condizione al contorno va chiaramente ricercata in relazione alla

Correnti a superficie libera 175
condizione al contorno va chiaramente ricercata in relazione alla causa
perturbatrice che determina il profilo stesso e pertanto va ricercata a monte della
corrente se essa è veloce o a valle se lenta.
Il caso di un alveo orizzontale (i=0) o in contropendenza (i<0), può essere
interpretato come caso particolare di un alveo a debole pendenza in cui per
effetto della non esistenza del tirante di moto uniforme, poiché di valore infinito
se i=0 o di valore immaginario se i<0, non è possibile l’instaurarsi del profilo di
corrente lenta ritardata.
Infine nel caso di un alveo a pendenza critica, si osserva l’assenza del
profilo di corrente intermedio compreso tra lo stato critico e quello di moto
uniforme. I due profili quindi di corrente veloce ritardata e lenta ritardata
tendono a disporsi pressoché orizzontalmente. In un alveo indefinito a monte e a
valle, la corrente tenderà a disporsi con un tirante prossimo allo stato critico: in
tali condizioni si osservano sperimentalmente accentuate ondulazioni del pelo
libero giustificate anche analiticamente dal sovrapporsi dell’effetto stabilizzante
del numeratore e di quello destabilizzante del denominatore della (8-103).
8.8.
Risalto idraulico
Si consideri un alveo di lunghezza finita delimitato da due paratoie: una a monte
che determina l’instaurarsi di una corrente veloce e una a valle che comporta la
presenza di una corrente lenta. Alla luce delle soluzioni della (8-103) si osserva
che, nell’ipotesi di corrente lineare, non è possibile il passaggio da corrente
veloce a lenta. Pertanto è necessario rimuovere l’ipotesi di gradualità del moto
ed assumere che per effetto dell’espansione della corrente si realizzi in un breve
tratto dell’alveo, una dissipazione localizzata. Il fenomeno viene denominato
risalto idraulico (Figura 8-20).
Figura 8-20
La corrente veloce in arrivo da monte si espande, perdendo la linearità, con
formazione di un vortice stazionario ad asse orizzontale caratterizzato da
176 Dispense di Idraulica
un’intumescenza superficiale e da fenomeni di areazione della vena fluida. Solo
più a valle si ripristinano le condizioni di gradualità del moto con tiranti di
corrente lenta.
Come negli altri fenomeni in cui si osservano dissipazioni localizzate, non
è possibile ricorrere a bilanci di energia, ma occorre far ricorso all’equazione
globale dell’equilibrio idrodinamico.
Nell’ipotesi di alveo cilindrico, applicando l’equazione globale della
dinamica al volume di controllo costituito dal tronco di corrente in cui si
osserva assenza di gradualità del moto, proiettando la stessa nella direzione del
moto, e avendo assunto trascurabili, poiché piccole e di segno contrario, la
componente del peso e la resistenza al moto del contorno dell’alveo, si ha
γA1ς 1 + βρ
Q2
Q2
= γA2ς 2 + βρ
A1
A2
(8-107)
essendo i pedici 1 e 2 riferiti rispettivamente alla sezione di corrente veloce di
monte e lenta di valle. Anche il coefficiente di ragguaglio di Boussinesq viene
solitamente posto pari all’unità.
La somma della spinta idrostatica e del flusso di quantità di moto prende il
nome di spinta totale. Per la (8-84) la spinta totale dell’ultima sezione di
corrente veloce gradualmente variata a monte del risalto, coincide con quella
della prima sezione di corrente lenta gradualmente variata a valle del risalto: i
due tiranti, rispettivamente di corrente veloce e lenta, si dicono coniugati nel
risalto.
La spinta totale, ponendo pari all’unità il coefficiente di Boussinesq, è pari
a
S = γAς + ρ
Q2
A
(8-108)
e, ad assegnato valore di portata, ha un andamento, riportato in Figura 8-21,
caratterizzato da valori infiniti per h tendente a zero e all’infinito, e da un valore
minimo Smin.
Correnti a superficie libera 177
Figura 8-21
La spinta totale può anche essere scritta come
S = γ ∫ ydA + ρ
Q2
A
(8-109)
Annullando la derivata di tale relazione rispetto al tirante h, si ottiene
dS
Q 2 dA
= γ ∫ ydB − ρ 2
=0
dh
A dh
(8-110)
dS
Q2
= γA − ρ 2 B = 0
dh
A
(8-111)
ovvero
che fornisce l’espressione
A3 Q 2
=
B
g
(8-112)
coincidende con la condizione (8-68) di stato critico. Il valore minimo di spinta,
ad assegnata portata, si osserva quindi in condizioni di stato critico.
La funzione Q(h) ad assegnato valore di S=S0, è espressa dalla relazione
178 Dispense di Idraulica
S

Q = gA 0 − Aς 
γ

(8-113)
che si ottiene dalla (8-108) esplicitando la portata. Il relativo diagramma è
rappresentato in Figura 8-22.
Figura 8-22
Il valore h* di Figura 8-22 rappresenta la soluzione dell’equazione
S 0 = A(h *)ς (h *)
(8-114)
Per ottenere il valore del tirante che fornisce il massimo di portata, si pone
uguale a zero la derivata della (8-113) rispetto al tirante, ottenendo
S0
dA dh
dQ
= g
dh
2 A
γ
gA
− Aς −
2
S0
γ
− Aς
dAς
=0
dh
(8-115)
che diventa
S0
γ
− Aς =
A dAς
B dh
(8-116)
cioè
Q 2 A 2 dAς
=
g
B dh
(8-117)
Correnti a superficie libera 179
Figura 8-23
Poiché, come si nota dalla Figura 8-23,
dAς
∫ ydA = ydb = A
=d
∫
dh
dh
(8-118)
la (8-117) può scriversi come
Q 2 A3
=
g
B
(8-119)
coincidente con la condizione (8-68) di stato critico1. Il valore massimo di
portata, ad assegnato valore di spinta, si osserva quindi in condizioni di stato
critico.
A seconda del numero del numero di Froude della corrente veloce di
monte, cambia l’aspetto del risalto idraulico. Per numeri di Froude maggiori di
1,7 il risalto risulta caratterizzato da un vortice ad asse orizzontale, che
scompare per valori compresi tra 1 e 1,7 essendo presenti delle ondulazioni che
si smorzano attorno al tirante di valle: in questo caso il risalto viene denominato
ondulato.
Per quanto riguarda la lunghezza dello sviluppo del risalto essa è stata
misurata sperimentalmente in funzione del tirante di valle e del tirante di monte.
Orientativamente la linghezza risulta pari a circa 6-7 volte la differenza tra il
tirante di valle e quello di monte. Ad ogni modo la lunghezza del risalto risulta
in genere limitata rispetto alle lunghezze degli alvei: per tal motivo in una
rappresentazione in cui la scala delle quote viene sfalsata rispetto a quella delle
1
Tale risultato è rigoroso nelle ipotesi fatte sui coefficienti di ragguaglio posti
entrambi pari all’unità.
180 Dispense di Idraulica
lunghezze, il tronco all’interno del quale si sviluppa il risalto è rappresentato
tramite un’unica sezione trasversale.
8.9.
Profili di corrente a portata variabile lungo il percorso
Per correnti a portata variabile si intendono i flussi a pelo libero nei quali
avviene una sottrazione o un’immissione continua di portata lungo il percorso.
Le più frequenti opere idrauliche nelle quali la portata decresce sono i canali
con stramazzo laterale o griglia di fondo, mentre quelle dove la portata cresce
sono i canali di gronda.
Si consideri un tronco di una corrente, di lunghezza infinitesima ds, in
corrispondenza del quale avviene un ingresso di portata (Figura 8-24).
Figura 8-24
Si valuti come qds la portata entrante nel tronco, se il termine q è positivo,
o uscente, se q è negativo. Il significato di q è quindi di una portata entrante
lateralmente per unità di percorso. Nell’ipotesi di moto permanente, i termini
dell’equazione globale della dinamica applicata al tronco di corrente, delimitato
dalla sezione di monte A, e quella di valle A+dA, proiettati sull’asse s del
canale, sono
G s = γAids
(8-120)
dγAς 

Π s = γAς −  γAς +
ds  − γσJds + F p
ds


(8-121)
Correnti a superficie libera 181

Q2 
dρ

Q2  Q2
A ds  + ρ qU ds
Ms = ρ
−ρ
+
s
A  A
ds





(8-122)
avendo indicato con Us la componente della velocità di ingresso della portata
laterale lungo l’asse del canale s, e con Fp la componente su s della forza
risultante dalle pressioni agenti sul contorno dell’alveo (Fp è un termine positivo
se il canale diverge, negativo se converge e nullo se il canale è cilindrico).
La proiezione su s dell’equazione globale si scrive quindi
Q2
dρ
d γ Aς
A ds + ρ qU ds + F = 0
γσ ( i − J ) ds −
ds −
s
p
ds
ds
(8-123)
ovvero
Fp
dS
= γA(i − J ) + ρqU s +
ds
ds
(8-124)
che rappresenta l’equazione differenziale che regge il problema del moto per
una corrente gradualmente variata a portata variabile lungo il percorso.
Nell’ipotesi di afflusso di portata in direzione ortogonale alla corrente, la
(8-124) diventa
Fp
dS
= γA(i − J ) +
ds
ds
(8-125)
Sviluppando la derivata totale di S, funzione di s e Q, si ha
 dAξ Q 2 dA 2Q dQ 
dS
=γ
− 2
+

ds
gA ds gA ds 
 ds
(8-126)
che può essere scritta, essendo la variazione di A legata a quella del tirante h e a
quella della sezione per effetto della non cilindricità del canale, come
 ∂Aξ ∂Aξ dh Q 2  ∂A ∂A dh  2Q dQ 
dS
=γ
+
−
+

+

ds
∂h ds gA 2  ∂s ∂h ds  gA ds 
 ∂s
Per l’equazione (8-19), a parità di tirante, si ha
(8-127)
182 Dispense di Idraulica
Fp
∂Aς
ds =
∂s
γ
(8-128)
che permette, tramite anche la (8-118), di poter scrivere la (8-127) come
 Fp
dS
dh Q 2  ∂A
dh  2Q dQ 
=γ
+A − 2
+B +

ds
ds gA  ∂s
ds  gA ds 
 γds
(8-129)
L’equazione (8-125) diventa quindi
 dh Q 2  ∂A
dh  2Q dQ 
− 2
+B +

ds  gA ds 
 ds gA  ∂s
γA(i − J ) = γ  A
(8-130)
per cui
i−J =
dh  Q 2 B  Q 2 ∂A 2Q dQ
1 −
−
+
ds 
gA3  gA3 ∂s gA2 ds
(8-131)
ottenendo
dh
=
ds
i−J +
Q 2 ∂A 2Q dQ
Q 2 ∂A 2Q dQ
−
i
−
J
+
−
gA3 ∂s gA 2 ds
gA 3 ∂s gA 2 ds
=
Q2B
1 − Fr 2
1−
gA 3
(8-132)
Volendo non considerare le dissipazioni di energia legate alla variazione di
portata, si potrebbe scrivere l’equazione (8-98) che sviluppando la derivata
totale di H=H[h(s), A(s), Q(s)], diventa
dH dh Q 2  ∂A ∂A dh  Q dQ
=
−
+
=i−J

+
ds
ds gA3  ∂s ∂h ds  gA 2 ds
(8-133)
ottenendo
dh  Q 2 B  Q 2 ∂A
Q dQ
1 −
− 3
+
=i−J
3 
ds 
gA  gA ∂s gA 2 ds
ovvero
(8-134)
Correnti a superficie libera 183
dh
=
ds
i−J +
Q 2 ∂A
Q dQ
− 2
3
gA ∂s gA ds
1 − Fr 2
(8-135)
Confrontando quest’ultima con la (8-132) si deduce che l’immissione di
portata comporta un incremento dell’energia dissipata per unità di percorso pari
a
Q dQ
gA 2 ds
(8-136)
Tale termine è da attribuire quindi alle dissipazioni derivanti dal
mescolamento tra la portata affluente e la corrente prinicipale.
8.8.1 Sfioratore laterale
Nelle fognature miste si presenta, in caso di pioggia intensa, la necessità di non
convogliare all’impianto di depurazione l’intera portata proveniente dalla
fognatura urbana: grazie infatti al ridotto carico inquinante si preferisce
scaricare la parte eccedente alla portata massima dell’impianto di depurazione,
direttamente al corpo idrico recettore (lago, fiume, mare). Ovviamente nei
periodi in cui la portata in arrivo dalla fognatura risulta inferiore a quella
massima del depuratore, sarà necessario far arrivare l’intera portata all’impianto
di depurazione. Per ottenere ciò viene spesso realizzato uno scaricatore laterale.
Esso è costituito essenzialmente da una soglia sfiorante posta a distanza hsf dal
fondo, realizzata su uno o entrambe le pareti laterali del canale in arrivo con un
canale derivatore posto a valle. In Figura 8-25 è mostrato lo schema di uno
sfioratore laterale con una soglia laterale.
184 Dispense di Idraulica
Figura 8-25
Chiaramente quando il profilo di corrente presenta quote inferiori ad hsf, lo
sfioratore deriva l’intera portata. Nel caso contrario, quanto maggiore sarà la
quota del pelo libero, tanto maggiore sarà la portata sfiorata. Pertanto la
determinazione del profilo di corrente appare fondamentale per la definizione
del funzionamento dell’opera.
Per valutare il profilo di corrente negli sfioratori laterali, si effettua l’ipotesi
che il processo di sfioro avvenga ad energia specifica della corrente costante.
Ciò avviene se le masse fluide abbandonano la corrente principale con una
velocità quanto più possibile vicina a quella media trasversale. Si preferisce non
utilizzare la (8-124) essendo non nota la direzione con la quale i filetti fluidi
abbandonano la corrente principale.
Osservando l’andamento del grafico della funzione Q=Q(h) a carico
costante (Figura 8-13) si nota che nel ramo delle correnti lente a riduzioni di
portata corrisponde un aumento del tirante, mentre in quello delle correnti
veloci si osserva una riduzione dei tiranti. A ciò si arriva anche scrivendo
nell’ipotesi di carico costante l’uguaglianza:
dH ∂H dh ∂H dQ
=
+
=0
ds
∂h ds ∂Q ds
che diventa
(8-137)
Correnti a superficie libera 185
∂H
∂H
dh
∂Q dQ
∂Q dQ
=−
=−
∂H ds
ds
1 − Fr 2 ds
∂h
(8-138)
Poichè la derivata parziale del carico H rispetto alla portata Q è sempre
positiva poichè pari a
∂H
Q
=
∂Q gσ 2
(8-139)
la (8-139) permette di asserire che nel caso di correnti lente (Fr<1) la corrente
risulta caratterizzata da tiranti crescenti con l’ascissa s; essendo la portata
decrescente con s, anche la velocità si riduce verso valle ovvero la corrente è
decelerata. Nel caso delle correnti veloci (Fr>1) la corrente presenta tiranti
decrescenti con s; per la costanza del carico H, ad una riduzione di tirante segue
un aumento dell’altezza cinetica e quindi la corrente risulta accelerata (Figura
8-26).
Figura 8-26
Per determinare quantitativamente il profilo occorre scrivere, per la
costanza del carico
h1 +
Q1
2
2 gA1
2
= h2 +
Q2
2
2 gA2
2
(8-140)
avendo indicato col pedice 1 le grandezze di una sezione generica e con 2 quella
a valle distante ∆s dalla sezione 1. Ovviamente se si traccia una corrente lenta,
186 Dispense di Idraulica
le grandezze di valle sono note e quelle di monte sono incognite; il contrario
avviene per una corrente veloce.
La portata che fuoriesce in un tratto ∆s è usualmente determinata con la
formula dello stramazzo e risulta quindi:
Q1 − Q2 = µ∆sh' 2 gh'
(8-141)
dove µ è il coefficiente di efflusso che dipende dal particolare stramazzo e h’ è
il carico sullo stramazzo che può essere posto pari a.
h' =
h1 + h2
− hsf
2
(8-142)
Il problema richiede quindi la soluzione, tramite un procedimento iterativo,
del sistema costituito dalle equazioni (8-140), (8-141) e (8-142) nelle incognite
h1, Q1 e h’ se la corrente è lenta, h2, Q2 e h’ se la corrente è veloce.
8.8.2 Canale di gronda
Il canale di gronda è un canale che raccoglie le acque per farle defluire secondo
una direzione voluta come ad esempio le grondaie disposte al piede dello
spiovente di una tettoia. Seguendo lo schema di Figura 8-25, il canale emissario
che raccoglie le acque provenienti dallo sfioratore laterale è anch’esso un canale
di gronda.
Nell’ipotesi di canale cilindrico e di trascurabilità dei termini della
pendenza e delle resistenze, la (8-124) diventa
dS
= ρ qU s
ds
(8-143)
Se l’afflusso di portata avviene in direzione ortogonale alla corrente
principale, la (8-143), scritta diventa
dS
=0
ds
(8-144)
Non è possibile, in questo caso, affrontare il problema a carico costante
poiché il mescolamento tra la corrente principale e quella affluente avviene con
formazione di vortici e quindi con perdite energetiche significative. Per avere
indicazioni sull’andamento qualitativo del profilo si può osservare l’andamento
del grafico della funzione Q=Q(h) a spinta costante (Figura 8-22): nel ramo
delle correnti lente a riduzioni di portata corrisponde un aumento del tirante,
mentre in quello delle correnti veloci si osserva una riduzione dei tiranti (Figura
8-27).
Correnti a superficie libera 187
Figura 8-27
A tale conclusione si può giungere anche scrivendo nell’ipotesi di spinta S
costante, la relazione
dS ∂S dh ∂S dQ
=
+
=0
ds ∂h ds ∂Q ds
(8-145)
∂S
dh
∂Q dQ
=−
∂S ds
ds
∂h
(8-146)
che diventa
Poichè la derivata parziale della spinta S rispetto alla portata Q è sempre
positiva poichè pari a
∂S 2γQ
=
∂Q gσ
(8-147)
la (8-146) permette di asserire che nel caso di correnti lente (∂S/∂h>0), la
corrente risulta caratterizzata da tiranti decrescenti con l’ascissa s; essendo la
portata crescente con s, la velocità aumenta verso valle ovvero la corrente è
accelerata. Nel caso delle correnti veloci (∂S/∂h<0) la corrente presenta tiranti
crescenti con s; per la costanza della spinta, ad una riduzione di tirante segue un
aumento della spinta dinamica ovvero
d  Q2
ρ
ds  A

 < 0

(8-148)
188 Dispense di Idraulica
che diventa
2Q ∂Q Q 2 ∂A
−
<0
gA ∂s gA2 ∂s
(8-149)
ovvero
2
∂Q Q ∂A
−
<0
∂s A ∂s
(8-150)
e cioè
∂V  Q ∂A
 ∂A
2V
+A
<0
−
∂s  A ∂s
 ∂s
(8-151)
fornendo la disequazione
∂V
V ∂A
<
∂s 2 A ∂s
(8-152)
che permette di concludere che la corrente risulta ritardata.
Per determinare quantitativamente il profilo occorre scrivere, per la
costanza della spinta S
(Q + ∆Q )
Q1
Q
= γA2ς 2 + ρ 2 = γA2ς 2 + ρ 1
A1
A2
A2
2
γA1ς 1 + ρ
2
2
(8-153)
avendo indicato col pedice 1 le grandezze di una sezione generica e con 2 quella
a valle distante ∆s dalla sezione 1. Anche, qui in modo ovvio, se si traccia una
corrente lenta, le grandezze di valle sono note e quelle di monte sono incognite,
mentre il contrario avviene per una corrente veloce.
Nota la portata ∆Q che si immette nel tratto ∆s, la (8-153) si risolve tramite
un procedimento iterativo nell’incognita h1, se la corrente è lenta, o
nell’incognita h2, se la corrente è veloce.
8.10. Brusche variazioni di larghezza
In un alveo può verificarsi per cause diverse, la presenza di un improvviso e
localizzato restringimento o allargamento. Si ipotizzi di avere un restringimento
localizzato dalla larghezza B a quella b, in un alveo rettangolare cilindrico
indefinito a monte e a valle come schematicamente indicato nella pianta di
Figura 8-28.
Correnti a superficie libera 189
Figura 8-28
Per determinare il profilo di corrente complessivo relativo al deflusso di
una portata defluente Q, è necessario effettuare un bilancio di energia tra la
sezione 1 subito a monte del restringimento e la sezione 2 subito a valle.
I casi possibili sono:
• alvei a monte e a valle del restringimento entrambi a forte pendenza;
• alvei a monte e a valle del restringimento entrambi a debole pendenza;
• alveo a monte a forte pendenza mentre quello a valle a debole pendenza;
• alveo a monte a debole pendenza mentre quello a valle a forte pendenza.
Si consideri a titolo di esempio il primo caso. Si ipotizzi che la corrente di
moto uniforme di tirante ho1, proveniente da monte si estenda fino al
restringimento. L’uguaglianza dell’energia tra la sezione 1 e 2, trascurando la
differenza di quota geodetica del fondo, si può quindi scrivere
H 1 = h01 +
Q2
Q2
= H 2 + ∆H = h2 +
+ ∆H
2 gBh01
2 gbh2
(8-154)
Nell’ipotesi semplificatica di trascurare la perdita di carico nel
restringimento ∆H, tale equazione ammette soluzione se H1 risulta superiore a
Hcb, valore minimo di energia compatibile col deflusso della portata Q
nell’alveo di larghezza b (Figura 8-29).
190 Dispense di Idraulica
Figura 8-29
In questo caso il profilo di corrente complessivo è di moto uniforme fino al
restringimento e a valle del restringimento di corrente veloce tendente al moto
uniforme con condizione a monte pari a h2. Se tale valore risulta inferiore al
tirante ho2, di moto uniforme dell’alveo di larghezza b il profilo a valle del
restringimento sarà di corrente veloce ritardata (Figura 8-30) altrimenti di
corrente veloce accelerata.
Figura 8-30
Se H1 risulta inferiore a Hcb, nella sezione subito a valle del restringimento
si stabilirà proprio il valore minimo di energia compatibile col deflusso della
portata Q nell’alveo di larghezza b (Figura 8-29). A monte del restringimento si
determinerà quindi un tirante di corrente lenta, hm, che porta alla formazione di
Correnti a superficie libera 191
un risalto a monte del restringimento (Figura 8-31). A valle invece si
determinerà una corrente veloce con condizioni di monte pari al tirante critico
kb, dell’alveo di larghezza b.
Figura 8-31
In questo caso va osservato che la teoria unidimensionale presenta dei limiti
a modellare il fenomeno fisico nel dettaglio poiché in corrispondenza di brusche
deviazioni planimetriche, in particolar modo se la corrente è rapida, si possono
sviluppare fronti d’onda che modificano il campo di moto.
Si lascia al lettore il compito del tracciamento del profilo di corrente negli
altri casi di restringimento e in quelli di allargamento brusco, presentando dal
punto di vista concettuale le stesse complessità.
8.11. Breve restringimento di sezione
Molto spesso ci si trova in presenza di brevi tratti in cui nel canale la sezione
disponibile al deflusso si restringa. E’ questo il caso di un avvicinamento delle
sponde del canale o della presenza nell’alveo di una o più pile ponte.
Si faccia riferimento al canale a pendenza costante i, di sezione rettangolare
di larghezza B, indefinito a monte e a valle nel quale sia stato inserito un breve
tronco a sezione ristretta di larghezza b. La rappresentazione in pianta di tale
canale è riportata in Figura 8-32.
Figura 8-32
192 Dispense di Idraulica
Si ipotizzi che il restringimento di sezione non provochi perdite di carico
localizzate ovvero si ammette che, al passaggio attraverso il restringimento,
l’energia specifica H della corrente si mantenga costante.
Nota la portata defluente Q, l’energia Hu del moto uniforme hu che compete
all’alveo di larghezza B, può essere maggiore o minore di quella minima che
compete alla sezione ristretta di larghezza b. Nel primo caso, ovvero se il
rapporto b/B è di poco inferiore all’unità, si osserverà nel tronco ristretto un
valore del tirante h minore di quello del moto uniforme h0, valutabile
dall’equazione esplicita
H u = h0 +
Q2
2 g (Bh0 )
2
= h+
Q2
2 g (bh )
2
(8-155)
Il profilo che si osserva nel canale è quindi di moto uniforme ad eccezione
del restringimento all’interrno del quale il profilo subisce un abbassamento.
Figura 8-33
Nel caso di rapporto b/B molto inferiore all’unità, il valore di H nella
sezione ristretta sarà proprio pari al minore valore possibile ovvero Hcb (Figura
8-33): nella sezione ristretta il tirante sarà quindi proprio il valore critico kb pari
a
Correnti a superficie libera 193
kb = 3
Q2
gb 2
(8-156)
Il profilo si presenterà quindi di corrente lenta a monte del restringimento e
di corrente veloce a valle (Figura 8-34).
Figura 8-34
Il tirante di corrente lenta hm che si stabilisce a monte del restringimento si
valuta tramite la relazione implicita
hm +
Q2
2 g (Bhm )
2
= kb +
Q2
2 g (bk b )
2
(8-157)
mentre quello di valle di corrente veloce hv si valuta tramite la relazione ancora
implicita
hv +
Q2
2 g (Bhv )
2
= kb +
Q2
2 g (bk b )
2
(8-158)
Per esprimersi sul profilo di corrente che si stabilisce a monte e a valle del
restringimento, è necessario distinguere il caso di alveo a debole pendenza da
quello a forte pendenza.
194 Dispense di Idraulica
Figura 8-35
Nel primo caso a partire da hm verso monte si stabilisce un profilo di
corrente lenta ritardata risultando hm maggiore di h0. A valle invece si avrà un
profilo di corrente veloce ritardata dal tirante hv fino al tirante coniugato nella
spinta di h0 (Figura 8-35).
E’ bene notare che nella Figura 8-35, si è voluto rappresentare il profilo di
corrente nell’intero alveo. La scala delle distanze verticali è quindi diversa da
quella delle altezze orizzontali1 e ciò comporta che il tronco del venturimetro
viene a coincidere con un’unica sezione verticale tratteggiata in figura.
Nel caso di alveo a forte pendenza a partire da hm verso monte si stabilisce
un profilo di corrente lenta ritardata fino, procedendo verso monte, al tirante
coniugato nella spinta di h0 (Figura 8-36); verso valle il profilo a quello di una
corrente veloce ritarda che parte dal valore hv
Figura 8-36
1
Si noti che la pendenza dell’alveo, pur essendo piccola, viene esaltata nella
rappresentazione grafica.
Correnti a superficie libera 195
8.12. Sbocco e imbocco
Lo sbocco di un canale all’interno di un serbatoio a livello invariabile, è uno
schema che si ritrova in molti casi come ad esempio l’immissario di un lago.
Nel caso in cui la corrente subito a monte dello sbocco sia lenta, il moto è
comandato da valle ovvero dal tirante nell’ultima sezione del canale. Se la
differenza di quota, hv, tra la superficie libera nel serbatoio e il fondo del canale
alla sezione di sbocco è maggiore o uguale dell’altezza di stato critico (Figura
8-37), si può scrivere un bilancio di energia tra monte e valle dell’ultima
sezione ovvero
V12
h1 +
= hv + ∆H
2g
(8-159)
indicando con h1 e V1 il tirante e la velocità nella sezione 1 di sbocco del canale
e con ∆H la perdita di energia tra la sezione 1 e quella immediatamente a valle.
In questo caso la dissipazione di energia è pari proprio all’altezza cinetica della
corrente in arrivo, ed è possibile ottenere quindi che
h1 = hv
(8-160)
Figura 8-37
La corrente a monte dello sbocco sarà quindi una lenta accelerata nel caso
di alveo a debole pendenza e contemporaneamente hv minore dell’altezza di
moto uniforme del canale, o una lenta ritardata negli altri casi (alveo a debole
pendenza e contemporaneamente hv maggiore dell’altezza di moto uniforme,
oppure alveo a forte pendenza).
196 Dispense di Idraulica
Se la differenza di quota, hv, tra la superficie libera nel serbatoio e il fondo
del canale alla sezione di sbocco risulta invece minore dell’altezza di stato
critico, si avrà necessariamente il passaggio attraverso lo stato critico proprio
nell’ultima sezione del canale (Figura 8-38): tale situazione è quindi possibile
solo nel caso di alveo a debole pendenza.
Figura 8-38
Nel caso in cui la corrente subito a monte dello sbocco sia veloce, ovvero il
moto sia influenzato da condizioni poste a monte, essa si manterrà tutta veloce
se la differenza di quota, hv, tra la superficie libera nel serbatoio e il fondo del
canale alla sezione di sbocco risulta minore dell’altezza di stato critico. Nel caso
di differenza di quota, hv, maggiore dell’altezza di stato critico, sarà necessario
confrontare la spinta della corrente veloce nell’ultima sezione con quella
relativa alla corrente lenta di tirante hv, per individuare se il risalto avvenga a
monte o a valle della sezione di sbocco.
In numerosi casi si possono verificare situazioni in cui il canale presenta un
imbocco da un serbatoio a livello invariabile assegnato, come un canale di
derivazione di un impianto idroelettrico, un canale di irrigazione o un emissario
di un lago.
In questo caso la portata diventa un’incognita e la condizione di monte
sulla portata defluente è sostituita da una condizione energetica nella prima
sezione del canale: nell’ipotesi di trascurare le perdite di imbocco, la differenza
di quota, H0, tra la superficie libera nel serbatoio e il fondo del canale nella
sezione di imbocco, risulta pari al carico specifico riferito al fondo della sezione
iniziale del canale. In generale il problema si risolve assegnando una portata di
tentativo, Q*, ricostruendo il profilo nel canale con tale portata e verificando che
tra monte e valle dell’imbocco sia verificata la seguente uguaglianza di energia
H 0 = h* +
Q*
2
[ ( )]
2g A h*
2
(8-161)
Correnti a superficie libera 197
dove con h* si è indicato il valore del tirante nella sezione iniziale del canale
ottenuto tracciando il profilo con la portata Q* di tentativo. Nel caso tale
uguaglianza non sia soddisfatta è necessario reiterare il procedimento
ipotizzando una nuova portata. Ovviamente i valori di tentativo della portata
dovranno essere minori del valore massimo per l’assegnato carico specifico H0.
Nel caso esemplificativo di un alveo indefinito a valle che presenta un
imbocco da un bacino a livello invariabile assegnato, è possibile effettuare
alcune considerazioni interessanti.
Figura 8-39
Nell’ipotesi che il canale sia a debole pendenza, il profilo nel canale è di
moto uniforme (Figura 8-39) ed è possibile quindi scrivere il sistema costituito
dalla relazione tra tirante di moto uniforme h0 e portata ovvero una relazione del
moto uniforme (ad esempio quella di Gauckler-Strickler)
2
 A(h0 )  3 12
Q = k GS A(h0 )
 i
 χ (h0 ) 
(8-162)
e dalla relazione di uguaglianza dell’energia a monte e a valle dell’imbocco
H 0 = h0 +
Q2
2 g [A(h0 )]
2
(8-163)
Da tale sistema è possibile ottenere il valore del tirante di moto uniforme h0
e la portata Q*. La risoluzione del sistema è equivalente al procedimento
grafico di intersezione tra la scala di deflusso e il diagramma h=h(Q) ad
assegnato carico specifico H0.
198 Dispense di Idraulica
Figura 8-40
Se il tirante di moto uniforme h0 risulta di corrente lenta (Figura 8-39),
ovvero maggiore del tirante di stato critico k, valutato tramite la relazione
1−
Q*
2
g [ A(k )]
3
B (k ) = 0
(8-164)
l’ipotesi di alveo a debole a pendenza è corretta e i valori di h0 e Q* risultano
corretti.
Se h0 risulta invece un tirante di corrente veloce (Figura 8-41), l’ipotesi di
alveo a debole pendenza non è corretta e il valore di portata Q* è quindi errato.
Correnti a superficie libera 199
Figura 8-41
Ciò vuol dire che l’alveo è a forte pendenza e che quindi si stabilirà un
profilo di corrente veloce accelerata con condizione a monte pari al tirante di
stato critico (Figura 8-42).
Figura 8-42
Il valore della portata effettivamente defluente potrà quindi essere
determinato dalla risoluzione del sistema costituito dalla relazione di
uguaglianza dell’energia a monte e a valle dell’imbocco
200 Dispense di Idraulica
H0 = k +
Q2
2 g [ A(k )]
2
(8-165)
e dalla condizione di stato critico
1−
Q2
g [ A(k )]
3
B (k )
(8-166)
Ovviamente il valore di Q che si ottiene dal sistema è pari al massimo
valore Qmax che può defluire per l’assegnato carico H0 (Figura 8-41). Il valore
del tirante di moto uniforme h0 al quale il profilo tende verso valle, si ottiene
dalla scala di deflusso per Q=Qmax.