Sviluppi di Fourier di alcune forme d`onda

Sviluppi di Fourier di alcune forme
d'onda
Lorenzo Roi (7 gennaio 2011)
Onda a dente di sega
La funzione d'onda a dente di sega èdefinita come
y HtL =
a
T
-
t
T
, Ha = costante assegnataL,
T
£t<
2
2
èperiodica con periodo T e il suo sviluppo di Fourier èdato dalla serie
y HtL = a â
¥
i=1
H- 1Li+1
2Πi
sin
t
iΠ
T
Il suo grafico (a = 1 e T = 1) risulta
Onda a dente di sega
0.6
0.4
0.2
-2
-1
1
-0.2
2
-0.4
-0.6
mentre le prime cinque armoniche sono
:
Sin@2 Π tD
Sin@4 Π tD
,-
Π
Sin@6 Π tD
Sin@8 Π tD
,-
,
2Π
3Π
Sin@10 Π tD
,
4Π
5Π
>
Supposta l'ampiezza dell'armonica fondamentale pari ad 1 così come la sua frequenza, l'ampiezza delle successive armoniche
in funzione della frequenza èrappresentata dall’istogramma
Ampiezza relativa delle armoniche
ampiezza
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
frequenza HHzL
-0.2
-0.4
mentre la rappresentazione grafica che si ottiene al variare del numero di armoniche secondarie (per un massimo di 20) che la
approssimano nella somma èdata dal grafico seguente.
2
sviluppoFourierStmp.nb
Somma di armoniche
0.6
0.4
0.2
-1.0
-0.5
0.5
1.0
-0.2
-0.4
-0.6
Onda triangolare
La funzione per un'onda triangolare èdefinita come
y HtL = a 1 +
y HtL = a 1 -
4
T
-
t
T
4
£t<0
2
T
2
èperiodica con periodo T e lo sviluppo di Fourier è
y HtL = a â
¥
i=0
Ha = costante assegnataL
T
0£t<
t
8
H2 i + 1L2 Π2
cos
2 Π H2 i + 1L
t
T
Il suo grafico (a = 1 e T = 1 ) è
Onda triangolare
1.0
0.5
-2
-1
1
2
-0.5
-1.0
mentre le sue prime cinque armoniche sono le funzioni
:
8 Cos@2 Π tD
8 Cos@6 Π tD
,
Π2
8 Cos@10 Π tD
,
9
Π2
8 Cos@14 Π tD
,
25
Π2
8 Cos@18 Π tD
,
49
Π2
81 Π2
>
Supposta pari ad 1 l'ampiezza dell'armonica fondamentale così come la sua frequenza, l'ampiezza delle successive armoniche
in funzione della frequenza èrappresentata dall'istogramma
sviluppoFourierStmp.nb
3
Ampiezza relativa delle armoniche di onda triangolare
ampiezza
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
frequenza HHzL
che mostra come l'ampiezza decresca rapidamente all'aumentare della frequenza. La rappresentazione grafica che si ottiene al
variare del numero di armoniche secondarie (per un massimo di 10) è
Somma di armoniche di onda triangolare
1.0
0.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
-0.5
-1.0
Onda quadra
L'importante funzione onda quadra èdefinita come
y HtL = - a
y HtL = + a
T
-
£t<0
2
T
0£t<
2
e possiede, come le precedenti, periodo T . Il suo sviluppo di Fourier è
y HtL = a â
¥
i=0
4
H2 i + 1L Π
sin
mentre il suo grafico risulta (a = 1 e T = 1)
2 Π H2 i + 1L
T
t
4
sviluppoFourierStmp.nb
Onda quadra
1.0
0.5
-2
-1
1
2
-0.5
-1.0
Le sue prime cinque armoniche sono le funzioni
:
4 Sin@2 Π tD
4 Sin@6 Π tD
,
4 Sin@10 Π tD
,
Π
4 Sin@14 Π tD
,
3Π
5Π
4 Sin@18 Π tD
,
7Π
9Π
>
e la loro ampiezza in rapporto all'armonica fondamentale decresce all'aumentare della frequenza come mostrato
dall'istrogramma
Ampiezza relativa delle armoniche di onda quadra
ampiezza
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
frequenza HHzL
Infine, la somma delle armoniche fino ad un ordine massimo di 20 fornisce la rappresentazione grafica seguente
Somma di armoniche di onda quadra
1.5
1.0
0.5
-1.0
-0.5
0.5
-0.5
-1.0
-1.5
1.0