Predittore di Smith

Predittore di Smith
Lo schema a predittore di Smith ha come obiettivo il miglioramento delle
prestazioni di un sistema di controllo in cui è presente un ritardo temporale. È infatti noto che la presenza del ritardo impedisce un aumento della
pulsazione di attraversamento pena una riduzione del margine di fase o l’instabilità dell’anello di controllo. L’idea è quella di portare il ritardo ”fuori”
dall’anello di controllo cosı̀ da progettare il controllore in base alla sola parte
razionale del processo.
Si consideri il seguente schema di controllo in retroazione
r(t) +
C(s)
P (s)
yp (t)
−
e−τ s
y(t)
Figura 1: Schema di controllo in retroazione con ritardo.
Per realizzare l’idea di escludere dall’anello il termine in cui è presente il
ritardo bisogna retroazionare la variabile yp (t) non ritardata. Ne consegue lo
schema
r(t) +
C(s)
−
P (s)
yp (t)
e−τ s
y(t)
Figura 2: Schema di controllo con anello di retroazione privo di ritardo.
che può essere equivalentemente rappresentato dal seguente
r(t) +
−
C(s)
yp (t)
P (s)
yp (t)
e−τ s
y(t)
P (s)
Figura 3: Schema equivalente a quello di Figura 2.
Per far fronte alla presenza di eventuali disturbi o incertezze di modello
si considera comunque una controreazione, come riportato in Figura 4
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r(t) +
e(t) +
−
Cps(s)
P (s)
yp (t)
e−τ s
y(t)
−
Pps(s)
Figura 4: Schema di Figura 3 con retroazione dell’uscita y(t).
È facile verificare che tale schema è equivalente a quello illustrato in
Figura 5.
r(t) +
−
Cps(s)
u(t)
P (s)
yp (t)
e−τ s
y(t)
ye (t)
Pps(s)
+
Figura 5: Schema equivalente a quello di Figura 4.
La funzione di trasferimento di ciclo chiuso degli schemi riportati in
Figura 4 e Figura 5 è
W (s) =
Cps (s) P (s) e−τ s
.
1 + Cps (s) P (s) e−τ s + Cps (s) Pps
La funzione di trasferimento Pps (s) va determinata in modo tale che la
variabile retroazionata nello schema di Figura 5, ye (t), coincida con l’uscita
non ritardata del processo, yp (t). A tal proposito, poichè
Ye (s) = (Pps (s) + P (s) e−τ s ) U (s)
affinchè risulti ye (t) = yp (t) si deve imporre
Pps (s) + P (s) e−τ s = P (s)
e quindi
Pps (s) = (1 − e−τ s ) P (s).
(1)
3
In pratica, il parallelo fra P (s) e−τ s e Pps (s) deve coincidere con P (s).
Con questa scelta lo schema di Figura 5 diviene
r(t) + eps (t)
−
Cps(s)
u(t)
P (s)
yp (t)
e−τ s
y(t)
yp (t)
(1 − e−τ s)P (s)
+
Figura 6: Schema a predittore di Smith.
che prende il nome di schema a predittore di Smith. Tale nome deriva dal
fatto che viene retroazionata non l’effettiva variabile sotto controllo y(t) ma
la sua predizione ye (t) = y(t + τ ).
Definendo
P (s) =
Np (s)
,
Dp (s)
Cps =
NCps (s)
DCps (s)
la funzione di trasferimento fra r(t) ed yp (t) degli schemi di Figura 1 e
Figura 6 è uguale se si pone
C(s) =
=
Cps (s)
1 + Cps (s)(1 − e−τ s )P (s)
NCps (s)Dp (s)
.
DCps (s)Dp (s) + NCps (s)Np (s) − NCps (s)Np (s)e−τ s
(2)
Dalla (2) si nota che:
• Tra gli zeri di C(s) ci sono i poli del processo (radici di Dp (s)). Il controllore effettua quindi una cancellazione per cui è opportuno richiedere
la stabilita asintotica del processo P (s).
• Il controllore ottenuto risulta caratterizzato da una funzione di trasferimento non razionale per la presenza del termine e−τ s a denominatore.
Se il regolatore è digitale, l’implementazione del ritardo non comporta
problemi. Altrimenti potrebbe essere necessario usare un’approssimante di Padè.
4
Si osservi inoltre che dalla (1) risulta Pps (0) = 0 e quindi a fronte di
segnali di riferimento a gradino, la variabile yp (t) coincide asintoticamente
con l’uscita y(t) cosı̀ come le variabili d’errore eps (t) = r(t) − yp (t) ed e(t) =
r(t)−y(t) coincidono asintoticamente. Perciò, per avere errore nullo a regime
permanente, il compensatore Cps (s) deve includere un’azione integrale (polo
in s = 0). Più in generale si può affermare che le classiche considerazioni sulla
struttura del controllore che garantiscono il soddisfacimento di specifiche di
regime permanente rimangono immutate in presenza di ritardo nel processo
e si estendono a Cps (s).
Si osservi che posto
Wps (s) =
Cps (s)P (s)
1 + Cps (s)P (s)
la funzione di trasferimento fra r(t) ed yp (t) dello schema a predittore di
Smith rappresentato in Figura 6, e posto
W (s) =
C(s)P (s)e−τ s
1 + C(s)P (s)e−τ s
(3)
la funzione di trasferimento fra r(t) ed y(t) dello schema di Figura 1, sostituendo la (2) nella (3) si ottiene
W (s) = Wps (s) e−τ s .
(4)
Come mostra la (4), la risposta y(t) ad un gradino di r(t) presenta in
ogni caso un ritardo temporale causato da e−τ s . Sebbene quindi Cps (s) vada
progettato unicamente con riferimento a P (s) mediante sintesi diretta o altra
tecnica, il ritardo temporale comunque influenza la velocità dello schema di
controllo la quale, pertanto, non può essere arbitrariamente elevata. Per
questo motivo non è consigliabile allargare eccessivamente la banda passante
del sistema retroazionato.
Tutte le considerazioni precedenti hanno come ipotesi fondamentale la
perfetta conoscenza sia di P (s) che del del ritardo τ . Si definiscono con Pe (s)
e τe le stime rispettivamente del processo non ritardato P (s) e del ritardo τ . In
presenza di incertezza, lo schema a predittore di Smith risultante è mostrato
in Figura 7. Con riferimento a tale schema la funzione di trasferimento fra
r(t) e y(t) è
5
r(t) +
−
Cps(s)
u(t)
P (s)
yp (t)
e−τ s
y(t)
ye (t)
(1 − e−τ̃ s)P̃ (s)
+
Figura 7: Schema a predittore di Smith (caso perturbato).
p
Wps
(s) =
p (s)
NWps
Cps (s)P (s)e−τ s
=
p (s)
DWps
1 + Cps (s)Pe (s)(1 − e−eτ s ) + Cps (s)P (s)e−τ s
che ovviamente coincide con Wps (s) nel caso in cui Pe (s) = P (s) e τe = τ .
Si noti che nel caso non perturbato i poli della Wps (s) sono in numero
p
finito, diversamente da quanto accade per i poli della Wps
(s) che coincidono
p (s). Può quindi accadere che
con le radici del polinomio non razionale DWps
si abbia stabilità asintotica del sistema di controllo solo in condizioni non
perturbate.
p (s)
Definito con S l’insieme delle parti reali degli zeri di DWps
p (s) = 0}
S = {σi : σi = Re{zi }, DWps
sussiste il seguente risultato: se S ha un estremo superiore negativo allora
il sistema ad anello chiuso è asintoticamente stabile. In tal modo si elimina
la possibilità dell’esistenza di catene di poli del sistema ad anello chiuso che
tendano asintoticamente all’asse immaginario.
Un predittore di Smith è detto praticamente stabile quando è in grado di far fronte a perturbazioni infinitesime nella dinamica del processo. In
particolare se esistono tre costanti positive ϵτ , ϵp ed ω̄, allora lo schema a predittore di Smith è asintoticamente stabile per tutti i processi che soddisfano
le seguenti condizioni
|τ − τe| < ϵτ ,
P (ȷ ω)
−
1
< ϵp
Pe (ȷ ω)
per 0 < ω < ω̄.
Infine se lo schema a predittore di Smith è asintoticamente stabile, a
regime non si ha dipendenza dall’errore commesso sulla stima del ritardo
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|τ − τe|. Inoltre per garantire sempre a regime insensibilità anche rispetto a
incertezze di modello si deve imporre
lim |P (s) − Pe (s)| = 0.
s→0