Eratostene era uno studioso che lavorava presso la grande

Eratostene ( 276 a.C. - 196 a.C.)
L’uomo che misurò la Terra
Presso le classi colte delle civiltà antiche che fiorirono attorno al Mar Mediterraneo era
risaputo che la forma della Terra fosse sferica :
Gli Egizi, circumnavigando l’Africa, avevano
notato che il Sole a mezzogiorno non si trova più a
Sud ma a Nord quando si oltrepassa l’equatore;
La corretta
interpretazione delle eclissi di Luna da parte de Greci
indicava che l’ombra che oscura la Luna è l’ombra della
Terra e la sua forma è rotonda;
L’osservazione, che le navi che appaiano o spariscano
all’orizzonte, ha indotto le antiche popolazioni marinare a
ritenere che la Terra abbia una curvatura, e l’uso di fari,
che per la loro altezza aumentavano il raggio di visibilità, ne è
un’ulteriore conferma.
Il sorgere e il tramontare degli astri, primo fra tutti il Sole, sono
possibili soltanto se la Terra si trova al centro di questo universo
che le ruota attorno.
Viaggiando tra nord e sud si nota che le stelle che cambiano in
modo rilevante la loro altezza , fatto che questo che indusse
l’opinione che la Terra oltre ad essere sferica, fosse anche una
sfera non particolarmente grande.
Eratostene era uno studioso che lavorava presso
la grande biblioteca di Alessandria d’Egitto (
contemporaneo di Archimede e Annibale) e ne
era certamente uno dei più influenti responsabili.
Egli venne a sapere che in una città di nome
Siene (attualmente presso Assuan) il giorno del
solstizio d’estate il fondo dei pozzi è illuminato a
mezzogiorno dai raggi del Sole, mentre ad
Alessandria, che si trova più a nord, questo non
avviene e i raggi del Sole formano con la
verticale un angolo di circa 7°12’ ( un
cinquantesimo dell’angolo giro).
Con facili osservazioni geometriche ( rette
parallele tagliate da una trasversale) Eratostene concluse che la distanza tra
Alessandria e Siene corrisponde ad un cinquantesimo della lunghezza della
circonferenza terrestre. La spedizione che Eratostene organizzò per calcolare tale
distanza espresse tale misura in circa 5000 stadi ( +e. 5040 stadi), quindi la
circonferenza terrestre è di 250.000 stadi (+ e. 252.000 stadi).
Le unità di misura.
Un numero da solo può anche non dire molto se non è seguito
da una unità di misura. Eratostene ha usato come unità di
misura lo stadio e qui può sorgere un problema: questa misura
fa riferimento alla lunghezza dello stadio della città più
importante della regione ma purtroppo non si hanno
indicazioni univoche su questo valore che pertanto può
oscillare tra 150 metri circa e 190 metri circa. Il valore più
accreditato è di 157,50 metri corrispondenti a 300 cubiti (1
cubito 0=52,36 cm). Con tale valore la circonferenza terrestre
( meridiano x 2) risulta lunga circa 39.600 chilometri, valore
assai prossimo a quello calcolato con metodi più precisi ai
nostri giorni: 40.007 km.
ARISTARCO di Samo (310 a.C. - 230 a.C.)
Archimede nell’Arenario afferma che Aristarco propose un sistema eliocentrico, in cui la Terra, al
pari degli altri pianeti, aveva un moto rotazionale attorno a se stessa e un moto di rivoluzione
intorno al Sole.
Archimede dice di lui ne L'Arenario:
…Aristarco ha pubblicato un libro contenente certe ipotesi da cui appare, come conseguenza
delle assunzioni fatte, che l'universo è molte volte più grande dell'universo appena citato. Le sue
ipotesi sono che il sole e le stelle fisse restano ferme, che la terra gira intorno al sole sulla
circonferenza di un cerchio di cui il sole occupa il centro, e che la sfera delle stelle fisse, situata
intorno allo stesso centro, è così grande che il cerchio in cui egli suppone che la terra si muova
dista dalle stelle fisse tanto quanto il centro della sfera dista dalla sua superficie
Calcolo della distanza tra la Terra e il Sole:
Ciò che Aristarco riteneva essere corretto:
 la Terra è una sfera;
 il Sole è lontano, ma non troppo: i suoi raggi colpiscono Terra e Luna con angoli diversi;
 la Luna orbita intorno alla Terra in modo che sia possibile avere le eclissi.
Calcolo della distanza:
Attendendo che la Luna fosse vista dalla Terra o al primo
quarto o all'ultimo quarto, affermò che l'angolo Luna-TerraSole è di 87° e quindi l'angolo Terra-Sole-Luna risulta essere
di 3°.
 Confrontando il triangolo Terra,Luna.Sole con un
triangolo simile con gli angoli di 87°, 90°, 3°, notò che il
rapporto tra il cateto minore e l’ipotenusa è un valore compreso tra 1/20 e 1/18 ( calcolò
il valore di sin3°), da qui la conclusione che la distanza Terra.Sole è circa 19 volte
maggiore della distanza TerraLunaLa distanza angolare fra Sole e Luna viene stimata da Aristarco in 87°. In realtà il valore corretto
è di circa 89° 51', che porta il rapporto fra le due distanze a circa 400 volte.
L'errore deriva dalla difficoltà di misurare esattamente l'angolo formato fra il Sole e la Luna e
dalla difficoltà di calcolare ed osservare il momento esatto in cui la parte illuminata della Luna è
del 50% (i valori oggi correntemente usati sono: distanza media della Luna: 384 400 km; distanza
media del Sole: 149 600 000 km; il rapporto fra le due distanze è quindi circa uguale a 389.2)
Per lo stesso motivo Aristarco ipotizzò che il Sole fosse 18-20 volte più grosso della Luna..
La distanza Terra – Luna
Ipparco
1. Ciò che Ipparco conosceva:
a. Dalla Terra il Sole (e anche la Luna) si vede sotto un angolo di 30’ ( mezzo
grado)
b. La Luna impiega circa 27 giorni e 8 ore a fare un giro attorno alla Terra, mentre
impiega poco meno di 2 ore e mezzo a passare, durante un’eclisse, nella zona
d’ombra dovuta alla Terra; e poiché questo tempo è circa quattro volte
maggiore del tempo che impiega la Luna ad entrare totalmente nella zona
d’ombra, Ipparco dedusse che il diametro lunare è circa 4 volte inferiore a
quello della Terra.
c. Lo spostamento angolare giornaliero della Luna nel suo moto di rivoluzione
intorno alla Terra è di circa 13°10’
2.
Il metodo di calcolo:
2 = diametro angolare del
Sole (30’)
2angolo della zona
d’ombra, prodotta dalla Terra,
percorsa dalla Luna in una sua
eclisse: 24 h : 13°’ = 2,5 h : 2
2 = 1,44° =86’   = 43’
ma






CSE

CME

perché le due somme formano entrambe un angolo piatto





con SCM
Inoltre, prendendo spunto da Aristarco, sa che SE = 19EM



CSE  SE
EC

 1 si ha che 19  CSE  CME
e poichè 
CME  ME EC
 s  m  58'
19
 m  58'  55,1' che in radianti è circa 0,016  1/62

20
19  s  m
Quindi EC / EM = 1 / 62 quindi la distanza tra la terra e luna è circa 62 volte il
raggio della terra: i calcoli di Ipparco ponevano questo valore tra 60 e 70 volte..
Il sistema tolemaico (breve sintesi)
Apollonio di Perga nel III sec a.C. sembra che sia stato il primo a proporre una soluzione ai due problemi
creati dai pianeti che conservando il moto circolare, nello stesso tempo non fosse eccessivamente
complessa e soprattutto desse delle previsioni accettabili sui moti stessi:
Il pianeta P si muove su un'orbita circolare detta epiciclo il cui centro si muove a sua volta su di un'altra
circonferenza, detta deferente, avente come centro la Terra.
In tal modo venivano abbastanza bene interpretati la diversa luminosità dei pianeti, che dipende dalla
distanza dalla Terra, e in funzione delle velocità sull'epiciclo del pianeta e del centro dell'epiciclo sulla
deferente, la traiettoria ottenuta poteva presentare una corrispondenza con i dati osservati: quando la
velocità sull'epiciclo era maggiore della velocità del centro dell'epiciclo stesso sulla deferente si poteva
avere il moto retrogrado del pianeta.
NB: Questa ipotesi corrisponde alla
situazione, che attualmente è ritenuta
corretta, di Sole-Terra-Luna:
- Sole centro della deferente,
- Terra centro dell'epiciclo,
- Luna pianeta che si muove sull'epiciclo.
Tolomeo propose un'ulteriore modifica al
sistema di Apollonio e di Ipparco, apportando una maggiore complessità ma anche una maggiore
corrispondenza con i dati rilevati e una più precisa previsione dei fenomeni celesti.
Le innovazioni furono, rispetto ai modelli precedenti alquanto originali:
- il centro della traiettoria deferente non coincide con il centro della Terra,
- il centro dell'epiciclo non si muove con velocità costante sulla deferente,
- ma il suo moto angolare risulta uniforme se visto da un ulteriore punto detto equante; questo per
giustificare le velocità non costanti dei pianeti, almeno osservate dalla Terra.
- Propose, inoltre, che la deferente fosse leggermente
ellittica.
Il sistema tolemaico, che è certamente geocentrico, non
trascura di dare al Sole l'importanza che merita, infatti il
Sole e la sua collocazione sono sempre in relazione con la
posizione degli altri pianeti:
- Mercurio e Venere hanno sempre il centro del proprio
epiciclo sulla congiungente Terra - Sole;
- Marte, Giove e Saturno hanno, invece, parallelo alla
direzione Terra-Sole il raggio che li unisce al centro del
proprio epiciclo.
- il Sole, ovviamente, non ha un epiciclo, ma si muove sulla
deferente.
Le indicazioni tolemaiche, tramandateci, attraverso
traduzioni arabe, nell'Almagesto, furono ritenute valide fino
al sec. XVI, senza subire variazioni significative o
migliorative; la grande precisione dei calcoli tolemaici fu la
forza di questo sistema che, pur non indicando la causa dei moti, era una corretta lettura dei moti stessi
relativi alla Terra, ritenuta immobile in mezzo all'universo.
Copernico
 Nel 1543 il polacco Copernico, pochi giorni prima della propria morte, permise la
pubblicazione del suo libro De Revolutionibus Orbium Coelestium nel quale propone
il nuovo modello cosmologico eliocentrico e lo giustifica innanzitutto con la
maggiore semplicità strutturale rispetto al modello geocentrico o quasi geocentrico di
Tolomeo che per più di mille anni era stato, almeno in occidente, comunemente
accettato.
 Il modello copernicano per una maggiore coerenza con i dati osservati prevedeva
alcune correzioni all’iniziale proposta di porre il Sole al centro dell’universo con i
pianeti che ruotavano su orbite circolari aventi appunto il Sole nel centro: il Sole non
è al centro delle orbite dei vari pianeti, anzi ogni pianeta ha per la propria orbita un
centro diverso, le orbite dei pianeti non erano semplici orbite circolari, ma,
similmente al modello di Tolomeo, erano un moto composto da due moti circolari ( il
pianeta ruota attorno ad un punto - centro dell’epiciclo - che a sua volta percorre una
circonferenza – deferente – ).
 Nei due modelli proposti mancava sempre
una spiegazione del perché i moti avrebbero dovuto percorrere queste traiettorie e non
altre; Copernico, personalmente, non escludevo la correttezza del modello di
Tolomeo, sosteneva soltanto che la propria era più semplice.

Il moto non regolare dei pianeti è tale perché lo si vede dalla Terra che non è ferma ,
ma è in moto attorno al Sole: i pianeti quindi sono visti proiettati sulla volta celeste ed
essendo le loro velocità di rivoluzione diverse da quella Terra, in alcune posizioni il
loro moto sembra retrogrado come, nell’arco dell’anno, possono essere più o meno
vicini alla Terra.
Sistema Tychonico:
Tycho Brahe propose un sistema proprio: la Terra immbile al
centro dell’Universo mentre il Sole le girava intorno; gli altri
pianeti seguivano orbite concentriche con il Sole: Dal punto di
vista formale è equivalente al sistema geocentrico.
Isaac Newton (Woolsthorpe 1642 - 1727 London)
La gravitazione universale
J.N. vede cadere una mela da un albero e :“se l’albero fosse stato più alto si chiede - la mela sarebbe stata ancora in grado di cadere? Anche se la
sua altezza fosse stata uguale alla distanza della Luna dalla Terra?
Perché no?!... .- J.N. riflette - Allora perché la Luna non cade?... Ma la
Luna sta cadendo soltanto che non trova la Terra nella sua traiettoria di
caduta come una bomba, allorché è lanciata, non cade verticalmente,ma
sempre più lontano in funzione della velocità con la quale è lanciata.”
Osservazione : paragonare il movimento della Luna al movimento di una
bomba è stato un passo molto importante in quanto si affermava che un corpo celeste e un corpo
terrestre erano soggetti alle medesime leggi della fisica.
Per I.N. esiste tra la Luna e la Terra una forza attrattiva che egli definisce “gravità” che causa il
moto circolare della Luna attorno alla Terra.
Un oggetto che si muove secondo le leggi del moto circolare è soggetto ad una accelerazione
centripeta:
ac = 2R = (4 /T2 )·R
(v/R velocità angolare).
I.N. afferma che la gravità funziona come forza centripeta.
L’orbita lunare la si può ritenere in prima approssimazione circolare, quindi con la formula
precedente si può calcolare qual è la accelerazione centripeta e quindi qual è la accelerazione di
gravità che è esercitata su qualsiasi oggetto che si trovi ad una distanza dalla Terra uguale a quella
della Luna:
 tenendo presente che T = 2,36·106 sec (periodo di rivoluzione della Luna = 27g 8 h)
 e che RTL = 3,83·108 m
(distanza Terra - Luna = 383.000 km )
 sostituendo nella formula precedente si ha :
4 2 3,83  108
ac 
 2 ,71  10 3 m / s 2 .
6 2
2 ,36  10 
Questo valore corrisponde alla accelerazione centripeta a cui è soggetta la Luna a motivo del suo
movimento di rivoluzione attorno alla Terra; ma questa accelerazione è anche uguale alla
accelerazione di gravità a cui la Luna stessa è soggetta, come qualsiasi altro oggetto che si
trovasse a quella distanza dalla Terra..
Riassumendo: La Luna per il principio di inerzia tenderebbe a
proseguire su una traiettoria rettilinea, ma a motivo della forza di
gravità (f = ma ), che agisce perpendicolarmente alla sua
traiettoria, questa risulta modificata: quando una forza agisce
perpendicolarmente alla traiettoria, non si ha variazione di
velocità per quanto riguarda il modulo, ma si ha variazione della
velocità per quanto riguarda la direzione; se la forza rimane
costante, la variazione della velocità sarà costante, e quindi la
traiettoria diverrà circolare. La forza di gravità è quindi la forza
centripeta che causa il moto circolare della Luna.
L’accelerazione sulla Terra è circa 9,8 m/s2, quindi molto maggiore di quella a cui è soggetta la
Luna; pertanto si deve concludere che la forza di gravità diminuisce con la distanza. E’
necessario trovare la legge che lega la distanza e la forza.
Per la terza legge di Keplero si ha che T 2/R3 = ks, essendo T il periodo di rivoluzione di un pianeta
e R la sua distanza media dal Sole; Newton afferma che questa legge vale anche per la Luna nei
riguardi della Terra, e per qualsiasi satellite nei confronti del pianeta attorno a cui ruota, cambierà
solo il valore della costante k.
Per la Terra il valore di k è calcolabile con i valori propri della Luna e questo valore sarà valido
per tutti i satelliti (artificiali) che girano attorno alla Terra:
2
TL2 ( 2,36  10 6 ) 2
14 s


9
,
9

10
kT = 3
.
RL (3,83  108 ) 3
m3
Accettata questa legge anche per la Terra, da T2/R3 = kT (costante propria della Terra e dei suoi
satelliti) si ottiene T2 = k T· R3, e tenendo presente che
ac = (4 /T2 )·R, si ha ac =4/ (kT· R2),
e pertanto si nota che l’accelerazione di gravità è inversamente proporzionale al quadrato della
distanza.
Verifica della teoria ( concordanza tra ragionamento e dati sperimentali):
 I.N. pensa: se nella formula ac =4/ (kT· R2) si pone il valore di kT trovato e il valore del
raggio della Terra ( R = 6,38·10 6 m) si deve ottenere l’accelerazione centripeta che
agirebbe su un oggetto che, possedendo l’opportuna velocità, compie una traiettoria
circolare attorno alla Terra a livello del suolo, accelerazione che corrisponderà anche alla
sua accelerazione di gravità, e quindi si dovrebbe ritrovare il noto 9,8 m/s2:
e così trova
4 2
1
 9 ,8 m/s2
g = 9 ,9  10 14 
6,38  106  2
ottenendo la conferma della teoria con l’esperienza.
Quindi la forza che attrae la Luna verso la Terra è FTL = mL·ac = mL·4 / (k T· R2)
In modo analogo la Terra si comporta nei riguardi del Sole, quindi la forza di attrazione del Sole
per la Terra è
FST = mT·a c = mT·4/ (kS· R2);
ma, per il terzo principio della dinamica, è anche vero che la Terra attrae il Sole con una forza
avente la medesima intensità espressa in modo analogo
FTS = mS·ac = mS·4/ (kT· R2)
confrontando le due formule e semplificando i valori identici si ha
mT
m
 S  mT  k T  mS  k S
kS
kT
da questa uguaglianza I.N deduce che il prodotto m·k per qualsiasi corpo è una costante
universale, evitando di attribuire alla Terra una proprietà specifica che dopo la rivoluzione
copernicana non aveva più ragione di essere.
Riprendendo la formula della forza che attrae il Sole verso la Terra , moltiplicando e dividendo
per mT la precedente relazione FTS = mS·ac = mS·4/ (kT· R2) si ha
FTS = mS·mT·4/ (kT·mT R2) = 4/ (kT·mT)· mS·mT / R2 = G· mS·mT / R2
avendo posto G = 4 / (k T·mT), stabilendo inoltre che G è una costante universale.
I.Newton generalizzò questo risultato, applicandolo a qualsiasi oggetto avente massa, enunciando
la sua legge di gravitazione universale:
Due oggetti,aventi una certa massa, si attraggono con una forza che è direttamente
proporzionale alle loro masse e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza.
F G
m1  m2
R2
I. Newton, però, non fu in grado di
determinare il valore della costante G ,non
conoscendo la massa della Terra, né potè
verificarlo sperimentalmente essendo
troppo piccola la forza di gravità che
interagisce tra oggetti comuni; il valore di
tale costante fu calcolato, circa 70 anni
dopo la morte di I.N., con sufficiente
precisione da H. Cavendish, usando la
bilancia a torsione:
costante di Cavendish : G = 6,66·10 -11
Usufruendo di questo valore fu possibile calcolare la massa
della Terra e la sua densità; per il primo valore è sufficiente
uguagliare la forza peso alla forza di gravità di Newton:
m  mT
mg  G
r2
Anche perché nel frattempo si era calcolata la, con una certa
precisione, la distanza Terra-Sole (RTS = 150 milioni di km) e il
suo raggio ( rS = 696.000 km = 109 rT), fu possibile calcolare la massa e la densità del Sole.
m m
4 2
F  G T 2 S e F  m T  2 r  mT 2 r
r
T
 mS 
3
4   2  RST
G   365, 24  86400 
2
 2 1030 kg