Dinamica dei sistemi - “E. De Giorgi” – Università del Salento

6
DINAMICA DEI SISTEMI DI PUNTI
MATERIALI
Consideriamo un sistema di n punti materiali, con n > 1 , interagenti tra loro e con il resto
dell’universo. Nello studio di un tale sistema risulta conveniente scomporre la forza agente
G
sull’ i − esimo punto nella somma della risultante delle forze esterne Fi ( ext ) e quella delle forze
G
esercitate sul punto da tutte le altre n − 1 particelle Fi ( int ) , dette forze interne:
G G int
G ext
Fi = Fi ( ) + Fi ( ) .
La distinzione tra forze interne ed esterne è totalmente arbitraria in quanto è possibile estrinsecare
dal sistema di n punti materiali uno di questi e considerare tra le forze esterne agenti sulle n − 1
restanti particelle del sistema, la forza esercitata su queste dal punto materiale separato. In accordo
G
con la terza legge di Newton la forza Fij che l’i-esimo punto del sistema esercita sul j − esimo
G
punto è uguale ed opposta alla forza Fji che il j-esimo punto esercita sull’ i − esimo punto:
G
G
Fij = − Fji
i, j = 1, 2,..., n
(6.1)
G
pertanto, benché la risultante delle forze interne agenti sull’ i-esimo punto Fi ( int ) è diversa da zero,
la risultante di tutte le forze interne del sistema è nulla:
G int
G int
G G
F ( ) = ∑ Fi ( ) = ∑ Fij = 0 .
i
(6.2)
i≠ j
Naturalmente la terza legge di Newton si applica anche alle forze esterne,
che però si esercitano tra i punti del sistema e tutti gli altri punti
dell’universo. Fissato un sistema di riferimento inerziale, per l’i-esimo
G
G
punto di vettore posizione ri , soggetto alla forza Fi , definiamo la velocità
G
vi come:
G
G dri
,
vi ≡
dt
G
l’accelerazione ai come:
G
G
G Fi d 2 ri
ai =
= 2 ,
mi dt
G
la quantità di moto pi :
z
O
x
mi
r
vi
r
ri
r
Fi
y
6-2
Dinamica dei sistemi di punti materiali
G
G
pi ≡ mi vi ,
l’energia cinetica Ek i :
1
mi vi2 ,
2
Ek i ≡
G
e il momento angolare Li (rispetto all’origine O del sistema di riferimento):
G G
G
Li ≡ ri × ( mi vi ) .
Inoltre è possibile definire delle grandezze dinamiche pertinenti all’intero sistema, quali la quantità
di moto totale:
G
G
G
p ≡ ∑ pi = ∑ mi vi ,
i
i
il momento angolare totale rispetto ad un polo (ad esempio l’origine O ):
G
G
G G
L ≡ ∑ Li = ∑ ri × pi ,
i
i
e l’energia cinetica totale
1
Ek ≡ ∑ Ek i = ∑ mi vi2 .
i
i 2
6.1
Centro di massa di un sistema di punti
z
Si definisce centro di massa di un sistema di punti materiali il punto
dello spazio il cui vettore posizione è pari a:
G
∑ mi ri
G
rCM ≡
i
∑m
i
CM
=
1
G
mi ri
∑
m i
r
rCM
(6.3)
O
i
y
x
dove
m ≡ ∑ mi
(6.4)
i
è la massa totale del sistema. Qualora la velocità dei punti è diversa da zero, di conseguenza lo sarà
anche la velocità del centro di massa:
Dinamica dei sistemi di punti materiali
6-3
G
G
dr
dr 1
d1
G
G 1
G 1G
vCM = CM =  ∑ mi ri  = ∑ mi i = ∑ mi vi = p ,
dt
dt  m i
dt m i
m
 m i
cioè:
G
G
p = mvCM ,
(6.5)
G
ovvero la quantità di moto totale coincide con la quantità di moto mvCM del centro di massa
assimilato ad un punto materiale di massa pari alla massa totale del sistema (6.4), vettore posizione
G
G
rCM e velocità vCM . Analogamente l’accelerazione del centro di massa è:
G
G
G
dvCM d 2 rCM d 2  1
d 2 ri 1
G
G 1
G
aCM =
=
= 2  ∑ mi ri  = ∑ mi 2 = ∑ mi ai .
2
dt
dt
dt  m i
dt
m i
 m i
Se il sistema di riferimento è inerziale, allora:
G G ext
G int
G
mi ai = Fi = Fi ( ) + Fi ( ) ,
così:
G
G
G
G
1
1
1
G
G 1
aCM = ∑ mi ai = ∑ Fi ( ext ) + Fi (int ) = ∑ Fi ( ext ) + ∑ Fi ( int ) ;
m i
m i
m i
m i
(
)
d’altra parte, dalla (6.2) la somma delle forze interne è nulla, allora:
G
1
G
aCM = ∑ Fi ( ext )
m i
e, posto:
G ext
G ext
F ( ) ≡ ∑ Fi ( ) ,
i
segue:
G ext
G
maCM = F ( ) .
(6.6)
Tale relazione rappresenta l’espressione del teorema del centro di massa il quale afferma che in un
sistema di riferimento inerziale il centro di massa si muove come un punto materiale di massa pari
alla massa totale del sistema di punti sul quale è applicata la risultante delle forze esterne. Infine,
dalle (6.5) e (6.6), se la massa m è costante, si ha:
G
G
G ( ext )
dvCM d
dp
G
G
.
F
= maCM = m
= ( mvCM ) =
dt
dt
dt
Da questa relazione e dalla precedente segue quindi che il moto del centro di massa è determinato
dalle sole forze esterne al sistema; al contrario le forze interne non possono modificare lo stato di
6-4
Dinamica dei sistemi di punti materiali
moto del sistema. In particolare, se il sistema è isolato, dal principio di conservazione della quantità
G
di moto segue che p è costante, quindi se il sistema è isolato, cioè su ciascuna particella che lo
costituisce agiscono solo forze interne, il centro di massa si muove con velocità costante in qualsiasi
sistema di riferimento inerziale.
Esempio: Consideriamo un sistema costituito da due punti, rispettivamente di massa m1
e m2 , situati a distanza d l’uno dall’altro. Considerando un sistema di riferimento con
origine O situata sulla retta congiungente i due punti; dalla (6.3) la posizione del centro
di massa è:
xCM =
m1
O
x1
x
m2
d
x2
m1 x1 + m2 x2
m1 + m2
così, siccome d = x2 − x1 , si ha
xCM = x1 +
m2
d
m1 + m2
cioè, rispetto al centro di massa la posizione del punto di massa m1 è:
xCM − x1 =
m2
d;
m1 + m2
indicando con a e con b rispettivamente le distanze dei punti di masse m1 e m2 dalla posizione del centro di massa,
con:
a≡
m2
d,
m1 + m2
b≡
m1
d,
m1 + m2
segue:
a m2
=
b m1
cioè il centro di massa è situato sul segmento compreso tra due masse ed è prossimo al corpo di massa maggiore. Ad
esempio, nel sistema costituito dalla Terra e dal Sole, considerando che la massa del Sole è di 1.99 × 1030 kg e quella
della Terra è 6.0 × 1024 kg e la reciproca distanza è di 1.5 × 1011 m , il centro di massa si trova a 4.5 × 105 m dal centro del
Sole ossia, poiché il raggio solare è di 7 × 108 m , il centro di massa è all’interno del Sole.
Esempio: Consideriamo un corpo di massa m lanciato orizzontalmente da
G
una quota h con velocità v0 il quale, in volo, si rompe in due frammenti di
masse m1 e m2 . Tale rottura, essendo determinata da forze interne, non
y
h
provoca alcuna variazione della traiettoria del centro di massa, così è possibile
studiare il moto di tale punto con le leggi della cinematica:
A
r
v0
xCM = v0t ,
yCM = h −
1 2
gt .
2
(G )
Imponendo che sia yCM = 0 è possibile stabilire la coordinata di impatto xCM
x1(G)
O
B
xCM (G)
x2(G)
x
Dinamica dei sistemi di punti materiali
6-5
del centro di massa; eliminando la variabile t nelle equazioni precedenti, per yCM = 0 segue t = 2h g e quindi:
(G )
xCM
= v0
2h
g
così, dalla (6.3), siccome la relazione tra xCM e le coordinate dei due frammenti è:
xCM =
1
( m1 x1 + m2 x2 ) ,
m
segue che le corrispondenti coordinate di impatto sono:
x1( G ) =
(G )
mxCM
− m2 x2( G )
,
m1
x2( G ) =
(G )
mxCM
− m1 x1( G )
.
m2
Esempio: Una persona di massa m p è posta ad un’estremità di una barca di massa mb e lunga l . La barca galleggia
sulla superficie dell’acqua e, nel contatto tra la barca e l’acqua, l’attrito può essere considerato trascurabile. In accordo
col sistema di riferimento indicato in figura, ad un certo istante la persona si sposta all’estremità opposta della barca.
Stabiliamo l’ascissa x p′ della persona nella seconda circostanza, relativamente al sistema di riferimento specificato.
Nella situazione iniziale, siccome l’origine O del sistema di riferimento coincide con la posizione x p della persona e
supponendo che il centro di massa della barca sia nel suo centro geometrico, la posizione del centro di massa del
sistema è:
xCM =
m p x p + mb xb
m p + mb
=
mb
l
.
m p + mb 2
Quando la persona ha raggiunto l’altra estremità della barca, il
centro di massa del sistema diventa:
′ =
xCM
xp
xb
O
x
m p x′p + mb xb′ ,
m p + mb
dove x′p − x′ = l quindi, sostituendo si ha:
2
′ = x′p −
xCM
mb
l .
m p + mb 2
x b¢
O
x p¢
x
Poiché sul sistema non agiscono forze esterne, la posizione del centro di massa del sistema non deve essere variata,
ossia xCM
′ ≡ xCM , cioè:
mb
mb
l
l ,
= x′p −
m p + mb 2
m p + mb 2
da cui segue:
x′p =
mb
l = 2 xCM .
m p + mb
Quindi nel passaggio dalla condizione iniziale a quella finale, come la persona si sposta da un estremo all’altro, la barca
retrocede in misura tale da conservare la posizione del centro di massa del sistema.
6-6
6.2
Dinamica dei sistemi di punti materiali
Momento angolare di un sistema di punti
Consideriamo un insieme di punti materiali di masse
G G
G
m1 , m2 ,..., mn e velocità v1 , v2 ,..., vn rispetto ad un sistema
di riferimento inerziale. Posto:
r
m1 v 1
r
r2 ( P)
r
v2
m2
r
r1 ( P)
GP G G
ri ( ) ≡ ri − rP ,
P
z
il momento angolare del sistema rispetto al polo situato nel
punto P è:
G
GP
G
L ≡ ∑ ri ( ) × ( mi vi ) ;
O
x
y
r
rn ( P)
mn
r
vn
i
derivando questa espressione rispetto al tempo si ha:
G
G
 drGi ( P )
dL
G
G( P )  dvi  
= ∑
× ( mi vi ) + ri ×  mi
 .
dt
 dt  
i  dt
(6.7)
G
La derivata dri ( P ) dt è:
G
dri ( P ) G G
= vi − vP
dt
r
vP
P
G G
dove vi e vP sono, rispettivamente, la velocità del punto
di massa m e del polo P rispetto al sistema di
riferimento specificato; inoltre, poiché il sistema di
riferimento è inerziale, segue:
r
rP
z
x
O
r
ri
y
G
G
dvi
G G
mi
= mi ai = Fi ( ext ) + Fi (int ) ,
dt
quindi, sostituendo nella relazione (6.7), si ha:
G
dL
G
G
G
G
G P G ext
G P G int
= ∑ vi × ( mi vi ) − ∑ vP × ( mi vi ) + ∑ ri ( ) × Fi ( ) + ∑ ri ( ) × Fi ( ) =
dt
i
i
i
i
G
G
G ( ext ) G (int )
= − vP × ( mvCM ) + τ
+τ ;
G
G
G
siccome vi × ( mi vi ) = 0 e per la (6.5), dove
G
G
r
ri ( P)
G
τ ( ext ) ≡ ∑ ri ( P ) × Fi ( ext )
i
è il momento delle forze esterne rispetto al polo P e
r
vi
mi
Dinamica dei sistemi di punti materiali
G
6-7
G
G
τ (int ) ≡ ∑ ri ( P ) × Fi (int )
i
è il momento delle forze interne rispetto allo stesso polo. Relativamente ad una qualsiasi coppia di
G
G
particelle mi e m j costituenti il sistema, se Fij e Fji sono, rispettivamente, le forze interne agenti
G
G
su di esse, la somma dei corrispondenti momenti τ i (int ) e τ j ( int ) vale:
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
τ i (int ) + τ j (int ) = ri ( P ) × Fji + rj ( P ) × Fij = ri ( P ) × ( − Fij ) + rj ( P ) × Fij ,
G
G
essendo, dalla (6.1), Fij = − Fji , così risulta:
G (int )
τi
G ( int )
+τ j
G
G
G
= rj ( P ) − ri ( P ) × Fij ;
(
)
G
G
G
d’altra parte, il vettore rj ( P ) − ri ( P ) è parallelo a Fij , così la somma al primo
membro è nulla. Siccome il momento totale delle forze interne di un
G
sistema di particelle τ (int ) è costituito dalla somma di tutti i possibili termini
G
G
τ i (int ) + τ j (int ) , ne segue che indipendentemente dal polo scelto risulta:
G
G
τ (int ) = 0 .
r
F ji
mi
r
r
rj ( P) - ri ( P)
mj
r
ri ( P)
r
rj ( P)
r
F ij
P
(6.8)
Pertanto la derivata del momento angolare vale:
G
G
G
G
dL
= −vP × ( mvCM ) + τ ( ext ) .
dt
(6.9)
G
G
Il termine −vP × ( mvCM ) risulta nullo se il polo P è in quiete nel sistema di riferimento inerziale e
G
G
G G
vP = 0 , oppure se è in quiete il centro di massa del sistema di particelle e vCM = 0 o se il polo
G
G
G
G
coincide col centro di massa e quindi vP = vCM o infine, se vP è parallelo a vCM ; in tutte queste
circostanze la (6.9) diventa:
G
dL G ( ext )
=τ
dt
(6.10)
e l’evoluzione temporale del momento angolare del sistema di punti rispetto al polo P è determinata
dal solo momento delle forze esterne calcolato rispetto allo stesso polo. Nel caso in cui vale la
G
G
G
G
relazione (6.10), ovvero vP × ( mvCM ) = 0 , se il momento delle forze esterne τ ( ext ) è nullo il
G
G
G
momento angolare si mantiene costante. Ciò si verifica se il sistema è isolato, per cui F ( ext ) = 0 e L
G
G
G
G
si conserva rispetto ad ogni polo per cui vP × ( mvCM ) = 0 , oppure se τ ( ext ) è nullo rispetto ad un
G
G
certo polo, malgrado sul sistema agiscono delle forze esterne. Nel primo caso, poiché F ( ext ) = 0 ,
oltre al momento angolare del sistema si conserva anche la sua quantità di moto mentre, in generale,
nel secondo caso questa grandezza non si conserva.
6-8
6.3
Dinamica dei sistemi di punti materiali
Sistema di riferimento del centro di massa
Dato un insieme di particelle, risulta spesso di particolare
mi
z'
r
utilità un sistema di riferimento con origine nel centro di massa
ri ¢
r
z
ri
di tale insieme. Solitamente, assegnato un sistema di riferimento
r
CM
inerziale, è opportuno assumere gli assi coordinati del sistema
rCM
del centro di massa paralleli a quelli del sistema inerziale. Ciò
x'
y'
determina un moto traslatorio del sistema del centro di massa,
O
y
ma non rettilineo uniforme, a meno che non sia nulla la x
risultante delle forze esterne agenti sul sistema di particelle
G
G
F ( ext ) e, di conseguenza, sia nulla l’accelerazione del centro di massa aCM . Indicando con un apice
le grandezze riferite al centro di massa, per l’i-esima particella del sistema risulta:
G G G
ri = ri ′+ rCM
e di conseguenza:
G G G
vi = vi ′+ vCM ,
(6.11)
essendo il moto di trascinamento traslatorio. Ovviamente, in tale sistema risulta:
G
G
′ = 0,
rCM
G
G
′ = 0,
vCM
G
G
′ = 0,
aCM
(6.12)
per cui, dalle relazioni (6.3) e (6.5), si ha:
G
G
∑ m r ′ = 0,
(6.13)
G′ G
m
v
∑ i i = 0,
(6.14)
i i
i
i
e quindi :
G
G
G
p ′= ∑ mi vi ′ = 0 ,
i
cioè la quantità di moto totale del sistema di particelle è nulla se riferita al sistema di riferimento del
centro di massa. Poiché il sistema di riferimento, in generale, non è un sistema inerziale, sui suoi
G
punti agisce la forza fittizia − mi aCM dovuta all’accelerazione di trascinamento dell’origine, ovvero
G
del centro di massa. Pertanto sul generico punto del sistema di massa mi agisce oltre alla forza Fi ,
somma delle forze interne ed esterne, anche tale forza fittizia; quindi l’espressione della seconda
legge di Newton è:
G
G
G
G
G
G
mi ai ′= Fi − mi aCM = Fi ( ext ) + Fi ( int ) − mi aCM .
(6.15)
Dinamica dei sistemi di punti materiali
6-9
Sommando tale relazione per tutti i punti del sistema, dalle espressioni (6.2) e (6.6), si ha:
G
G
∑m a ′ = ∑ F(
i
ext )
i
i
i
G
G
G
G
G
+ ∑ Fi ( int ) − ∑ mi aCM = F ( ext ) − maCM = 0 .
i
i
Peraltro tale risultato segue dalla relazione (6.12). Il momento risultante del sistema, calcolato
rispetto al polo situato nel centro di massa e riferito al sistema del centro di massa è:
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
τ ′ = ∑ ri ′×  Fi ( ext ) + Fi (int ) − mi aCM  = ∑ ri ′× Fi ( ext ) + ∑ ri ′× Fi ( int ) − ∑ ri ′× ( mi aCM ) =
i
i
i
i
G
G
G  G

= τ ′( ext ) + τ ′(int ) −  ∑ mi ri ′  × aCM ;
 i

G
in questa espressione τ ′( int ) è nullo per la (6.8) ed è nullo anche il terzo addendo dalla relazione
(6.13). Ne segue che il momento risultante è dovuto alle sole forze esterne:
G
G G
G
τ ′ = τ ′( ext ) = ∑ ri ′× Fi ( ext ) .
i
Infine, il momento angolare del sistema calcolato rispetto al polo situato nel centro di massa e
riferito al sistema del centro di massa vale:
(
G
G
G
L′ = ∑ ri ′× mi vi ′
i
)
e, derivando rispetto al tempo, si ha:
G
G
 drG ′
dL′
G
G  dv ′  
G
G
G
G
= ∑  i × mi vi ′ + ri ′×  mi i   = ∑ vi ′× mi vi ′ + ∑ ri ′× ( mi a′ )i =

dt
dt   i
i  dt
i



G
G
G
G
G
= ∑ ri ′×  Fi ( ext ) + Fi ( int ) − mi aCM  = τ ′( ext ),
i
(
)
(
)
G
G
perché vi′ e mi vi ′ sono paralleli e per la relazione precedente (6.15). Quindi
G
dL′ G ′( ext )
=τ
dt
ossia, purché come polo si assuma il centro di massa del sistema di particelle, il teorema del
z
momento angolare continua a valere.
r
F21
Esempio: Consideriamo un sistema costituito da due particelle soggette alla sola
mutua interazione, ossia tali che sia nulla la risultante delle forze esterne.
Applicando la seconda legge di Newton si ha:
G
G
dv
m1 1 = F12 ,
dt
G
dv2 G
m2
= F21 ;
dt
r
F12
m1
r
r1
x
m2
r
r2
O
y
6-10
Dinamica dei sistemi di punti materiali
G
G
sottraendo membro a membro queste relazioni, e considerando che dalla (6.1) risulta F21 = − F12 , segue:
 1
d G G
1 G
1 G
1 G
m +m G
( v1 − v2 ) = F12 − F21 =  +  F12 = 1 2 F12 ;
dt
m1
m2
m1m2
 m1 m2 
la velocità:
G
G G
v12 ≡ v1 − v2
è la velocità relativa di m1 rispetto a m2 e quindi:
G
dv
d G G
G
( v1 − v2 ) = 12 ≡ a12
dt
dt
è l’accelerazione relativa corrispondente. Pertanto, posto:
µ≡
m1m2 ,
m1 + m2
detto massa ridotta della coppia di particelle di masse m1 e m2 , segue:
G
G
µ a12 = F12 ;
cioè il moto relativo di due particelle soggette alla loro mutua interazione è equivalente al moto, relativo ad un
osservatore inerziale, di una particella avente massa pari alla massa ridotta e soggetta ad una forza pari alla loro forza di
mutua interazione. Tale schematizzazione consente di ridurre quindi il moto di una coppia di particelle isolate al moto
di una singola particella di massa pari alla massa ridotta del sistema. Inoltre, se m1 << m2 , risulta µ ≈ m1 e così, ad
esempio, nella descrizione del moto di un satellite artificiale attorno alla Terra, è possibile usare la massa del satellite
anziché la massa ridotta del sistema Terra – satellite. D’altra parte, se m1 = m2 , si ha µ = m1 2 , come accade, ad
esempio, nello studio dell’interazione tra una coppia di protoni o, approssimativamente, nello studio dell’interazione tra
un protone e un neutrone.
m1
Esempio: Consideriamo un sistema costituito da due particelle di massa m1 e m2
G
G
e velocità v1 e v2 rispetto ad un sistema di riferimento inerziale. Il vettore
posizione e la velocità del centro di massa valgono rispettivamente:
r
r1
G
G G
v12 = v1 − v2
x'
r
r CM
r
r2 ¢
y'
m2
r
r2
O
Nel sistema del centro di massa le velocità delle due particelle sono:
dove
CM
z
G
G
m r + m2 r1
G
rCM = 1 1
,
m1 + m2
G
G
m1v1 + m2 v2
G
vCM =
.
m1 + m2
G
G
m2
m2 G
G G G
G m v + m2 v2
G G
v1′ = v1 − vCM = v1 − 1 1
=
v12 ,
( v1 − v2 ) =
m1 + m2
m1 + m2
m1 + m2
G
G
m1
m
G G G
G m v + m2 v2
G G
G
v2′ = v2 − vCM = v2 − 1 1
=
( v2 − v1 ) = − 1 v12 ,
m1 + m2
m1 + m2
m1 + m2
z'
r
r1 ¢
x
y
Dinamica dei sistemi di punti materiali
6-11
G
G
è la velocità relativa di una particella rispetto all’altra. Risulta quindi v1′ m2 = −v2′ m1 , cioè le due particelle si muovono
lungo la medesima direzione ma con versi opposti. Le quantità di moto delle due particelle nel sistema del centro di
massa sono:
mm G
G
G
G
p1′ = m1v1′ = 1 2 v12 = µ v12
m1 + m2
mm G
G
G
G
p2′ = m2 v2′ = − 1 2 v12 = − µ v12 ,
m1 + m2
cioè:
G
G
p1′ = − p2′ ,
come consegue, in generale, dal fatto che la quantità di moto totale del
sistema di particelle è nulla se riferita al centro di massa. Quindi, in
questo sistema di riferimento le particelle si muovono con quantità di
moto uguali in modulo e direzione ma opposte in verso.
r
r1
O
m2
r
r2
m1
Esempio: Consideriamo due punti materiali di massa m1 e m2 uguali,
collegati tra loro attraverso una sbarretta rigida di massa trascurabile, che
ruotano senza attrito attorno ad un asse passante per il punto medio della
G
sbarretta con velocità angolare costante ω . Il momento angolare del
sistema rispetto all’origine O , situata nel punto medio è:
G
G
G
G
G
L = m1r12ω + m2 r2 2ω = ( m1r12 + m2 r2 2 ) ω = 2mr 2ω
r
w
m2
r
w¢
r
r1 ¢
r
r2 ¢
O
m1
dove m = m1 , m2 e r = r1 , r2 . Supponiamo che le distanze dei punti dall’asse in un certo istante vengano cambiate e
valgano rispettivamente r1′ e r2′ . Il momento angolare in tale circostanza diventa:
G
G
L′ = 2mr ′2ω ′ .
Su tale sistema le uniche forze agenti sono la tensione della sbarretta e
la forza peso. La prima fornisce ai punti la forza centripeta necessaria
al moto circolare e, trattandosi di forza interna, ha momento nullo. La
seconda ha momento risultante nullo rispetto ad O . Pertanto, siccome
il momento delle forze esterne agenti sul sistema è nullo, segue che il
G G
momento angolare si conserva e L = L′ , da cui si ha:
G
G
2mr 2ω = 2mr ′2ω ′ ,
ovvero:
r
t2
r
T1
m1
r
m1 g
r
r1 ¢
r
t1
m2
r
w¢
O
r
r2 ¢
r
T2
r
m2 g
2
r G
ω′ =   ω ,
 r′ 
G
siccome r ′ > r , segue ω ′ < ω , cioè la rotazione rallenta a seguito dell’allungamento specificato.
Consideriamo un insieme di particelle di masse mi ; in un sistema di riferimento inerziale il
momento angolare rispetto all’origine assunta come polo è:
6-12
Dinamica dei sistemi di punti materiali
G
G
G
G G
G G
L = ∑ ri × ( mi vi ) = ∑ ( ri′ + rCM ) ×  mi ( vi′ + vCM )  =
i
i
i
i
G
G
G
G
G
G
G
G
= ∑ ri′× ( mi vi′ ) + ∑ ri′× ( mi vCM ) + ∑ rCM × ( mi vi′ ) + ∑ rCM × ( mi vCM ) =
i
i
G 
G G
G
G G
G

= L′ +  ∑ mi ri′ × vCM + rCM ×  ∑ mi vi′  + rCM × mvCM ;
 i

 i

e utilizzando le relazioni (6.13) e (6.14) si ottiene:
G G G
G G
G
L = L′ + rCM × ( mvCM ) = L′ + LCM ,
cioè il momento angolare del sistema di punti può esprimersi tramite le grandezze proprie del
sistema di riferimento del centro di massa come somma del momento angolare del sistema di punti
G
rispetto al centro di massa L′ e dal momento del centro di massa rispetto al sistema di riferimento
inerziale. Dall’espressione precedente è possibile osservare che, sebbene per un punto materiale la
nullità della quantità di moto implica la nullità del momento angolare, nel caso di un sistema di
G
G
particelle, se è nulla la quantità di moto del centro di massa mvCM non è in generale nullo L
G
siccome i punti possono essere dotati di moto; viceversa, se L è nullo allora, in generale, non è
G
G
necessariamente nulla la quantità di moto del centro di massa, ma risulta LCM = − L′ .
6.4
Energia di un sistema di particelle
Consideriamo un insieme di n punti materiali di masse m1 , m2 ,..., mn ; il lavoro elementare dWi
G
G
della forza Fi agente sull’ i − esimo punto in corrispondenza di uno spostamento dri vale:
G G
dWi = Fi ⋅ dri ;
(6.16)
G
G
G
decomponendo la forza Fi in somma della forza esterna Fi ( ext ) e della forza interna Fi (int ) si ha:
G G
G
G
G G
G G
G
dWi = Fi ⋅ dri = Fi ( ext ) + Fi (int ) ⋅ dri = Fi ( ext ) ⋅ dri + Fi ( int ) ⋅ dri = dWi ( ext ) + dWi ( int )
(
)
per cui, integrando tale espressione lungo le traiettorie percorse dai punti e sommando su tutti i
punti, si ottiene:
W =W(
ext )
+ W ( ).
int
In particolare il termine dWi (int ) è costituito dalla somma di termini del tipo:
G G G
G G
G G G G G G
G G
Fij ⋅ drj + F ji ⋅ dri = Fij ⋅ drj − Fij ⋅ dri = Fij ⋅ d ( rj − ri ) = Fij ⋅ drij ,
quindi il contributo al lavoro da parte delle forze interne non è, in generale, nullo ed è determinato
dal cambiamento delle distanze mutue tra i punti materiali. Infatti laddove tali distanze restano
Dinamica dei sistemi di punti materiali
6-13
immutate, come accade per un sistema rigido, risulta W ( int ) = 0 . La relazione (6.16) può essere
G
espressa tramite la velocità vi dell’i-esimo punto come:
G G
G G
dWi = Fi ⋅ dri = mi vi ⋅ dvi ,
così, integrando sulle traiettorie e sommando su tutti i punti, si ottiene:
1
1
W = ∑ mi vi2B − ∑ mi vi2A = Ek B − Ek A
i 2
i 2
G
G
in cui vi A e vi B sono, rispettivamente, le velocità dell’ i − esimo punto nella configurazione iniziale
A e nella configurazione finale B e Ek A e Ek B sono, rispettivamente, l’energia cinetica del
sistema nella configurazione iniziale e finale. Così si ottiene:
W ( ext ) + W ( int ) = Ek B − Ek A .
Se le forze interne e quelle esterne sono conservative, i corrispondenti lavori possono essere
espressi come variazione dell’energia potenziale:
W(
ext )
= E p A(
ext )
− E p B(
W(
int )
= E p A(
ext )
int )
− E p B( ) .
,
int
In tale circostanza risulta:
Ek A + E p A( ext ) + E p A( int ) = Ek B + E p B ( ext ) + E p B (int ) ,
ovvero si ha la conservazione dell’energia meccanica del sistema di punti. In presenza di forze non
conservative, se il corrispondente lavoro è W ( nc ) , si ha:
(
) (
)
W ( nc ) = Ek B + E p B ( ext ) + E p B (int ) − Ek A + E p A( ext ) + E p A( int ) .
Si noti che la conservazione dell’energia per il sistema di punti richiede che sia le forze interne che
quelle esterne siano conservative per cui, in un sistema isolato, cioè tale che le forze esterne agenti
sul sistema sono nulle, l’energia meccanica si conserva solo se le forze interne sono conservative.
Anziché riferire l’energia cinetica ad un sistema di riferimento inerziale, risulta spesso utile riferire
tale grandezza al centro di massa. In tale caso dalla relazione (6.11) si ha:
1
1
G G 2
1
G G
2
+ 2vi′ ⋅ vCM )
Ek = ∑ mi vi2 = ∑ mi ( vi′ + vCM ) = ∑ mi ( vi′2 + vCM
i 2
i 2
i 2
1 G
1
1
G G
G G
 2

2
= ∑ mi vi′2 + ∑ mi vCM
+ ∑ mi vi′ ⋅ vCM = Ek′ +  ∑ mi  vCM
+  ∑ mi vi′  ⋅ vCM
2 i
i 2
i 2
i

 i

1 2
= Ek′ + mvCM
= Ek′ + Ek CM ,
2
6-14
Dinamica dei sistemi di punti materiali
dove Ek′ = (1 2 ) ∑ mi vi′2 è l’energia cinetica del sistema di particelle riferita al centro di massa, il
i
2
è l’energia cinetica del centro di massa inteso come un punto materiale
termine Ek CM = (1 2 ) mvCM
G G
la cui massa è data dalla relazione (6.4) e il termine ∑ mi vi′ ⋅ vCM è nullo per la (6.14). La relazione
i
Ek = Ek′ + Ek CM
(6.17)
rappresenta l’espressione del teorema di König.
6.5
Azione di forze su punti diversi di un sistema di punti
Consideriamo un insieme di n punti materiali soggetti alle forze
G G
G
G
O
F1 , F2 , ..., Fn . Il momento τ risultante di tali forze rispetto all’origine
uuuur
assunta come polo O vale:
OO ¢
G G
τ = ∑ ri × Fi
G
r
Fi
r
ri
r
ri ¢
mi
O¢
i
G
dove ri è il vettore posizione condotto dal polo all’ i − esimo punto del sistema. Posto:
JJJJG G G
OO′ ≡ ri − ri′ ,
G
il momento τ ′ rispetto al polo O′ vale:
G
G
G
(G
JJJJG
)
G
G
JJJJG
G
G
G JJJJG
G
τ ′ = ∑ ri′× Fi = ∑ ri − OO′ × Fi = ∑ ri × Fi − OO ′ × ∑ Fi = τ − OO ′ × F
i
i
i
i
G
G
dove F ≡ ∑ Fi è la risultante di tutte le forze agenti sul sistema. Dalla precedente espressione si
i
evince che il momento dipende, in generale, dalla scelta del polo, a meno che la risultante delle
forze agenti sul sistema non sia nulla.
r
F1
Esempio: Consideriamo il sistema costituito da due punti materiali sui
G
G
quali agiscono due forze, F1 e F2 , di uguale intensità, applicate su due
m1
rette parallele e di verso opposto. In questa circostanza si dice che il
G
G
sistema forma una coppia, la cui risultante è nulla, essendo F2 = − F1 . Il
momento rispetto ad un generico polo O vale:
r
F1
r
r1
O
G
G
G
G
G
G
m2
r
F2
τ 1 = r1 × F1 ,
r
t1
r
t
m1
r
Dr
r
r2
τ 2 = r2 × F2 ,
così il momento risultante è:
r
t2
m2
G
r
F2
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
τ = τ 1 + τ 2 = r1 × F1 + r2 × F2 = r1 × F1 − r2 × F1 = ∆r × F1 ,
G G G
essendo ∆r ≡ r1 − r2 . Siccome la risultante delle forze agenti sul sistema è
nulla, tale risultato risulta indipendente dalla posizione del polo. Il modulo
Dinamica dei sistemi di punti materiali
6-15
G
di τ vale:
τ = ∆rF1 sin ϑ = ( ∆r sin ϑ ) F1 ,
r
F1
J
dove quantità
b ≡ ∆r sin ϑ
m1
J
r
Dr
b
m2
r
F2
prende il nome di braccio della coppia e rappresenta la distanza tra le due rette di applicazione delle forze. Pertanto:
τ = bF1 .
Quanto ottenuto nell’esempio precedente è in accordo con la relazione (6.8) secondo la quale il
momento delle forze interne è nullo; ciò in quanto le forze interne costituiscono un insieme di
coppie con braccio di lunghezza nulla per cui il corrispondente momento è nullo rispetto a qualsiasi
polo.
6.6
Generalità sulla dinamica dei sistemi di punti
Abbiamo visto che le equazioni che descrivono il moto di un sistema di punti materiali sono:
G
G ( ext )
dp
G
F
= maCM =
,
dt
G
G ( ext ) dL′
τ′ =
,
dt
G
dove L′ è valutato rispetto al centro di massa del sistema. Tali equazioni stabiliscono l’evoluzione
G
G
temporale del vettori p ed L′ e, per quanto visto, sono tra loro indipendenti; ciò implica che per
una completa descrizione dinamica del sistema di punti occorre conoscere contemporaneamente sia
G
G
la risultante F ( ext ) delle forze esterne agenti sul sistema che la risultante τ ′( ext ) del momento delle
forze esterne rispetto al centro di massa. La variazione di energia cinetica è:
∆Ek = W (
ext )
+W (
int )
;
inoltre, qualora sul sistema agiscano delle forze non conservative, si ha:
∆E = W ( nc ) ,
dove ∆E è la variazione di energia meccanica Ek + E p . Sia il momento angolare che l’energia
cinetica possono essere espresse tramite il moto del centro di massa:
G G G
G
L = L′ + rCM × ( mvCM ) ,
1 2
.
Ek = Ek′ + mvCM
2
Dalle precedenti equazioni derivano tre leggi di conservazione: se la risultante delle forze esterne
agenti sul sistema è nulla, si conserva la quantità di moto totale del sistema; se il momento delle
forze esterne è nullo, si conserva, il momento angolare riferito al centro di massa; se tutte le forze
6-16
Dinamica dei sistemi di punti materiali
agenti sul sistema sono conservative si conserva l’energia meccanica. In generale tali leggi di
conservazione sono indipendenti tra loro.