Parte quarta Riduzione e regolazione delle portate attraverso il

Parte quarta
Riduzione e regolazione delle portate
attraverso il processo di laminazione
Premessa
Con il termine
laminazione viene definita l’attenuazione di un’onda di piena per l’effetto
dell’inserzione di un serbatoio lungo un corso d’acqua. Vengono così a ridursi le portate di piena ed
accrescersi quelle di morbida in virtù del fatto che la variazione di portata Qe dell’emissario è legata alla possibilità di immagazzinamento temporaneo di un volume d’acqua, funzione del massimo
ammissibile sopralzo h della superficie libera dell’invaso.
Quarto richiamo di idraulica applicata .
Il principio dell’energia nelle correnti a superficie libera.
Come già detto nel Secondo richiamo (Parte seconda pag.96) in regime di moto permanente le caratteristiche geometriche ed idrauliche della corrente variano da una sezione ad una altra.
Figura 1 .Elementi caratteristici del moto permanente
Il carico totale in una sezione riferito ad un piano orizzontale di riferimento, è la somma dell’altezza
geometrica z, dell’altezza piezometrica h e dell’altezza cinetica
E  zh
V2
:
2g
V2
2g
Laminazione e regolazione
197
La linea dei carichi discende sempre nel senso del moto ; tra due sezioni 1 e 2 il carico totale E subisce una variazione E  J  L corrispondente alle perdite di carico per attrito.
Mentre il carico totale E decresce sempre nella direzione del moto il carico rispetto al fondo , o carico specifico, può restare costante, come visto per il moto uniforme, o crescere o decrescere, nel
senso del moto, secondo le caratteristiche della corrente; se la velocità diminuisce (h2>h1), il moto
è permanente ritardato. Se la velocità aumenta (h2<h1) , il moto è permanente accelerato.
La funzione H = (h) per Q = costante
Fissato un valore della portata Q, questa potrà defluire attraverso una sezione trasversale con
qualsiasi valore del tirante h compreso tra lo zero (portata nulla) ed il massimo consentito dalle
dimensioni e dalla scabrezza della sezione stessa e dalla pendenza longitudinale; aumentando il tirante crescerà la sezione bagnata con conseguente diminuzione della velocità media V della corrente e viceversa. Pertanto per Q=costante la corrispondente altezza cinetica V2/2g è una funzione
univoca del tirante h e del carico totale H (Figura 2).
Se il tirante h diminuisce, tendendo a zero, aumenta e tende all'infinito la velocità V e, quindi, l'altezza cinetica che costituisce il secondo termine della H. Al contrario se h cresce tendendo teoricamente all'infinito , la velocità e l'altezza cinetica tendono a zero ed il carico totale H tende a ridursi alla sola parte potenziale h.
Figura 2. Andamento della funzione
H = (h) per Q = costante
La curva H=(h) avrà un asintoto coincidente con l'asse delle H e l'altro sulla retta di equazione
H=h bisettrice del quadrante. E' evidente che la H(h), essenzialmente positiva tendendo all'infinito
per sia per h

0 che per h   deve presentare un minimo in corrispondenza di un determinato
valore di h.
Sempre dalla Figura 2 si vede che assegnata una portata Q , a parità di carico specifico H, potrà
defluire con due differenti altezze : h1 per il regime di corrente lenta e h2 per il regime di corrente
veloce. Tali altezze sono dette profondità coniugate del carico specifico H .
Il punto della curva corrispondente alle coordinate Hmin e hc rappresenta lo stato critico; Hmin
rappresenta il carico minimo per esitare la portata Q mentre, la profondità h c viene detta altezza
critica della corrente.
L'esistenza di un minimo valore del carico specifico H indica che al disotto di esso non è più possibile esitare l'assegnata portata Q .
Esempio 26. Soglia di fondo
Un alveo rettangolare, rivestito in cls k=75, con base 5,00 m e debole pendenza di fondo
(i=0,00038) convoglia una portata di 8,00 m3/s con un tirante h1 di moto uniforme pari a 1,25 m.
Introdotta una soglia di fondo di altezza = 0,25 m , determinare l'altezza h2 del tirante idrico sulla stessa.
198
Figura a
Per prima cosa si verifica il tipo di regime confrontando l'altezza critica hc con il tirante di moto
uniforme h1
hc  3
Q2
b2 g
3
64
52  9,81
 0,64 m
La corrente è lenta essendo 1,25 > 0,64. Potendo trascurare le perdite di carico tra la Sezione 1 e
2 è possibile tracciare la curva dell'energia a portata costante :
Hh
V2
2g
(Tabella I)
Tabella I
Trascurando le perdite di carico tra la Sez.1 e 2 varrà la relazione H1=H2+
Noto il tirante h1 è possibile determinare il valore del carico totale H1 :
H1  h1 
2
V1
82
 1,25 
= 1,33 m
2g
5 * 1,25 2* 19,62

analiticamente

graficamente punto a del diagramma H = (h) di Figura b detratto a questo la quantità  si determina il valore di H2 e da questo si risale al valore del tirante h2 .
Figura b
Noto H1  H2=H1-= 1,33 - 0,25 = 1,08 m, dalla tabella o graficamente (punto b diagramma di
Figura 8) si risale al valore di h2  0,94 m
Per un’altezza della soglia  =40 cm
la retta H1-  = 1,33 - 0,40 = 0,93 m non taglia il grafico
della H(h) (punto a del grafico di Figura c) , la corrente in arrivo è lenta e non possedendo l'energia
Laminazione e regolazione
199
sufficiente per superare la soglia, è costretta a rigurgitare fintanto che a monte si stabilirà un carico totale H* = Hmin,Q +  (punto b del grafico) e tirante h'1>h1.
La corrente, passata la soglia con tirante critico hc , è veloce e raggiungerà l’altezza minima h'2 (
punto c del grafico) per poi ristabilire il moto uniforme a seguito di un risalto idraulico.
Figura c
Resta da definire la lunghezza del risalto. Pertanto dalla relazione h2 
dovute sostituzioni : h2 

0,38 
0,643
1 1  8
2 
0,383


  1,0 m




h3
h1 
1  1  8 c
2 
h13


 con le



L  6  h2  h'2  6  1  0,38  3,72 m
La funzione Q =  (h) per H = costante
Per una sezione di forma qualunque per un prefissato valore della portata Q al valore minimo
dell’energia la corrente assume il valore dell’altezza critica hc ; la relazione generale è :
Q2
3


 2   2  hm
g
b
b
che consente di determinare, analiticamente o graficamente l’altezza critica hc .
Nel caso particolare di sezione rettangolare : hc 
3
Q2
gB2

3
q2
g
[3]
Vc 
gh c
[4]
Hmin,Q  hc 
Vc2
ghc
3
 hc 
 hc
2g
2g
2
[5]
Nel caso in cui sia definita la geometria della sezione trasversale ed il valore dell'energia
H=costante è possibile definire la relazione tra la portata Q ed il tirante h risolvendo l'espressione
[2] rispetto a Q
Q   2g (H  h)
rappresentata graficamente dalla Figura 3
200
[6]
Figura 3.
Per valori di h = 0 ed h = H, la portata Q è ovviamente nulla, mentre per un assegnato valore di H
la medesima portata Q potrà defluire con due differenti tiranti, h1 ed h2, corrispondenti , rispettivamente, al regime di corrente lenta e veloce. Al punto Qmax,H e hc
coincidente con lo stato critico definito in precedenza.
corrisponde lo stato critico ,
Esempio 27. Sezione di controllo del livello di un bacino di grande ampiezza.
La funzione di controllo di livello di un bacino di grande ampiezza è preposta ad un canale rettangolare, largo 4,00 m, in calcestruzzo in buone condizioni (k = 80 m1/3 s-1). Determinare la portata
e l'altezza del tirante in condizioni di moto uniforme allorché nell'invaso si determini una quota
+2,50 m sull'incile del canale, posto a quota 50,00 m s.m.
a. pendenza di fondo if = 0,001< ic
Nell'ipotesi che le condizioni di moto uniforme si stabiliscano a breve distanza dall'imbocco e che
questo provochi una perdita di carico pari a 0,5
V2
2g
è possibile applicare l'equazione dell'energia tra le
Sez.1 e 2:
V2
V2
V2
1
2
z1  h1 
 z2  h2 
 0,5 2
2g
2g
2g
52,5  50  h2 
Q  b  h2 2g
Q2
b * h2 2 2g
2,5  h2 
1,5
1  0,5

[a]
Poiché le incognite sono 2 la [a] ovviamente non è sufficiente per risolvere il problema, pertanto
occorrerà associare a questa un'ulteriore equazione che leghi la portata Q al tirante h.
Nell'ipotesi
che il moto possa essere considerato uniforme è possibile utilizzare l'equazione di Chezy:
[b]
V   Ri
esplicitato il coefficiente di attrito  con l'espressione di Strickler la [b] può essere riscritta in funzione della portata :
Q    k R2 / 3i1 / 2
[c]
b  h2
essendo   b  h2 ed R 
b  2h2
Uguagliando la [a] alla c] è possibile risolvere l'equazione nell'unica incognita h2 e, successiva-
Laminazione e regolazione
201
mente, determinare la portata Q:
4,00  h2 2  9,81
2,5  h2 
1,5
b  h2 2g
2,5  h2     k  R2 / 3i1 / 2
1,5
 4,0  h2
 4,0 * h2  80  
 4,0  2  h2



2 /3
0,0011 / 2

h2  2,00 m
La soluzione può anche essere trovata utilizzando un metodo grafico riportando per diversi valori
del tirante h, in scala opportuna, sia l'espressione Q[a] che la Q[c].
Tabella I
Grafico A
Dal grafico A si deduce la soluzione data dall'intersezione delle due curve: Q  20,20 m3/s
h2  2,00 m.
per
b. pendenza di fondo if = 0,004 > ic
Aumentando la pendenza del canale si modifica l'andamento della
sola curva Q[b] che intersecherà la prima in un punto più basso,
nel campo delle correnti veloci. In questo caso la soluzione non è
quella indicata dal punto di intersezione delle curve poiché nell'aumento di pendenza è corrisposta una diminuzione del tirante idrico.
Immaginando che tale fenomeno possa essere seguito nel suo
evolversi, durante l'aumento della pendenza si passerà per lo stato
critico, condizione di portata massima Qmax . Ulteriori abbassamenti del fondo non produrranno variazioni sul valore della portata Q max mentre il tirante assumerà il valore corrispondente a quello di moto uniforme per l'assegnata portata Q max e pendenza i.
Questa condizione viene letta sul Grafico B riportando sulla curva Q[c] il valore della Q max ; in corrispondenza di tale punto si legge il valore di h2, tirante di moto uniforme per la portata Qmax e
pendenza i = 0,004.
Tabella II
202
Grafico B
1. Laghi
Un lago è caratterizzato da una massa d’acqua che riempie una cavità o depressione terrestre senza comunicazioni dirette con il mare ed ha una profondità sufficientemente elevata da non presentare vegetazione sommersa. Quando la profondità è minima nasce vegetazione sul fondo: se questa rimane sommersa lo specchio liquido assume il nome di stagno ovvero palude. Un lago è aperto
se è presente uno o più emissari, in caso contrario si dice chiuso.
Quando lo specchio d’acqua è comunicante col il mare, dal quale è separato da sottili strisce di terra, si ha la formazione di lagune.
Nel caso di lago aperto è presente una sezione di incile, coincidente con la sezione iniziale
dell’emissario.
I laghi artificiali vengono realizzati per disporre di una capacità utile che consenta di soddisfare la
domanda d’ acqua nei periodi in cui la disponibilità idrica, costituita dalle fluenze, non è sufficiente.
La presenza di un lago artificiale, pertanto, modifica i deflussi naturali del corso d’ acqua, consentendo l’adattamento della successione temporale delle portate alla successione delle richieste
dell’utilizzatore che è della natura più varia:







potabile
irrigua
idroelettrica
industriale
alimentazione delle vie di navigazione
la difesa dalle inondazioni
la fruizione del tempo libero
Nei tempi recenti si è sempre più affermata la concezione di laghi artificiali ad uso promiscuo.
L’ opera di sbarramento è costituita dalla diga dotata, sempre, delle opere cosiddette complementari, costitute da:




scarico di superficie
scarico di fondo
eventuali scarichi di alleggerimento
opera/e di presa
I laghi sono alimentati:



dalle precipitazioni dirette sulla loro superficie ;
dal ruscellamento sui versanti del bacino imbrifero ;
da falde ;
Laminazione e regolazione
203

da corsi d’acqua immissari.
Mentre perdono acqua :



per evaporazione ;
per infiltrazione ;
per corsi d’acqua emissari.
1.1. Termica dei laghi – Stratificazione termica
La massa liquida contenuta in un lago è soggetta a scambi di calore sia con l’ambiente esterno, attraverso la superficie, sia con il fondo.
Irraggiamento solare, precipitazioni atmosferiche, immissioni di acqua da affluenti superficiali e da
falde sotterranee, evaporazione, congelamento, fenomeni biologici e chimici legati alla flora e fauna
lacustre, sono fattori che influenzano la temperatura all’interno del lago creando movimenti della
massa liquida prevalentemente sotto forma di moti convettivi.
Trascurando gli effetti delle correnti, non sempre possibile, il gradiente termico varia con la profondità in funzione della densità. Poiché la massima densità dell’acqua è a 4°C a seconda della variazione della temperatura con la profondità potrà aversi la stratificazione termica diretta o inversa.
Stratificazione Termica Diretta : quando la temperatura della superficie del lago è superiore a 4°C
la temperatura dell’acqua diminuisce dall’alto verso il basso fino a raggiungere i 4° in profondità.
Aumentando ulteriormente la temperatura, tb, la densità decresce , non si hanno moti convettivi e
la variazione di temperatura si risente entro profondità ha limitate. Ad un abbassamento della temperatura, tc, consegue un aumento di densità con conseguente moto convettivo, che interessa una
successione di strati fino alla profondità hd di pari temperatura tc. Ne consegue che alla profondità
hd si interrompe la stratificazione diretta con una discontinuità ed al disopra di tale quota si ha uno
strato omotermico (Figura 1)
Figura 1. Stratificazione termica diretta
Stratificazione Termica Inversa : la temperatura della superficie del lago è inferiore a 4°C e pertanto la temperatura dell’acqua cresce dall’alto verso il basso fino a raggiungere i 4° in profondità. Una
ulteriore diminuzione della temperatura
non produce moti convettivi mentre, un aumento della
temperatura consegue un aumento di densità con conseguente rimescolamento degli strati fino alla
profondità hd .
Quando la temperatura scende sotto lo zero inizia il congelamento che interessa solo spessori superficiali limitati sia perché la temperatura aumenta con la profondità e sia perché il ghiaccio prodotto esercita una funzione coibente (Figura 2).
Nei laghi temperati la stratificazione termica diretta avviene in estate; in autunno, diminuendo la
temperatura, gli strati superficiali raffreddandosi aumentano di densità e scendono verso il basso .
204
Questo processo detto Rimescolamento autunnale,
cessa quando l’acqua del lago raggiunge la
temperatura di 4°, in tutta la profondità, consentendo un ricambio di ossigeno su tutta la massa.
A primavera l’acqua, con temperatura in superficie inferiore a 4 °C, riscaldandosi aumenterà di
densità e scenderà verso il basso dando vita al Rimescolamento primaverile.
Figura 2. Stratificazione termica inversa
Nei laghi tropicali, non scendendo mai la temperatura superficiale sotto i 4°, si ha solo stratificazione diretta; al contrario i laghi polari hanno solo stratificazione inversa.
1.2.Evaporazione
Il fenomeno dell’evaporazione interviene nel ciclo idrologico dal momento in cui le precipitazioni
raggiungono la superficie del suolo. Gli idrologi definiscono l’evaporazione l’insieme dei fenomeni
che trasformano l’acqua in vapore attraverso un processo specificatamente fisico: un liquido passa
gradualmente allo stato gassoso, senza ebollizione (Figura 3).
Figura 3. Schema dell’Evaporazione terrestre
In relazione al suo ruolo essenziale nel ciclo dell’acqua c’è evaporazione:




dalla superficie libera degli specchi d’acqua
dalla neve e dal ghiaccio (sublimazione)
dal suolo privo di vegetazione
dalla traspirazione delle piante
Laminazione e regolazione
205
Ciò avviene a tutte le temperature e termina quando lo spazio sopra la superficie libera raggiunge
la tensione di saturazione. In questo caso l’evaporazione è
bilanciata dal fenomeno opposto: la
condensazione.
Potendo rimuovere il vapore man mano che si forma il liquido evapora più velocemente; per questo
motivo l’evaporazione dagli specchi liquidi è facilitata dal vento.
L’altezza di evaporazione, in un intervallo di tempo , è il rapporto tra volume evaporato ed area
della superficie evaporante, mentre, l’intensità media di evaporazione è il rapporto tra altezza di
evaporazione ed il correlato intervallo di tempo .
Studi sperimentali sull’evaporazione furono condotti, in laboratorio, da Dalton; i relativi risultati
definirono la dipendenza dell’intensità di evaporazione con la differenza tra tensione di saturazione
 s alla temperatura del liquido e la tensione effettiva  del vapore contenuto nell’aria ed inversamente proporzionale con la pressione atmosferica p.
E  c s    

pn
  pn

 c s 1 

p

s p

[1]
c= 0,56 per acqua leggermente mossa
c= 0,70 con vento moderato
pn = pressione atmosferica normale

= umidità relativa Ur
s
La formula proposta da Dalton male si presta per la determinazione dell’evaporazione da grandi superfici liquide,
come appunto i laghi, pertanto sono proposti due metodi,
derivanti da misure, osservazioni e determinazioni.
metodo idrologico: è basato sul bilancio tra gli afflussi al lago ed i corrispondenti deflussi e volumi
invasati. Data l’incertezza delle misure dovuta anche alla difficoltà di valutazione di eventuali apporti e deflussi sotterranei, il metodo non riesce a fornire, oltre l’andamento qualitativo, una sufficiente certezza del dato ricercato.
misure dirette attraverso l’utilizzo di strumenti di misura per rilevare la quantità di evaporato:
Atmometri : sono costituiti da un bilancino tipo “pesa lettere” portante sul piatto una vaschetta
(di 250 cm2 di superficie e profonda 35 mm). La variazione del peso dà una misura dell’evaporato
affetta da due sensibili errori: l’esiguità del volume e lo scambio termico con la parete della vaschetta .
Figura 4. Atmometri
206
Vasche d’evaporazione : sono, generalmente, realizzate con contenitori metallici posti a terra, in
prossimità della riva, o leggermente sopraelevati (15 cm) detti di Classe A secondo il tipo in uso
dall’Ufficio Meteorologico USA (Figure 5 e 6 ); benché la misura sia condizionata dall’irraggiamento
delle pareti.
Figura 5. Vasca d’evaporazione classe A – Weather Bureau USA
Figura 6. Stazione di misura
Per ridurre gli scambi termici con le pareti causati dall’irraggiamento è stato realizzato il modello
Colorado ( Figura 7). Una vaschetta quadrata di circa 1 m di lato viene interrata fino a sporgere
dal terreno circa una decina di cm; questa altezza però non è sufficiente per evitare che schizzi
prodotti dalle gocce di pioggia impattanti sul suolo, possano ricadere nella vaschetta portandosi
dietro detriti che possono, ovviamente, alterare la misura.
Figura 7. Vasca d’evaporazione tipo Colorado - USA
Per misure dirette dagli specchi liquidi dei laghi vengono utilizzate vasche evaporimetriche alloggiate su zattere galleggianti (Figura 8) .
Laminazione e regolazione
207
Figura 8
Pur avendo cura della posa in opera in condizioni simili alle acque del lago (giacitura, esposizione ai
venti ed irraggiamento solare) tutti gli evaporimetri sono affetti da errori di misura sistematici:

tipi a terra: le temperature sono leggermente superiori di quelle del lago, perdite di acqua
causate da piogge violente; inserimento di detriti e foglie portati dal vento

tipi galleggianti: entrate e uscite d’acqua causate da onde, misure in eccesso derivanti dalla
maggiore superficie del vaso bagnata per oscillazione dello strumento.
Agli evaporimetri, volendo correlare le letture di altezze di evaporazione con le grandezze dei principali fattori che influenzano il fenomeno, vengono affiancati, generalmente, un pluviometro, un
termografo, un anemometro ed uno psicrometro.
Le numerose serie di dati hanno consentito di esprimere formule derivate da quella di Dalton
1. Formula di Meyer :
E  15  s     1  0,0621 w
[mm Hg]
E = altezza di evaporazione media mensile espressa nelle stesse unità di misura di
s ;
 s = tensione di saturazione corrispondente alla temperatura media mensile dell’aria presso la
superficie del lago; [mmHg]
 = tensione reale media mensile [mmHg]
w = velocità del vento in prossimità del lago [km/ora]
2. Formula del Conti : più semplice della precedente, è basata sulla dipendenza della evaporazio-
Ei  Ci s
ne con la sola temperatura media mensile
pn
p
 s = tensione di saturazione corrispondente alla temperatura media mensile dell’aria presso la
superficie del lago; [mm Hg]
pn = pressione atmosferica normale
p = pressione locale media mensile
Ci = coefficienti mensili desunti da numerose osservazioni su laghi americani
208
Mese
Ci
Mese
Ci
Mese
Ci
Gennaio
4,54
Maggio
9,93
Settembre
7,36
Febbraio
5,70
Giugno
8,86
Ottobre
6,95
Marzo
8,24
Luglio
8,20
Novembre
5,45
Aprile
9,50
Agosto
7,78
Dicembre
4,59
Il complesso delle osservazioni raccolte indicano una diminuzione dell’evaporazione in funzione oltreché dell’altitudine anche della latitudine essendo peraltro analogo il comportamento delle temperature. Negli Stati Uniti si passa da valori di circa 1250 mm/anno, a quote minime, ad altezze di
circa 860 mm/anno a quota 2.500 m s.m.
In Italia sono rilevabili valori compresi tra 800  1200 mm /anno.
2. Idraulica dei laghi – Laminazione
Con il termine laminazione viene definita l’attenuazione di un’onda di piena per l’effetto della presenza di un lago naturale o della realizzazione di un serbatoio artificiale in un corso d’acqua (Figura 9).
Figura 9
Laminazione e regolazione
209
Vengono così a ridursi le portate di piena ed accrescersi quelle di morbida in virtù del fatto che la
variazione di portata Qe dell’emissario è legata alla possibilità di immagazzinamento di un volume
d’acqua, funzione del massimo ammissibile sopralzo h della superficie libera del lago. Pertanto, definite:
Qa=Portata massima dell’onda di piena affluente al serbatoio sotto forma di precipitazioni dirette
sullo specchio liquido, affluenti superficiali depurati dell’evaporazione ed infiltrazioni;
Qe= Portata massima scaricata dal serbatoio durante la piena, ovvero
portata di deflusso
dell’emissario, funzione crescente di h e caratteristica dell’elemento (canale, sfioratore, diga tracimabile, ecc.);
h = sopralzo della superficie libera del lago rispetto al livello di ritenuta;
 = area dello specchio liquido , funzione crescente di h;
V = volume invasato =
h
0   dh , funzione crescente di h;
il Grado o rapporto di laminazione di un’onda di piena

Qa  Qe
dipende: dalle caratteristiche
Qa
idrologiche, dal massimo sopralzo della superficie libera del lago e quindi dall’area dello specchio
liquido ed, infine, dalle caratteristiche idrauliche degli organi di scarico.
Schematizzando il lago come un recipiente di forma tronco conica dotato di un unico dispositivo di
vuotatura, posto poco superiormente al fondo, ed alimentato, superiormente, da un’unica condotta,
in assenza di afflussi, il livello nel secchio sarà coincidente alla quota di fondo della soglia della luce
di efflusso: per h=0  Q e =0  Qa =0 . Per Q a = Qe il livello rimane costante. Q e aumenta
solo se il livello h sale, cioè quando
Qa > Qe ; parte della portata di afflusso si accumula nel reci-
piente e non defluisce istantaneamente (Figura 10).
Figura 10. Schematizzazione della laminazione degli invasi
In modo analogo ed inverso la Q e decresce con il diminuire del livello h quando cioè Q a < Q e . (Figura 11).
Figura 11.
Considerando un intervallo di tempo dt restano definiti :
 volume affluito al lago: Qa  dt
210

volume defluito nella sezione di incile: Qe  dt

volume accumulatosi nel lago: dV = dh per effetto della variazione di livello dh .
Per il
Principio della Conservazione della Massa il concetto espresso in precedenza si traduce anali-
ticamente nell’equazione di continuità
Q a  Q e  dt  dV
poiché

Qa  Qe 
dV
dt
[1]
Qe e V sono funzioni di h
dV dV dh dQ e
dh dQ e



 

dt
dh dQ e
dt
dQ e
dt
[2]

  , Funzione di moderazione, ha la dimensione di un tempo ed è caratteristica del lago aldQ e
dh
la quale si riferisce 1.
La  è sempre positiva per esserlo  e la
dQ e
(variazione della portata di efflusso con il tirante).
dh
Con le dovute sostituzioni la [2] si riduce nella
mentre la [1] assume la forma
dQ e
dV
  (h) 
dt
dt
dQ e
Q a  Q e   (h) 
dt
[3]
[4]
E’ dallo studio della funzione [4] che è possibile trarre delle considerazioni sul potere moderatore
dei laghi (Figura 12).
Per Q a > Qe essendo  (h) positivo risulta
dQe
 0  Qe è crescente ;
dt
dQe
è negativo e Qe è decrescente.
dt
dQe
Nei punti in cui Q a = Qe 
 0 , la Qe può assumere valore massimo o minimo.
dt
per
Q a < Qe 
Figura 12. Riduzione della portata al colmo con portata di deflusso non regolata
1
è tanto maggiore quanto più grande è l’area del lago rispetto all’incremento della portata di afflusso attraverso una sezione di incile di ridotte dimensioni
Laminazione e regolazione
211
La condizione si analizza con la derivata di secondo ordine
della

dQ e
   Qe
dt
[5]
d (h) dQ e
dQ a dQ e
d2 Q e



  (h)
dt
dt
dt
dt
dt
[6]
Q a  Q e   (h) 

 


d (h)  dQ e
dQ a 
d2 Q e
 Q a  1   Q e  Q e
 1 
  (h)

dt
dt  dt
dt



Quando Q a = Qe
Si ha un minimo

[7]

Qe  0

se Qe  0

e cioè per la [f] Qa  0  Q a crescente


Si ha un massimo se Qe  0 e cioè per la [f] Qa  0  Q a decrescente
I massimi ed i minimi della Qe si hanno nei punti di intersezione delle curve Q a , Qe ; i punti di
massimo ricadono nei rami discendenti della Q a , quelli di minimo sui rami ascendenti.
2.1. Funzioni tipiche Qe=(h)
Ribadita l’unicità della Qa quale portata netta di afflusso al lago, definita con uno dei metodi analitici di trasformazione afflussi_deflussi, questa è rappresentata, generalmente, dall’idrogramma di
piena.
La Portata di deflusso Qe dell’emissario, funzione crescente di h, è esprimibile solo quando è definita la geometria dell’elemento che ne caratterizza la tipologia (canale, sfioratore, paratoia, ecc.);
a. Canale emissario:
Nella pratica progettuale trova un impiego diffuso l’equazione di Manning- Strikcler, dedotta dalla
formula di Chézy :
Q e   k R 2 / 3 i1 / 2
Questa relazione, che lega in modo univoco la portata Qe al tirante h, è generalmente chiamata
scala di deflusso (o delle portate) dell’alveo.
L’espressione [8] consente, fissata la geometria della sezione  e la scabrezza k, di esprimere la
portata Qe in funzione del tirante h.
Nella seguente Figura 29 è riportata una sezione rettangolare di un canale emissario con le seguenti caratteristiche:
base = 4,00 m rivestimento con calcestruzzo gettato in casseforme metalliche k=80
pendenza del canale emissario i=0,001:
Figura 13.
Nella successiva Tabella I è riportata la successione delle coppie dei valori Q ed h e la correlata
rappresentazione grafica della scala delle portate con la funzione interpolare:
Q  7,4121  h1,4671
212
Tabella I
b. Soglia sfiorante – Flusso libero
Spesso il dispositivo di sfioro è inglobato nella struttura di sbarramento del corso d’acqua e di ritenuta dell’invaso (Figura 30). Ricordato che il legame funzionale tra portata Qe, la larghezza L della soglia e l’altezza ho sulla soglia di sfioro è data dalla formula degli stramazzi:
Qe    L  h0  2g  h0
con  coefficiente di efflusso che, per soglie sagomate può assumersi uguale a 0,450,48.
Per Qe= massima portata di massima piena , h0 è il Carico fondamentale.
Figura 14. Complesso degli scarichi di superficie e di fondo di una diga tracimante
Laminazione e regolazione
213
c. Luci sotto battente – Flusso regolato2
Nel caso in cui il serbatoio, di grandi dimensioni e profondità, sia provvisto di scarico di fondo e per
questo sia prevista una regolazione dell’apertura in modo tale da non produrre né un innalzamento
né un abbassamento della superficie libera del lago che si suppone al livello di ritenuta. Pertanto,
durante il periodo di regolazione la portata affluente è uguale alla portata defluente (Figura 32) .
Figura 15. Serbatoio munito di solo scarico profondo
Il realtà il livello del lago, per effetto della portata di piena, subirà una sopraelevazione della superficie libera che può ritenersi trascurabile in confronto al battente h sulla luce di fondo; pertanto verrà assunta h = costante e di conseguenza anche la portata defluente Qe che, per velocità di arrivo
Vo pressoché nulla, può essere espressa con la relazione:
Q e     2g  h
 = area totale della luce
h = carico sul baricentro della luce
µ = 0,610,62 è il coefficiente di efflusso o di portata
3
Funzioni tipiche V=(h)
2
Gli scarichi liberi assicurano la laminazione senza la necessità di governo mentre gli scarichi regolati richiedono un controllo e, pertanto,
per motivi di sicurezza, generalmente, non sono inferiori a due.
3 i valori, rilevati sperimentalmente risultano dal prodotto di un coefficiente di velocità Cv (che per efflusso in parete sottile vale 0,98) ed
un coefficiente Cc di contrazione (rapporto tra l’area della sezione contratta e l’area della luce)
214
Il volume invasato V=
h
0   dh , è funzione dell’area dello specchio liquido , funzione crescente di
h. Pertanto, nota la porzione di territorio nella quale realizzare la conca d’invaso (Figura 16), si rilevano le superfici
Figura 16
i delimitate dalle varie curve di livello e conseguentemente si stimano i volumi V i compresi tra
due superfici consecutive. Dalla costruzione dei diagrammi delle superfici e dei correlati volumi di
invaso si individuano il legame funzionale tra volume invasabile V e quota h. (Tabella I).
Tabella I
Infine la Figura 17 sintetizza sia la variabilità delle arre e dei correlati volumi invasati in fun-
Laminazione e regolazione
215
zione delle quote dei livelli di invaso.
Figura 17
Poiché la probabilità che un evento a ricorrenza bicentenaria, ed oltre, vada ad interessate
un invaso e le correlate opere di scarico di superficie e di fondo è molto bassa, i progetti prevedono utilizzi molteplici del serbatoio (produzione di energia idroelettrica, irrigazione o
l’approvvigionamento idropotabile).
Esempio 28. Riduzione e regolazione delle portate di piena
Per un bacino caratterizzato dalle seguenti grandezze :
superficie del bacino A= 53,31 km2, pendenza media del bacino p = 35%, lunghezza dell’asta fluviale L=13,55 km tempo di corrivazione tc =3,73 è stata stimata la portata al colmo Qmax ,
con tempo di ritorno bicentenario:
Q = 470 [m3/s]
Per descrivere l’andamento della portata Q(t) in funzione del tempo, si approssima l’idrogramma di
piena ad un triangolo (Figura a) ; il volume defluito nella durata tb risulta:
V 
Q max  t b
470  10

 3600  8.460.000 m3
2
2
Figura a. Idrogramma triangolare del Metodo SCS
Si vuole valutare l’effetto di laminazione dell’onda di piena imputabile alla capacità di accumulo di
216
un serbatoio artificiale creato da uno sbarramento costituito da una diga tracimabile. La formulazione matematica è espressa dall’equazione differenziale:
Q a  Q e  dt  dV
[a]
Comunemente risolta alle differenze finite una volta note, per un generico intervallo di tempo dt :
Qa= portata di ingresso, nota;
Qe = portata smaltita dall’organo di sicurezza, incognita;
dV = volume d’acqua invasato nel lago per un incremento del livello dh.
Il volume invasabile, funzione della curva dei volumi di invaso (variabilità della superficie liquida
del lago con la quota) e della tipologia e dimensioni dell’opera di scarico, viene limitato da
un’altezza massima di 1,0 m sul livello di ritenuta normale, ritenuta compatibile con la Normativa
vigente.
Figura b.
1. Funzione V =(h)
La costruzione dei diagrammi delle superfici e dei correlati volumi di invaso individua
h
funzionale tra volume invasabile V e quota h : V 
* 106
0,202
il legame
2. Funzioni Qe =(h)
2.a Canale emissario
Il problema pratico è quello di stabilire a priori delle dimensioni dell’opera di scarico prima di conoscere la massima portata Qe uscente. Pertanto fissato un valore della Q’e,max (prossimo alla
Qa,max ) si ipotizza l’uso di un canale fugatore realizzato, nella sezione di incile, con un box culvert in cls armato, con quattro luci larghe ciascuna 12,0 m (Figura c), e con pendenza di fondo
i= 0,0125 (coefficiente di scabrezza ks=90); nota la Qe’ =(h) si determina attraverso la [a] un
nuovo valore della Q’’e,max conseguente all’effetto di laminazione esercitato dal serbatoio artificiale.
Figura c
Laminazione e regolazione
217
Per questa struttura si costruisce la scala di deflusso Q    k  R 2 / 3  i0,5 :
Figura d - Scala di deflusso del box culvert b=4*12,00 m
L’evoluzione della Q a  Q e  dt  dV
può essere stimata con un procedimento numerico alle diffe-
renze finite, una volta stabilito l’intervallo di tempo dt; utilizzando, ad esempio, lo schema di Tabella I:
Tabella I
Colonna 1 : intervallo di tempo in ore
Colonna 2 : dt - tempo trascorso, in secondi, tra due intervalli
Colonna 3 : portata in ingresso (Figura a)
fase di crescita
0  t  tc
fase di esaurimento
espressa dalla funzione: Q i  126,01 * t i
Qi  470  74,96  t i  t c 
t  tc
Colonna 4 : Qa-Qe pari alla differenza tra il valore della colonna 3 – il valore della colonna 8 della
riga precedente
Colonna 5 : variazione del volume invasato nel lago dV  Q a  Q e  dt
Colonna 6 : innalzamento del livello dh, nella sezione di sfioro, causato dalla variazione di livello
dV

dh=0,202*10-6 dV
Colonna 7 : altezza di sfioro hi al termine dell’intervallo di tempo dt
Colonna 8 : correlato valore della portata in uscita Qe= 429,57 * hi1,5875
218
Dai grafici delle funzioni Qa=(t) e Qe =(t), raffigurati nella Figura e, si evidenzia che, per effetto
della laminazione dell’invaso, la portata massima in uscita è di circa 290 m3/s con tirante idrico di
circa 0,80 m.
Figura e
Pertanto è possibile ridurre sensibilmente la sezione del box culvert, mantenendo il modulo a 4 luci,
ma riducendone la base b=6,50 m di ciascuna “canna” (Figura f).
Si ricalcola, per questa sezione, la scala di deflusso verificando nuovamente attraverso la
Q a  Q e  dt  dV che l’effetto di laminazione dell’invaso resti contenuto nel massimo sopralzo
consentito di 1,00 m sulla quota della sezione di incile del box culvert. (Tabella II – Figura f)
Laminazione e regolazione
219
Tabella II
220
Figura f
2.b Sfioratore longitudinale
In questo caso, le opere di scarico sono realizzate con uno sfioratore a soglia libera; il problema
pratico è quello di fissare a priori la scala delle portate proporzionando l’opera prima di conoscere
la massima portata uscente Qe.
La scala delle portate è espressa dall’equazione degli stramazzi :
3
Q e    L  h  2g h  C  h 2
[c]
È possibile seguire un procedimento rapido di dimensionamento dello sfioratore
4
dalla definizione
del rapporto di laminazione :

Q a,max  Q e
Q a,max
ovvero in termine di volumi  
Wd  We
essendo:
Wd
Wd = Volume defluito durante la piena (Area dell’idrogramma di Figura a)
che in questo caso vale: Wd = 8.460.000 m3
[f]
We  Wd  Wi = differenza tra affluito Wd ed il volume trattenuto Wi ; pertanto il rapporto di laminazione assume la forma   1 
Per
Wi 
Wi
Wd
[g]
4.950.495
1,00
 1  0,59  0,414
* 106 = 4.950.495 m3   1 
0,202
8.460.000
4
R.Gregoring : Sulla laminazione dell’onda di piena per effetto dell’inserzione di un serbatoio in un corso d’acqua – L’Energia Elettrica maggio 1940
Laminazione e regolazione
221
Qe’=0,414* Qa-max=0,41*470  195 m3/s
Dalla [c] 195    L  h  2g h  0,45  L  1,0  19,62  1,0
 L  98 m
Nota la lunghezza della soglia di sfioro è possibile definire la funzione Qe=(h) (Figura g) e verificarne l’efficacia (Tabella III – Figurah)
Figura h
Tabella III
Dalla correlazione tra livello nel lago e portata impegnata nello sfioratore, per mantenere il livello a
circa 1,00 m si porta la lunghezza della soglia a 105,00 m .
222
Figura i
Quinto richiamo di idraulica applicata . Flusso con portata crescente
Generalmente a questo dispositivo è associato un canale fugatore che raccoglie la portata sfiorata
e la convoglia verso valle . In questa coso c’è da definire il moto che ha luogo nel collettore stesso
a monte della sezione dove la totale portata sfiorata viene avviata ad uno scivolo oppure ad altra
equivalente struttura di scarico (Figura 1).
Figura 1
Nel caso non sia presente una soglia a monte dello scivolo, il moto si svolge con modalità dipendenti dalla posizione della sezione nella quale si verifica la condizione critica di deflusso, sempre
nell’ipotesi che il moto nel tratto successivo di canale, per essere a forte pendenza, non abbia ad
influire su quello che si svolge nel collettore (Figura 2) .
Figura 2
Laminazione e regolazione
223
Volendo, invece, munire il dispositivo di sfioro di una sezione di controllo si realizza una soglia in
modo da realizzare, sulla soglia stessa, la condizione critica di deflusso; in questo modo però si
sviluppa a monte una corrente sicuramente lenta che potrebbe rigurgitare la soglia inficiandone il
funzionamento (Figura 3)
Figura 3
Lo studio idraulico per il dimensionamento del canale collettore si svolge, applicando il teorema della conservazione della quantità di moto con riferimento ai simboli ed allo schema riportati nella Figura 4.
Figura 4
Indicati con:
x, l’ascissa 8curvilinea a partire da monte;
, C, R ed h, rispettivamente, area, contorno bagnato, raggio idraulico ed altezza d’acqua;
Q, la portata fluente con velocità media V;
 C x la tensione tangenziale
La spinta totale S    M è la somma della spinta idrostatica =   e della quantità di moto
M= QV
 è la profondità del baricentro della sezione d’area  ;  e  sono rispettivamente peso specifico e
densità dell’acqua.
L’equazione che esprime la condizione d’equilibrio si deduce, isolando un tratto elementare di canale e considerando le forze attive e resistenti ad esso applicate:
dS      dx  i  j
La quale, nella semplice ipotesi che possa, in ogni ascissa, ritenersi i=J assume la forma:
S= costante
Nel caso di soglia sfiorante orizzontale e carico costante e, quindi, q 
 
dQ
anch’esso costante:
dx
q2 x2
 costante
g
Nel caso di canale prismatico (a sezione trapezia isoscele o trapezia rettangolare, raramente a sezione rettangolare) la precedente assume rispettivamente le forme:
224
sezione trapezia isoscele :
h2 3b  2  h 
6q2  x2
 costante
g  b  h  h
[1]
sezione trapezia rettangolare :
h2 3b    h 
12 q2  x2
 costante
g  b  h  h
[2]
sezione rettangolare:
b  h2  2
q2  x2
 costante
gbh
[3]
Il valore della costante può facilmente determinarsi quando sia noto od imposto il valore che il primo membro delle precedenti equazioni assume in un’assegnata sezione ed in particolare per x = L.
In questo caso se al termine del canale la portata Q = qL defluisce in condizione critica o per la
presenza d’una soglia o per essere la pendenza i < ic.
L’altezza hL e quindi l’area L che si stabiliscono poco a monte della soglia stessa si deducono, con
pochi tentativi, dalla relazione:
hL 
V2
 p  hc  c
2g
g  L2
Q2
[4]
avendo designato con hc e Vc rispettivamente altezza e velocità critiche, deducibili con le seguenti
le relazioni:
Laminazione e regolazione
225
— soglia a sezione trasversale rettangolare larga b : hc  3
Q2
g  b2
Vc  g  hc
[5]
— soglia a sezione trapezia isoscele con base minore b:
ricordato che per una sezione di forma qualunque e per un prefissato valore della portata Q al valore minimo dell’energia la corrente assume il valore dell’altezza critica hc ; la relazione generale è :
Q2 3


 2   2  hm
g
b
b
[6]
b    hc 3  h3c
b  2  hc

Q2
g
Vc 
g  b    hc   hc
b  2  hc
Se la semplificazione i=J non è ammissibile, l’equazione del moto, sempre nell’ipotesi che il canale
d  
  dh
sia prismatico o cilindrico, il che comporta che sia
=
, dopo alcuni passaggi, assume la
dx
dx
dh

dx
forma:
i
q2x2C
23
1

2q2  x
g  2
2 2
q x 
[7]
g  3
avendo indicato con  larghezza (variabile con h e, quindi, con x) della superficie liquida.
L’integrazione della precedente equazione può essere risolta alle differenze finite, con un processo
passo per passo, reso un poco più laborioso del normale per la necessità di dovere procedere per
tentativi, ad ogni passo, per cogliere il corretto valore di h.
Nel caso in cui nella sezione d’ascissa x = L si abbia la condizione critica (con o senza soglia) - detta anche sezione di controllo — il procedimento numerico prende origine da valle e si svolge verso
monte. Si suddivide il canale collettore in tronchi di lunghezza x (non necessariamente uguali) e si
determina, partendo dalle grandezze note per la sezione di valle di ogni tronco, il valore dell’altezza
h che soddisfa l’equazione di equilibrio scritta alle differenze finite.
Il tirante idrico di partenza per le elaborazioni, di regola, si determina imponendo, attraverso la
realizzazione di un gradino di fondo associato al restringimento della sezione, il passaggio della
corrente attraverso lo stato critico in corrispondenza della sezione finale, lato valle, del canale collettore. Per tale condizione, infatti, la dipendenza funzionale tra variabili geometriche e variabili
idrauliche è data dalla relazione:
3 Q2

l
g
con:
, area della sezione bagnata
l, larghezza della superficie libera
Esempio 29. Flusso con portata crescente – Canale fugatore
Dall’esempio precedente si ha uno sfioratore longitudinale con soglia lunga L = 105,00 m è in grado di evacuare una portata di circa 210 m3/s con un’ altezza di sfioro h= 1,0 m. Le acque sfiorate
vengono raccolte in un canale fugatore a sezione trapezia isoscele, con base b=5 m e pendenza
delle sponde 1/1. In corrispondenza della fine della soglia sfiorante nel canale presenta un tronco
di raccordo, lungo 15 m, tra la sezione del collettore e la sezione rettangolare con base b= 14 m
posta 5,00 m a monte di una soglia di fondo alta p=2,00 dalla quale inizia il canale a forte pendenza. Sulla soglia si stabilisce lo stato critico mentre a monte le condizioni della corrente saranno si226
curamente lente.
Pertanto l’altezza critica sulla soglia è:
hc  3
Q2
g  l2
3
2102
9,81  142
 2,84 m
Nell’ipotesi di perdite di carico trascurabili, applicando il teorema di Bernoulli tra le sez.6 e 7e tra le
sez. 5 e 6 restano definiti i tiranti idrici h6 ed h5
z 6  h6 
V62
2g
 z7  h7 
V72
z5  h5 
2g
V52
2g
 z 6  h6 
V62
2g
con le dovute sostituzioni (Tabella 1- Figura a) :
Tabella 1
Laminazione e regolazione
227
Figura a
Lungo lo sfioratore lo studio idraulico si svolge applicando il teorema della conservazione della
quantità di moto. L’equazione che esprime la condizione di equilibrio si deduce suddividendo il canale collettore in un numero di tronchi e considerando le forze attive e resistenti
applicate. Con
tutte le semplificazioni di cui al paragrafo precedente e per sezione del canale collettore trapezia
isoscele si ottiene, pertanto, la semplice relazione :
h2 3b  2  h 
6q2  x2
 costante
g  b  h  h
Successivamente si suddivide il canale collettore in 5 parti, non necessariamente uguali ma come
riportate nella Figura b, in modo da seguire meglio l’andamento del profilo della corrente a monte
della soglia. In corrispondenza di ogni ascissa xi si determina la portata esitata e, partendo dalle
grandezze note della sezione di valle di ogni tronco, si determina il valore dell’altezza h che soddisfa la precedente equazione di equilibrio.
Figura b
Il procedimento di calcolo è riportato nella Tabella 2 ed i risultati sono illustrati nella Figura c.
228
Tabella 2
Figura c
Laminazione e regolazione
229
A valle della soglia, lungo il canale fugatore si stabilirà un tirante di moto uniforme di corrente veloce; i livelli vengono calcolati integrando con l’equazione del moto permanente
dH
iJ
ds
(Seconda Parte – Secondo richiamo di idraulica applicata. Pag 103).
2c. Flusso regolato con una luce sotto battente
Nel caso in cui il serbatoio sia provvisto di uno o più scarichi di fondo regolati con paratoie piane,
nell’ipotesi di funzionamento contemporaneo alla durata dell’onda di piena t p=10 ore, dal volume
Wd = 8.460.000 m3 (Area dell’idrogramma di Figura a )
Figura a
si deduce la portata di dimensionamento pari a:
qm 
8.460.000
 235,00 m3/s .
10  3600
Questa dovrà essere uguale alla portata massima esitata dagli scarichi di fondo per la quota di
massimo invaso
hm= 9,00 m : qm     2g  hm ;
235  0,62  3b * 2b  2  9,81  9
con le dovute sostituzione, si ottiene:
da cui si determina un complesso di tre paratoie piane b=2,2 m
ed altezza h=2b=4,4 m.
Figura b
230
3. La Regolazione
Le risorse idriche costituite dalle acque correnti superficiali sono variabili nel tempo in quanto connesse con il regime delle precipitazioni. L’utilizzazione di tali risorse, in genere, ha variabilità diversa da quella dei deflussi naturali.
Nella Figura 18 sono riportati, ad esempio, il diagramma cronologico ed il valore medio delle portate qa defluenti in una sezione di un corso d'acqua, unitamente al diagramma cronologico contemporaneo ed al valore medio della portata utilizzata qu.
Qualunque tempo si consideri, la domanda è sempre soddisfatta dalle fluenze naturali. In tali condizioni non risulta necessario realizzare un serbatoio; peraltro l'impiego della risorsa risulta limitato
Figura 18. Diagrammi cronologici
Il livello di utilizzazione può essere elevato e portato a circa il 100% della risorsa con la realizzazione di invasi.
Nel caso illustrato nella Figura 19 in alcuni intervalli di tempo la portata richiesta risulta superiore
alla contemporanea portata fluente, in altri inferiore.
Figura 19
Risulta ancora dalla Figura 20 che la portata media utilizzata
qu.
è inferiore alla portata media del
corso d'acqua q a . In tale caso è possibile soddisfare la domanda, secondo la legge di utilizzazione
prevista, realizzando un serbatoio di compenso che accumuli acqua nei periodi di fluenze superiori
alla richiesta e restituisca i volumi precedentemente invasati quando la domanda supera i contemporanei deflussi.
Laminazione e regolazione
231
Il problema della regolazione ha pertanto soluzione se qu  qa e se sarà possibile realizzare un
serbatoio di capacità sufficiente ad accumulare e trasferire nel tempo i volumi idrici dai periodi in
cui risultano esuberanti ai periodi in cui verranno utilizzati.
La regolazione, il cui fine è la determinazione della capacità da assegnare al serbatoio perchè la
domanda d'acqua risulti soddisfatta, è governata dalla equazione di continuità idraulica :
dV
qa  qu  qev 
dt
Trascurando le perdite o i contributi per infiltrazione dalla conca dell'invaso, q ev è la portata evaporata dallo specchio liquido, V è il volume invasato e t è la variabile tempo.
Risultano noti o facilmente determinabili:
qa  qa(t)
qu  qu (t)
qev  qev (t)
L’integrazione della equazione differenziale si esegue o con il metodo delle differenze finite o tramite metodo grafico basato sulla funzione integrale delle portate. Il passo di integrazione può essere
qualche minuto, l'ora, il giorno, la decade, il mese. Intervalli brevi si adottano per fenomeni idrologici a rapido sviluppo ed esaurimento, quali le piene; intervalli lunghi si adottano nello studio dei
serbatoi per uso irriguo, potabile ecc.
Nell'ipotesi di trascurare il termine q ev e che nell'intervallo di regolazione T risulti:
T
T
0 qudt  0 qadt
[1]
i volumi presenti nel serbatoio per t=0 e per t=T sono coincidenti.
3 a. Soluzione numerica alle Differenze Finite
Nella Figura 20 sono riportati i diagrammi cronologici di qa e di qu. Il valore dell'integrale
t2
t1 qdt
rappresenta il volume affluito nel serbatoio (q = qa) o erogato dal serbatoio (q = qu) nell'intervallo
di tempo t1  t2. L'area compresa tra le due curve nei differenti intervalli di tempo 0  t1, t1  t2,
........, t4  T, rappresenta il volume di supero (qu < qa) o il volume deficitario (qu > qa) rispetto
alla richiesta.
Figura 20
Negli intervalli di tempo 0  t1, t2  t3, e t4  T la qa risulta inferiore alla qu. I volumi V1, V3 e V5
debbono pertanto essere erogati dal serbatoio ad integrazione dei deflussi naturali contemporanei
del corso d'acqua. Negli intervalli t1  t2 e t3  t4 i volumi V2 e V4 debbono essere invasati nel serbatoio. All'eguaglianza tra volume affluito e volume erogato nel periodo T consegue che
V1 + V3 + V5 = V2 + V4
232
Perchè la prefissata successione delle portate q risulti realizzabile il serbatoio dovrà avere un volume di invaso iniziale Vo ed una capacita non inferiore a C.
La determinazione delle due grandezze discende dalla integrazione a passi finiti della equazione difdCc
ferenziale qa  qu 
; V0 è incognito; i Vi sono noti. Riportata, in forma tabellare, la successiodt
ne cronologica dei volumi invasati
Regolazione del serbatoi
tempo
t = t0 = 0
t = t1
t = t2
t = t3
t = t4
t=T
intervallo
V = V0
V = V 0 - V1
V = V 0 - V1
V = V 0 - V1
V = V 0 - V1
V = V 0 - V1
t1 - t0
t2 - t1
t3 - t2
t4 - t3
T - t4
Volumi invasati
+
+
+
+
V2
V2 - V 3
V2 - V 3 + V 4
V2 - V 3 + V 4 - V 5
Riga per riga si effettuano le cumulate dei valori noti. La somma negativa massima in modulo è V 0.
Noto V0, riga per riga, si effettua la somma. La somma massima è la Capacità di Compenso del
serbatoio .
Esempio 30 a. Determinazione della capacità di compenso – metodo analitico
Stabilita la porzione di territorio nella quale realizzare l’invaso, si rilevano le superfici i delimitate dalle varie curve di livello e conseguentemente si stimano i volumi V i compresi tra due superfici consecutive. In base ai diagrammi delle superfici e dei volumi di invaso, costruiti con i valori della seguente tabella, stimare le portate medie mensili derivabili al netto dell'evaporazione che, in
prima approssimazione, si assume pari ad un'altezza di evaporazione mensile costante di 100 mm.
Il volume utile del serbatoio realizzabile è di circa 21,4*106 m3.
Nella Tabella A sono rese le portate medie mensili (PMM valori in m 3/s) rilevate nella sezione del
corso d'acqua, ove dovrà essere realizzato il serbatoio artificiale di regolazione.
Tabella A
G
6,6
F
7,7
M
6,2
A
8,1
M
4,0
G
1,7
L
1,9
A
1,3
S
1,1
O
2,8
N
2,7
D
5,9
Con i dati disponibili si determinano:
Laminazione e regolazione
233
[Vam]
[Vam]
i volumi mensili affluiti al serbatoio, al netto dell’evaporazione
i volumi progressivi accumulati nel serbatoio
Nella Tabella B sono ripotati:
[qum]
le portate medie mensili derivabili, nell’ipotesi di regolazione totale,
[Vum]
[Vum]
i volumi mensili derivabili
i volumi progressivi derivati dal serbatoio
Tabella B
La retta che unisce il punto iniziale e finale rappresenta la legge di erogazione dal serbatoio del volume Vu(t) con una portata media mensile costante qum = 4,146 m3/s.
In questo caso il serbatoio è a regolazione totale ed il volume di compenso necessario viene determinato sommando algebricamente, riga per riga, i valori dei volumi affluiti Vam e prelevati
Vum di Tabella B.
234
La somma negativa massima in modulo rappresenta il volume iniziale V 0 = 4,698 *106m3. Noto
V0, sempre riga per riga, si effettua la somma di V0  Vi am  Vium . La somma massima è la


Capacità di Compenso del serbatoio C = 35,5*106 m3
3 b. Soluzione Grafica
Di largo impiego, perchè immediato e sintetico, è il metodo grafico che trova fondamento nelle
funzioni integrali : V 
t qdt
Risultano dati :

il volume Va(t) affluito al serbatoio fino al tempo t

il volume Vu(t) erogato dal serbatoio fino al tempo t

il volume V0 presente nel serbatoio al tempo t=0

la capacità C del serbatoio
t
Va(t) 
0 qadt
Vu(t) 
0 qudt
t
Si consideri il piano cartesiano t, Vu(t) di Figura 21 e si riporti
sullo stesso la funzione Va(t) a partire dall'ordinata V0 al
tempo t = 0. Per un generico tempo t*, l'ordinata letta sulla
curva Va(t) rappresenta il volume idrico disponibile a partire
dal tempo t = 0.
E' infatti costituita dalla somma di due segmenti, 01 coincidente con V0 ed
t*
12 =  qadt
0
Figura 21
Si consideri successivamente il piano cartesiano t,
Vu(t) di Figura 22 sul quale è riportata la curva
Va(t) a partire dalla ordinata V0. Si consideri, sempre sullo stesso piano t, Vu(t), una curva Vu(t) che,
partendo dalla origine degli assi, con andamento non
decrescente, raggiunga in un generico istante la
curva Va(t).
Laminazione e regolazione
235
Figura 22
Al generico tempo t1 l'ordinata del punto 2 rappresenta il volume disponibile, somma di 01  V0 e
di 12 
t1
0
qadt ; il segmento 03 
t1
0
qudt
rappresenta il volume erogato. La differenza 02  03
rappresenta, pertanto, il volume invasato al tempo t1 nel serbatoio. In corrispondenza del tempo t 2,
risultando : V0 
t2
0
qadt 
t2
0
qudt il serbatoio risulta vuoto.
Nella Figura 23 è riportato, sempre su diagramma cartesiano t, Vu(t), unitamente alla curva Va(t)
tracciata a partire dalla ordinata V0, la stessa curva Va(t) traslata verso il basso, parallelamente
all'asse delle ordinate, della quantità C. E' riportata inoltre la curva V u(t) che, partendo dall'origine
degli assi, con andamento non decrescente, al tempo generico t1 incontra la curva Va(t) inferiore. Il
volume disponibile al tempo t1 risulta:
Il volume erogato al tempo t1 risulta:
La differenza tra i segmenti
03 
01  12  03  C
t1
0
qudt
è
pari
alla capacità del serbatoio.
Al tempo t1 il serbatoio è pieno. La curva Va(t) superiore rappresenta pertanto la condizione di serbatoio vuoto; la curva Va(t) inferiore, di serbatoio pieno. In base
alle considerazioni svolte, riportato sul diagramma t,
Vu(t) il valore V0; tracciata, a partire da V0, la curva
Va(t).
Figura 23
Traslata la Va(t) verso il basso della quantità C; si può concludere che qualsiasi curva non decrescente con origine nella origine degli assi, tale che
T
T
0 qadt  0 qudt
contenuta entro la fascia de-
finita dalla curva Va(t) e Va(t) - C, è una curva di possibile regolazione dei deflussi.
Quando la funzione Vu(t) è rappresentata da un segmento di retta in tutto il campo 0 T, la portata qu è costante. In tale caso la capacità del serbatoio è detta di regolazione totale. Le conclusioni cui si è pervenuti consentono di determinare, per qualsiasi funzione Vu(t) non decrescente, il
valore da assegnare alla capacità del C serbatoio ed il valore del volume iniziale V0.
Nella Figura 24 sono riportati ad esempio i due casi di regolazione totale e di regolazione per V u(t)
a tre segmenti.
Figura 24
Le operazioni da eseguire sono:
236
tracciare sul diagramma t, Vu(t) la funzione Vu(t) ,tracciare sullo stesso diagramma la funzione
Va(t) e traslare verticalmente il diagramma della Va(t) fino a far toccare superiormente ed inferiormente il diagramma della Vu(t).
Eseguite queste operazioni, la distanza tra i due diagrammi Va(t) è la capacità C minima da assegnare al serbatoio per consentire la prestabilita regolazione dei deflussi. L'ordinata della intercetta
della Va(t) superiore con l'asse delle ordinate fornisce il valore del volume iniziale V 0
Esempio 30. b Determinazione della capacità di compenso – metodo grafico
Si riprenda l’Esempio precedente: costruita la cumulata dei volumi affluiti al serbatoio [ Va] si unisce il punto iniziale e finale (retta tratteggiata) questa rappresenta la V u(t) con qum= 4,146 m3/s
costante.
Traslando verticalmente la Va(t) sulla Vu(t) si determina il volume di compenso
Cc = 35,5*106 m3
Grafico A
Quando ragioni morfologiche e geologico-tecniche non consentano la realizzazione di un serbatoio
della capacità quale risulta dallo studio della regolazione (nel caso in esame la massima capacità è
fissata in 21,4*106m3 contro una Cc = 35,5*106 m3) si pone il problema di determinare, compatibilmente con la capacità C'<C realizzabile, la successione delle portate q u caratterizzate dal minimo
Laminazione e regolazione
237
valore dello scarto quadratico medio rispetto alla successione prefissata.
Nel caso di regolazione totale la soluzione è immediata tramite la così detta regola del "filo teso".
Si considerino, quali valori estremi della funzione Vu(t), per t = 0, Vu = 0, e per t = T, Vu = Va. Si
riportino sul diagramma t, Vu (t) le curve Va (t) e Va (t) - C'.
Considerate le due curve quali frontiere non valicabili, ponendo un filo all'interno del campo delle
stesse definito, lo si ponga in tensione dai punti fissi di estremità.
La condizione mistilinea che assumerà il "filo teso" fornirà la successione delle portate di minimo
scollamento quadratico rispetto alla successione
prefissata. Nella Figura 43 è riportato un esempio di applicazione del metodo.
Per quanto suddetto e volendo per la Vu(t) una
legge prossima all’utilizzazione a portata costante si ricorre alla regola del filo teso, si trasla la
cumulata dei volumi affluiti al serbatoio [Va]
della capacità assegnata C = 21,4 *106 m3
(Grafico B).
Figura 25
Nel campo delimitato dalla Va(t) e dalla stessa curva traslata si fissa il valore del volume V0 = 1,4
*106m3, all’interno del serbatoio, al tempo t = 0 e t = T, si traccia una mistilinea congiungente
questi punti e contenuta tra le due curve. (Grafico C)
Grafico B
Grafico C
238
Il serbatoio sarà pieno durante il periodo aprile-maggio mentre completamente vuoto alla fine del
mese di novembre; il volume a fine anno coincide con quello dell’inizio dell’anno successivo.
Grafico D
Dal Grafico D si rilevano i valori dei volumi utilizzabili Vut quali ordinate, dal filo teso alla curva
Va(t) superiore. Dai grafici di Superfici - Volumi si risale al valore dell’area dello specchio liquido
dell’invaso Aev , soggetto all’evaporazione. Da questi valori si desumono i volumi perduti per evaporazione Vev ed infine i volumi netti Vn. Questi ultimi ridivisi per i giorni forniranno i valori delle
portate medie mensili utilizzabili qum.
Laminazione e regolazione
239
240