Appunti sul moto circolare uniforme e sul moto armonico

Appunti sul moto circolare uniforme e sul moto armonico- Fabbri Mariagrazia
Moto circolare uniforme
Il moto circolare uniforme è il moto di un corpo che si muove con velocità di
modulo costante lungo una traiettoria circolare di raggio 𝑅. Il tempo impiegato dal
corpo per compiere un giro completo è chiamato periodo T . La frequenza è il
numero di giri compiuti nell’unità di tempo f=1/T . Essa si misura in giri al
secondo s-1 ) o Hertz.
Nel caso di moto circolare uniforme il modulo della velocità è costante e il corpo
percorre archi uguali in tempi uguali
𝑣=
2𝜋𝑅
𝑇
La velocità è direttamente proporzionale al raggio. La direzione della velocità è in
ogni istante tangente alla traiettoria e quindi, anche se il modulo della velocità è
costante, la direzione e il verso della velocità variano in continuazione. Si tratta di
un moto accelerato con accelerazione istantanea diretta verso il centro della
traiettoria. Il modulo dell’accelerazione si calcola
𝑎𝑐 =
𝑣2
𝑅
(per la dimostrazione rivedi gli appunti di lezione). Pertanto il moto circolare
uniforme è un moto accelerato
La velocità angolare
La velocità angolare media è il rapporto tra lo
spostamento angolare del corpo e l’intervallo di tempo
impiegato a compiere tale spostamento. Nel caso del
moto circolare uniforme la velocità angolare è costante
𝜔=
∆𝜃
∆𝑡
La velocità angolare si misura in rad/s . Essendo il radiante un numero puro, la
dimensione della velocità angolare è 𝑠 −1 . In un intervallo di tempo uguale al
periodo T il corpo percorre un’intera circonferenza pari a 2𝜋 radianti, quindi la
velocità angolare per un moto circolare uniforme si calcola
𝜔=
2𝜋
𝑇
Da tale relazione si nota che la velocità angolare, a differenza della velocità
tangenziale, non dipende dal raggio della circonferenza. Dal disegno sotto si
osserva che corpi che descrivono angoli al centro uguali in intervalli di tempo
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uguali hanno la stessa velocità angolare, ma percorrono
archi di circonferenza diversi a seconda della loro
distanza dal centro della circonferenza, e quindi hanno
velocità tangenziali diverse. La relazione fra le due
velocità, angolare e tangenziale è:
𝑣 = 𝜔𝑅
L’accelerazione centripeta si può esprimere come
𝑎𝑐 = 𝜔 2 𝑅
Moto armonico semplice
Il moto armonico semplice può essere definito come la proiezione di un moto
circolare uniforme su di un diametro (1° definizione di moto armonico)
Consideriamo un punto Q che si muove con una velocità di modulo costante
lungo una circonferenza di raggio R. Sia 𝜃 l’angolo formato dal raggio OQ con il
verso positivo dell'asse x e 𝜔 la velocità angolare costante con cui Q si muove
lungo la circonferenza. Poiché la velocità angolare è costante, l'angolo 𝜃 è una
aumenta linearmente con il tempo t, infatti se poniamo 𝑡0 = 0 e 𝜃0 = 0
𝜔=
∆𝜃 𝜃
= ⟹ 𝜃 = 𝜔𝑡
∆𝑡 𝑡
Proiettando il la posizione di Q sull’asse delle ascisse, otteniamo:
𝑥(𝑡) = 𝑅𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡
Proiettando lungo l’asse delle ordinate
𝑦 𝑡 = 𝑅𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡
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Le espressioni della velocità e dell'accelerazione del moto armonico si ricavano
proiettando lungo l'ascissa la velocità e l'accelerazione del punto Q nel suo moto
circolare uniforme.
𝑣 𝑡 = 𝑣𝑐𝑖𝑟𝑐𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 +
𝜋
= −𝜔𝑅𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡
2
𝑎 𝑡 = 𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑖𝑝𝑒𝑡𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜋 = −𝜔2 𝑅𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡
Oppure proiettando lungo l'asse delle ordinate la velocità e l'accelerazione del
punto Q nel suo moto circolare uniforme.
𝑣 𝑡 = 𝑣𝑐𝑖𝑟𝑐𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 +
𝜋
= 𝜔𝑅𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡
2
𝑎 𝑡 = 𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑖𝑝𝑒𝑡𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝜋 = −𝜔2 𝑅𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡

la velocità del moto armonico varia con legge sinusoidale ed è sfasata
π
(traslata) di 2 rispetto allo spostamento

l'accelerazione varia ancora con legge cosi sinusoidale come lo spostamento

agli estremi dell’oscillazione la velocità si annulla mentre il modulo
dell'accelerazione risulta massimo

nel centro O dell’oscillazione il modulo della velocità risulta massimo,
mentre l'accelerazione si annulla
Il raggio R del moto circolare uniforme dal quale deriva il moto armonico prende il
nome di elongazione massima e viene abitualmente indicata con 𝐴. La velocità
angolare ω del moto circolare uniforme prende invece il nome di pulsazione del
moto armonico.
Nella realtà fisica il moto armonico non e' legato necessariamente ad un
corrispondente moto circolare uniforme: questo ha costituito per noi soltanto un
comodo modello matematico cui e' possibile ricorrere per studiare le
caratteristiche del moto.
Per trovare quando nella realtà ritroviamo un moto armonico, determiniamo la
forza che lo provoca a partire dal II Principio della Dinamica 𝐹 = 𝑚𝑎
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Poiché nel moto armonico
𝑎 𝑡 = −𝜔2 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡
e
𝑥(𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡
osserviamo che
𝐹 = 𝑚𝑎 = −𝑚𝜔2 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 = −𝑚𝜔2 𝑥(𝑡)
Possiamo riscrivere 𝐹𝑎𝑟𝑚𝑜𝑛𝑖𝑐𝑎 = −𝑘𝑥 dove 𝑘 = 𝑚𝜔2
cioè la forza che provoca un moto armonico è direttamente proporzionale allo
spostamento: si tratta quindi di una forza elastica.
Per esempio un corpo di massa 𝑚 collegato ad una molla di costante elastica 𝑘 se
allontanato dalla sua posizione di equilibrio di un tratto 𝐴 risente di una forza di
richiamo 𝐹 = −𝑘𝑥 e quindi si muove di moto armonico ed oscilla avanti e indietro
di moto armonico con pulsazione 𝜔 =
𝑘
𝑚
ed elongazione massima 𝐴. Anche una
molla fissata al soffitto oscilla in su ed in giù con moto armonico.
Spesso se si considera il moto dell’estremo di una molla si pone l’origine del
sistema di riferimento nella posizione in cui la molla è a riposo. In questo caso la
posizione iniziale (a t=0) corrisponderà a 𝑠(0) = 𝐴, e la corretta equazione del moto
è 𝑥(𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡
A questo punto possiamo fornire tre definizioni equivalenti di moto armonico:



Il moto armonico semplice può essere definito come la proiezione di un
moto circolare uniforme su di un diametro (1° definizione di moto armonico)
Il moto armonico semplice può essere definito come un moto in cui lo
spostamento è direttamente proporzionale all’accelerazione (2° definizione
di moto armonico)
Il moto armonico semplice può essere definito come un moto in cui lo
spostamento varia nel tempo con legge sinusoidale (o cosinusoidale) (3°
definizione di moto armonico)
E’ consigliata la visione del film del PSSC:
https://www.youtube.com/watch?v=m-K2UhFyY0w
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https://www.youtube.com/watch?v=si1i4_UcgLU
Esercizi
1. Un oscillatore armonico possiede una pulsazione   1.05 rad/s; calcola il
periodo e la frequenza dell’oscillazione.
[6.0 s; 0,17 Hz]
2. Una massa attaccata a una molla che si muove orizzontalmente senza attrito
di moto armonico ha, in un certo istante, una velocità di 2.0 m/s; sapendo che
l’ampiezza massima di oscillazione è 0,50 m e che la frequenza è 0,75 Hz,
determina a quale distanza dalla posizione di equilibrio si trova la massa in
quell’istante.
[26 cm]
3. Una massa di 0.120 kg attaccata ad una molla oscilla con un’ampiezza di 7.5
cm e con velocità massima di modulo 0.524 m/s. Determina
a)
b)
c)
d)
La costante elastica
[5.86 N/m]
Il periodo del moto
[0.899 s]
La legge oraria del moto
La sua posizione 0.300 s dal momento in cui inizia l’oscillazione.
4. Determina quale massa deve avere un corpo attaccato ad una molla di
costante elastica di 14 N/m, che oscilla orizzontalmente senza attrito con una
frequenza di 5,6 Hz.
[11 g]
5. Quando una massa di 0.420 kg viene collegata ad una molla, oscilla con
periodo di 0.350 s. Se una seconda massa 𝑚2 è collegata alla stessa molla,
oscilla con un periodo di 0.700 s. Trova la costante elastica della molla e la
massa 𝑚2 .
[135 N/m; 1.68 kg]
6. Determina l’accelerazione massima che può avere un oscillatore armonico di
periodo 3 s e ampiezza 25 cm.
[1,1 m/s2]
7. Determina la costante elastica di una molla, sapendo che ad essa è collegato
un corpo di massa 0,70 kg ed oscilla con una frequenza di 3,2 Hz.
[283 N/m]
8. Determina l’ampiezza di un oscillatore armonico che possiede una velocità
massima pari a 5 m/s e periodo 2,5 s.
[1,99 m]
9. Un pendolo oscilla con frequenza di 2,3 Hz; calcola l’ampiezza dell’oscillazione
sapendo che esso raggiunge una velocità massima pari a 8,3 m/s.
[0,57 m]
10. La frequenza delle piccole oscillazioni di un pendolo è pari a 1,2 Hz.
Determinare la lunghezza.
[17 cm]
11. A una certa latitudine sulla superficie terrestre, un pendolo di lunghezza 5 m
oscilla con periodo di 4,53 s. Calcola il valore dell’accelerazione di gravità in
quel punto.
[9,6 m/s2]
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12. Un pendolo è costruito con un filo di lunghezza 62.7 cm al quale è attaccata
una massa di 250 g. Quando viene messo in moto il pendolo compie
un’oscillazione completa ogni 1.59 s.
a) Qual è il valore dell’accelerazione di gravità?
[9.79 m/s2]
b) Se fermi il pendolo e tagli la corda, quanto tempo occorre perché la massa
cada di 1.00 m?
[0.452 s]
c) Se la massa impiega 0.451 s a cadere di 1.00 m, quanto valgono, in quel
luogo, l’accelerazione di gravità e il periodo d’oscillazione di un pendolo di
lunghezza 50.0 cm?
13.
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