Campi di numeri Massimo Bertolini Sia α un numero algebrico, cio`e

Campi di numeri
Massimo Bertolini
Sia α un numero algebrico, cioè un numero complesso che soddisfa un’equazione algebrica
p(x) = 0, dove p(x) è un polinomio xn + an−1 xn−1 + . . . + a0 di grado n ≥ 1 avente
coefficienti nel campo Q dei numeri razionali. L’insieme K = Q[α] di tutte le espressioni
polinomiali in α a coefficienti in Q è un sottocampo del campo complesso C, detto campo
di numeri. (Ciò significa che la somma e il prodotto di elementi di K appartengono a K;
inoltre, se k è un elemento non nullo di K, −k e 1/k appartengono a K.) Per esempio,
si consideri il numero complesso ζm = cos(2π/m) + i sin(2π/m): ζm soddisfa l’equazione
xm − 1 = 0 e il campo di numeri Q[ζm ] è chiamato m-esimo campo ciclotomico.
Un importante capitolo della teoria algebrica dei numeri si occupa dello studio delle
proprietà algebriche e aritmetiche dei campi di numeri. Tale studio coinvolge l’anello OK
degli interi algebrici di un campo di numeri K, definito come l’insieme degli elementi di
K che soddisfano un’equazione p(x) = 0 del tipo precedente, dove però si richiede la
condizione più restrittiva che i coefficienti di p(x) appartengano all’anello Z degli interi
relativi. (Il fatto che OK sia un anello vuol dire che la somma e il prodotto di elementi
di OK appartengono a OK ed inoltre l’opposto −k di ogni elemento k di OK è ancora un
elemento di OK .) A titolo di esempio, l’anello degli interi algebrici del campo ciclotomico
K = Q[ζm ] è l’anello Z[ζm ], contenente tutte le espressioni polinomiali in ζm a coefficienti
in Z. In particolare, se K è il campo razionale Q (ottenuto ponendo m = 1), si ha che OK
è uguale a Z.
Proprietà cruciale nello studio di Z è il Teorema Fondamentale dell’Aritmetica, che
asserisce che ogni intero positivo n si fattorizza in modo unico (a meno dell’ordine dei
fattori) come prodotto di numeri primi: n = p1 . . . pk . (Si ricordi che un numero primo
p è un intero positivo maggiore di 1 che è divisibile solo per 1 e per sé stesso; dunque
p = 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...) Una simile proprietà non vale in generale per l’anello OK . La
sua corretta generalizzazione, scoperta da Kummer, è la seguente. Sia dato un ideale I
non nullo di OK , cioè un sottoanello non nullo di OK con la proprietà aggiuntiva che
ogni prodotto ab, con a appartenente a OK e b appartenente a I, sia un elemento di I.
Un ideale non nullo P di OK è detto massimale se P 6= OK e non esiste alcun ideale
I 6= OK che contenga propriamente P. Si dimostra che ogni ideale non nullo I di OK si
fattorizza in modo unico (a meno dell’ordine dei fattori) come prodotto di ideali massimali:
I = P1 . . . Pk .
Un campo di numeri K = Q[α] è detto estensione di Galois di Q se tutte le soluzioni
dell’equazione p(x) = 0 di grado minimo soddisfatta da α appartengono a K. In questo
caso, si associa a K il suo gruppo di Galois Gal(K/Q), costituito dagli automorfismi di
K, moltiplicati per mezzo dell’operazione di composizione. (Un automorfismo di K è una
funzione σ : K −→ K tale che σ(a + b) = σ(a) + σ(b) e σ(ab) = σ(a)σ(b) per ogni scelta
di elementi a e b in K.) Per esempio, l’m-esimo campo ciclotomico Q[ζm ] è un’estensione
di Galois di Q e il suo gruppo di Galois è commutativo, isomorfo al gruppo (Z/mZ)×
delle unità nell’anello Z/mZ delle classi di resti modulo m. Il teorema di KroneckerWeber afferma che ogni estensione di Galois di Q, avente gruppo di Galois commutativo,
è contenuta in un campo ciclotomico.
Dati due campi di numeri K e L, con K contenuto in L, è possibile generalizzare
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le precedenti definizioni di estensione di Galois e di gruppo di Galois (formulate nel caso
K = Q). La teoria dei corpi di classe per il campo K classifica tutte le estensioni di
Galois di K aventi gruppo di Galois commutativo, dette estensioni abeliane. Un problema
fondamentale, detto XII problema di Hilbert, chiede se sia possibile generare le estensioni
abeliane di un campo di numeri K per mezzo di funzioni esplicite. Nel caso in cui K è il
campo razionale Q, il teorema di Kronecker-Weber
afferma che questo è possibile per mezzo
√
della funzione esponenziale. Se K = Q( −D), dove D è un intero positivo privo di fattori
quadratici, la teoria della moltiplicazione complessa fornisce una risposta affermativa al
XII problema di Hilbert, grazie all’uso della teoria delle forme modulari. Per un campo di
numeri generale, il problema è del tutto aperto.
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