La convergenza delle serie di Fourier

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BERGAMO
La convergenza delle serie di Fourier: proprietà classiche e
moderne
Luca Brandolini
Università degli Studi di Bergamo
Analisi di Fourier
Le serie (e più in generale) l’analisi di Fourier sono uno strumento matematico
utilizzato molti contesti diversi:
• Risoluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali
• Filtraggio di segnali e/o immagini
• Compressione di segnali e/o immagini
• L’idea fondamentale consiste nel tentare di scrivere un oggetto complesso
come somma di oggetti più semplici e di ricostruire poi le proprietà dell’oggetto
composito a partire dalla conoscenza delle proprietà degli oggetti semplici.
• Uno dei problemi centrali dell’analisi di Fourier, storicamente il primo, è quello
di determinare sotto quali condizioni una funzione periodica possa essere
espressa come la somma (eventualmente infinita) di seni e coseni, le funzioni
periodiche per antonomasia, ed in quale senso la somma rappresenti la
funzione.
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Preludio
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Serie di Fourier
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L’onda quadra
Consideriamo la funzione “onda quadra” di periodo 2π
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L’onda quadra
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y
1.1
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
-3.0
-2.5
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
-0.1
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2.0
2.5
3.0
x
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L’onda quadra
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y
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
-0.1
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1.8
1.9
2.0
x
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Convergenza della serie di Fourier
Questo semplice esempio mostra due fenomeni:
• La convergenza nell’intorno di punti “regolari”
• Il fenomeno di Gibbs nei pressi dei punti di discontinuità
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Convergenza nei punti regolari
• La convergenza della serie di Fourier per funzioni regolari in tutti
i punti non è difficile da dimostrare.
• Se una funzione è regolare solo nell’intorno di un punto si può
usare il principio di localizzazione:
• Se f(x) si annulla in un intervallo e
allora la serie di Fourier converge a zero in ogni punto
dell’intervallo in cui la funzione è nulla.
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Il fenomeno di Gibb’s
• Questo fenomeno è stato osservato nel 1898 da Josiah Willard
Gibbs (ingegnere, fisico e chimico statunitense) in risposta ad
una breve nota di Albert Michelson su Nature
• Nel caso della funzione “onda quadra” se si indica con SN la
somma dei primi N termini della serie di Fourier allora per N
grande
SN(π/2- π/N)>1.17 e SN(π/2+ π/N)<-0.17 .
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Convergenza delle serie di Fourier
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Nucleo di Dirichlet
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y 100
80
60
40
20
-3.0
-2.5
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
x
-20
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Sviluppi successivi
• Il metodo di Dirichlet è stato il punto di partenza per altri criteri di
convergenza (Jordan, Dini, Legesgue,…..).
• Nel 1876 du Bois-Reymond ha trovato un esempio di funzione
continua la cui serie di Fourier non converge in un punto.
• Nel corso del XX secolo la nascita dell’integrale di Lebesgue e
delle tecniche analitiche moderne hanno portato a risultati come
quello di Kolmogorov (1903-1987) e di Carleson (1928 - ) –
Hunt.
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Serie in forma complessa
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Serie di Fourier multiple
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Compressione di immagini
• Serie di Fourier doppie (più
precisamente la versione
discreta di tale sviluppo)
vengono utilizzate nella
compressione delle
immagini
• Accanto una immagine non
compressa (600x600 = circa
1MB)
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Compressione di immagini
• Accanto un’immagine
compressa in formato JPEG
(circa 70KB).
• La compressione avviene
dividendo l’immagine in
quadrati di 8x8 pixel.
Ognuno di questi quadrati
viene pensato come una
funzione periodica della
quale vengono calcolati i
coefficienti di Fourier. La
compressione avviene
trascurando i coefficienti più
piccoli.
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Compressione di immagini
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JPEG e fenomeno di Gibbs
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Un esempio di serie di Fourier doppie
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Il teorema di Fejer
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Medie di Bochner-Riesz
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Un contesto più generale
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