SIMBOLI: Cn = CAPITALE FINALE O MONTANTE Co = CAPITALE
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SIMBOLI: Cn = CAPITALE FINALE O MONTANTE Co = CAPITALE
I SIMBOLI DELL’INTERESSE SEMPLICE SIMBOLI: Cn = CAPITALE FINALE O MONTANTE Co = CAPITALE INIZIALE Cm = CAPITALE INTERMEDIO r= SAGGIO DI INTERESSE I= INTERESSE t= TEMPO 1 FORMULA GENERALE DELL’INTERESSE SEMPLICE I= C0*r*t Co r t I 1000 0,05 3 12,5 2 PROBLEMI DELL’INTERESSE SEMPLICE CALCOLO: • • • • • • • • • DEL CAPITALE FINALE O MONTANTE DEL CAPITALE INIZIALE DEL CAPITALE INTERMEDIO DELL’ INTERESSE DEL TEMPO DEL SAGGIO D’ INTERESSE DELLO SCONTO SOMME ECONOMICHE DELL’INTERESSE COL METODO DEI DIVISORI FISSI 3 FORMULE PER CALCOLARE IL CAPITALE FINALE O MONTANTE IL CAPITALE FINALE SI OTTIENE SOMMANDO AL CAPITALE INIZIALE + L’INTERESSE Si Siottiene ottienesostituendo sostituendonella nellaf.f.g. g.ad adIIililsuo suovalore: valore:Co*r*t Co*r*tee raccogliendo raccogliendoal alfattore fattorecomune comuneCn= Cn=Co Co++Co*r*t) Co*r*t) FORMULA GENERALE : FORMULA APPLICATIVA : Cn= Co + I Cn= Co*(1 + rt) se t = 1 anno la formula sarà: Cn= Co*(1 + r) Se t = mesi la formula sarà: Cn= Co*(1 + r*m/12) Se t = giorni la formula sarà: Cn= Co*(1 + r*g/360-5) 4 FORMULE PER CALCOLARE IL CAPITALE INIZIALE Co DATI: • SAGGIO ( r) ; • INTERESSE ( I) • IL TEMPO ( t ) FORMULA GENERALE DELL’INTERESSE: I= Co*r*t se t = 1 anno la formula Se t = mesi la formula sarà: Co= sarà: Co= I/r I*12/r*m Se t = giorni la formula sarà: Co= I*360-5/r*g 5 LA LA FORMULA FORMULAGENERALE GENERALESI SI RICAVA RICAVAMOLTIPLICANDO MOLTIPLICANDO ILCOEFFICIENTE ILCOEFFICIENTEDI DI ANTICIPAZIONE ANTICIPAZIONE1/(1+ 1/(1+r*t) r*t) FORMULE DEL C0 CONOSCENDO Cn PER PERCn Cn Oppure Oppuredalla dallaformula formula FORMULA GENERALE : Cn= Cn= Co* Co* (1+ (1+ r*t) r*t) Co= Cn* 1/(1+ r*t) se t = 1 anno la formula sarà: Co= Cn*1/(1 + r) Se t = mesi la formula sarà: Co= Cn*1/(1 + r*m/12) Se t = giorni la formula sarà: Co= Cn*1/(1 + r*g/360-5) 6 FORMULE PER CALCOLARE IL SAGGIO DATI: • CAPITALE INIZIALE ( Co ); • IL TEMPO ( t ) • INTERESSE (I) FORMULA GENERALE DELL’INTERESSE: I= Co*r*t se t = 1 anno la formula sarà: r= I/Co Se t = mesi la formula Se t = giorni la formula sarà: r= sarà: r= I*12/Co*m I*360-5/Co*g 7 FORMULE PER CALCOLARE IL TEMPO ( t ) DATI: • SAGGIO ( r) ; • INTERESSE (I) • CAPITALE INIZIALE (Co) FORMULA GENERALE DELL’INTERESSE: I= Co*r*t se t = anni la formula sarà: n= I/Co*r Se t = mesi la formula Se t = giorni la formula sarà: m= sarà: g= I*12/Co*r I*360-5/Co*r 8 FORMULE DELLO SCONTO RAZIONALE Simboli: Scr sconto razionale Cn somma da scontare Co somma scontata r saggio di sconto t intervallo di tempo fra la scadenza e l’incasso Formula generale Scr= Co*r*t Questa formula non è applicabile in quanto non si conosce Co, ricordando allora che Co è uguale a Cn*1/1+r*t si avrà: Scr=Cn*r*t/1+r*t Formule della somma scontata Co a) Co= Cn – Scr b) Co= Cn* 1/(1+ r*t) 9 FORMULE DELLO SCONTO BANCARIO Simboli: Scb sconto bancario Cn somma da scontare Co somma scontata r saggio di sconto t tempo Somma scontata Co a) Co= Cn - Scb b) Co= Cn*(1 – r*t) Formula generale Scb= Cn*r*t La Laformula formula bbsi siottiene ottiene dalla dallaformula formulaaa sostituendo sostituendoScb Scb con con Cn*r*t Cn*r*teeraccogliendo raccogliendoaa fattore fattorecomune comune 10 DIFFERENZE FRA SCONTO MATEMATICO E BANCARIO LO SCONTO MATEMATICO SI CALCOLA SUL Co LO SCONTO BANCARIO SI CALCOLA SUL Cn PERTANTO Scb > Scm NELLO SCONTO MATEMATICO REINVESTENDO LA SOMMA SCONTATA Co PER LO STESSO PERIODO E ALLO STESSO TASSO SI RIOTTIENE LA SOMMA DA SCONTARE Cn NELLO SCONTO BANCARIO REINVESTENDO LA SOMMA SCONTATA Co PER LO STESSO PERIODO E ALLO STESSO TASSO NON SI RIOTTIENE LA SOMMA DA SCONTARE Cn 11 SOMME ECONOMICHE NEL CASO IN CUI BISOGNA SOMMARRE CAPITALI CHE SI HANNO IN EPOCHE DIVERSE È NECESSARIO TRASERIRLI TUTTI ALLA STESSA EPOCA POSTICIPANDOLI O ANTICIPANDOLI MOLTIPLICANDO IL LORO VALORE PER IL COEFFICIENTE: DI POSTICIPAZIONE (1 + r*t) ¾Cn = Co * (1 + r*t) ¾ DI ANTICIPAZIONE (1/1 + r*t) ¾Co = Cn* (1/1 + r*t) 12 RAPPRESENTAZIONE GRAFICA La fine di ogni mese coincide con l’inizio mese successivo es. fine gennaio con l’inizio di febbraio Valori positivi (entrate) o g f m a mg g l a s o n d Valori negativi (uscite – spese) 13 RAPPRESENTAZIONE GRAFICA (esempio) Es. 100 euro il 30 gennaio; 50 euro il 15 giugno; 20 euro il 20 ottobre 100 o g 50 f m a mg 15 g 20 l a s 20 o n d 14 SOMMA ECONOMICA DI CAPITALI IN UN MOMENTO INTERMEDIO DI UN PERIODO PER CALCOLARE LA SOMMA ECONOMICA IN UN MOMENTO INTERMEDIO Cm DEL PERIODO È NECESSARIO TRASFERIRE I VALORI ALLO STESSO MOMENTO. ¾ POSTICIPANDO I VALORI CHE SI TROVANO PRIMA DEL MONENTO DI RIFERIMENTO Cn = Co*(1 + r*t) ¾ ANTICIPANDO I VALORI CHE SI TROVANO DOPO IL MOMENTO DI RIFERIMENTO Co= Cn*1/(1 + r*t) 15 CAPITALE FINALE CON RATE MENSILI COSTANTI PARTICOLARI SOMME ECONOMICHE Alle volte è necessario procedere a sommare dei valori uguali che si ripetono ad intervalli regolari di tempo (1 mese, 2 mesi, 3 mesi, 4 mesi, 6 mesi) . In questo caso, anziché portare singolarmente i diversi valori alla fine del periodo, è possibile risolvere velocemente il problema applicando la si seguente formula: sisottrae sottrae11se sela larata rataèè Cn = R*(K + r * K ± 1) 2 posticipata; posticipata; si sisomma somma11se sela larata rata èèanticipata: anticipata: SIMBOLI E LORO SIGNIFICATO Cn capitale finale R valore di ogni rata K numero di rate che si hanno in un anno (n°=12, 6, 4, 3, 2) 1 si sottrae nel caso di valori posticipati; 1 si somma nel caso di valori anticipati. 16 PARTICOLARI SOMME ECONOMICHE FORMULE INVERSE NOTO IL CAPITALE FINALE CALCOLARE IL VALORE DEL SAGGIO DI INTERESSE dalla la seguente formula: Cn = R*(K + r * K ± 1) si ricava: 2 Cn R r= -K K±1 2 17 PARTICOLARI SOMME ECONOMICHE FORMULE INVERSE NOTO IL CAPITALE FINALE CALCOLARE IL VALORE DELLA RATA dalla la seguente formula: Cn = R*(K + r * K ± 1) si ricava: 2 R= Cn K+r*K±1 2 18 CALCOLO DEGLI INTERESSI CON IL METODO DEI DIVISORI FISSI Questo metodo è consigliato quando il tempo è espresso in giorni e numerosi sono i capitali sui quali bisogna calcolare l’interesse e si debba calcolarne la somma come nel caso dei conti correnti bancari Dalla formula generale per il calcola dell’interesse: I= C0*r*t esprimendo il tempo in giorni , I= C0*r*g/360 Applicando la proprietà commutativa si ha: I= C0*g*r/360 da cui si ottiene: I= C0*g/360/r Il prodotto C0*g viene chiamato numero ed indicato con il simbolo N e rappresenta la parte variabile della formula. Il rapporto 360/r denominato divisore fisso ed indicato con il simbolo D ed è costante per ogni valore del saggio. La formula finale è I= N /D 19 Es. di calcolo degli interesse con il metodo dei divisori fissi Si calcolino gli interessi prodotti, al saggio del 6%, dei seguenti capitali nei relativi tempi capitali 1.000 800 980 200 giorni 224 36 70 27 Totale numeri D= 360/r = 3600:0,06=6000 Numero (N) C0*g 224.000 28.800 68.600 5.400 326.800 I=N/D = 326.800:6000=544,66 € 20 FORMULE DELL’INTERESSE SEMPLICE incog Formula nita generale Tempo= 1 anno Tempo= mesi Tempo= giorni I Co t Co * r * t Co * r Co * r * m/12 Co * r *g/360-5 I/ r * t I/ r I * 12/ r * m I * 360-5/ r * g I/ Co * r I/ Co * r I * 12/Co * r I * 360-5/Co * r r I/Co * t I/Co I *12/Co* m I * 360-5/Co * g Cn Co *(1+r t) Co *(1+r ) Co*(1+r* m/12) Co * (1+ r * g /360-5) Cn nel caso di rate mensili dello stesso importo Cn = R*(K + r * K ± 1) 2 21 FORMULE DELL’INTERESSE SEMPLICE relative allo sconto incognita Formula generale Scm Co * r * t Formule applicative Cn * r*t/1+r t (matematico) Co somma Co= (Cn – Scm) Co= Cn*1/1+r t scontata Scb Cn*r*t Cn*r*t (bancario) Co somma Co= (Cn – Scb) Co= Cn*(1 – r*t) scontata Sm (mercantile Cn*r Cn*r ) 22