Segnale Aspettato e Parametri Termo

RAP TECHNICAL NOTE 003
INFN-LNF, Frascati 29-10-2003
Segnale Aspettato e
Parametri Termo-elastici
A. Marini
Segnale aspettato e parametri termo-elastici
A.Marini
(LNF-INFN)
Introduzione
La presente nota ha lo scopo di derivare nel caso di RAP l’andamento al variare della
temperatura del valore massimo, previsto nel modello termo-acustico di Grassi-Strini et
al.1 (equaz.9,10), dell’ampiezza dei modi n di oscillazione longitudinale di una barra
cilindrica sottile sottoposta al rilascio di energia da parte di un fascio di particelle:
Bn =
1
αl
W (n = 0,1,2...)
(n + 1 / 2)π cv M
(1)
dove α e’ il coefficiente di dilatazione termica lineare, l e’ la lunghezza del cilindro, cv e’
il calore specifico a volume costante, M e’ la massa e W l’energia rilasciata dal fascio
interagente nella barra.
Inoltre sono derivate, sempre nel caso di RAP, gli andamenti al variare della temperatura
dei principali parametri elastici.
I valori assunti per α sono contenuti nel primo paragrafo, gli andamenti dei parametri
elastici nel secondo, quelli dei calori specifici nel terzo ed i valori massimi delle
ampiezze nel quarto.
Nei calcoli e’ stato usato il sistema di unita’ di misura SI.
1
M.A. Grassi-Strini, J.Appl.Phys., 51, 948 (1980)
1
1. Coefficiente di dilatazione termica
Il coefficiente di dilatazione termica lineare α [=d(ln l)/dT)] dell’ alluminio puro e’ noto
da misure dirette fino a T≈2K.
Alle basse temperature e’ usuale identificare in α il contributo dovuto agli elettroni di
conduzione ed il contributo reticolare, la dipendenza dei quali al variare di T e’ data da:
α (T ) = α e (T ) + α ret (T )
= ΓT + BT 3
(2)
Utilizzando la definizione del parametro di Grüneisen:
βBT V
cv
dove β [=d(ln V)/dT)] e’ il coefficiente di dilatazione di volume, B T il bulk module
(inverso della compressibilita’ a temperatura costante χ T [=d(ln p)/dT)]), V il volume
molare e con la posizione valida per l’alluminio:
γ (T ) =
β = 3α
la relazione (2) puo’ essere riscritta nella forma:
1
(γ e cve + γ r cvr )
(2a)
3 BT V
dove con gli indici e,r sono stati indicati i contributi rispettivamente elettronico e
reticolare alle quantita’.
α (T ) =
L’espansione termica dell’ alluminio alla temperatura critica (ed al di sotto) e’ troppo
piccola per essere misurata direttamente. Per lo stato normale e’ possibile una
estrapolazione verso il basso da temperature piu’ alte (tipicamente 2-3 K), mentre per lo
stato superconduttore si puo’ ricorrere ad una derivazione termodinamica basata sulla
dipendenze del campo critico Hc dalla pressione e dalla temperatura.
Inoltre, alla temperatura critica ed al di sotto, si suppone che il contributo reticolare nello
stato normale e superconduttore, pur dipendendo dalla temperatura, non dipende dallo
stato.
2
In conclusione, per il calcolo di α(T) e’ stato utilizzato il seguente metodo:
(a) per i valori di T compresi nell’ intervallo 12 K<T≤300 K il valore di α e’ ottenuto da
interpolazioni effettuate sui dati contenuti nell’ AIP Handbook2;
(b) per i valori di T compresi nell’ intervallo 0 K≤T≤12 K e per l’ alluminio nello stato
normale e’ stata usata la rappresentazione3 (in riferimento alla relazione (2)):
α enorm (T ) = (9.2
+0.1
−0.1
α ret (T ) = (0.264
)T
−0.003
+0.003
)T 3
Incidentalmente, estrapolazioni a T=0 K basate sui precedenti valori forniscono γe≈1.61 e
γret≈2.65, in ottimo accordo con le previsioni teoriche a T=0 K per il parametro di
Grüneisen rispettivamente elettronico e reticolare;
(c) per i valori di T compresi nell’ intervallo 0.3 K≤T≤1.1 K e per l’ alluminio nello stato
superconduttore e’ stata usata la rappresentazione (in riferimento alla relazione (2a)):
α eSC (T ) =
1
γ eSC cve, SC
3 BT V
e,SC
dove per il contributo al calore specifico, cv , nello stato superconduttore da elettroni di
conduzione si rimanda al paragrafo 3, mentre i valori4 di Hc(T,p) consentono il calcolo5 di
e,SC
β (T).
1.1 Grandezze derivate dal coefficiente di dilatazione termica
Una volta noto α (T) e’ possibile calcolare il cambiamento in lunghezza relativo a
T=293.15 K:
∆l
l (T )
(T ) =
−1
l
l(293.15)
e quindi gli andamenti di V(T) e della densita’ ρ(T).
SC
N
Si nota inoltre che per superconduttori di I tipo si ha che V >V ma che per l’alluminio
SC N
5
-7
il rapporto V /V ≈1 con una approssimazione di 10 .
2
American Institute of Physics Handbook, Third Edition.
J.C. Collins et al., J.Low Temp.Phys, 10, 69 (1973)
4
E.F.Harris e D.E.Mapother, Phys.Rev., 165, 522 (1968)
5
A.Marini, in corso di stampa su J.Low Temp.Phys,
3
3
1.2 Tabelle per valori selezionati della temperatura
Tabella 1.1
Alluminio puro;. valore di α
α [K-1]
5.82E-09
8.66E-06
2.24E-05
2.29E-05
T[K]
4.2
77.4
273.15
293.15
Tabella 1.2
Alluminio puro nello stato normale; valore totale di α ed errore derivato dalla
indeterminazione dei parametri
T[K]
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.4
1.7
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
α [K-1]
2.77E-10
3.70E-10
4.63E-10
5.58E-10
6.53E-10
7.50E-10
8.47E-10
9.46E-10
1.05E-09
1.36E-09
1.69E-09
2.05E-09
2.71E-09
3.47E-09
4.35E-09
5.37E-09
4
∆α [K-1]
3.01E-12
4.02E-12
5.04E-12
6.06E-12
7.10E-12
8.15E-12
9.22E-12
1.03E-11
1.14E-11
1.48E-11
1.85E-11
2.24E-11
2.97E-11
3.81E-11
4.79E-11
5.92E-11
Tabella 1.3
Alluminio puro nello stato superconduttore; valore totale di α ed errore derivato dalla
indeterminazione dei parametri
T[K]
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
α [K-1]
-4.46E-09
-3.12E-09
-3.19E-09
-4.19E-09
-5.81E-09
-7.83E-09
-9.99E-09
-1.19E-08
-1.33E-08
∆α [K-1]
3.87E-09
2.16E-09
8.94E-10
2.76E-10
5.19E-10
7.13E-10
5.86E-10
2.50E-10
1.57E-09
Tabella 1.4
Alluminio puro; cambiamento in lunghezza relativo a T=293.15 K
T[K]
4.2
77.4
273.15
293.15
∆l/l
-4.140E-03
-3.924E-03
-4.530E-04
0.0
T[K]
4.2
77.4
273.15
293.15
ρ [kg/m3]
2732.7
2730.9
2702.6
2698.9
Tabella 1.5
Alluminio puro; Densita’
5
1.3 Figure
Figura 1.1 – Alluminio puro; α totale
-2 10-9
-4 10-9
-1
α[K ]
-6 10-9
-8 10-9
-1 10-8
-1.2 10-8
-1.4 10-8
0.2
0.4
0.6
0.8
1
T[K]
Figura 1.3 - Alluminio puro nello stato
superconduttore; contributo elettronico ad
α
Figura 1.2 - Alluminio puro nello stato
normale; contributi elettronico e reticolare
ad α
6
1.
Figura 1.4 - Alluminio puro; ∆l/l
Figura 1.5 - Alluminio puro; ρ
7
2. Parametri elastici
La struttura cristallina dell’ alluminio e’ descritta in approssimazione lineare da tre
“costanti” elastiche: C11, C12, C44..
La dipendenza dalla temperatura delle costanti elastiche per un cristallo di alluminio e’6:
Cij (T ) = Cij0 −
0
s
e
ij
t ij / T
−1
(3)
dove i e’ 1 o 4 e j e’ 1,2 o 4, mentre Cij , sij , tij sono parametri specifici del cristallo, in
particolare per l’alluminio disponibili nel lavoro citato di Varshni.
2.1 Grandezze derivate dalle costanti elastiche
I moduli elastici di un cristallo cubico sono correlati alle costanti elastiche:
Modulo di Young:
E (T ) =
(C11 − C12 )(C11 + 2C12 )
C11 + C12
Bulk Modulus:
B(T ) =
C11 + 2C12
3
ν (T ) =
C12
C11 + C12
Modulo di Poisson:
Dai moduli elastici dipende la velocita’ di propagazione longitudinale e trasversale di
onde acustiche nel materiale:
VL (T ) =
C11
,
ρ
VS (T ) =
C44
ρ
Nel caso di cilindri sottili (r << l) la velocita’ di propagazione del suono e’:
VBAR (T ) =
6
Y.P. Varshni, Phys.Rev., B2, 3952 (1970)
8
E
ρ
I moduli elastici contribuiscono alla definizione delle frequenze di oscillazione
longitudinale, al secondo ordine in r/l, di una barra sottile7:
1/ 2
2
n E 
nπrν   
f =  1 − 0.5
 l   
2l  ρ 

l
n
, (n = 1, 2...)
e delle frequenze di oscillazione flessurale, diponibili in forma di tabulazione8:
fnf /( E / ρ ) vs. 2r / l
E’ da notare infine che la dipendenza da T dei moduli elastici alle basse temperature e’
molto debole.
2.2 Tabelle per valori selezionati della temperatura
E’ disponibile una trattazione9 dei moduli elastici per l’ alluminio isotropo e un fattore di
correzione per il Modulo di Young nel caso di leghe di alluminio.
Tabella 2.1
Modulo di Young
T[K]
4.2
77.4
273.15
293.15
E [GPa]
(Al-isotropo)
78.13
77.71
71.08
70.28
E [GPa]
(Al-lega)
79.70
79.26
72.50
71.69
Tabella 2.2
Bulk Modulus
T[K]
4.2
77.4
273.15
293.15
B [GPa]
(Al-isotropo)
79.70
79.54
76.79
76.45
7
H.J.Paik e R.V.Wagoner, Phys.Rev.D, 13, 2694 (1976)
R.Q. Gram et al.. Rev.Sci.Instr., 44, 857 (1973)
9
R.C.Stiffler, Handbook of elastic properties of solids,liquid and gases, Academic Press, Vol2, 315 (2001)
8
9
Tabella 2.3
Modulo di Poisson
T[K]
ν
(Al-isotropo)
0.337
0.337
0.346
0.347
4.2
77.4
273.15
293.15
Tabella 2.4
Velocita’ di propagazione del suono in barre cilindriche
T[K]
VBAR[m/sec]
Al-lega
5347.1
5334.4
5128.5
5103.1
4.2
77.4
273.15
293.15
Tabella 2.5
Frequenze di risonanza longitudinali (RAP)
T[K]
4.2
77.4
273.15
293.15
f1l [Hz]
5372.5
5358.4
5131.2
5103.1
f2l [Hz]
10437.5
10408.9
9951.9
9895.5
f3l [Hz]
14855.6
14812.0
14117.8
14032.2
f4l [Hz]
18208.1
18148.1
17198.0
17081.1
Tabella 2.6
Frequenze di risonanza flessurali (RAP)
T[K]
4.2
77.4
273.15
293.15
f1f [Hz]
2750.7
2743.5
2628.5
2614.3
f2f [Hz]
5772.4
5757.4
5516.0
5486.1
f3f [Hz]
8947.5
8924.3
8550.0
8503.8
10
f4f [Hz]
10826.3
10798.1
10345.3
10289.3
f5f [Hz]
13110.6
13076.5
12528.1
12460.4
2.3 Figure
Figura 2.1 - Modulo di Young (Al-Lega)
Figura2.2-Modulo di Poisson (Al-Isotropo)
Figura 2.3 - Velocita’ di propagazione del
suono in barre cilindriche (Al-Lega)
11
Figura 2.4 - Variazione relativa del Modulo Figura 2.5 - Frequenza del primo modo di
di Young (Al-Lega); si nota che la oscillazione longitudinale in RAP
variazione e’ in accordo con la misura
mostrata in Fig. 5 del lavoro di P.Carelli et
al.10
10
P. Carelli et al., Cryogenics, 406, July 1975
12
3. Calore specifico
Il calore specifico dell' alluminio puro e' noto fino alle bassissime temperature.
In particolare, al di sotto di T=4 K e fino a 0.3 K sono stati misurati11 i contributi
reticolari e da elettroni di conduzione (nello stato normale) al calore specifico ed al di
sotto di T~1.1 K il contributo da elettroni nello stato superconduttore. Anche in questo
caso si suppone uguale il contributo reticolare nello stato normale e superconduttore del
materiale e si rammenta che cv=cvret+cve.
Inoltre per l' Al5056, nell' intervallo di temperatura 0.1 K≤T≤1.0 K e' disponibile una
misura12 di calore specifico sia nello stato normale che superconduttore, indifferenziata
per le componenti reticolare ed elettronica.
Per il calcolo di cv al variare della temperatura e' stato usato il seguente metodo:
(a) per i valori di T compresi nell’ intervallo 4 K<T≤300 K il valore di cv e’ ottenuto da
interpolazioni effettuate sui dati contenuti nel CRC Handbook of Chemistry and
Physics13;
(b) nel caso dell' alluminio puro per 0.3 K≤T≤1.0 K sono state utilizzate le
pametrizzazioni di Phillips10:
contributo reticolare (0.3 K≤T≤4.0 K )
T
12
c = π 4 R 
5
 TD 
dove R e' la costante dei gas e TD=427.7 K;
3
ret
v
contributo elettronico, stato normale (1.1 K<T≤4.0 K )
cve, norm = ΓT
con Γ=1.35 10-3 J/mol/K2
contributo elettronico, stato superconduttore (0.3K≤T≤1.1K )
cve, SC = 7.1ΓTcrit e
−
1.34 Tcrit
T
con Tcrit=1.163 K
(c) nel caso di Al5056 e' stato effetuato un fit sui dati sperimentali mostrati nella figura 3
del lavoro11 di Coccia e Niniikoski: si fa notare che nel lavoro non sono disponibili le
11
12
13
N.E. Phillips, Phys. Rev.,114, 676 (1959)
E.Coccia e J.Niniikoski, J.Phis.E,16,695(1983)
CRC Handbook of Chemistry and Physics, 73rd Edition
13
funzioni approssimanti i dati sperimentali e che quindi la seguente parametrizzazione
e' sostanzialmente soggettiva e potrebbe non rappresentare al meglio i dati.
stato normale (0.1 K≤T≤1.0 K )
cvnorm = 4.3226 E - 6 + 9.1861E - 5 T
(J/g/K)
stato superconduttore (0.1 K≤T≤1.0 K )
cvSC = - 2.341E - 05 + 1.8402 E - 4 T
- 1.8253E - 4 T 2 + 1.4838 E - 4 T 3
(J/g/K)
3.1 Tabelle per valori selezionati della temperatura
Tabella 3.1
Alluminio puro, valore di cv totale
cv [J mol-1 K-1]
0.7560E-02
0.915E+01
0.237E+02
0.241E+02
T[K]
4.2
77.4
273.15
293.15
Tabella 3.2
Alluminio puro, valore di cv [J mol-1 K-1] alle basse temperature
T[K]
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.4
1.7
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
cvel,norm
4.050E-04
5.400E-04
6.750E-04
8.100E-04
9.450E-04
1.080E-03
1.215E-03
1.350E-03
1.485E-03
1.890E-03
2.295E-03
2.700E-03
3.375E-03
4.050E-03
4.725E-03
5.400E-03
cvret
6.707E-07
1.590E-06
3.105E-06
5.366E-06
8.521E-06
1.272E-05
1.811E-05
2.484E-05
3.306E-05
6.816E-05
1.220E-04
1.987E-04
3.881E-04
6.707E-04
1.065E-03
1.590E-03
14
cvel,SC
6.182E-05
2.265E-04
4.938E-04
8.301E-04
1.203E-03
1.589E-03
1.973E-03
2.346E-03
2.703E-03
3.2 Figure
Figura 3.1 - Alluminio puro; cv totale (T>4 K)
0.001
c
v
SC
--1
-1
[Jmol K ]
0.01
0.0001
10-5
0.1
1
T[K]
Figura 3.2 - Alluminio puro nello stato Figura 3.3 - Alluminio puro nello stato
superconduttore (T≤1.1 K); cv totale
normale (T≤4 K); cv totale
15
-1
-1
[J mol K ]
0.01
c
v
norm
0.001
0.0001
0.1
1
T[K]
Figura 3.4 - Al5056 nello stato normale Figura 3.5 - Al5056 nello stato
(T≤1K); cv totale
superconduttore (T≤1K); cv totale
16
4. Ampiezza aspettata
La (1) e' stata calcolata per n = 0 e per una deposizione di energia W = 10-3 J.
4.1 Tabelle per valori selezionati della temperatura
Tabella 4.1
Alluminio puro; B0 [m]
T[K]
4.2
77.4
273.15
293.15
B0 [m]
1.88E-13
2.31E-13
2.32E-13
2.33E-13
Tabella 4.2
Alluminio puro, stato normale; B0 [m] ed indeterminazioni dei componenti alle basse
temperature (ovvero per T≤1.1 K assenza di effetti superconduttivi, valutati in ambito
macrocroscopico)
T[K]
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.4
1.7
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
B0 elettroni
1.66E-13
1.66E-13
1.66E-13
1.65E-13
1.65E-13
1.65E-13
1.64E-13
1.64E-13
1.63E-13
1.61E-13
1.58E-13
1.55E-13
1.49E-13
1.43E-13
1.36E-13
1.29E-13
∆B0 elettroni
1.81E-15
1.80E-15
1.80E-15
1.80E-15
1.79E-15
1.79E-15
1.78E-15
1.78E-15
1.77E-15
1.75E-15
1.72E-15
1.69E-15
1.62E-15
1.55E-15
1.48E-15
1.40E-15
17
B0 reticolo
4.29E-16
7.62E-16
1.19E-15
1.71E-15
2.32E-15
3.02E-15
3.81E-15
4.69E-15
5.66E-15
9.04E-15
1.31E-14
1.78E-14
2.68E-14
3.69E-14
4.78E-14
5.91E-14
∆B0 reticolo
4.88E-18
8.66E-18
1.35E-17
1.94E-17
2.64E-17
3.44E-17
4.33E-17
5.33E-17
6.43E-17
1.03E-16
1.49E-16
2.02E-16
3.04E-16
4.19E-16
5.43E-16
6.71E-16
Tabella 4.2
Alluminio puro, stato superconduttore; B0 [m] ed indetrminazioni
T[K]
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
B0 elettroni
-1.74E-11
-3.35E-12
-1.57E-12
-1.23E-12
-1.17E-12
-1.20E-12
-1.23E-12
-1.23E-12
-1.19E-12
∆B0 elettroni
1.51E-11
2.32E-12
4.40E-13
8.06E-14
1.05E-13
1.09E-13
7.18E-14
2.57E-14
1.40E-13
B0 reticolo
4.29E-16
7.62E-16
1.19E-15
1.71E-15
2.32E-15
3.02E-15
3.81E-15
4.69E-15
5.66E-15
∆B0 reticolo
4.88E-18
8.66E-18
1.35E-17
1.94E-17
2.64E-17
3.44E-17
4.33E-17
5.33E-17
6.43E-17
Tabella 4.3
Al5056, stato normale; B0 [m] ed indeterminazione (cv per Al5056, α per Al puro; lo stato
normale sta a indicare l'assenza in B 0 di effetti superconduttivi valutati in ambito
macroscopico)
T[K]
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
B0
7.86E-14
8.15E-14
8.35E-14
8.50E-14
8.62E-14
8.72E-14
8.82E-14
8.91E-14
∆B0
8.55E-16
8.86E-16
9.08E-16
9.24E-16
9.38E-16
9.49E-16
9.60E-16
9.70E-16
Tabella 4.4
Al5056, stato superconduttore; B0 [m] (cv per Al5056, α per Al puro)
T[K]
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
B0
-2.09E-12
-9.28E-13
-6.96E-13
-7.11E-13
-7.88E-13
-8.55E-13
-8.82E-13
-8.50E-13
18
∆B0
1.81E-12
6.43E-13
1.95E-13
4.68E-14
7.03E-14
7.78E-14
5.17E-14
1.79E-14
4.2 Figure
Figura 4.1 – Alluminio puro; B0 totale (T> 4 K)
Figura 4.2 - Alluminio puro nello stato Figura 4.3 - Alluminio puro nello stato
normale (T≤4 K); B0 totale
superconduttore (T≤1.1 K); B0 totale
19
Figura 4.4 - Al5056 nello stato normale Figura 4.5 - Al5056 nello stato
(T≤1K); B0 totale
superconduttore (T≤1K); B0 totale
20