γ µ η νρ − γ ν η µρ ) .
A questo punto, con tecnica simile:
[Σµν , [γ ρ , γ σ ]] = [Σµν , γ ρ ]γ σ + γ ρ [Σµν , γ σ ] − [Σµν , γ σ ]γ ρ − γ σ [Σµν , γ ρ ] = . . . ,
da cui, sfruttando il il risultato intermedio, segue subito il risultato cercato.