CENNI DI TEORIA DEI GIOCHI CHI NE E` IL PADRE FONDATORE

CENNI DI TEORIA DEI GIOCHI
CHI NE E' IL PADRE FONDATORE?
Von Neumann.
COSA SI STUDIA?
La teoria dei giochi analizza matematicamente l’interazione tra individui che
perseguono scopi convergenti, oppure in parziale o totale conflitto. I giochi di cui si
occupa questa teoria devono avere almeno due individui che interagiscono.
COSA NON SI STUDIA?
La teoria dei giochi NON si occupa dei giochi “individuo contro caso”, come il lotto, i
dadi, la roulette, …(se ne occupa il calcolo delle probabilità)
PERCHE’ SI STUDIA?
La teoria dei Giochi rappresenta un buon modello per descrivere le interazioni
strategiche tra agenti economici.
La teoria microeconomica è basata sulla teoria delle scelte individuali.
Molti risultati economici coinvolgono l’interazione strategica.
Es: Mercati non perfettamente competitivi, Free riding.
Questi cenni sono utili per capire come si comporta una persona ”razionale e
intelligente” di fronte a vari tipi di problemi. Più in generale oggi introdurremo dei
concetti che ci accompagneranno durante tutto il Corso.
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In altre lezioni vedremo che le persone (anche noi!) molte/troppe volte non si
comportano né in modo intelligente né razionale. Ciò implica che, non poche volte, le
scelte delle persone sono la causa dei loro stessi disagi. Cioè, avrebbero potuto stare
meglio se avessero agito in modo più intelligente e razionale. Come vedremo, è più
facile a dirci che a farsi (errare humanum est).
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Elementi Costitutivi del gioco:
1. I Giocatori
2. Le Regole: ordine delle mosse, azioni possibili, informazione
3. Gli Esiti (per ogni possibile profilo di scelte)
4. Le Vincite o Utilità attesa.
Assunzioni e Definizioni del gioco:
La teoria dei giochi assume che gli agenti siano “intelligenti” e “razionali”.
Intelligenti significa che capiscono la situazione in cui si trovano - compreso il fatto che
anche gli altri individui sono intelligenti e razionali - e sono in grado di fare
ragionamenti logici corretti.
Razionali significa che hanno preferenze coerenti sugli esiti finali del processo
decisionale e che hanno l’obiettivo di massimizzare queste preferenze. La coerenza di
cui si parla è esplicitata dallo:
Assioma di razionalità. L’ipotesi di base della teoria dei giochi è che tutti i giocatori si
comportino razionalmente, ossia nessun giocatore sceglie un’azione se ne ha a
disposizione un’altra che gli permette di ottenere risultati migliori, qualunque sia il
comportamento dell’avversario.
La “coerenza razionale” richiesta ai giocatori impone che valga la proprietà transitiva
nelle preferenze:
 se il diploma è preferito alla vacanza
 e la vacanza al libro
 allora il diploma deve essere preferito al libro.
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ALTRE UTILI DEFINIZIONI
Azioni:
L’insieme delle “mosse” a disposizione dei giocatori
Strategia:
Piano completo di azione. La strategia specifica un’azione (o anche solo un’ipotesi di
azione) per ognuna delle situazioni in cui il giocatore può essere chiamato a decidere.
Funzione di Utilità:
Se sono solo (economia di R. Crusoe) - quindi l'esito delle mie scelte dipende solo
dall'opzione che seleziono - e devo decidere fra più opzioni possibili, allora sceglierò
l'opzione che mi permette di ottenere il miglior esito in base a una mia scala di
preferenze.
In questo tipo di economia ogni individuo sceglie senza interagire con gli altri e ognuno
ha una sua funzione di utilità sull’insieme dei beni. Per esempio, se l’insieme dei beni è
una fetta di torta, un libro, una vacanza, un diploma, ognuno è in grado di quantificare
numericamente la sua utilità per ciascuno dei beni.
In altre lezioni approfondiremo “preferenze => utilità”. Qui accenno al fatto che:
dette x1, x2, ..., xn le possibili opzioni fra le quali scegliere e
indicata con u(xk) una funzione che in qualche modo fornisce una misura della
soddisfazione (o felicità per usare un termine molto impegnativo) derivante dalla scelta
xk, allora
sarà sufficiente confrontare gli n valori attesi u(x1),..., u(xn) e optare per la scelta in
corrispondenza della quale si ottiene il valore massimo della funzione u.
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La cosa diventa invece molto più difficile se l'esito della mia scelta dipende anche dalle
decisioni prese da altri soggetti: l'utilità che mi aspetto da una mia scelta xk non è
funzione della sola xk, ma anche delle decisioni di almeno un altro soggetto, sulle quali
non ho alcun controllo.
In altre parole, se l'altro soggetto ha m opzioni tra le quali selezionare la propria azione
yi, con i=1,...,m, allora da ogni mia possibile scelta xk potrò ottenere m esiti diversi a
seconda della scelta effettuata dall'altro.
Potrei aspettare che l'altro decida e quindi regolarmi di conseguenza. Ma anche l'altro
potrebbe ragionare allo stesso modo, rischiando di entrare in un circolo vizioso.
In situazioni del genere si parla di decisioni in presenza di interazione strategica, e la
questione si complica notevolmente. La teoria dei giochi ci aiuta ad affrontare in modo
formale e logico simili problemi.
Qualche altra classificazione aiuta a comprendere il legame tra situazioni,
comportamenti e risultati.
 Le mosse di un gioco possono essere simultanee o sequenziali
Simultanee: ciascun giocatore decide le proprie scelte ignorando le scelte compiute
dagli altri giocatori anche se i giocatori compiono le scelte in momenti diversi si ha una
interazione simultanea (è come se i giocatori decidessero simultaneamente: ciascuno
deve decidere senza sapere cosa hanno deciso gli altri)
Sequenziali: i giocatori decidono le proprie scelte in modo sequenziale e ciascun
giocatore compie le proprie scelte conoscendo le scelte dei giocatori che hanno deciso
prima di lui
ESEMPI:
Nel gioco degli scacchi le mosse sono sequenziali,
nel gioco della morra cinese le mosse sono simultanee.
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In una gara d’asta per un appalto le ditte fanno un’offerta simultaneamente, senza
conoscere le offerte fatte dagli altri concorrenti.
 Gli interessi dei giocatori possono essere completamente contrapposti (gioco a
somma zero) o parzialmente contrapposti
ESEMPI:
Nel gioco degli scacchi gli interessi sono completamente contrapposti: se un giocatore
vince, l’altro perde.
I giochi economici e sociali non sono quasi mai a somma zero: due imprese possono
collaborare insieme per produrre di più di quanto riuscirebbero a produrre
separatamente.
 Un gioco può essere disputato una sola volta oppure può essere ripetuto più
volte.
ESEMPI:
Un meccanico d’auto si può comportare diversamente se ha a che fare con un
automobilista di passaggio o con un cliente abituale.
In una corsa sui cento metri non c’è possibilità di collaborazione tra i corridori ma in
una maratona o una gara di ciclismo i corridori possono ritenere utile collaborare tra di
loro.
 I giocatori possono avere informazione perfetta del gioco oppure no
Un gioco è a informazione completa se le regole del gioco e le funzioni di utilità di tutti
i giocatori sono conoscenza comune di tutti i giocatori.
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Questo assunto non è molto realistico ma è una prima semplificazione per costruire
una teoria. Si possono comunque studiare anche i giochi a informazione incompleta,
ma la teoria è più complessa.
Tutti i giochi con mosse simultanee sono giochi a informazione incompleta.
ESEMPI:
Nel gioco degli scacchi ciascun giocatore, nel momento in cui deve fare una mossa,
conosce esattamente la situazione attuale e tutte le mosse che hanno portato a quella
situazione.
Nel gioco del poker, invece, un giocatore conosce le carte che ha in mano e quelle
scartate dai giocatori ma non sa nulla delle carte possedute dagli altri giocatori.
 I giocatori possono sottoscrivere
indipendentemente l’uno dall’altro.
accordi
vincolanti
oppure
operare
L’importanza di Nash nella Scienza Economica
La teoria dei giochi cooperativi studia il formarsi di coalizioni con accordi sottoscritti e
vincolanti che possono essere di vantaggio ai singoli componenti. Lo studio di questo
tipo di coalizioni è stato introdotto da Von Neumann (e Morgensten).
La teoria dei giochi non cooperativi si occupa dei meccanismi delle decisioni dei singoli,
sulla base di ragionamenti individuali egoistici, in assenza di alleanze vincolanti. Questa
teoria è stata introdotta di Nash.
Detto ciò, necessita parlare un po’ di Storia del pensiero economico:
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Secondo A. Smith, l'ambizione individuale serve al bene comune e di conseguenza un
gruppo di persone ottiene il massimo risultato quando ogni componente del gruppo fa
ciò che è meglio per sé stesso:
Non è dalla benevolenza del macellaio, del birraio o del fornaio che ci aspettiamo il
nostro desinare, ma dalla considerazione del loro interesse personale. Non ci
rivolgiamo alla loro umanità, ma al loro egoismo e parliamo dei loro vantaggi, e mai
delle nostre necessità. (La Ricchezza delle Nazioni, Adam Smith).
Nella fare la “rivoluzione marginalista”, Walras aderì all’approccio utilitarista di
Bentham:
si prenda in esame una decisione qualsiasi e si considerino le conseguenze piacevoli e
spiacevoli che ne derivano. Vedrete che si sceglierà la decisione che ha il maggior
numero di conseguenze piacevoli.
In quest’ottica, il comportamento umano è esclusivamente riducibile al calcolo
egoistico e razionale teso alla massimizzazione della propria utilità.
Ecco perché l’approccio di Von Neumann e Morgensten era sì utile per gli economisti,
ma in fondo non così tanto: Von Neumann e Morgensten studiavano giochi cooperativi
che non collimavano con l’impostazione egoistica di Smith/Walras.
Nash formulò un risultato diverso.
Come vedremo, Nash dimostra che è possibile raggiungere una situazione nella quale
tutti ottengono il miglior risultato possibile a condizione che si instauri una
cooperazione tra i giocatori. Il gioco, però, potrebbe anche essere non cooperativo.
Vale a dire, se si agisce in modo egoistico si finisce in un equilibrio in cui tutti
potrebbero stare meglio ma, individualmente, nessuno ha l’incentivo a muoversi:
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Con Nash, la teoria dei giochi spiegava l’homo economicus di Smith.
Per discutere di equilibrio di Nash servono ulteriori definizioni
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Rappresentazione tabellare e soluzione dei giochi
Strategia Dominante (SD): è dominante poiché un giocatore può scegliere una mossa
che gli garantisce un risultato migliore rispetto a quello di tutte le altre mosse,
qualunque sia la scelta degli altri giocatori. Cioè, egli ottimizza i suoi risultati
indipendentemente dalle scelte dell’altro giocatore.
Strategia debolmente dominata: è dominante poiché esiste un’altra strategia che
assicura un payoff non-minore, qualunque sia la strategia adottata dagli altri giocatori
(e un payoff strettamente maggiore per almeno una delle strategie degli altri giocatori)
Principio di Dominanza (D):
(i) Un giocatore non dovrebbe mai scegliere una strategia dominata da qualche
altra sua strategia.
(ii) Quindi, se un giocatore ha una strategia dominante, questa è la sua strategia
ottimale.
In base a (D) (ii), se un giocatore dispone di una strategia dominante allora dovrebbe
adottarla, indipendentemente dalle sue opinioni su quello che farà l’altro giocatore.
Nel caso, molto frequente, in cui nessun giocatore disponga di una strategia
dominante, non è immediatamente chiaro come determinare la soluzione del gioco.
Per analizzare questo problema si ricorre al concetto di equilibrio di Nash (detto anche
semplicemente equilibrio). Prima di definirlo, ancora un po' di teoria dei giochi.
Essendo intelligente e razionale, il giocatore A che dispone di una strategia dominante
deve scegliere quella strategia
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Se il giocatore B NON possiede una SD allora deve scegliere la migliore risposta alla
strategia dominante del giocatore A (anche B è intelligente e razionale e sa per certo
che l’intelligente e razionale signor A porrà in essere la sua SD)
Se nessuna delle parti ha una strategia dominante si passa alle strategie dominate.
Dato che una strategia dominata garantisce un risultato peggiore rispetto a quello di
almeno una delle altre mosse qualunque sia la scelta degli altri giocatori allora:
 Il giocatore che dispone di una strategia dominata la deve eliminare.
L’operazione di eliminazione va condotta più volte: un giocatore deve eliminare tutte le
strategie dominate
Ciascun giocatore deve considerare il fatto che gli altri giocatori eliminano le loro
strategie dominate
Se durante il procedimento dell’eliminazione iterata delle strategie dominate
emergono strategie dominanti nel gioco di dimensioni ridotte (ie una volta eliminate le
strategie dominate), allora tali SD vanno scelte man mano che si presentano
Se tale procedimento termina con un risultato unico, vengono individuate indicazioni
per il comportamento dei giocatori e per l’esito del gioco.
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ESEMPIO:
il giocatore A può scegliere fra due mosse (su, giù) il giocatore B può scegliere fra tre
mosse (sinistra, centro, destra).
Ogni casella corrisponde ad una combinazione di mosse dei due giocatori:
il primo numero di ogni casella corrisponde al risultato (payoff) conseguito dal
giocatore A;
il secondo numero a quello conseguito dal giocatore B:
per il giocatore A nessuna delle due strategie è dominata:
 su è meglio di giù se B sceglie sinistra oppure centro (1>0);
 viceversa giù è meglio di su se B sceglie destra (2>0)
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il giocatore B non ha una strategia dominante; tuttavia ha una strategia dominata:
destra è dominata da centro (2>1 se A sceglie su; 1>0 se A sceglie giù).
Pertanto il giocatore B elimina la strategia destra e il giocatore A deve tener conto di
questa eliminazione. Il gioco si riduce alla seguente tabella:
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In questa nuova versione del gioco si ha che per il giocatore A la strategia giù è
dominata da su (su è la strategia dominante per il giocatore A) quindi il giocatore A
elimina la strategia giù e il giocatore B deve tener conto di questa eliminazione il gioco
si riduce ulteriormente:
In questa nuova versione del gioco si ha che per il giocatore B la strategia sinistra è
dominata da centro (centro è la strategia dominante per il giocatore B) quindi la
matrice dei payoff si riduce ad una sola cella e il gioco finisce.
L’esito del gioco è (su, centro)
Questo tipo di eliminazione può far sospettare che in alcuni casi si vadano ad eliminare
potenziali situazioni di equilibrio. In realtà si può dimostrare che, nei giochi a somma
zero, l’eliminazione di strategie (debolmente) dominate non porta alla perdita di
equilibri significativi del gioco.
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Secondo metodo risolutivo: Il MiniMax
Nei giochi a somma zero l’eliminazione di strategie dominate non porta
necessariamente alla soluzione del gioco. Il metodo MiniMax può aiutare.
Consideriamo il gioco rappresentato dalla seguente matrice dei pagamenti:
Il primo giocatore (“Primo”) sceglie le righe,
Il secondo giocatore (“Secondo”) sceglie le colonne
Primo ragiona in questo modo:
 Se seleziono la prima riga, il mio avversario (Secondo) dovrà scegliere tra i valori
che ha a disposizione nella prima riga (2, 4, 6). Sceglierà ovviamente quello per il
quale paga meno, ossia 2.
 Se seleziono la seconda riga, il secondo giocatore sceglierà 0.
 Se seleziono la terza riga il secondo giocatore sceglierà 0.
Il primo giocatore sa quindi di potersi garantire almeno un guadagno 2.
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Passiamo al punto di vista di Secondo
 Se gioco la prima colonna il primo giocatore sceglierà 2, quindi dovrò pagare 2 a
primo.
 Se gioco la seconda colonna il primo sceglierà 7, quindi dovrò pagare 7 a primo.
 Se gioco la terza colonna il primo sceglierà 7, quindi dovrò pagare 7 a primo.
Il secondo giocatore sa quindi di poter fare in modo che al massimo paghi 2.
 2 è l’equilibrio del gioco.
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Vediamo di formalizzare meglio il procedimento.
Il primo giocatore individua per ogni riga il valore minimo, quindi sceglie il valore
massimo dei minimi ottenuti.
Il secondo giocatore esamina le colonne. Per ogni colonna vede il massimo, quindi
sceglie il minimo dei massimi ottenuti.
Se il MAXIMIN del primo giocatore coincide con il MINIMAX del secondo giocatore il
gioco ha equilibrio. In un gioco a somma zero si ha equilibrio se e solo se MAX MIN =
MIN MAX.
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Razionalità + Egoismo = Scelte sbagliate?
L’Equilibrio di Nash (prima il gioco era a somma zero, qui è a somma variabile)
In molte situazioni di interazione strategica non ci sono strategie dominanti o dominate
oppure la procedura della eliminazione iterata delle strategie dominate aiuta a ridurre
la “dimensione” del gioco, ma non conduce ad una soluzione unica.
Per individuare le strategie ottimali in queste situazioni, si deve tener conto del fatto
che ciò che è meglio per un giocatore dipende da ciò che è meglio per gli altri giocatori
e viceversa.
In altri termini, per individuare l’esito del gioco si deve individuare una combinazione di
strategie dove la scelta di ciascun giocatore sia la migliore risposta a quella degli altri.
La combinazione di strategie dove la scelta di ciascun giocatore è la migliore risposta
a quella degli altri viene definita equilibrio di Nash.
Il concetto di equilibrio di Nash è molto importante in economia. Intuitivamente, si può
anche descrivere così: data (o ipotizzata) la scelta dell’altro giocatore, a nessuno dei
due giocatori conviene cambiare strategia.
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Esempio:
La coppia di strategie (a, x), che porta a utilità (1, 8), è il “massimo dei minimi” (=
maximin) per entrambi i giocatori. Infatti:
 nella riga più in basso (min) sono indicati i valori minimi del secondo giocatore,
che guarda per colonna e solo il secondo numero in parentesi;
 nella colonna più a destra (min) sono indicati i valori minimi del primo giocatore,
che guarda per riga e solo il primo numero in parentesi.
Possiamo concludere che (a, x) è un equilibrio?
No. Non ci sono elementi per dire che i due giocatori si metteranno d’accordo per
giocare le strategie (a, x). Infatti:
 se il secondo giocatore annuncia di voler giocare la strategia maximin x, il primo
preferirà giocare la strategia b, piuttosto che la a (dato x, primo deve infatti
scegliere tra a=1 e b=4)
Se invece fosse possibile un accordo sarebbe utile per entrambi convergere verso la
strategia (b, z), che porta a un guadagno (10, 10).
La coppia (b, z) soddisfa infatti le condizioni di equilibrio di Nash:
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 il primo giocatore, che guarda le righe, nota che nella riga b non ci sono soluzioni
migliori
 il secondo giocatore, che guarda le colonne, nota che nella colonna z non ci sono
soluzioni migliori.
 Perciò (b,z) è una situazione di equilibrio.
Ricapitoliamo collassando secoli di Storia del Pensiero in tre(!) righe:
Bentham+Smith+Walras=agente egoista, solitario e ottimizzante la propria utilità
Von Neumann=agente ottimizzante, ma interagisce con gli altri cooperando
Nash=agente ottimizzante e interagente, ma anche egoista-non cooperativo
Tornando alla tabella, non sempre è possibile convergere verso la soluzione
cooperativa o verso un equilibrio “efficiente”, “ottimo” come (b,z).
Quando la ricerca del massimo benessere individuale da parte di ciascun agente
contrasta con l'interesse collettivo e quindi conduce ad un equilibrio in cui tutti stanno
peggio di come potrebbero stare allora si parla di DILEMMA SOCIALE.
Il dilemma del prigioniero ne è un esempio classico.
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Dilemma del Prigioniero
Il dilemma può essere descritto come segue. Due criminali vengono accusati di aver
commesso un reato. Gli investigatori li arrestano entrambi e li chiudono in due celle
diverse, impedendo loro di comunicare (gioco non cooperativo). Ad ognuno di loro
vengono date due scelte: confessare l'accaduto, oppure non confessare. Il PM inoltre
spiega loro che:
 se solo uno dei due confessa, chi ha confessato evita la pena; l'altro viene però
condannato a 7 anni di carcere.
 se entrambi confessano, entrambi vengono condannati a 6 anni.
 se nessuno dei due confessa, entrambi vengono condannati a 1 anno (diciamo
perché comunque erano già colpevoli di spaccio).
Insomma l'unico modo per essere liberi è confessare sperando che l'altro non confessi.
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Questo gioco può essere descritto con la seguente matrice:
confessa non confessa
confessa
(6,6)
(0,7)
non confessa
(7,0)
(1,1)
La miglior strategia di questo gioco non cooperativo è (confessa, confessa). Per ognuno
dei due (simmetrico) lo scopo è infatti di minimizzare la propria condanna e ogni
prigioniero:
confessando:
rischia 0 o 6 anni
non confessando: rischia 1 o 7 anni
La strategia “non confessa” è dunque strettamente dominata dalla strategia confessa.
Eliminando le strategie strettamente dominate si arriva all'equilibrio di Nash, dove i
due prigionieri confessano e si fanno 6 anni di carcere.
Il dilemma consiste nel fatto che la soluzione migliore per entrambi (“ottimo
paretiano”) sarebbe cooperare e non confessare (1 anno di carcere invece di 6), ma
questo non è un equilibrio.
NB Ottimo paretiano: Una situazione è di ottimo paretiano se non ci sono altre possibili
situazioni in cui almeno un individuo può stare meglio senza che nessun altro stia
peggio.
NB Mano invisibile (laissez-faire): se ciascuno persegue l'ottimo individuale, allora
emergerà l'ottimo collettivo.
NB Nei giochi ripetuti, l’equilibrio di Nash è non confesso/non confesso.
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Tornando al dilemma, per migliorare la posizione occorrerebbe:
a) poter comunicare => accordo (ma non sempre si può comunicare, es. guerra fredda)
b) ma anche se si potessero accordare per non confessare entrambi, chi può garantire
che l'accordo venga rispettato? In effetti c'è una forte tentazione a non rispettarlo in
quanto questo porterebbe chi non rispetta ad essere liberato (il gioco è simmetrico =>
la posizione dei due è identica). Di qui il ruolo della fiducia, dei possibili accordi e del
rischio che qualcuno non li rispetti: se c'è questo rischio nessuno li rispetterà. Lo Stato
potrebbe allora fare la parte del Deus ex Machina: l'intervento politico può essere utile.
Fissiamo le idee:
Strategie dominanti:
Io sto facendo il meglio che posso indipendentemente dalla tua strategia.
Tu stai facendo il meglio che puoi indipendentemente dalla mia strategia.
Equilibrio di Nash:
Sto facendo il meglio che posso dato ciò che tu stai facendo.
Tu stai facendo il meglio che puoi dato quello che io sto facendo.
=> L’equilibrio in strategie dominanti è un caso particolare di equilibrio di Nash poiché
quest'ultimo è più “interdipendente”. L’equilibrio in strategie dominanti è anche un
equilibrio di Nash, mentre il contrario non è vero.
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DILEMMI SOCIALI
Ne ricordo la definizione:
Quando la ricerca del massimo benessere individuale da parte di ciascun agente
contrasta con l'interesse collettivo - conducendo ad un equilibrio in cui tutti stanno
peggio di come potrebbero stare - allora si parla di DILEMMA SOCIALE.
Oltre al dilemma del prigioniero ci sono molte altre situazioni di dilemma sociale.
“Due TV in casa”:
In una casa ci sono due TV e tutti alzano il volume della propria TV in una spirale che
alla fine rende impossibile, per tutti, capire il programma TV.
Ci vorrebbe un accordo (condiviso e rispettato da tutti) di abbassare tutti il volume.
Però, se poi se uno ri-alza un po’ per sentire leggermente meglio...
Insomma, mi fido? Quanto?
Ora proviamo a giocare anche noi.
Metto in palio 100€ !
Li vince chi offre di più
Il secondo arrivato perde quanto offerto
Chi vuole cominciare a offrire 1€ per vincerne 100?
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Mia previsione: (quasi) nessuno vuole giocare. A lezione si è sospettosi.
Chissà, in altre occasioni o con un banditore che conoscete meglio…
"Asta da un euro" (l'originale è in $).
Il gioco:
Si mettono all'asta 100 euro, partendo da un’offerta iniziale di 1 euro.
Chi offre di più paga e si aggiudica i 100 euro.
Chi fa la seconda offerta paga, ma non vince nulla.
Sembra che stiamo offrendo una buona opportunità: diamo la possibilità di vincere 100
euro spendendone solo 1. Già ma noi, come il subdolo PM del dilemma del prigioniero,
puntiamo sull'avidità e la miopìa delle persone...
Infatti, qualcuno rilancia offrendo 2, qualcun altro 3, ecc. La stangata è iniziata.
Quando si arriva all'offerta di 50 euro intravediamo l'affare perché chi aveva offerto 49
euro, pur di non perderli, rilancia offrendone 51. Dunque, se ci si ferma a 51,
incassiamo 101, guadagnando 1 euro (senza avere investito alcunché!).
Ma la stessa logica che aveva condotto chi aveva offerto 49 euro a rilanciare
offrendone 51 per non perdere i 49 euro, porterà chi aveva offerto 50 – che ora paga
senza prendere nulla in cambio – a rilanciare a sua volta a 52 ecc...(in altre lezioni
parleremo della ben diffusa loss aversion)
Insomma, per non perdere i giocatori finiscono per arricchire il banditore:
aste di questo tipo, effettuate realmente, sono arrivate a 300-350 euro
NB il vincitore paga un prezzo sproporzionato rispetto al premio che ottiene (es. pago
300 euro per averne 100) e lo sconfitto paga un alto prezzo (nell'esempio 299 euro) per
una battaglia che non frutta nulla.
Morale: si vince non giocando. Vi sembra assurdo?
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Anticipato che in questo Corso vedremo comportamenti generalizzati anche più
“irrazionali”, analizziamo psicologicamente cosa può essere successo:
Si tratta di situazioni in cui ci si infila probabilmente senza pensarci troppo;
ora ne vorremmo uscire poiché - ex post – realizziamo che non è più conveniente;
ma non smettiamo perché non siamo è disposti a perdere tutto quello che è stato
impegnato fino a quel momento (anche poiché si tratterebbe di certificare una
sconfitta e questo succede agli altri, mica a noi...).
ESEMPIO: Certe guerre sono cominciate, proseguite e finite seguendo modalità
abbastanza simili alla nostra (in fondo innocua) asta.
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Altro esempio di Dilemma sociale:
La soluzione migliore sarebbe la cella (2,2) ma
 la soluzione dipende dai payoffs dei giocatori e
 i payoffs dipendono dalle scelte politiche
 Ecco che in certi casi, dove le scelte individuali stentano a produrre un risultato
valido, è importante che la politica intervenga.
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UNA ULTERIORE CONCLUSIONE PARADOSSALE
Supponiamo che, ceteris paribus, ad un certo punto abbiamo qualche opportunità di
scelta in più rispetto ad una situazione precedente.
La LOGICA: la situazione non può che essere migliore di prima: male che vada, torno
alla situazione di partenza.
Il PARADOSSO: quanto appena detto non è affatto ovvio in presenza di interazione
strategica.
Consideriamo come esempio il gioco (A vs B) rappresentato dalla seguente matrice:
A; B
b1
b2
a1
1; 1
5; 3
a2
3; 5
10; 10
Per il principio di razionalità, verrà logicamente scelta la coppia di strategie (a2, b2) che
fornisce un payoff pari a 10 a ciascun giocatore.
Ora, aggiungiamo un'ulteriore strategia per ciascun giocatore ma non sottraiamo nulla:
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A; B
b1
b2
b3
a1
1; 1
5, 3
0, 4
a2
3; 5
10, 10
0, 11
a3
4; 0
11, 0
1, 1
L'ESITO PARADOSSALE: si converge su (a3, b3) e cioè su un payoff di solo 1 a testa,
ben minore del 10 ottenuto con una opzione in meno.
Il fatto è che ho subdolamente aggiunto payoffs in modo che Mr. B esclude dalle
possibili soluzioni la colonna b2 e Mr. A esclude la riga a2. Per completezza:
Se A sceglie:
a1 => B sceglie b3
a2 => B sceglie b3
a3 => B sceglie b3
Se B sceglie:
b1 => A sceglie a3
b2 => A sceglie a3
b3 => A sceglie a3
=> l'equilibrio è (a3,b3) QED.
Dato che si possono fare esempi in cui diminuendo tutti i payoff di un gioco si ottiene
una soluzione migliore per entrambi i giocatori, si arriva alla
MORALE: scegliere quando ci sono di mezzo gli “altri” è sempre complicato.
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Il dilemma sociale della “Tragedia delle risorse comuni”.
Oltre al dilemma del prigioniero (DdP), un altro notissimo fallimento del
coordinamento tra privati è un dilemma sociale chiamato “Tragedia delle risorse
comuni”.
Cos'è? Si tratta di una situazione in cui c’è una moltitudine di individui ciascuno dei
quali si trova a dover scegliere se privilegiare il proprio tornaconto personale
immediato o il benessere della collettività in cui vive. In un certo senso si tratta di
versioni del DdP con molti giocatori.
Cosa succederà? Quando un gran numero di anonimi individui gioca un dilemma
sociale in cui c'è da scegliere tra se stessi e gli “altri” c’è da aspettarsi che le cose
vadano molto male. Homo homine lupus ammoniva Hobbes: la natura umana è
fondamentalmente egoistica e a determinare le azioni dell'uomo sono soltanto l'istinto
di sopravvivenza e quello di sopraffazione (ricordate A. Smith?).
D'altronde, costringere la gente a comportarsi meglio in tali situazioni è raramente cosa
agevole. E poi, siamo sicuri che il politico non è un lupus? In fondo anche lui è un uomo.
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L’esempio standard di dilemma sociale è chiamato “Tragedia delle risorse comuni” per
il titolo di un articolo di Garrett Hardin del 1968.
L’archetipo è il problema dei pascoli comuni nei villaggi inglesi del 1600. In molti villaggi
era presente, in posizione centrale, un terreno, che le famiglie del villaggio potevano
utilizzare liberamente per il pascolo delle loro greggi e mandrie.
I fatti hanno evidenziato che, senza misure di controllo, le famiglie tendevano a
sovrautilizzare il pascolo, desertificandolo in breve tempo.
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La tragedia in versione miniaturizzata, ma formale.
In un piccolo villaggio abitato da dieci famiglie di pastori c’è un terreno comune che
viene destinato al pascolo delle capre. Supponiamo che una capra che abbia a sua
disposizione una frazione a ∈]0, 1] del terreno comune produca
litri di latte al giorno e che una capra senza erba da mangiare non dia latte.
Questa funzione di produzione è tale che una capra che ha a disposizione a=10% del
terreno comune, produce un litro di latte:
a
1.00 0.50 0.33 0.25 0.20 0.17 0.14 0.13 0.11 0.10 0.09 0.08 0.08 0.07
litri 2.46 2.23 2.01 1.82 1.65 1.49 1.35 1.22 1.11 1.00 0.90 0.82 0.74 0.67
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Un pianificatore sociale, chiamato a decidere il numero ottimale n di capre, comincia
col notare che ciascuna capra dovrà avere a disposizione una frazione a = 1/n del
terreno comune. Sostituendo a = 1/n nella fz di produzione, la produzione totale (=>
n*b) di latte sarà:
che risulta massima quando n = 10, dando luogo a una produzione di 10 litri di latte al
giorno.
Il pianificatore, se è persona equa e se ha il potere di imporre le sue regole, dovrebbe
allora concedere ad ogni famiglia la licenza di tenere una capra e ciascuna famiglia
finirebbe con un litro di latte al giorno.
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Ma supponiamo ora che il pianificatore non sia in grado di imporre le sue indicazioni e
che ciascuna famiglia prenda in modo autonomo la sua decisione sul numero x delle
capre da tenere. Se supponiamo che ciascuna famiglia si preoccupi solo di
massimizzare la sua propria utilità - cioè la sua propria produzione di latte - e che non
abbia alcuna attenzione per ciò che accadrà nel futuro, allora, indicato con c (visto
come un parametro) il numero delle capre delle altre nove famiglie, una certa famiglia
dovrà massimizzare la funzione di x
la quale, come nel caso del pianificatore sociale, ha un massimo per x = 10, quale che
sia il valore di c, ossia indipendentemente dal numero di capre che le altre nove
famiglie decideranno di tenere.
In definitiva, data la simmetria della situazione, ciascuna famiglia deciderà di tenere 10
capre, sicché 100 capre pasceranno sul terreno comune che, in breve, sarà ridotto a un
deserto. E la produzione totale di latte, quando n = 100, diviene assolutamente ridicola:
L = 100 e−9 ≈ 0.012 litri
La Figura 1 sostituisce per una certa famiglia, vista come un giocatore razionale, la
matrice di pagamento. Essa mostra la produzione di latte (l) di tale famiglia come
funzione del numero x di capre che essa detiene e del numero complessivo c delle
capre tenute dalle altre nove famiglie viste come un avversario unico.
La Figura 2 mostra alcune curve di livello della superficie di produzione del latte in cui è
tenuto costante c.
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Punto Cruciale:
È agevole verificare sulla Figura 2 che la strategia da “falco” di tenere 10 capre è
strettamente dominante:
 il punto più elevato delle varie curve, quale che sia il valore di c, corrisponde
sempre all’ascissa 10
 Quindi la famiglia sotto osservazione ottiene più latte tenendo 10 capre che
tenendo un qualsiasi altro numero di capre.
In particolare, la strategia da “falco” di tenere 10 capre domina strettamente la
strategia da “colomba”, perorata dal pianificatore, di tenere una sola capra.
Nondimeno ognuno otterrebbe di più se tutti accettassero il consiglio del pianificatore.
Dovrebbe essere chiaro che il gioco ora esaminato rappresenta efficacemente la logica
che è dietro l'esaurimento delle risorse naturali, l’inquinamento, l’effetto serra….
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