Dischi

Solidi assialsimmetrici - Dischi
Caratteristiche dei dischi
•Simmetria assiale
•Piano diametrale di simmetria
•Basso rapporto spessore / diametro
D
ω
•Assenza di brusche variazioni di spessore
•Carichi radiali e assialsimmetrici
s
s << D
1
Solidi assialsimmetrici - Dischi
Legge di variazione dello spessore
per ottenere tensione uniforme
Disco pieno
D
ω
s
s << D
σe
Sollecitazione σe
al raggio esterno
σi
Sollecitazione σi
al raggio interno
Solidi assialsimmetrici - Dischi
In base alle ipotesi fatte
sono possibili solo spostamenti radiali ⇒ u
e le componenti di tensione sono:
σr = Tensione radiale
σc = Tensione circonferenziale
sull’elementino agiranno le forze di continuità
D
e le azioni inerziali:
s
dAre (σ r + dσ r )
Consideriamo un
elementino infinitesimo dV
dAlσ c
dFi
dAlσ c
dAri (σ r − dσ r )
dFi = ma = ρ dV ω 2 r
2
Solidi assialsimmetrici - Dischi
Equilibrio
Elementino
infinitesimo
h+dh
h
h-dh
dr
h(r)
dr
r
Equilibrio radiale:
r-dr
dA
2dθ
r+dr
dFre = (σ r + dσ r )(h + dh)(r + dr ) 2 dθ
dFri = (σ r − dσ r )(h − dh)(r − dr ) 2 dθ
dFc = σ c 2 dr h sin(dθ ) ≅ 2σ c h dr dθ
dFre
dFi = ρ h 2 dr 2 dθ ω 2 r
dFc
direzione positiva
+
dFc
dFi
dV
∑ dF = 0
= 4 ρ ω 2 r 2 h dr dθ
dFre − dFri − 2 dFc + dFi = 0
dθ
dFri
(σ r + dσ r )(h + dh)(r + dr ) 2 dθ − (σ r − dσ r )(h − dh)(r − dr ) 2 dθ +
− 4 σ c h dr dθ + 4 ρ ω 2 r 2 h dr dθ = 0
Solidi assialsimmetrici - Dischi
(σ r + dσ r )(h + dh)(r + dr ) 2 dθ − (σ r − dσ r )(h − dh)(r − dr ) 2 dθ +
− 4 σ c h dr dθ + 4 ρ ω 2 r 2 h dr dθ = 0 Come era prevedibile l’angolo θ è ininfluente
Sviluppando i prodotti e trascurando gli infinitesimi di ordine superiore si ottiene:
d
( r hσ r ) − σ c h + ρ ω 2r 2 h = 0
dr
Prendiamo ora in considerazione l’equilibrio circonferenziale del disco
quando è sottoposto ad una accelerazione angolare.
Analogamente a quanto fatto nel caso precedente si può scrivere:
dFce
dFt
ω•
dFi
dFci
dFt
dFce = (τ rc + dτ rc )(h + dh)(r + dr ) 2 dθ
dFci = (τ rc − dτ rc )(h − dh)(r − dr ) 2 dθ
dFc = τ rc h 2 dr sin(dθ )
dFi = 4 r 2 ρ ω! dr dθ
che conduce alla seguente equazione:
d
( r hτ rc ) − hτ rc + ρ ω! r 2 h = 0
dr
3
Solidi assialsimmetrici - Dischi
Riepilogando:
Dall’equilibrio radiale, con velocità angolare costante, si ottiene l’equazione:
d
( r hσ r ) − σ c h + ρ ω 2r 2 h = 0
dr
Dall’equilibrio circonferenziale, con accelerazione angolare,
si ottiene l’equazione
d
( r hτ rc ) − hτ rc + ρ ω! r 2 h = 0
dr
Le due equazioni di equilibrio sono completamente indipendenti,
le soluzioni, pertanto, possono essere studiate separatamente.
In particolare, in assenza di accelerazione angolare
ed in presenza di carichi puramente radiali,
la seconda equazione fornisce la soluzione banale:
τ rc = 0
In tale situazione, di conseguenza, le tensioni σr e σc sono principali.
Solidi assialsimmetrici - Dischi
Congruenza
ε=
Elementino indeformato
l1 − l0
l0
Deformazione radiale
Dopo deformazione
u + du
εr =
dr
dθ
dr
u
dr + (u + du ) − u
( r + u ) dθ
εc =
dθ
du d
= (ε c r )
dr dr
l1
l0
Deformazione circonferenziale
rdθ
εr =
dr + ( u + du) − u − dr du
=
dr
dr
( r + u) dθ − r dθ u
=
r dθ
r
u = εc r
εr = εc + r
dε c
dr
Equazione di congruenza
4
Solidi assialsimmetrici - Dischi
εr = εc + r
dε c
dr
Congruenza
L’equazione di congruenza può essere riscritta esprimendo le
deformazioni in termini di tensioni, tramite le relazioni di Hooke,
e considerando l’effetto della variazione di temperatura
εr =
1
(σ r − ν σ c ) + α T
E
εc =
1
(σ c − ν σ r ) + α T
E
dove con T si intende la differenza T-T0
essendo T0 la temperatura di riferimento
della configurazione indeformata
1
1
r d
d (α T )
(σ r − ν σ c ) + α T = (σ c − ν σ r ) + α T +
(σ c − ν σ r ) + r
E
E
E dr
dr
che può essere riscritta nella forma più compatta:
(1 + ν ) (σ c − σ r ) + r
d
d
(σ c − ν σ r ) + E r (α T ) = 0
dr
dr
se la variazione di temperatura nel disco non è tale da comportare una significativa variazione
del coefficiente di dilatazione termica, allora α può essere considerato indipendente dal raggio:
(1 + ν ) (σ c − σ r ) + r
d
dT
(σ c − ν σ r ) + E α r
=0
dr
dr
Solidi assialsimmetrici - Dischi
d
( r h σ r ) − hσ c + ρ ω 2 r 2 h = 0
dr
d
dT
(1 + ν ) (σ c − σ r ) + r (σ c − ν σ r ) + E α r
=0
dr
dr
Oltre l’equazione di equilibrio
e quella di congruenza
è necessario introdurre anche l’equazione di resistenza,
per avere uno strumento di progetto o verifica del disco.
Se si utilizza l’ipotesi di resistenza di Von Mises
è possibile esprimere la tensione equivalente nella forma:
σ eq = σ r2 + σ c2 − σ rσ c = σ a
essendo σa la tensione ammissibile del materiale
5
Solidi assialsimmetrici - Dischi
Dischi ad uniforme sollecitazione
Dalle equazioni precedenti è possibile ricavare la legge di variazione dello spessore
con il raggio che rende la sollecitazione uniforme su tutto il disco.
Si ammetta l’ipotesi: disco pieno a temperatura uniforme.
Dall’equazione di congruenza si ricava:
(1 + ν ) (σ c − σ r ) + r
da cui si ottiene:
d
dT
(σ c − ν σ r ) + E α r
=0
dr
dr
σc = σr
σ c = σ r = σa
e dall’eq. di resistenza
Dalla equazione di equilibrio
ρω 2 r 2 h
d
( rh) − h +
σa
dr
d
( r h σ r ) − hσ c + ρ ω 2 r 2 h = 0
dr
ρω 2
dh
= −h
r
σa
dr
ρω 2 r 2 h
dh
+ h− h+
=0
r
σa
dr
Solidi assialsimmetrici - Dischi
separando le variabili:
Dischi ad uniforme sollecitazione
ρω2
dh
=−
r dr
σa
h
da cui, integrando tra il raggio esterno e un raggio qualsiasi, si ha:
 h 
ρω2 2 2
ln e  = −
R −r
2σ a e
 h( r ) 
(
)
he
Re
h(r ) = he e
(
ρω2 2 2
Re − r
2σ a
)
h(r)
r
6
Solidi assialsimmetrici - Dischi
Dischi ad uniforme sollecitazione
Le derivate della funzione h(r) forniscono indicazioni sulla
posizione del punto di massimo spessore e del punto di flesso:
he
hf
Re
La forma della derivata
prima di h(r) è già nota:
ρω 2
dh
= −h
r
σa
dr
e la derivata seconda è data da:
h(r)
ρω2 
ρω2 2
d 2h
 1 −
= −h
r 
2
σa 
σa
dr

r
h0
In corrispondenza del raggio r=0, si ottiene l’annullamento
della derivata prima, mentre la seconda è minore di zero.
Lo spessore massimo si ottiene sull’asse del disco,
dove assume il valore:
La derivata seconda si annulla per: r = rf =
in corrispondenza del quale lo spessore
del disco vale:
Solidi assialsimmetrici - Dischi
h0 = he e
ρω2 2
R
2σ a e
1 σ0
ω ρ
h = hf =
h0
= 0.606h0
e
Dischi a spessore uniforme
Nel caso di disco a spessore costante, sia pieno che forato,
è possibile ottenere una soluzione in forma chiusa del problema.
Se h è indipendente dal raggio l’equazione di equilibrio si semplifica:
d
( r hσ r ) − hσ c + ρ ω 2 r 2h = 0
dr
d
( rσ r ) − σ c + ρ ω 2 r 2 = 0
dr
Da cui è possibile ricavare la derivata:
d
( r σ r ) − hσ c + ρ ω 2 r 2h = 0
dr
dσ
σ c = σ r + r r + ρ ω 2r 2
dr
dσ c
d 2σ r
dσ
=r
+ 2 r + 2 ρω 2 r
dr
dr 2
dr
h
La relazione tra σc e σr , fornita dall’equazione di equilibrio, può essere sfruttata
per esprimere l’equazione di congruenza:
d
dT
(σ c − νσ r ) + Eα r
= 0 solo in termini di σr
dr
dr
dσ c
nell’equazione precedente si ottiene:
Sostituendo, quindi, σc e
dr
(1 + ν ) (σ c − σ r ) + r
r2
d 2σ r
dσ
dT
+ 3r r + ( 3 + ν ) ρ ω 2r 2 + Eα r
=0
2
dr
dr
dr
7
Solidi assialsimmetrici - Dischi
Dischi a spessore uniforme
L’equazione differenziale descrive lo stato di tensione
in un disco a spessore uniforme, rotante e soggetto a gradiente termico.
r2
d 2σ r
dσ
dT
+ 3 r r + ( 3 + ν ) ρ ω2 r 2 + E α r
=0
2
dr
dr
dr
Tiene conto degli effetti inerziali
Omogenea associata.
Descrive lo stato di tensione del disco
dovuto alle condizioni al contorno:
pressione esterna ed interna
Tiene conto dell’effetto
del gradiente termico
sullo stato tensionale
ω
T °C
Solidi assialsimmetrici - Dischi
Dischi a spessore uniforme
2
L’integrale dell’omogenea associata: r
d 2σ r
dσ
+ 3 r r = 0 è del tipo: σ r = B r n
2
dr
dr
Calcolando le derivate ed introducendole nell’equazione differenziale si ottiene:
dσ r
= n B r n −1
dr
d 2σ r
= n ( n − 1) B r n − 2
dr 2
n ( n − 1) B r n + 3 n B r n = 0
che ha soluzione
per i valori di n:
n=0
Ricordando che:
σc = σr + r
B r n [n ( n + 2)] = 0
B2
r2
n = −2
σ r = B1 +
dσ r
dr
σ c = B1 −
B2
r2
Imponendo le condizioni al contorno si calcolano le due costanti B1 e B2
che consentono di determinare lo stato tensionale nel disco.
8
Solidi assialsimmetrici - Dischi
Dischi a spessore uniforme
Disco forato fermo, soggetto a pressione interna.
Condizioni al contorno:
Pi
0 = B1 +
ricordando che: σ r = B1 +
B2
r2
r = Ri
σr = -Pi
r = Re
σr = 0
B2
Re2
− Pi = B1 +
B1 = Pi
B2
Ri2
Ri2
R − Ri2
2
e
B2 = − Pi
Re2 Ri2
Re2 − Ri2
Dai valori delle costanti si ottengono le componenti
radiale e circonferenziale della tensione:
σr =
Pi Ri2 
Re2 


−
1
Re2 − Ri2 
r 2 
Solidi assialsimmetrici - Dischi
σc =
Pi Ri2 
Re2 


+
1
Re2 − Ri2 
r 2 
Dischi a spessore uniforme
Disco forato fermo, soggetto a pressione esterna.
Condizioni al contorno:
Pe
r = Re
σr = -Pe
r = Ri
σr = 0
B
− Pe = B1 + 22
Re
B1 = − Pe
Re2
Re2 − Ri2
B2
Ri2
B2 = Pe
Re2 Ri2
Re2 − Ri2
0 = B1 +
Dai valori delle costanti si ottengono le componenti
radiale e circonferenziale della tensione:

P R2  R2
σ r = 2e e 2  2i − 1 
−
Re Ri  r

σc = −

Pe Re2  Ri2

+ 1 
2
2  2
Re − Ri  r

9
Solidi assialsimmetrici - Dischi
Dischi a spessore uniforme: casi particolari
Le equazioni ricavate nel caso di pressione interna:
consentono di calcolare l’andamento delle tensioni
in funzione del raggio.
σr =
Pi Ri2 
R2 
 1 − 2e 
2
2 
Re − Ri 
r 
σc =
Pi Ri2 
R2 
 1 + 2e 
2
2 
Re − Ri 
r 
Il grafico riporta tali andamenti nel caso:
Ri = 50mm
Re = 250mm
Pi = 10 MPa
Tensioni (Pa)
1.50E+07
1.00E+07
Ri
5.00E+06
Re
Sr
0.00E+00
0.05
0.15
Raggio (m) 0.25
Sc
-5.00E+06
-1.00E+07
-1.50E+07
Solidi assialsimmetrici - Dischi
Dischi a spessore uniforme: casi particolari
Disco forato fermo, soggetto a pressione interna.
Modello ad Elementi Finiti
2D - Assialsimmetrico
Piano di simmetria
Pi
Re
Ri
Y
Vincoli di simmetria
carrelli - UY
X (R)
Ri = 50mm
Re = 250mm
10
Solidi assialsimmetrici - Dischi
Dischi a spessore uniforme: casi particolari
Disco forato fermo, soggetto a pressione interna.
Stato di tensione: σr
σc σeqv
Pressione interna = 10 MPa
Ri = 50mm
Re = 250mm
σc
σeqv
0
σr
Solidi assialsimmetrici - Dischi
Dischi a spessore uniforme: casi particolari
Disco forato fermo, soggetto a pressione esterna.
Stato di tensione: σr
σc σeqv
Pressione esterna = -10 MPa
Ri = 50mm
Re = 250mm
σc
σeqv
σr
0
11
Solidi assialsimmetrici - Dischi
Dischi a spessore uniforme: casi particolari
Disco forato fermo, soggetto a pressione esterna ed interna.
Stato di tensione: σr
σc σeqv
Pressione esterna = -10 MPa
Pressione interna = 10 MPa
σc
σeqv
σr
Ri = 50mm
Solidi assialsimmetrici - Dischi
Re = 250mm
Dischi a spessore uniforme: casi particolari
Disco forato fermo, soggetto a pressione esterna ed interna
Mappa della tensione circonferenziale σc
Valore massimo 32.8 MPa
Valore minimo 12.7 MPa
Pressione esterna = -10 MPa
Ri = 50mm
Re = 250mm
Pressione interna = 10 MPa
12
Solidi assialsimmetrici - Dischi
B2
r2
Le funzioni
B
σ c = B1 − 22
r
σ r = B1 +
Serbatoi a forte spessore
che descrivono l’andamento delle tensioni con il
raggio sono state ricavate con l’ipotesi di stato piano
di tensione, ovvero:
σ =0
σ as =
La deformazione assiale può essere, quindi, calcolata come:
ε as = −
quindi, esprimendo le tensioni in funzione delle costanti B, si ha:
εa = −
ν
(σ r + σ c )
E
ν
B
B 
ν
 B1 + 22 + B1 − 22  = − 2 B1 = costante
E
r
r 
E
la deformazione assiale è costante (stato piano di deformazione generalizzato).
Una qualsiasi tensione assiale non
influisce, quindi, sulla distribuzione
delle tensioni radiali e circonferenziali.
Per questo motivo le funzioni, fin ora
ricavate per i dischi, sono applicabili
al caso dei serbatoi a forte spessore.
Le superfici si spostano parallelamente a se stesse
Solidi assialsimmetrici - Dischi
Dischi a spessore uniforme: casi particolari
i = ue - ui
Montaggio di due dischi concentrici con interferenza
i
+
Re
P”
i
ui
ue
R0
Equilibrio:
P’ = P” = P
Congruenza:
i = ue - ui oppure i = |ue | + |ui |
R0
P’
Ri
Lo spostamento radiale può essere calcolato come segue:
2
2
2
2 





R0
(σ c − νσ r ) = R0  P2 R0 2  1 + Re2  − ν P2 R0 2  1 − Re2  =
E  Re − R0 
R0 
Re − R0 
R0  
E
3
2

PR0
R 
1 − ν + (1 + ν ) e2 
=
2
2 
E ( Re − R0 ) 
R0 
ue = rε c =
13
Solidi assialsimmetrici - Dischi
Dischi a spessore uniforme: casi particolari
Montaggio di due dischi concentrici con interferenza
ue =

P R03
R2 
1 − ν + (1 + ν ) e2 
2
2 
E ( Re − R0 ) 
R0 
spostamento radiale della superficie
del foro del disco esterno
Per il disco interno si procede in modo analogo, valutando lo spostamento radiale ui:
ui = rε c =


R  − PR 2  R 2
PR 2  R 2
R0
(σ c − νσ r ) = 0  2 0 2  i2 + 1  − ν 2 0 2  i2 − 1  
( R0 − Ri )  R0
E
E  ( R0 − Ri )  R0


Lo spostamento radiale del disco interno è, dunque, dato dall’espressione:
ui = −


P R03
Ri2
+
ν
+ 1 − ν
(
1
)
2
2 
2
E ( R0 − Ri ) 
R0

A questo punto è possibile legare l’interferenza i agli spostamenti radiali ue e ui e,
quindi, alla geometria dei dischi (Re , R0, Ri) ed alle caratteristiche del materiale (E, ν ).
Ricordando che: i = ue − ui
i = ue − ui =
si può scrivere:



P R03
R2 
P R03
R2
1 − ν + (1 + ν ) e2  +
(1 + ν ) i2 + 1 − ν 
2
2 
2
2 
E ( Re − R0 ) 
R0  E ( R0 − Ri ) 
R0

Solidi assialsimmetrici - Dischi
Dischi a spessore uniforme: casi particolari
Montaggio di due dischi concentrici con interferenza
i = ue − ui =


P R03
R2 
P R03
R2 
1 − ν + (1 + ν ) e2  +
1 − ν + (1 + ν ) i2 
2
2 
2
2 
E ( Re − R0 ) 
R0  E ( R0 − Ri ) 
R0 
Nel calcolo delle sollecitazioni dovute ai calettamenti forzati è interessante
conoscere il rapporto i/P tra il valore dell’interferenza e la pressione di contatto.
Dall’equazione precedente si ottiene:
1 + ν  Re2 
(1 − ν )
1 + ν  Ri2  
i R03  (1 − ν )




+
+
+
=
 2
P E  ( Re − R02 ) ( Re2 − R02 )  R02  ( R02 − Ri2 ) ( R02 − Ri2 )  R02  
i = α∆TR0
i
2R0
Raffreddamento
Dilatazione per riscaldamento del disco esterno
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Solidi assialsimmetrici - Dischi
Dischi a spessore uniforme: casi particolari
Montaggio di due dischi concentrici con interferenza
Modello ad Elementi Finiti: Aree
2R0
Disco interno
Ri
Disco esterno
R0
Re
Ri = 50mm R0 = 120mm Re = 200mm
Interferenza i = 0.2 mm
Solidi assialsimmetrici - Dischi
Dischi a spessore uniforme: casi particolari
Montaggio di due dischi concentrici con interferenza
Modello ad Elementi Finiti: Elementi
2R0
Disco interno
Disco esterno
Ri
R0
Re
Ri = 50mm R0 = 120mm Re = 200mm
Interferenza i = 0.2 mm
15
Solidi assialsimmetrici - Dischi
Dischi a spessore uniforme: casi particolari
Montaggio di due dischi concentrici con interferenza
Ri = 50mm R0 = 120mm Re = 200mm
Stato di tensione: σr
σc σeqv
Interferenza i = 0.2 mm
σeqv
σc
σr
Disco interno
Solidi assialsimmetrici - Dischi
Disco esterno
Dischi a spessore uniforme
Ricordando l’equazione differenziale che descrive lo stato di tensione
in un disco a spessore uniforme:
r2
d 2σ r
dσ
dT
+ 3r r + ( 3 + ν )ρ ω2 r 2 + E α r
=0
dr 2
dr
dr
Omogenea associata.
Tiene conto degli effetti inerziali
Prendiamo ora in considerazione l’integrale particolare
che tiene conto degli effetti inerziali:
L’equazione differenziale assume la forma:
ω
r2
Tiene conto dell’effetto
del gradiente termico
sullo stato tensionale
d 2σ r
dσ
+ 3r r + ( 3 + ν )ρ ω 2 r 2 = 0
2
dr
dr
dσ r
= 2 Br
dr
La funzione σ r = Br 2 e le sue derivate:
introdotte nell’equazione differenziale
portano alla determinazione della
costante B
d 2σ r
= 2B
dr 2
16
Solidi assialsimmetrici - Dischi
Effetto delle forze d’inerzia
Dischi a spessore uniforme
d 2σ r
dσ
+ 3r r + ( 3 + ν )ρ ω2 r 2 = 0
r2
dr 2
dr
d 2σ r
dσ r
2
= 2B
= 2 Br
σ r = Br
dr 2
dr
r 2 ( 2 B ) + 3r ( 2 Br ) + ( 3 + ν )ρ ω2 r 2 = 0
B=−
8 Br 2 + ( 3 + ν )ρ ω 2r 2 = 0
e quindi: σ r = B1 +
si ha:
σ c = B1 +
B2 ( 3 + ν )
dσ
ρ ω 2 r 2 ricordando che: σ c = σ r + r r + ρ ω2 r 2
−
2
8
dr
r
(3 + ν )
B
B2 ( 3 + ν )
ρ ω2 r 2 − 2 22 − 2
ρ ω 2 r 2 + ρ ω2 r 2
−
2
8
8
r
r
dσ
r r
dr
σr
si ottiene la tensione circonferenziale:
Solidi assialsimmetrici - Dischi
Effetto delle forze d’inerzia
σ r = B1 +
σ c = B1 −
Ri
(3 + ν)
ρ ω2
8
B2 ( 3 + ν )
ρ ω2 r 2
−
8
r2
σ c = B1 −
B2 (1 + 3ν )
ρ ω2 r 2
−
8
r2
Dischi a spessore uniforme
Nel caso di sollecitazione dovuta unicamente
alla rotazione del disco si ha:
σr = 0
σr = 0
Condizioni al contorno: r = Ri
B2 (1 + 3ν )
ρ ω2 r 2
−
2
8
r
Re
da cui si ottengono i valori delle costanti:
e dalle quali si calcolano le tensioni:
r = Re
B2 ( 3 + ν )
ρ ω2 Ri2
−
8
Ri2
B (3 + ν)
ρ ω2 Re2
0 = B1 + 22 −
8
Re
0 = B1 +
(3 + ν)
ρ ω2 Re2 + Ri2
8
(3 + ν)
ρ ω 2 Re2 Ri2
B2 =
8
B1 =
σr =


(3 + ν)
R2 R2
ρ ω2  Re2 + Ri2 − e 2 i − r 2 
8
r


σc =

(3 + ν)
R 2 R 2  (1 + 3ν )
ρ ω2  Re2 + Ri2 + e 2 i  −
ρ ω2 r 2
8
8
r


(
)
17
Solidi assialsimmetrici - Dischi
Dischi a spessore uniforme : casi particolari
Le equazioni ricavate nel caso di di sollecitazione dovuta unicamente
alla rotazione del disco, consentono di calcolare l’andamento delle tensioni
in funzione del raggio.
Il grafico riporta tali andamenti nel caso:
Ri = 50mm Re = 250mm
ω = 1000 r/s ρ = 7800
Ri
Re
Tensioni (Pa)
4.50E+08
4.00E+08
3.50E+08
3.00E+08
2.50E+08
Sr
2.00E+08
Sc
1.50E+08
1.00E+08
5.00E+07
0.00E+00
-5.00E+07 0.05
0.15
Solidi assialsimmetrici - Dischi
Raggio (m)
0.25
Dischi a spessore uniforme : casi particolari
Risultati del calcolo ad Elementi finiti - Disco forato rotante
Stato di tensione: σr
Ri = 50mm Re = 250mm
σc σeqv
ω = 1000 r/s ρ = 7800
σc
σeqv
σr
18
Solidi assialsimmetrici - Dischi
Dischi a spessore uniforme: casi particolari
Montaggio di due dischi concentrici con interferenza
Effetto della velocità angolare sul forzamento
Stato di tensione: σr σc σe
Disco fermo
σe
σc
σr
Interferenza i = 0.2 mm
Ri = 50mm R0 = 120mm Re = 200mm
Solidi assialsimmetrici - Dischi
Dischi a spessore uniforme: casi particolari
Montaggio di due dischi concentrici con interferenza
Effetto della velocità angolare sul forzamento
Stato di tensione: σr σc σe
Velocità: 500 r/s
σe
σc
σr
Interferenza i = 0.2 mm
Ri = 50mm R0 = 120mm Re = 200mm
19
Solidi assialsimmetrici - Dischi
Dischi a spessore uniforme: casi particolari
Montaggio di due dischi concentrici con interferenza
Effetto della velocità angolare sul forzamento
Stato di tensione: σr σc σe
Velocità: 1000 r/s
σe
σc
σr
Interferenza i = 0.2 mm
Ri = 50mm R0 = 120mm Re = 200mm
Solidi assialsimmetrici - Dischi
Dischi a spessore uniforme: casi particolari
Montaggio di due dischi concentrici con interferenza
Effetto della velocità angolare sul forzamento
Stato di tensione: σr σc σe
Fuori scala
Velocità: 1500 r/s
σe
σc
σr
Interferenza i = 0.2 mm
Ri = 50mm R0 = 120mm Re = 200mm
20
Solidi assialsimmetrici - Dischi
Dischi a spessore uniforme
Torniamo ancora all’equazione differenziale che descrive lo stato di tensione
in un disco a spessore uniforme:
r2
d 2σ r
dσ
dT
+ 3r r + ( 3 + ν )ρ ω2 r 2 + E α r
=0
2
dr
dr
dr
Tiene conto degli effetti inerziali
Omogenea associata.
Tiene conto dell’effetto
del gradiente termico
sullo stato tensionale
Prendiamo ora in considerazione l’integrale particolare
che tiene conto degli effetti termici:
L’equazione differenziale assume la forma: r
2
d 2σ r
dσ
dT
+ 3r r + E α r
=0
2
dr
dr
dr
Per valutare il gradiente della temperatura è necessario conoscere la funzione T(r).
A tale scopo si ipotizza una funzione polinomiale del tipo: T ( r ) = k 0 +
n =1
m
dT
= ∑ nk n r n −1
dr n =1
il cui gradiente è
Solidi assialsimmetrici - Dischi
n
n
Dischi a spessore uniforme
L’equazione differenziale assume quindi la forma: r 2
m
d 2σ r
dσ
+ 3r r + E α ∑ nk n r n = 0
2
dr
dr
n =1
che ammette quale integrale particolare la funzione: σ r =
le cui derivate sono:
m
∑k r
m
dσ r
= ∑ nBn r n −1 e
dr
n =1
m
∑B r
n =1
n
n
m
d 2σ r
= ∑ n( n − 1) Bn r n − 2
2
dr
n =1
introducendo le derivate della tensione radiale nell’equazione differenziale si ha:
∑ [B (n + 2) + E α k ]n r
m
n =1
n
n
n
n
= 0 da cui si ricava il valore delle costanti: Bn = −
si ottiene in tal modo l’integrale particolare: σ r = − E α
m
kn
∑ n+2r
Eα
kn
n+2
n
n =1
m
B2
k
− E α∑ n r n
2
+2
r
n
n =1
Per cui la tensione radiale può essere scritta come:
σ r = B1 +
La tensione circonferenziale può essere ricavata
ricordando che esiste la relazione:
σc = σr + r
dσ r
dr
21
Solidi assialsimmetrici - Dischi
Dischi a spessore uniforme
Per cui, tenendo conto della espressione della tensione radiale:
σ r = B1 +
m
B2
k
− E α∑ n r n
2
+2
r
n
n =1
Si può calcolare tensione circonferenziale:
σc = σr + r
m
m
B
k
B
k
dσ r
= B1 + 22 − Eα∑ n r n − 2 22 − Eα ∑ n nr n
+
+ 2 dσ r
2
r
n
r
n
dr
n =1
n =1
r
σr
dr
σ c = B1 −
m
B2
k
− Eα ∑ n (n + 1)r n
2
r
n =1 n + 2
Nel caso di variazione lineare di temperatura,
esiste solo il primo termine della sommatoria:
σ r = B1 +
B2 Eα
k1 r
−
3
r2
σ c = B1 −
B2
Eα
−2
k1 r
2
3
r
n=1
Solidi assialsimmetrici - Dischi
R
Te
Dischi a spessore uniforme
Ipotesi di variazione lineare (gradiente costante):
T ( r ) = k 0 + k1 r
condizioni al contorno:
Ti
T °C
T(r) = Te
T(r) = Ti
per
R = Re
per
R = Ri
Te = k0 + k1 Re
Ti = k0 + k1 Ri
da cui si ricavano i valori delle costanti:
k0 = Te −
Te − Ti
Re
Re − Ri
k1 =
Te − Ti
Re − Ri
Si possono, quindi, scrivere le espressioni della tensione radiale e circonferenziale:
σ r = B1 +
B2 Eα
B
Eα Te − Ti
k1 r = B1 + 22 −
r
−
3
3 Re − Ri
r2
r
σ c = B1 −
B2
Eα
B
Eα Te − Ti
−2
k1r = B1 − 22 − 2
r
2
3
3 Re − Ri
r
r
22
Solidi assialsimmetrici - Dischi
Dischi a spessore uniforme
B
Eα
k1 r
Nel caso che sul disco agisca solo il gradiente termico, σ r = B1 + 22 −
3
r
le costanti B possono essere calcolate come segue:
B
Eα
σ c = B1 − 22 − 2
k1 r
Condizioni al contorno:
3
r
σr = 0
per R = Re e per R = Ri
Eα  Re2 + Ri2 + Re Ri
k1 
3
Re + Ri

2 2
Eα
R R
B2 = −
k1 e i
3
Re + Ri
B2 E α
k1 Ri
−
3
Ri2
B
Eα
0 = B1 + 22 −
k1 Re
3
Re
0 = B1 +
B1 =



Da cui si ottengono le funzioni del raggio delle tensioni radiali e circonferenziali:
σr =

Eα Te − Ti  2
Re2 Ri2
2

+
+
− r (Re + Ri )
R
R
R
R
−
i
e i
2
2  e
2
3 Re − Ri 
r

σc =

Eα Te − Ti  2
Re2 Ri2
2

+
+
− 2r (Re + Ri )
R
R
R
R
+
e
i
e
i
2
2 
2
3 Re − Ri 
r

Solidi assialsimmetrici - Dischi
Dischi a spessore uniforme : casi particolari
Risultati del calcolo ad Elementi finiti - Disco con gradiente termico
Stato di tensione: σr
σc σeqv
Ri = 50mm Re = 250mm Te= 200°C Ti= 0°C
σeqv
σr
E = 200 GPa α= 1.2E-5 °C-1
σc
23
Solidi assialsimmetrici - Dischi
Dischi a spessore uniforme : casi particolari
Risultati del calcolo ad Elementi finiti
Disco rotante, con gradiente termico, pressione interna ed esterna.
Stato di tensione: σr
σc σeqv
Ri = 50mm Re = 250mm Te= 200°C Ti= 0°C
E = 200 GPa α= 1.2E-5 °C-1
ω = 1000 r/s ρ = 7800
Pi = 10 MPa
Pe = -30 MPa
σeqv
σr
σc
24