Teoria del controllo ottimo

Teoria dei sistemi
e del controllo
Controllo ottimo
Teoria del controllo ottimo
Luca Rancati
Ingegneria Aerospaziale
Dato un generico sistema lineare tempo invariante, caratterizzato dalle matrici A,B,C,D, si elabora un controllo proporzionale
allo stato del sistema. Viene descritto il procedimento generale
per arrivare al problema di minimizzazione del funzionale J.
Attraverso una imposizione di vincoli si arriva alla soluzione
dell’equazione di Riccati che completa il problema.
Impostazione del problema
Un generico sistema lineare tempo invariante si scrive in forma matriciale attraverso le seguenti relazioni:
(
ẋ(t) = A x(t) + B u(t)
y(t) = C x(t) + D u(t)
in cui x ∈ <n è il vettore di stato del sistema, u ∈ <m è la variabile di controllo
ed y ∈ <p è la trasformazione dell’uscita del sistema. Si voglia ora applicare al
sistema una legge di controllo puramente proporzionale allo stato del sistema,
in modo da ottenere la seguente relazione:


ẋ(t) = A x(t) + B u(t)
u(t) = K x(t)


ẋ(t) = (A + B K) x(t)
Quello che si vuole fare è caratterizzare i parametri caratteristici del controllo
nel dominio del tempo (t ∈ <); si valuta l’andamento dello stato nel tempo.
Essendo lo stato un vettore, costruisco una funzione scalare fatta in questo
modo:
Z
tf
J=
{x}T {x} dt
(1)
t0
in questo modo mi riconduco ad un unico indice scalare; individuare una legge di
controllo che minimizza J significa rendere i transitori rapidi e smorzati. In un
sistema fisico il vettore di stato di solito contiene variabili disomogenee1 e quindi
1 come
unità di misura
Luca Rancati
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1
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è bene introdurre una matrice Q per ovviare al problema e rendere omogenee le
unità di misura; la funzione diventa:
Z tf
J=
{x}T [Q] {x} dt
(2)
t0
questa funzione scalare dà l’informazione di quanto vale la risposta del sistema
durante il transitorio. Tipicamente in un problema di controllo si vuole ottenere
un sistema stabile, transitori veloci o se sono lenti oscillazioni piccole; questo lo
ottengo minimizzando la funzione J, cioè cercando K che rende minimo J:
Z tf
min (J) = min (
{x}T [Q] {x} dt) : ⇐⇒ : [K]
t0
Se mi limitassi a minimizzare questa funzione otterrei una [K] che renderebbe
veloci i transitori indipandentemente dall’energia di controllo, cioè da quanto
effettivamente sta lavorando il sistema di controllo per soddisfare le specifiche.
Per ovviare a ciò minimizzo questa funzione:
Z tf
J=
({x}T [Q] {x} + {u}T [R] {u}) dt
(3)
t0
cosı̀ minimizzerò anche una parte proporzionale all’energia di controllo; per
completare la scrittura devo considerare anche lo stato finale in quanto si vuole
che esso sia piccolo; quindi minimizzeremo anche questo termine:
Z tf
J = {xf }T [S] {xf } +
({x}T [Q] {x} + {u}T [R] {u}) dt
(4)
t0
per motivi di carattere numerico la funzione scalare J si scrive dividendo tutto
per due:
Z
1
1 tf
J = {xf }T [S] {xf } +
({x}T [Q] {x} + {u}T [R] {u}) dt
(5)
2
2 t0
In questo modo calcolare u di controllo che minimizza J significa ottimizzare il
controllo; questo approccio è detto controllo quadratico perchè la funzione
J è una funzione quadratica del vettore di stato x e del vettore di controllo u.
Si nota subito che la legge di controllo è puramente proporzionale allo stato;
per trovare [K] non guardo la posizione dei poli in anello chiuso ma guardo
il minimo di J che rappresenta la risposta temporale del sistema. Le matrici
[S],[Q] ed [R] devono rispettare le seguenti condizioni:
Condizione 1. [S], [Q]ed[R] devono essere simmetriche
Dimostrazione. Il primo motivo è di tipo puramente matematico; si dimostra
che se non fossero simmetriche non arriverei alla soluzione del problema. Il
secondo motivo è di tipo fisico e logico; ad esempio consideriamo un sistema a
due stati x1 e x2 , e scriviamo {x}T [Q] {x}:
·
¸½ ¾
©
ª a b
x1
x1 x2
= a x21 + b x22 + b x1 x2 + c x1 x2
c d
x2
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2
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ma se dico che il termine x1 x2 ha importanza b e poi c è uguale dire che ha
importanza (b + c)/2 e la matrice [Q] sarebbe:
"
#
(b+c)
a
2
[Q] = (b+c)
d
2
cioè simmetrica. Lo stesso vsle per le altre due matrici.
Condizione 2. [Q], [S] sono semidefinite positive, cioè:
(
[Q] ∈ <(n × n) : ∀ {v} ∈ <n =⇒ {v}T [Q] {v} ≥ 0
[S] ∈ <(n × n) : ∀ {v} ∈ <n =⇒ {v}T [S] {v} ≥ 0
Condizione 3. [R] è definita positiva, cioè:
[R] ∈ <(p × p) : ∀ {v} ∈ <p =⇒ {v}T [R] {v} > 0
Un ulteriore passo è considerare che le variabili che compaiono in 5 non sono
indipendenti ma ho un problema di minimo vincolato ed il vincolo è l’equazione
della dinamica del sistema:
ẋ = A x + B u
Inserisco questo vincolo utilizzando la tecnica dei moltiplicatori di Lagrange ed
ottengo:
J=
1
1
{xf }T [S] {xf } +
2
2
Z
tf
({x}T [Q] {x} + {u}T [R] {u} + 2 λT (ẋ − A x − B u)) dt
t0
(6)
in cui λT è un vettore colonna. Ora eseguiamo le derivate rispetto ogni variabile
presente nella relazione 6 e le poniamo uguali a zero per la ricerca del minimo.
Le derivate sono fatte rispetto a vettori, quindi come risultato ottengo vettori.
Condizione 4. derivata rispetto a λT
∂J
=
∂ λT
Z
tf
(ẋ − A x − B u) dt = 0 =⇒ ẋ − A x − B u = 0 =⇒ ẋ = A x + B u
t0
cioè trovo che nella condizione di ottimo il sistema si comporta come se stesso.
Condizione 5. derivata2 rispetto a uT
∂ JT
=
∂ uT
Z
tf
(R u − B T λ) dt = 0 =⇒ R u − B T λ = 0 =⇒ u = R−1 B T λ
t0
quindi la condizione effettiva di ottimo impone che u sia proporzionale al moltiplicatore λ.
Condizione 6. derivata rispetto a xT
2J
è uno scalare, quindi il trasposto è uguale a J.
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3
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Prima elaboriamo il termine λT ẋ integrando per parti:
Z tf
Z tf
λT ẋ dt = λTf xf − λT0 x0 −
λ̇T x dt
t0
t0
lo metto in J e calcolo:
Z tf
∂ JT
=
(Q x−AT λ−λ̇) dt = 0 =⇒ Q x−AT λ−λ̇ = 0 =⇒ λ̇ = −AT λ + Q x
∂ xT
t0
che è l’altra condizione di ottimo da aggiungere alla dinamica del sistema. La
dinamica del sistema controllato diventa:

T

λ̇ = −A λ + Q x
(7)
u = R−1 B T λ


−1 T
ẋ(t) = A x + B R B λ
che scritto in forma matriciale diventa:
½ ¾ ·
¸½ ¾
ẋ
A B R−1 B T
x
=
λ
Q
−AT
λ̇
Questo sistema non posso integrarlo se non ho una condizione iniziale o finale su
λ. Di solito ho la condizione iniziale per x e la condizione finale per λ che deriva
dall’aver posto nulla la derivata di J rispetto ad xf che è lo stato finale. Volendo
fare un controllo proporzionale allo stato x devo impore che il moltoplicatore λ
sia propozionale ad x ovvero sia:
λ=Px
visto che all’inizio era
u=Kx
Con questa sostituzione il sistema 7 diventa:
(
ẋ = (A + B R−1 B T P ) x
λ = P x =⇒ λ̇ = Ṗ x + P ẋ ≡ −AT P x + Q x
(8)
Dalla seconda equazione ricavo Ṗ :
Ṗ = −AT P + Q − P A − P B R−1 B T P
Equazione di Riccati
(9)
La soluzione di questa equazione è una matrice simmetrica e definita positiva;
risolvere questa equazione significa trovare P e quindi la K ottima per il controllo3 . Per risolverla mi manca la condizione iniziale; Per trovare la condizione
iniziale per P riscrivo la funzione J con le nuove informazioni trovate:
u = R−1 B T P x =⇒ uT R u = (P B R−1 B T P ) x
sostituisco e ottengo:
Z
Z
1
1 tf T
1
1 tf T
J = xTf S xf +
(x Q x+uT R u) dt = xTf S xf +
x (Q+P B R−1 B T P ) x dt
2
2 t0
2
2 t0
3 dalle
condizioni di ottimoè: u = R−1 B T λ = R−1 B T P x =⇒ K = R−1 B T P (t)
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4
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Controllo ottimo
in questa equazione sostituisco al posto di Q quello che ricavo dall’equazione di
Riccati:
Q = Ṗ + AT P + P A + P B R−1 B T P
ottengo:
J=
1 T
1
x S xf +
2 f
2
Z
tf
xT [Ṗ +P (A+B R−1 B T P )+(AT +P B R−1 B T ) P ] x dt
t0
Vedo che per il termine sotto l’integrale vale la seguente proprietà:
Rt
Definizione 1. t0f xT [Ṗ +P (A+B R−1 B T P )+(AT +P B R−1 B T ) P ] x dt =
R tf d T
(x P x) dt
t0 dt
Dimostrazione.
Z tf
d T
(x P x) dt
dt
t0
Z
tf
=
t0
tf
(ẋT P x + xT Ṗ x + xT P ẋ) dt
Z
=
xT (P B R−1 B T P + AT P + P A + P B R−1 B T P −
t0
T
A P − P A + Q − P B R−1 B T P ) x dt
Z tf
=
xT (P B R−1 B T P + AT P + P B R−1 B T P − P A + Ṗ ) x dt
t0
Dimostrato che sono uguali la funzione J si può scrivere come:
Z
1 T
1 tf d T
1
1
t
J = xf S xf +
(x P x) dt = xTf S xf + [xT P x]tf0
2
2 t0 dt
2
2
e quindi:
1 T
1
1
x S xf + xTf Pf xf − xT0 P0 x0
2 f
2
2
Come anticipato in precedenza la condizione al contorno per l’equazione di
Riccati deve essere:
J=
Condizione 7.
∂J
∂ xT
f
= (S + Pf ) xf = 0 =⇒ ∀ xf 6= 0 =⇒ Pf = −S
Con questa condizione posso risolvere l’equazione di Riccati e questa forma
è particolarmente importante se il sistema deve arrivare in un punto preciso ad
un determinato tf . Se si volesse fare un controllo per un tempo sufficientemente
grande da poterlo considerare infinito, allora automaticamente xf deve essere
zero e la funzione J diventa:
Z
1 ∞ T
(x Q x + uT R u) dt Regolatore lineare quadratico: LQR
J∞ =
2 t0
L’equazione di Riccati non è più differenziale ma algebrica in quanto Ṗ = 0 da
cui segue che la matrice K è costante.
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5
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Esempio di applicazione
Ad esempio prendo uno dei coefficienti della matrice P =⇒ P1 . Se il controllo
è fatto per un tempo finito allora l’azionedi controllo per t = tf si esaurisce; cioè
per t = tf trovo la condizione finale per P1 . Se risolvo l’equazione di Riccati
all’indietro, avendo la condizione finale, risalgo alla condizione iniziale e da tf a
t0 devo vedere che l’andamento di P1 (t) sia quello di un sistema asintoticamente
stabile. Tutto questo visto su un tempo lungo porta a concludere che P può
essere considerata costante; o meglio se il transitorio si esaurisce subito rispetto
a tf posso pensare che si tratti di un problema con tf → ∞, cioè risolvo
l’equazione di Riccati algebrica. ora torniamo al sistema che avevamo trovato
in precedenza:
½ ¾ ·
¸½ ¾
ẋ
A B R−1 B T
x
=
T
λ
Q
−A
λ̇
con:
·
¸
A B R−1 B T
[N ] =
=⇒ matrice simplettica
Q
−AT
Quindi in N gli autovalori compaiono a coppie di segno opposto (es. z1 e − z1 ).
Se N ha autovalori distinti posso applicare il seguente metodo: scrivo N come:
[N ] = [U ] [Z] [V ]
in cui U è la matrice degli autovettori di N e V = U −1 ; Z è una matrice diagonale
in cui sulla diagonale vi sono gli autovalori di N . Il sistema diventa:
½ ¾ ·
¸·
¸·
¸½ ¾
ẋ
u11 u12 z1 0
v11 v12
x
=
u
u
0
z
v
v
λ
λ̇
21
22
2
21
22
Posso dire che z1 rappresenta la parte di sistema con autovalori a parte reale negativa, quelli a cui corrisponde soluzione stabile e z2 quelli a parte reale maggiore
di zero a cui corrisponde una soluzione instabile; infatti associo z1 alla dinamica del sistema controllato che è stabile e z2 alla dinamica del moltiplicatore
λ che visto in avanti nel tempo è instabile, all’indietro è stabile analogamente
all’esempio di P1 ; infatti con il moltiplicatore λ ricavo la condizione finale del
controllo e poi integro all’indietro per risalire alla condizione iniziale. Il sistema,
una volta svolti i prodotti tra le matrici divanta:
(
ẋ = u11 z1 (v11 x + v12 λ) + u12 z2 (v21 x + v22 λ)
(10)
λ̇ = u21 z1 (v11 x + v12 λ) + u22 z2 (v21 x + v22 λ)
la cui soluzione è:
(
x(t) = u11 ez1 t (v11 x0 + v12 λ0 ) + u12 ez2 t (v21 x0 + v22 λ0 )
λ(t) = u21 ez1 t (v11 x0 + v12 λ0 ) + u22 ez2 t (v21 x0 + v22 λ0 )
ma visto che il sistema che descrive la dinamica controllata per x deve essere
stabile, significa che il termine con z2 deve essere nullo e cioè:
−1
u12 ez2 t (v21 x0 + v22 λ0 ) = 0 =⇒ v21 x0 + v22 λ0 = 0 =⇒ λ0 = −v22
v21 x0
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6
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Controllo ottimo
Quindi con questo valore per λ0 si annullano nelle due soluzioni i termini
contenenti z2 . Per cui ottengo:
(
(
x(t) = u11 ez1 t (v11 x0 + v12 λ0 )
x(t) = u11 ez1 t b0
=⇒
λ(t) = u21 ez1 t (v11 x0 + v12 λ0 )
λ(t) = u21 ez1 t b0
Ora si ricava:
(
−1
z1 t
u−1
11 b0 x = e
−1
λ = u21 u11 x
=⇒ λ = P x =⇒ P = u21 u−1
11
Ho trovato P soluzione dell’equazione di Riccati in cui compaiono i termini
corrispondenti agli elementi della matrice degli autovettori corrispondenti agli
autovalori a parte reale negativa. Questo era il caso in cui il tempo di controllo
era infinito, stato finale nullo e P costante; nota P è nota la matrice K:
K = R−1 B T P
Però devo ancora vedere come costruire le matrici Q ed R, S lo considero nullo.
Il fatto che R debba essere definita positiva significa pesare tutti gli ingressi del
sistema. 4 Q semidefinita positiva significa che posso dare peso nullo ad una
parte dello stato.
Definizione 2. sistema stabile =⇒ se Q = 0 → non peso lo stato x ⇒ u =
K x ⇒ ∀ R ∈ <(p× p) K = 0 ovvero il sistema non ha bisogno di essere
controllato.
Definizione 3. sistema non stabile =⇒ se Q = 0 → non peso lo stato x ⇒ u =
K x ⇒ ∀ R ∈ <(p× p) K : controllo la parte instabile di sistema.
Ci sono dei criteri per costruire Q e R.
Criterio energetico
Applicazione: Oscillatore armonico
Il modello agli stati di un oscillatore armonico è:
½ ¾ ·
¸½ ¾ ·
¸
© ª
ẋ
0
1
ẋ
0
f
=
+
ẍ
−k/m −c/m
ẍ
1/m
Utilizzare il criterio energetico significa minimizzare l’energia di controllo e l’energia del sistema; l’energia del sistema è data dallo stato e pari alla cinetica
sommata alla potenziale:
·
¸
1
1
k 0
E = m ẋ2 + k x2 =⇒ Q =
0 m
2
2
L’energia di controllo è:
Ec = f 2 =⇒ R = [1] ρ
4 non
ha senso dire che un ingresso non pesa nulla, esso c’è.
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7
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Modello di riferimento
Se al sistema da controllare posso associare un sistema modello che è simile ma
con comportamento voluto, posso cercare di minimizzare la differenza tra le due
dinamiche:
ẋ = A x + B u =⇒ sistema da controllare
x˙m = Am xm + Bm u =⇒
sistema modello di riferimento
Allora nel problema di ottimo su tempo infinito possiamo scrivere la funzion e
J come:
Z ∞
J=
(x˙m − ẋ)T Q̄ (x˙m − ẋ) dt
(11)
0
Sul modello ho una dinamica imposta, che soddisfi le specifiche, facendo cosı̀
forziamo il sistema originale a comportarsi come un altro sistema noto. Sostituendo ottengo:
Z ∞
T
J=
(uT Bm
+ xTm ATm − uT B T + xT AT ) Q̄ (Bm u + Am x − A x − B u) dt
0
Per ricondurmi alla forma:
Z
J=
∞
(xT Q x + uT R u) dt
0
basta porre:

T

Q = (Am − A) Q̄ (Am − A)
R = (Bm − B)T Q̄ (Bm − B)


W = (Bm − B)T Q̄ (Am − A)
otterremo:
Z
J=
∞
(xT Q x + uT R u + 2 uT W x) dt
0
Si nota che:
Definizione 4. 2 uT W x = uT W x + xT W T u
Ora si esegue una trasformazione per eliminare la dipendenza dai termini
misti di questo tipo:
Definizione 5. Definisco u = ū − R−1 W x
cioè dico che l’ingresso u è proporzionale ad una parte libera ū sottratta di
una parte fissata R−1 W x; devo quindi calcolare la ū. La dinamica del sistema
diventa:
ẋ = (A − B R−1 W ) x + B ū
Ora con la nuova espressione di u minimizzo J ottenendo:
Z ∞
J=
(xT Q x + uT R u + xT W T R−1 W x
0
−xT W T R−1 W x − ūT W x − xT W T u+
ūT W x + xT W T u − xT W T R−1 W x) dt
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8
Teoria dei sistemi
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Controllo ottimo
Semplificando si ottiene:
Z ∞
J=
[xT (Q − W T R−1 W ) x + ūT R ū] dt
(12)
0
ed ora questa forma per J sappiamo risolverla; poniamo:
Q̄ = Q − W T R−1 W
e otteniamo:
Z
∞
J=
[xT Q̄ x + ūT R ū] dt
(13)
0
Inserendo i vincoli come prima si trova che nella condizione di ottimo il sistema
si comporta come se stesso; ora la dinamica del sistema è:
ẋ = (A − B R−1 W ) x + B ū ⇒ ẋ = Ā x + B ū ⇒
vincolo
La soluzione per u è analogamente a prima:
ū = R−1 B T P x ⇒ u = R−1 (B T P − W ) x
Cioè posso arrivare ancora all’equazione di Riccati ma con le matrici Ā,B,Q̄ ed
R; trovo cosı̀ K:
K = R−1 (B T P − W )
(14)
con P soluzione dell’equazione di Riccati modificata. Per W = 0 riottengo il
caso precedente.
Funzione J con le uscite
Partiamo sempre dal sistema dinamico lineare a tempo continuo e tempo invariante:
(
ẋ(t) = A x(t) + B u(t)
y(t) = C x(t) + D u(t)
e ad esempio voglio minimizzare le accelerazioni; le accelerazioni non compaiono
nello stato ma nell’uscita è possibile. Allora una possibile forma per la funzione
J è la seguente:
Z
∞
J=
(y T Q̄ y + uT R̄ u) dt
(15)
0
sostituendo y = C x + D u otteniamo:
Z ∞
[xT C T Q̄ C x + uT (R̄ + DT Q̄ D) u + 2 uT (DT Q̄ C) x] dt
J=
0
Questo è analogo al problema visto prima per il modello di riferimento, basta
porre:

T

Q = C Q̄ C
R = R̄ + DT Q̄ D


W = DT Q̄ C
A questo punto si calcola Ā e Q̄ come prima5 , si risolve l’equazione di Riccati
modificata e si trova K. Se il sistema fosse proprio avremmo D = 0 ed il
problema avrebbe solo le matrici Q ed R.
5 dalla
nuova definizione di u
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Teoria dei sistemi
e del controllo
Controllo ottimo
Matrici dei pesi relativi
Un altro modo per ricavare Q̄ e R̄ è quello di costruirle come matrici diagonali
in cui lungo la diagonale vi sono gli inversi dei quadrati del massimo valore
che associo ad una determinata grandezza; questi massimi sono dei valori di
riferimento che utilizzo per dare una forma alle prestazioni del sistema.6 La
forma simbolica di tali matrici è:




1/y12max · · ·
0
1/u21max · · ·
0




..
..
..
..
..
..
[Q̄] = 
e [R̄] = 


.
.
.
.
.
.
0
1/yp2max
···
0
···
1/u2mmax
La funzione J può allora essere scritta nel seguente modo considerando che:
T
y Q̄ y =
p
X
yi2
y2
i=0 imax
Z
∞
J=
p
X
(
0
i=0
e
yi2
yi2max
T
u R̄ u =
+
m
X
j=0
m
X
u2j
2
ujmax
j=0
u2j
u2jmax
) dt
(16)
In questo caso nessuno garantisce che le grandezze non superino i velori massimi
di riferimento; questo non è un problema di minimo vincolato dalle grandezze
di riferimento ma è solo un modo per dare un peso relativo alle grandezze.7
Limitazione del comando
Visto che un generico attuatore ha una sua dinamica interna, sicuramente avrà
una saturazione, ovvero raggiunta la forza massima che può dare resta costante
all’aumantare dell’input. Quindi quello che si vuole ottenere è una limitazione
della forza massima e della rapidità di variazione della stessa. La limitazione
della forza massima era già presente con la matrice R, devo aggiungere un
termine proporzionale ad u̇ ottenendo:
Z ∞
J=
(y T Q y + uT R u + u̇T N u̇) dt
(17)
0
ma se u = K x =⇒ u̇ = k ẋ allora visto che ẋ = A x + B u riesco a legare la
derivata di u alla x e u.
La posizione dei poli in anello chiuso
Avendo visto in generale come si può procedere per ricavare le matrici Q ed R,
è possibile risolvere il problema di ottimo
Z ∞
J=
(xT Q x + uT R u) dt
0
con i metodi visti in precedenza. Dopo la soluzione ho il sistema controllato
da un ingresso proporzionele allo stato attraverso la matrice K; la posizione
6 ad
esempio un limite che pongo all’accelerazione
che se ad esempio yi = yimax nell’integrale ho peso 1
7 dico
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10
Teoria dei sistemi
e del controllo
Controllo ottimo
dei poli in anello chiuso diventa una conseguenza della scelta di Q e R; con
un controllo basato sul posizionamento dei poli imponiamo noi un’inviluppo
esponenziale della risposta e di conseguenza troviamo il comando da dare; nel
problema di ottimo fino ad ora visto siamo in grado di calcolare il comando
ottimo 8 ma perdiamo il concetto di posizione dei poli. Se vogliamo recuperare
l’informazione di decadimento esponenziale della risposta ad esempio eα t cerco
di mettere insieme le due cose. Se cerchiamo risolvere il problema di ottimo
non per lo stato x ma per uno stato x̄ = x eα t , se riusciamo a garantire che
questo nuovo stato sia asintoticamente stabile, visto che la soluzione x lo era,
allora questo stato x̄ sarà più stabile e la risposta sarà contenuta nell’inviluppo
esponenziale. Introduco:
x̄ = x eα t
e
ū = u eα t
Otteniamo:
Z ∞
Z
J=
e2 α t (xT Q x + uT R u) dt =⇒ J =
0
∞
(x̄T Q x̄ + ūT R ū) dt
0
Risolvendo il problema di ottimo per questa funzione troviamo ū = K x̄ legge di
controllo che stabilizza la dinamica di x̄ ma essendo x̄ = x eα t =⇒ x = e−α t x̄
ottengo la seguente dinamica per x̄:
ẋ = A x + B u
quindi:
ma
ẋ = e−α t x̄˙ − α e−α t x̄
e−α t x̄˙ − α e−α t x̄ = A e−α t x̄ + B e−α t ū
x̄˙ = (A + α I) x̄ + B ū
Con queste matrici trovo l’equazione di Riccati e trovo K; Essendo ū = K x̄, la
dinamica in anello chiuso per x̄ diventa:
x̄˙ = (A + α I) x̄ + B ū ⇒ ū = K x̄ =⇒ x̄˙ = (A + α I + B K) x̄
A maggior ragione la x sarà asintoticamente stabile con α che ne identifica il
decadimento esponenziale.
8 relativamente
alla funzione che abbiamo scelto di mimimizzare
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11