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Treni
0.1 Treni Alle 15.30 del 08/08/1888 un treno parte dalla stazione di Nuncè diretto alla stazione di Eccè. Il treno procede alla ragguardevole velocità di 80 Km/h (velocità che possiamo considerare costante). Dopo 45 minuti il macchinista Nino si accorge del sopraggiungere del treno di Neno che procede alla velocità costante di 60 Km/h. Nino aziona immediatamente la ’rapida’ che permette di frenare con decelerazione costante di 4 metri/sec2 . Quale deve essere la distanza tra i due treni a¢nchè lo scontro venga evitato? Treni1 —————————————————————— Ok, sto aspettando... Meno male, qualcuno ha avuto il coraggio di dirlo. La Fisica non deve annullare il buon senso: come accidenti può essere evitato lo scontro se Neno non frena? Epperò concediamoci di proseguire come se non ci fossimo accorti dell’assurdità del problema (molti studenti lo avrebbero fatto comunque). Ovviamente in questo problema conosciamo la traiettoria del moto cioè la linea ferroviaria ( a meno di disastri!) e quindi conviene non prendere un riferimento cartesiano 1 bensì un riferimento unidimensionale sulla traiettoria stessa. Per questo occorre scegliere (è nostra facoltà) un punto di origine e un verso per stabilire il segno della coordinata (in gergo: ascissa curvilinea usualmente indicata con ) e una unità di misura per lo spazio (scegliamo ). Memori degli insegnamenti del problema precedente, cerchiamo di scegliere il riferimento più semplice. Mettiamoci nei panni di Nino: siamo sulla locomotiva e procediamo verso Eccè quando, ecco, vediamo il treno di Neno. Ci sembra naturale far scattare ora il cronometro (origine dei tempi = 0) e porre il verso della linea di riferimento verso Eccè. L’origine dovrebbe essere dove siamo ora, tuttavia c’è un problemino: vorremmo trattare i due treni come punti materiali ma evidentemente non lo sono. Però ai …ni del problema lo scontro avverrà, se avverrà, tra i respingenti anteriori del treno di Nino e quello di Neno: quindi prendiamo il punto più avanzato di questi respingenti come rappresentativo dei treni. Allora l’origine ( = 0) sarà posta alla posizione del punto anteriore del respingente del treno di Nino al tempo = 0 (vedi …gura Treni 2 ). Treni 2 Fissato questo riferimento abbiamo quasi tutti i dati iniziali per il moto dei due treni (indicheremo con il pedice 1 le variabili del treno di Nino e con 2 quelle del treno di Neno): 1 (0) = 0 1 (0) = +80 (1) (2) 2 (0) = + 1 (0) = ¡60 (3) (4) ( non è nota ed è la quantità da trovare... giusti…care i segni!) 2 Sappiamo inoltre che Nino frena e quindi il suo moto sarà uniformemente accelerato (accelerazione costante = 4 2 ), perciò dalla teoria abbiamo per il treno di Nino 1 () = _ 1 () = 1 (0) ¡ (5) 1 () = 1 (0) + 1 (0) ¡ 1 2 2 (6) (giusti…care i segni!) ————————— NOTAZIONE : all’uso dei …sici le derivate rispetto al tempo saranno spesso indicate con un punto sovraimposto: _ = 2 Ä = 2 (7) —————————— Neno non frena e quindi 2 () = _ 2 () = 2 (0) (8) 2 () = 2 (0) + 2 (0) (9) Quale è la condizione di scontro? Ovviamente lo scontro ci sarà se ad un tempo ¹ 0 i respingenti dei due treni saranno a contatto cioè occuperanno la stessa posizione: 1 (¹) = 2 (¹) (10) ossia 1 1 (0) + 1 (0) ¹ ¡ ¹2 = 2 (0) + 2 (0) ¹ 2 che riscriviamo 20 ¹ 20 ¹2 + + =0 dove (vedi le 1,3,2,4) (11) (12) 0 = 2 (0) ¡ 1 (0) = ¡60 ¡ 80 = ¡140 (13) 0 = 2 (0) ¡ 1 (0) = ¡ 0 = (14) Risolviamo la (12) r³ ´ 0 0 2 20 ¹ § = ¡ § ¡ (15) Questa è la soluzione matematica: ora dobbiamo ’tradurla’ i termini …sici accettabili. Punto primo: il tempo ¹ deve essere un numero reale (e positivo!), quindi il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: ³ ´2 2 0 ¡ 0 ¸0 (16) 3 cioè ( 1) 02 ¸ 20 (17) Quindi la distanza tra i due treni per avere scontro deve essere 0 · 02 2 02 2 (18) 02 2 uno scontro al tempo 0 = ¡ 0 , se q¡ ¢ 0 2 0 2 ci saranno due scontri: il primo al tempo 1 = ¡ 0 ¡ ¡ 20 , q¡ ¢ 0 2 il secondo al tempo 2 = ¡ 0 + ¡ 20 . Nonostante l’apparenza, tutti questi tempi sono positivi e quindi accettabili datochè 0 0 (vedi (13) e ragiona: se i tempi fossero negativi vorrebbe dire che lo scontro o gli scontri sarebbero già avvenuti...). Così dice la matematica... ma che signi…ca? come può non esserci scontro dato che il secondo treno non frena? come possono esserci addirittura due scontri? Meditare gente, meditare... Se 0 nessuno scontro, se 0 = 02 Riassumiamo quanto trovato sopra in un gra…co spazio-tempo (utile visualizzazione). Dalla (9) vediamo che nel gra…co spazio-tempo la legge oraria del treno di Neno (tecnicamente è detta linea di vita o linea di universo: badate bene che la linea universo NON è la traiettoria del punto materiale!) è una retta che parte ( = 0) da = 0 = e incrocia l’asse al tempo j2(0)j (vedi …gura Treni 3 ). Treni 3 4 La linea di universo del treno 1, ovvero del treno di Nino, è una parabola col vertice (massima distanza dall’origine) in alto al tempo 1(0) e intersezioni con l’asse dei tempi ai tempi 0 21(0) . Nella …gura le due linee universo non si 2 incontrano ( la retta è ’sopra’ la parabola) quindi abbiamo scelto 0 = 20 (vedi 18). Ma è chiaro che se diminuiamo il valore di 0 = la retta si abbasserà 2 …nchè diverrà tangente alla parabola ( = 20 ); diminuendo ulteriormente il valore di avremo due intersezioni con la parabola e quindi un primo e un secondo scontro... (vedi …gura Treni 4 ) Treni 4 Ritorniamo al dilemma iniziale: come può non esservi scontro se Neno non frena? Il fatto è che abbiamo applicato le leggi del moto per un tempo inde…nito (possibilmente in…nito) mentre le leggi del moto valgono …nchè le condizioni rimangono invariate. Per esempio è chiaro che se vi fosse uno scontro allora dopo lo scontro i due treni rimarrebbero più o meno accartocciati nel luogo dello scontro stesso e quindi sarebbero fermi e quindi la loro linea di universo, dal tempo dello scontro al tempo della rimozione dei rottami, sarebbe una linea orizzontale parallela all’asse dei tempi (vedi …gura Treni 5 e nota che l’inclinazione di una linea nel diagramma spazio tempo dà la velocità.... ) 5 Treni 5 Ritornando al primo diagramma spazio-tempo (…gura Treni 3), è chiaro che il treno 1 si fermerà al tempo 1(0) che corrisponde al vertice della parabola (nel vertice la tangente è orizzontale e quindi la velocità è nulla). La parte successiva della parabola rappresenterebbe il moto del treno di Nino se le condizioni rimanessero invariate cioè se l’accelerazione del treno 1 rimanesse la stessa di prima, ovvero se Nino, dopo aver frenato …no a fermarsi, procedesse poi in retromarcia con accelerazione costante di 4 metri/sec2 . Chiaro? e come potrebbero essere possibili due scontri? spero che qualcuno ci sia arrivato, cioè che trovata la risposta abbia poi individuato il problema di cui la risposta è risposta! (procedimento non raro nella scienza..). Infatti, nei limiti del problema originario, dobbiamo certamente ri…utare la possibilità di un secondo scontro (vedi le considerazioni precedenti). Tuttavia, con un pò di fantasia, potremmo immaginare che i due treni NON viaggino sullo stesso binario bensì su due binari paralleli (per di più, volendo essere puntigliosi, nel testo NON è espressamente detto che i treni sono sullo stesso binario!). Allora i due "incontri" possono ben veri…carsi. Il treno di Nino in frenata incrocia (in vedi …gura Treni 4 ) il treno di Neno, che continua imperterrito il suo cammino: poi il treno di Nino si ferma (vertice della parabola) e quindi accelera in retromarcia …no a raggiungere di nuovo e a superare Neno (in : vedi …gura Treni 4 ). Sarebbe estremamente utile per gli studenti a¤rontare e risolvere le possibili varianti di questo problema iniziando da varianti banali (cambiamenti di riferimento tipo origine in Nuncè, oppure in Eccè, verso opposto della traiettoria, etc. etc.) a quelle un pò meno banali tipo: i due treni viaggiano nella stessa direzione, o in direzioni opposte a quelle date, o ... Nota 1 6 Dato che nel problema l’incognita è una distanza e non un tempo, passare alla legge oraria non è necessario: basta una relazione tra velocità e spazio (un integrale primo del moto...). Per il moto uniformemente accelerato su una traiettoria abbiamo: Ä() = (19) cioè () = (20) Ora vogliamo considerare la velocità non in funzione del tempo bensì dello spazio, cioè = () Allora nella (20) la derivazione rispetto al tempo è inappropriata. Quindi ’forziamo’ la derivazione rispetto allo spazio () = (21) ottenuta ’moltiplicando’ e ’dividendo’ il primo membro della (20) per . Dato che per de…nizione = abbiamo = (22) Moltiplichiamo entrambi i membri per : = (23) e integriamo entrambi i membri, tenendo in conto che l’integrale inde…nito è l’operatore inverso del di¤erenziale a meno di una costante, cioè Z = + (24) Allora abbiamo e quindi ( è costante) Z = Z + (25) 1 2 = + (26) 2 La costante di integrazione può essere legata al dato ’iniziale’: infatti ponendo in (26) = 0 abbiamo 1 2 (0) = 2 (27) 2 () = 2 (0) + 2 (28) e quindi Questa formula è presente anche nei testi liceali... avrebbe fornito direttamente la condizione (17). Tre ulteriori considerazioni: 7 nel problema sopra ² nella (28) (0) non è la velocità al tempo zero bensì la velocità allo spazio zero (origine del riferimento: non sempre il cronometro scatta quando il punto materiale è nell’origine...) ² l’integrale primo del moto (28) è strettamente legato alla conservazione dell’energia (meditare, sfrugugliare) ² abbiamo voluto derivare la formula (28) facendo matematica da …sici: ad esempio abbiamo ’moltiplicato’ e ’diviso’ per l’in…nitesimo abbiamo considerato la derivata come se fosse cioè fosse veramente il quoziente tra i di¤erenziali e . Attenzione! se uno studente facesse ciò ad un esame di matematica potrebbe facilmente essere bocciato. Eppure i …sici (che, tra parentesi, hanno ’inventato’ il calcolo di¤erenziale) hanno da sempre fatto a cuor leggero tali operazioni, seppure con grande scandalo dei matematici. Epperò alla …ne sono stati vendicati: circa 40 anni fa è stato introdotto un nuovo campo numerico (campo dei numeri surreali) in cui tali operazioni sono perfettamente lecite: in…niti e in…nitesimi di ogni ordine non sono altro che ’numeri’ di tale campo. Quindi se un matematico vi dovesse cogliere in fallo in qualche operazione ’disinvolta’, potreste sempre rispondere: "ma io stavo operando nel campo surreale!" 0.2 8