La similitudine 1 Poligoni simili 2 I criteri di similitudine per i triangoli

/DVLPLOLWXGLQH
$OHVVDQGUR&RUGHOOL
3ROLJRQLVLPLOL
Definiamo una importante relazione tra poligoni, si tratta della relazione introdotta nella
prima definizione del VI libro degli (OHPHQWL, la relazione di VLPLOLWXGLQH. Intuitivamente, la
similitudine esprime il fatto che due figure hanno la stessa forma ma dimensioni diverse (ad
esempio, due quadrati aventi un lato doppio dell’altro sono figure simili); sebbene tale
concetto possa applicarsi ad una classe più generale di figure, noi ci limiteremo al caso dei
poligoni. Diamo dunque la seguente definizione:
'XH SROLJRQL VRQR VLPLOL TXDQGR KDQQR JOL DQJROL XQR D XQR XJXDOL H L ODWL
FRUULVSRQGHQWLFLRqFRPSUHVLWUDFRSSLHGLDQJROLXJXDOLLQSURSRU]LRQH
Osserviamo che l’uguaglianza è un caso
particolare di similitudine. cioè due figure uguali
sono anche simili, ma non il viceversa. Inoltre la
similitudine è una relazione di equivalenza in quanto
possiede le tre proprietà formali :
1. ULIOHVVLYD (un poligono è simile a sé stesso)
2. VLPPHWULFD (se un poligono è simile ad un altro
anche il secondo è simile al primo);
)LJXUD3ROLJRQLVLPLOL
3. WUDQVLWLYD (se un poligono è simile ad un altro e
questo ad un terzo, allora anche il primo e il terzo poligono sono simili.
In base alla definizione, per decidere se due poligoni sono simili abbiamo bisogno di
conoscere tutti i lati e tutti gli angoli di entrambi. Tuttavia è auspicabile riuscire a stabilire
delle condizioni meno stringenti per determinare l’esistenza o meno della relazione di
similitudine tra due poligoni dati. Tali FULWHULGLVLPLOLWXGLQH effettivamente esistono nel caso
dei triangoli e sono tra i teoremi più celebri della geometria euclidea.
,FULWHULGLVLPLOLWXGLQHSHULWULDQJROL
Il triangolo ha sei elementi: tre angoli e tre lati. Analogamente ai criteri di uguaglianza che
richiedono solo tre di tali elementi (due lati e un angolo, un lato e due angoli, tre lati), anche
per la similitudine abbiamo tre criteri. Il primo di essi stabilisce la similitudine a partire
dall’uguaglianza delle tre coppie di angoli (in realtà è sufficiente conoscere due angoli, dato
che il terzo si può determinare per differenza da un angolo piatto); il secondo stabilisce la
similitudine a partire dall’uguaglianza di una coppia di angoli e dalla proporzionalità di due
coppie di lati; il terzo stabilisce la similitudine a partire dalla proporzionalità delle tre coppie
di lati. È curioso osservare che sebbene questo sia l’ordine in cui i criteri vengono elencati nei
testi moderni, negli (OHPHQWL venga presentato prima il primo criterio (proposizione VI, 4),
poi il terzo (proposizione VI, 5) e infine il secondo (proposizione VI, 6).
(*)
I lati corrispondenti si dicono anche RPRORJKL.
, FULWHULGLVLPLOLWXGLQH
,OSULPRFULWHULRGLVLPLOLWXGLQHSHULWULDQJROL
Teorema:
1HL WULDQJROL DYHQWL JOL DQJROL ULVSHWWLYDPHQWH XJXDOL L ODWL FKH FRPSUHQGRQR JOL DQJROL
XJXDOLVRQRSURSRU]LRQDOLHVVHQGRRPRORJKLLODWLRSSRVWLDJOLDQJROLXJXDOL
Consideriamo i due triangoli $%& e &'( che per
ipotesi hanno gli angoli uguali (vedi Figura 2) e
disponiamoli con il vertice & in comune in modo che
i segmenti %& e &( siano adiacenti (cioè consecutivi
ed appartenenti alla stessa retta). Prolunghiamo i lati
$% e '(, essi si incontreranno nel punto ). Che tale
punto di incontro esista sempre indipendentemente
dalle caratteristiche dei triangoli possiamo dirlo con
certezza: infatti %&ˆ $ = &(ˆ ' per ipotesi e quindi
$%ˆ & + &(ˆ ' è uguale ad $%ˆ & + %&ˆ $ che è minore
di un angolo piatto in base ad un noto teorema, ma il
quinto postulato asserisce proprio che due rette che
tagliate da una trasversale formano angoli la cui
somme è diversa da un angolo piatto si incontrano
dalla parte in cui tale somma è minore di un angolo
)LJXUD ,O SULPR FULWHULR GL VLPLOLWXGLQH
piatto. Osserviamo che, essendo $%ˆ & = '&ˆ ( , '& e GHLWULDQJROL
%) sono paralleli (in base al criterio di parallelismo);
poiché %&ˆ $ = &(ˆ ' anche $& ed () sono paralleli. Il quadrilatero $&') risulta pertanto un
parallelogramma in cui $) = &' e $& = ') . Consideriamo ora il triangolo )%(; la corda
$& è parallela lato )( e quindi, in base al teorema di Talete, %$ : $) = %& : &( . Questa
proporzione, poi, tenendo conto del fatto che $) = &' , la si può riscrivere come:
%$ : &' = %& : &( ; permutando i medi otteniamo %$ : %& = &' : &( . In maniera analoga
consideriamo la corda '&, parallela al lato )% in quanto $%ˆ & = '&ˆ ( . Applicando il
teorema di Talete otteniamo la proporzione: %& : &( = )' : '( e poiché )' = $& sarà
anche %& : &( = $& : '( . Di nuovo, permutando otteniamo %& : $& = &( : '( . Unendo le
due proporzioni otteniamo infine: %$ : %& : $& = &' : &( : '( , che è la tesi.
Formalizziamo i passaggi della dimostrazione:
,SRWHVL: $%ˆ & = '&ˆ ( , %&ˆ $ = &(ˆ ', %$ˆ & = &'ˆ (
$%ˆ & + %&ˆ $ < π (ipotesi, teorema sulla somma degli angoli interni di un triangolo)
%$ e '( si incontrano in ) (1, V postulato)
'& e %) paralleli (criterio di parallelismo, ipotesi)
$& e )( paralleli (criterio di parallelismo, ipotesi)
$&') parallelogramma (3, 4)
$) = &' e $& = ') (5, proprietà parallelogramma)
%$ : $) = %& : &( (teorema di Talete, 4)
%$ : &' = %& : &( (6, 7)
%$ : %& = &' : &( (8, permutazione dei medi)
%& : &( = )' : '( (teorema di Talete, 3)
%& : &( = $& : '( (6, 10)
%& : $& = &( : '( (11, permutazione dei medi)
7HVL: %$ : %& : $& = &' : &( : '( (9, 12)
2
, FULWHULGLVLPLOLWXGLQH
,OVHFRQGRFULWHULRGLVLPLOLWXGLQHSHULWULDQJROL
Teorema:
6HGXHWULDQJROLKDQQRXQDQJRORGHOO¶XQRXJXDOHDXQDQJRORGHOO¶DOWURHSURSRU]LRQDOLL
ODWLFRPSUHQGHQWLGLGXHDQJROLXJXDOLDOORUDVRQRVLPLOL
Consideriamo i due triangoli
$%& e '() che per ipotesi hanno
%$ˆ & = ('ˆ ) ; vale inoltre la
proporzione: $& : $% = ') : '( .
Costruiamo sul lato ') il triangolo
')*
avente
gli
angoli
')ˆ* = %&ˆ $ e )'ˆ * = %$ˆ & ;
poiché la somma degli angoli
interni di un triangolo è uguale ad
un angolo piatto avremo anche
)*ˆ ' = $%ˆ & (osserviamo che è )LJXUD,OVHFRQGRHWHU]RFULWHULRGLVLPLOLWXGLQHGHLWULDQJROL
sempre possibile costruire il
triangolo ')* in quanto ')ˆ* e )'ˆ * – essendo uguali a due angoli interni di un triangolo
– hanno somma inferiore a un angolo piatto, ma il quinto postulato afferma proprio che due
rette che tagliate da una trasversale formano angoli corrispondenti la cui somma è diversa da
un angolo piatto si incontrano da quella parte in cui la somma degli angoli è minore). I due
triangoli $%& e ')*, avendo gli angoli uguali, sono simili in base al primo criterio di
similitudine. Vale pertanto la proporzione $& : $% = ') : '* . Confrontando questa
proporzione con quella dell’ipotesi ricaviamo che '( = '* in base all’unicità del quarto
proporzionale. Osserviamo quindi che i triangoli ')( e ')*, avendo ') in comune,
'( = '* e )'ˆ ( = )'ˆ * in quanto entrambi uguali a %$ˆ & , sono uguali in base al primo
criterio di uguaglianza. Quindi – in base al fatto che due poligoni uguali sono anche simili e
alla transitività della relazione di similitudine – possiamo affermare che i triangoli $%& e
'() sono simili. Formalizziamo i passaggi della dimostrazione:
,SRWHVL: %$ˆ & = ('ˆ ) , $& : $% = ') : '( e la costruzione di Figura 3
%$ˆ & + %&ˆ $ < π (ipotesi, teorema sulla somma degli angoli interni di un triangolo)
'* ed )* si incontrano in * (1, V postulato)
$%& e ')* sono simili (primo criterio di similitudine, ipotesi)
$& : $% = ') : '* (3)
'( = '* (ipotesi, 4, unicità del quarto proporzionale)
') = ')
)'ˆ ( = )'ˆ * = %$ˆ & (ipotesi)
')( = ')* (primo criterio di uguaglianza, 5, 6, 7)
7HVL: $%& e '() simili (8, 3)
,OWHU]RFULWHULRGLVLPLOLWXGLQHSHULWULDQJROL
Teorema:
3
, FULWHULGLVLPLOLWXGLQH
6HGXHWULDQJROLKDQQRWXWWLLODWLLQSURSRU]LRQHDOORUDVRQRVLPLOL
Per la dimostrazione di questo teorema facciamo riferimento ancora una volta alla Figura
3. Sappiamo per ipotesi che valgono le proporzioni:
$& : $% = ') : '( ,
$& : %& = ') : )( e $% : %& = '( : () ; vogliamo dimostrare che i due triangoli sono
simili, cioè che gli angoli nei due triangoli sono uguali, in modo che a lati omologhi
corrispondano angoli uguali (cioè che: $%ˆ & = '(ˆ ) , %$ˆ & = ('ˆ ) e $&ˆ % = ')ˆ( ). Dopo
aver costruito sul lato ') il triangolo ')* avente gli angoli ')ˆ* = %&ˆ $ e )'ˆ * = %$ˆ & (sul
fatto che sia sempre possibile costruire un tale triangolo facciamo riferimento alle
considerazioni sul V postulato sviluppate nella precedente dimostrazione). Avendo gli angoli
uguali, i triangoli $%& e ')* sono simili (primo criterio di similitudine). Varrà dunque la
proporzione: $& : $% = ') : '* che, confrontata con l’ipotesi $& : $% = ') : '( ci
permette di dedurre che '* = '( (unicità del quarto proporzionale). Analogamente,
confrontando la proporzione $& : %& = ') : )* (che segue dalla similitudine tra $%& e
')*) con l’ipotesi $& : %& = ') : )( otteniamo che )( = )* . Pertanto, avendo i due
triangoli ')( e ')* anche il lato ') in comune, essi sono uguali per il terzo criterio di
uguaglianza. . Quindi – in base al fatto che due poligoni uguali sono anche simili e alla
transitività della relazione di similitudine – possiamo affermare che i triangoli $%& e '()
sono simili. Formalizziamo i passaggi della dimostrazione:
,SRWHVL: $& : $% = ') : '( , $& : %& = ') : )( , $% : %& = '( : () e la costruzione di
Figura 3
%$ˆ & + %&ˆ $ < π (ipotesi, teorema sulla somma degli angoli interni di un triangolo)
'* ed )* si incontrano in * (1, V postulato)
$%& e ')* sono simili (primo criterio di similitudine, ipotesi)
$& : $% = ') : '* (3)
'( = '* (ipotesi, 4, unicità del quarto proporzionale)
$& : %& = ') : )* (3)
)( = )* (ipotesi, 6, unicità del quarto proporzionale)
') = ')
')( = ')* (terzo criterio di uguaglianza, 5, 7, 8)
7HVL: $%& e '() simili (9, 3)
$SSOLFD]LRQLGHLFULWHULGLVLPLOLWXGLQH
La similitudine è uno strumento molto potente per dimostrare un gran numero di proprietà
delle figure. Alcuni di questi risultati sono veri e propri teoremi che a loro volta hanno
molteplici applicazioni. In particolare vogliamo vedere un gruppo di teoremi che applicano la
similitudine alle proprietà delle corde di una circonferenza e dei segmenti di tangenza.
,OWHRUHPDGHOOHGXHFRUGH
Il primo risultato che prendiamo in considerazione riguarda i triangoli che si formano
unendo gli estremi di due corde di una circonferenza che in intersecano in un punto.
Teorema:
&RQGRWWHGDXQSXQWRLQWHUQRDXQDFLUFRQIHUHQ]DGXHFRUGHHXQLWLJOLHVWUHPLGHOO¶XQD
FRQJOLHVWUHPLGHOO¶DOWUDVLYHQJRQRDIRUPDUHGXHWULDQJROLVLPLOL
4
, FULWHULGLVLPLOLWXGLQH
Siano $% e &' due corde di una circonferenza di centro 2 che si incontrano nel punto (
interno alla circonferenza (Figura 4). Uniamo l’estremo $ della prima corda con l’estremo '
della seconda e analogamente % con &. Vogliamo dimostrare che i triangoli $'( e %(& sono
simili. Osserviamo infatti che: '$ˆ % = '&ˆ % in quanto angoli alla circonferenza che insistono
sul medesimo arco '%, '(ˆ $ = %(ˆ & poiché opposti al vertice e $'ˆ ( = &%ˆ ( per differenza
(in quanto la somma degli angoli interni di un triangolo è uguale ad un angolo piatto).
I triangoli $'( e %(& sono quindi simili in base
al primo criterio. Formalizziamo i passaggi della
dimostrazione:
,SRWHVL: le due corde $% e &' si incontrano nel
punto (interno alla circonferenza
'$ˆ % = '&ˆ % (teorema sugli angoli alla
circonferenza, ipotesi)
'(ˆ $ = %(ˆ & (angoli opposti al vertice, ipotesi)
$'ˆ ( = &%ˆ ( (teorema sulla somma degli angoli
interni di un triangolo, 1, 2)
7HVL: $'( e &%( simili (primo criterio di
similitudine, 1, 2, 3)
)LJXUD,OWHRUHPDGHOOHGXHFRUGH
Questo teorema ha un importante corollario:
'XHFRUGHGLXQDFLUFRQIHUHQ]DFKHVLLQFRQWUDQRLQXQSXQWRYHQJRQRGDTXHVWRGLYLVH
LQPRGRFKHOHGXHSDUWLGHOO¶XQDIRUPLQRLPHGLHOHGXHSDUWLGHOO¶DOWUDJOLHVWUHPLGL
XQDSURSRU]LRQH
Per la dimostrazione facciamo riferimento ancora alla Figura 4; avendo dimostrato che i
triangoli $'( e %&( sono simili, abbiamo '( : $( = %( : &( .
,OWHRUHPDGHOOHGXHVHFDQWL
Due corde non parallele che non si
incontrano internamente alla circonferenza
(ad esempio $' e %& nella Figura 4) si
incontreranno comunque fuori di essa.
Anche in questo caso possiamo individuare
due triangoli simili stabilendo un risultato
del tutto analogo al teorema delle due
corde.
Teorema:
&RQGRWWH GD XQ SXQWR HVWHUQR D XQD
FLUFRQIHUHQ]D GXH VHFDQWL H XQLWL JOL
HVWUHPLGHOOHFRUGHFKHFRVuVLYHQJRQRD
IRUPDUH VL RWWHQJRQR GXH WULDQJROL
VLPLOL
Siano $% e &' due corde di una )LJXUD,OWHRUHPDGHOOHGXHVHFDQWL
5
, FULWHULGLVLPLOLWXGLQH
circonferenza di centro 2 che si incontrano nel punto (, esterno alla circonferenza (Figura 5).
Uniamo l’estremo $ della prima corda con l’estremo ' della seconda e analogamente % con
&. Vogliamo dimostrare che i triangoli $'( e %(& sono simili. Osserviamo infatti che:
'$ˆ % = '&ˆ % in quanto angoli alla circonferenza che insistono sul medesimo arco '%,
l’angolo '(ˆ $ = %(ˆ & è in comune e $'ˆ ( = &%ˆ ( per differenza (in quanto la somma degli
angoli interni di un triangolo è uguale ad un angolo piatto).
I triangoli $'( e %(& sono quindi simili in base al primo criterio. Formalizziamo i
passaggi della dimostrazione:
,SRWHVL: le due corde $% e &' si incontrano nel punto ( esterno alla circonferenza
'$ˆ % = '&ˆ % (teorema sugli angoli alla circonferenza, ipotesi)
'(ˆ $ = %(ˆ &
$'ˆ ( = &%ˆ ( (teorema sulla somma degli angoli interni di un triangolo, 1, 2)
7HVL: $'( e &%( simili (primo criterio di similitudine, 1, 2, 3)
Analogamente al teorema delle due corde, anche per quello delle due secanti possiamo
stabilire un corollario:
6HGXHVHFDQWLGLXQDFLUFRQIHUHQ]DVLLQFRQWUDQRLQXQSXQWRHVWHUQRDGHVVDXQDLQWHUD
VHFDQWH H OD VXD SDUWH HVWHUQD IRUPDQR L PHGL PHQWUH O¶DOWUD VHFDQWH H OD VXD SDUWH
HVWHUQDIRUPDQRJOLHVWUHPLGLXQDSURSRU]LRQH
Infatti, essendo i triangoli $'( e %&( di Figura 5 simili, si ha '( : $( = %( : &( .
,OWHRUHPDGHOODWDQJHQWHHGHOODVHFDQWH
Dopo aver considerato
due corde che si incontrano
internamente
alla
circonferenza e due secanti
che si incontrano fuori di
essa, analizziamo il caso in
cui si abbia una tangente e
una secante. Anche in questo
caso possiamo individuare
due triangoli simili e quindi
una
relazione
di
proporzionalità tra i vari
segmenti che formano la
figura.
Teorema:
)LJXUD,OWHRUHPDGHOODWDQJHQWHHGHOODVHFDQWH
6HXQDWDQJHQWHHXQDVHFDQWHDXQDFLUFRQIHUHQ]DVLLQFRQWUDQRLQXQSXQWRHVWHUQRDG
HVVD LO VHJPHQWR GL WDQJHQ]D q PHGLR SURSRU]LRQDOH WUD O¶LQWHUD VHFDQWH H OD VXD SDUWH
HVWHUQD
Per la dimostrazione facciamo riferimento alla Figura 6; vediamo che i triangoli $%& e
$%' sono simili in base al primo criterio. Infatti l’angolo in $ è in comune, &'ˆ % = &%ˆ $
poiché angoli alla circonferenza che insistono sul medesimo arco &% (in particolare, l’angolo
6
, FULWHULGLVLPLOLWXGLQH
&%ˆ $ rappresenta il caso particolare in cui uno dei lati è tangente in un estremo dell’arco) e
$&ˆ % = $%ˆ ' per differenza di angoli uguali in quanto la somma degli angoli interni in un
triangolo è uguale a un angolo piatto. Considerando la posizione degli angoli, le coppie di lati
corrispondenti nei triangoli $%& e $%' sono rispettivamente: $% con $', $& con $%, &%
con &'. Possiamo quindi scrivere la proporzione $& : $% = $% : $' , che è la tesi del
teorema.
Scriviamo formalmente i passaggi della dimostrazione:
,SRWHVL: $% segmento di tangenza, $' secante della circonferenza
&'ˆ % = &%ˆ $ (teorema sugli angoli alla circonferenza, ipotesi)
'$ˆ % = &$ˆ %
$&ˆ % = $%ˆ ' (teorema sulla somma degli angoli interni di un triangolo, 1, 2)
$%& e $%' simili (primo criterio di similitudine, 1, 2, 3)
7HVL: $& : $% = $% : $' (4)
9HULILFKHGLFRPSUHQVLRQHHFRQRVFHQ]D
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14.
Qual’è il significato intuitivo della similitudine?
Fai un esempio di poligoni simili.
Come viene definita la relazione di similitudine tra poligoni?
Che relazione vi è tra uguaglianza e similitudine?
Di quali proprietà formali gode la relazione di similitudine?
Che cos’è un FULWHULRGLVLPLOLWXGLQH?
Enuncia e dimostra il primo criterio di similitudine per i triangoli.
Enuncia e dimostra il secondo criterio di similitudine per i triangoli.
Enuncia e dimostra il terzo criterio di similitudine per i triangoli.
Enuncia e dimostra il teorema delle due corde.
Enuncia e dimostra il corollario del teorema delle due corde.
Enuncia e dimostra il teorema delle due secanti.
Enuncia e dimostra il corollario del teorema delle due secanti
Enuncia e dimostra il teorema della tangente e della secante.
3UREOHPL
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3.
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6.
Dato un triangolo $%& e un segmento '( costruisci con riga e compasso il
triangolo '(), simile ad $%& in tale che ai vertici $ e % del primo triangolo
corrispondano ' ed ( nel secondo. (6XJJHULPHQWRDSSOLFDLOSULPRFULWHULR)
Dimostra che in due triangoli simili le bisettrici relative a due vertici corrispondenti
stanno nello stesso rapporto di due lati omologhi.
Dimostra che in un triangolo le altezze sono inversamente proporzionali ai lati su
cui cadono.
Dimostra che in due triangoli simili due mediane corrispondenti stanno nello stesso
rapporto di due lati omologhi.
Dimostra che in due triangoli simili le altezze relative a due lati corrispondenti
stanno nello stesso rapporto di due lati omologhi.
Dimostra che le diagonali di un trapezio si dividono in parti proporzionali.
7
, FULWHULGLVLPLOLWXGLQH
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Dato il triangolo $%& costruisci con riga e compasso il triangolo $′% ′& ′ simile ad
$%& ed avente perimetro uguale ad un segmento S assegnato. (6XJJHULPHQWR L
SHULPHWULVWDQQRQHOORVWHVVRUDSSRUWRGHLODWL)
È data una circonferenza e un triangolo $%& inscritto in essa. Traccia la bisettrice
dell’angolo in& che incontra il lato $% in . e la circonferenza nell’ulteriore punto
'. Dimostra che i triangoli $.&, '.% e '%& sono simili.
In un rettangolo, l’angolo che una diagonale forma con una delle basi è uguale al
corrispondente angolo in un altro rettangolo; dimostra che i due rettangoli sono
uguali.
Sono date due corde $% e %& di una circonferenza di centro 2. Sia W la tangente alla
circonferenza in % e U una qualsiasi retta parallela a W che incontra le corde $% e %&
in 3 e 4 rispettivamente. Dimostra che i triangoli $%& e 3%4 sono simili.
(6XJJHULPHQWROHFRUGHIRUPDQRFRQODWDQJHQWHXQDQJRORDOODFLUFRQIHUHQ]D)
Sono dati i due triangoli $%& e '() dei quali si sa che $ˆ = 'ˆ e che gli angoli in %
ed ( sono supplementari (assumi che %̂ sia acuto). Dimostra che vale la
proporzione $& : &% = ') : )( . (6XJJHULPHQWRXQLVFLLOYHUWLFH& FRQXQSXQWR
GHOODEDVH$%LQPRGRGDRWWHQHUHXQWULDQJRORVLPLOHD'()).
Dato un triangolo $%& qual è il luogo geometrico dei punti medi delle corde
parallele ad $%?
Dato un triangolo isoscele $%& di base $% costruisci la circonferenza avente come
centro 0, punto medio di $%, e tangente ai lati $& e %& in 5 ed 6 rispettivamente.
Sul minore degli archi 56 prendi un punto 7 e traccia la tangente alla circonferenza
in 7 che incontra i lati $& e %& in ' ed ( rispettivamente. Dimostra che i triangoli
$0', '0( e (0% sono simili. (6XJJHULPHQWRODVRPPDGHJOLDQJROLLQWHUQLGHO
TXDGULODWHUR$'(%YDOH).
Dimostra che in due triangoli simili i raggi delle circonferenze circoscritte stanno
tra loro nello stesso rapporto di una coppia di lati omologhi.
Dimostra che in due triangoli simili i raggi delle circonferenze inscritte stanno tra
loro nello stesso rapporto di una coppia di lati omologhi.
Date due semirette U ed V e detta 9 la loro comune origine traccia la semiretta X
anch’essa di origine 9, interna all’angolo tra U ed V. Presi due punti $ e % su X
traccia per $ la parallela ad V che incontra U in & e la parallela ad U che incontra V in
'. Analogamente traccia per % la parallela ad V che incontra U in ( e la parallela ad
U che incontra U in ). Dimostra che $& : %( = $' : %) .
Dimostra che se due segmenti $% e &' si incontrano in un punto ( tale che
$( : (& = '( : (% allora $, %, & e ' appartengono alla stessa circonferenza.
Sono date due circonferenze secanti in $ e %, sia U la retta per $ e % e 3 un qualsiasi
punto di U esterno al segmento $%. Da 3 traccia le tangenti alle circonferenze.
Dimostra che i quattro segmenti di tangenza sono tutti uguali tra loro.
(6XJJHULPHQWRSURFHGLSHUDVVXUGR).
È dato il triangolo $%& in cui l’angolo $̂ è acuto. Traccia la semicirconferenza di
diametro %& che incontra i lati $% e %& in 3 e 4. Dimostra che i triangoli $%& e
$34 sono simili.
Dimostra che condizione necessaria e sufficiente affinché due quadrilateri convessi
siano simili è che abbiano ordinatamente tre angoli uguali e una coppia di lati
consecutivi in proporzione.
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