Dimensionamento biella

ITIS OMAR Dipartimento di Meccanica
Autori: Andorno Silvano, Valentini Carlo
Esame di Stato di Istituto Tecnico Industriale – Seconda prova scritta
Si fa l’ipotesi che durante un adeguato periodo di prova di una autovettura, vengano segnalate
rotture al fusto delle bielle veloci in prossimità del piede.
Dopo una approfondita analisi del fenomeno, emerge che non era stato valutato opportunamente
il tipo di sollecitazione gravante nella sezione di rottura.
Pertanto occorrerà rifare un nuovo calcolo per il dimensionamento.
Si dispone dei seguenti dati
b=h
h’=0.5 h
d = 0.25
e = 0.25 h
C = 80 mm
D = 80 mm
ng = 5500 giri/min
l = 160 mm
pmax = 2.85 Mpa
R = 920 N/mm2
h = 10 mm
H = 20 mm
Legenda
corsa del pistone
C
alesaggio
D
lunghezza della biella
l
pmax pressione massima sul pistone
carico di rottura minimo del materiale costituente la biella
R
Il candidato indichi le principali sollecitazioni in una biella veloce e successivamente, adottando
un coefficiente di sicurezza per bielle veloci n = 8:
•
•
•
esegua le opportune verifiche sullo stato di fatto;
determini le nuove dimensioni del fusto di biella;
esegua uno schizzo quotato, con il raffronto delle condizioni geometriche iniziali con
quelle ricalcolate nelle sezioni prossime al piede di biella e al bottone di manovella
Esame di Stato: 2 prova - biella
ITIS OMAR Dipartimento di Meccanica
Autori: Andorno Silvano, Valentini Carlo
Sollecitazioni principali1
Le sollecitazioni principali presenti in una biella veloce sono:
1) sollecitazione di compressione-trazione al punto morto superiore rispettivamente allo
scoppio e all’inizio dell’aspirazione.
La sollecitazione di compressione è dovuta alla pressione all’interno del cilindro, mentre
quella di trazione è indotta dall’accelerazione delle masse alterne (cilindro, spinotto,
fasce…)
Nei motori a combustione interna, la verifica della biella al carico di punta non è il più
delle volte necessaria. Occorre eseguirla solo per gradi di snellezza superiori a 60.
2) sollecitazione combinata di compressione e flessione nella posizione di quadratura. La
sollecitazione di compressione è dovuta alla pressione agente nel cilindro, mentre quella
di flessione è dovuta alle forze di inerzia normali all’asse della biella
Verifiche sullo stato di fatto
Forza di compressione massima al punto moto superiore (pms)
p ⋅π ⋅ D2
= 14325 N
Fmax = max
4
Diametro esterno dello spinotto2
DSP = 0.25 ⋅ D = 20 mm
Diametro albero a gomiti3
In mancanza di dati precisi, in un calcolo di prima approssimazione, il diametro viene
calcolato come si trattasse di un perno di estremità ponendo una tensione ammissibile di flessione
pari a 85 N/mm2 e un rapporto caratteristico pari a 1.2
DTB =
1
5  l 
5
⋅
⋅1.2 ⋅14325 = 32 mm
 ⋅ Fmax =
85
σ  DTB 
R. Giovannozzi
R. Giovannozzi
3
C. Malavasi
2
Costruzione di Macchine vol. II IV ed. Patron (pag. 512)
Costruzione di Macchine vol. II IV ed. Patron (pag. 572)
Vademecum per l’Ingegnere Costruttore Meccanico XIII ed. Hoepli (pag. 1237)
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E’ possibile, a questo punto, schizzare la biella
Caratteristiche della sezione al piede di biella
Area resistente4
AP = (10 ⋅10 ) − 2 ⋅ (5 ⋅ 2.5 ) = 75 mm 2
Momento quadratico di superficie massimo5
1
1


I max P = ⋅ (5 ⋅ 53 ) + 2 ⋅  2.5 ⋅10 ⋅ 3.752 + 10 ⋅ 2.53  = 781 mm 4
12
12


Raggio giratorio
I
i = max P = 3.23 mm
AP
Caratteristiche della sezione al punto medio h = 15.6 mm
Area resistente
Am = 0.75 ⋅ h 2 = 183 mm 2
4
L’area della sezione, nel proporzionamento assegnato, può calcolarsi, indicata con h l’altezza totale del profilato, con
2
la seguente relazione: A = 0.75 ⋅ h
5
Il momento quadratico di superficie può essere espresso, nel proporzionamento assegnato, in funzione dell’altezza h
totale del profilato. In particolare, indicato con Ixx il momento quadratico di superficie rispetto ad un asse baricentrico
parallelo quello dello spinotto e con Iyy il momento quadratico di superficie rispetto ad un asse baricentrico
perpendicolare a quello dello spinotto si ha:
I xx = 0.078125 ⋅ h 4
I yy = 0.041667 ⋅ h 4
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Caratteristiche della sezione posta a 0.6 l dal piede di biella h = 17.2 mm
Momento quadratico di superficie massimo
I max 0.6 = 0.078125 ⋅ h 4 = 6837 mm 4
Modulo di resistenza a flessione
6837
= 804 mm3
W f 0.6 =
8.5
Verifica a compressione al pms
Tensione ammissibile σ amm =
R 920
=
= 115 N/mm 2
8
8
Tensione di compressione al pms
F
14326
σ = max =
= 191 N/mm 2 > σ amm la tensione supera il valore ammissibile !
75
AP
Verifica a compressione-flessione in quadratura
Massa specifica del materiale
δ = 7.8 kg/dm3
Massa del fusto con riferimento alla sezione media
M = δ ⋅ Am ⋅ l = 7.8 ⋅183 ⋅1.60 ⋅10−4 = 0.23 kg
Forza agente sul fusto della biella (biella-manovella in posizione di quadratura)6
2
C 
l2 +  
F
2
= 4919 N
F = max ⋅
3
l
Tensione di compressione indotta
4919
σc =
= 25.6 N/mm 2
2
AP ⋅1.6
Tensione di flessione
2
 2π n  C
0.064 ⋅ M ⋅ 
 ⋅ ⋅ l 31251
60  2

=
= 39 N/mm 2
σf =
804
W f 0.6
Tensione totale
σ tot = σ c + σ f = 25.6 + 39 = 64.6 N/mm 2
Analisi della verifica: la sezione posta in corrispondenza del piede di biella risulta sotto
dimensionata.
6
In posizione di quadratura, la pressione all’interno del cilindro può ritenersi pari a 1/3 della pressione massima
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Ridimensionamento della sezione della biella
Sezione al piede di biella7
Il momento quadratico di superficie della sezione posta in corrispondenza del piede di biella può
stimarsi, in prima approssimazione, con la seguente formula di Eulero8
F ⋅l2
14326 ⋅1602
= 11344 mm 4
I max P = µ ⋅ max L = 20 ⋅
π ⋅E
π ⋅ 205800
coefficiente di sicurezza9
µ
lL
lunghezza libera (due estremi incernierati)
E
modulo di elasticità normale
Ad un ImaxP =11344 mm4 corrisponde un profilato di altezza h pari a circa 19.5 mm con area
resistente di 285 mm2
Verifica al carico di punta secondo Rankine
Il raggio giratorio i della sezione vale:
I
11344
i = max P =
= 6.3 mm
285
AP
La snellezza λ vale:
160
l
λ= L =
= 25
i 6.3
Il carico max sopportabile N vale:
115
σ amm
⋅ AP =
⋅ 380 = 43700 N
N=
2
2
 ν ⋅ σ amm 
 3 ⋅115 
2
2
1+  2
1+  2
 ⋅ 25
 ⋅λ
 π ⋅ 205800 
 π ⋅E 
coefficiente di sicurezza posto pari a 3 per tenere conto dell’applicazione dinamica del
ν
carico
Il carico N è decisamente superiore a Fmax : la sezione è sovradimensionata
Provo con un profilato con h = 13.5 a cui corrispondono:
Imax 2595 mm4
AP
137 mm2
i
4.35 mm
37
λ
7
Il dimensionamento della biella al piede è stato condotto secondo quanto riportato dai manuali scolastici anche se in
palese contraddizione con quanto scritto a pag. 2, laddove si afferma, tra l’altro, che la verifica al carico di punta
dovrebbe essere condotta solo in corrispondenza di snellezze superiori a 60.
8
Poiché (vedi nota 5) Iyy > 0.25 Ixx si deve considerare come possibile piano di inflessione solamente quello
perpendicolare all’asse dello spinotto, supponendo la biella incernierata ai due estremi e con lunghezza libera di
inflessione pari alla lunghezza della biella stessa. In queste condizioni il momento quadratico di superficie della sezione
di progetto deve essere riferito all’asse baricentrico parallelo all’asse dello spinotto.
9
In effetti usare, in sede di progetto, gradi di sicurezza molto elevati nei confronti del carico di punta, come in questo
caso, se da un lato protegge pienamente dal pericolo dell’inflessione laterale, dall’altro non offre di per sé sufficiente
garanzia dal punto di vista della trazione-compressione.
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N=
σ amm
2
 ν ⋅σ

1 +  2 amm  ⋅ λ 2
 π ⋅E 
⋅ AP =
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115
2
 3 ⋅115 
2
1+  2
 ⋅ 37
 π ⋅ 205800 
⋅137 = 15754 N
La sezione è verificata: il carico N è maggiore del 10% rispetto alla forza massima Fmax applicata
alla biella in corrispondenza del punto morto superiore
Schizzo della nuova soluzione proposta
Verifica della biella in posizione di quadratura
Sezione pericolosa posta a 96 mm dal piede di biella (h = 18.18 mm)
L’area della sezione resistente vale:
AB 0.6 = 0.75 ⋅ h 2 = 248 mm 2
Nella sezione pericolosa il modulo di resistenza alla flessione vale:
2 ⋅ 8534
= 938 mm3
W f 0.6 =
18.18
Determinazione della massa della biella (con riferimento alla sezione media h = 17.14 mm)
M = δ ⋅ Am ⋅ l = 7.8 ⋅1.6 ⋅ 0.75 ⋅ h 2 ⋅10−4 = 0.27 kg
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Il momento flettente indotto dalle forze di inerzia perpendicolari all’asse della biella vale:
2
 2π n 
3
M f = 0.064 ⋅ M ⋅ 
 ⋅ 0.04 ⋅ 0.160 ⋅10 = 36687 Nmm
 60 
La tensione di flessione vale:
Mf
σf =
= 39 N/mm 2
W f 0.6
La tensione di compressione vale:
4919
F
σc =
=
= 20 N/mm 2
248
AB 0.6
La tensione totale vale:
σ t = σ f + σ c = 59 N/mm 2 < 115 N/mm 2
La biella è verificata al colpo di frusta.
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