4.2 Il concetto di integrale doppio

4.2 Il concetto di integrale doppio
Sia D una regione nel piano R2 limitata da un certo
numero di rette o curve e sia f : D → R una funzione
continua (quindi di 2 variabili).
Allora è definito l’integrale doppio
ZZ
I=
f (x, y) dxdy
D
Il numero I è il volume contenuto tra
• la regione D nel piano z = 0
• il grafico di f
• i lati verticali del prisma/cilindro con base D
supponendo che f (x, y) > 0.
dxdy = dydx viene pensato come elemento di area
(di un piccolo pezzo) della base D intorno a (x, y).
f (x, y) dxdy rappresenta il volume di un parallelepipedo
al disopra del piccolo pezzo
I è quindi approssimato dalla somma di tali volumi.
1
L’integrale è lineare ; ad esempio
ZZ
ZZ
ZZ
(4ex −7x2y 4)dxdy = 4
ex dxdy−7
x2y 4 dxdy
D
D
D
Se D = D1 ∪ D2 è un’unione disgiunta (o almeno
D1, D2 non hanno punti interni o area in comune),
allora
ZZ
ZZ
ZZ
f (x, y) dxdy =
f (x, y) dxdy+
f (x, y) dxdy
D
D1
D2
Per una porzione del grafico con z = f (x, y) < 0 il
‘volume’ contribuisce con segno negativo al valore di
I.
Come si calcola un integrale doppio?
Praticamente l’integrale doppio
ZZ
f (x, y) dxdy
D
viene calcolato con due integrazioni singole in uno dei
due modi:
2
(i) Riduzione per orizzontali (cioè prima rispetto a x):
!
Z d Z β(y)
f (x, y) dx dy.
c
α(y)
(ii) Riduzione per verticali (cioè prima rispetto a y):
!
Z b Z δ(x)
f (x, y) dy dx.
a
γ(x)
Per (i) è necessario che D sia l’unione dei segmenti
orizzontali [α(y), β(y)] per c 6 y 6 d
Per (ii) è necessario che D sia l’unione dei segmenti
verticali [γ(y), δ(y)] per a 6 x 6 b
(Si tratta di due tipi di convessità parziale)
Se non vale nè (i) nè (ii) allora sarà necessario dividere
D in almeno due regioni distinte: D = D1 ∪ D2 ∪ · · ·
3
Casi particolari
Se D = [a, b] × [c, d] è un rettangolo, allora
ZZ
Z dZ b
f (x, y) dxdy =
f (x, y) dx dy
D
c
=
Z b Z
a
a
d
c
f (x, y) dy dx
Inoltre, se f (x, y) = g(x)h(y) l’integrale si separa nel
prodotto di due integrali singoli:
Z d
Z b
ZZ
h(y) dy
g(x) dx
g(x)h(y) dxdy =
c
a
D
Esempio: se D è il quadrato con vertici (0, 0), (1, 0),
(1, 1), (0, 1), allora
Z 1
Z 1
ZZ
1 dy = 15 .
x4 dx
x4 dxdy =
D
0
0
4