I Giochi Simmetrici - Università degli Studi di Milano

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI MILANO
Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
Corso di Laurea Specialistica in Scienze e Tecnologia
dell’Informazione
Metodi e Modelli per il Supporto alle Decisioni
TEORIA DEI GIOCHI:
I GIOCHI SIMMETRICI
Relatore:
Prof. ROBERTO CORDONE
Autore:
ALBERTO CARIONI
ANNO ACCADEMICO 2008-2009
Indice
Elenco delle figure
v
1 La Teoria dei Giochi
1.1 Introduzione . . . . . . .
1.2 I giochi . . . . . . . . . .
1.3 Equilibri di Nash . . . .
1.4 I Giochi Competitivi . .
1.4.1 La Morra Cinese
1.4.2 Pari e dispari . .
1
1
1
3
4
5
5
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2 I giochi simmetrici
9
2.1 Definizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Da 24 a 4 giochi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Esempi Di Giochi Simmetrici
3.1 Tipo 1: il matrimonio perfetto . .
3.2 Tipo 2: la caccia al cervo . . . . .
3.3 Tipo 3: la corsa del coniglio . . .
3.4 Tipo 4: il dilemma del prigioniero
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15
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18
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4 Altri esempi di giochi simmetrici
23
4.1 Gioco Di Coordinamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2 La Guerra Dei Sessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
iii
iv
INDICE
Elenco delle figure
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
Esempio Tabella Giocatore Uno . . . . . . . . . . . .
Esempio Tabella Giocatore Due . . . . . . . . . . . .
Esempio Tabella Unificata . . . . . . . . . . . . . . .
Matrice delle utilità per il primo giocatore . . . . . .
Matrice delle utilità per il secondo giocatore . . . . .
Sovrapposizione delle due matrici . . . . . . . . . . .
Matrice dei pagamenti per il gioco della morra cinese
Matrice Dei Pagamenti Per Il Gioco Pari E Dispari .
Equilibri Di Nash Pari E Dispari . . . . . . . . . . .
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
. 9
. 10
. 11
. 11
2.6
Gioco Simmetrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gioco totalmente simmetrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matrice delle utilità per un generico gioco simmetrico . . . . .
Matrice delle utilità ottenuta sottraendo a12 e a21 . . . . . . .
Matrice totalmente simmetrica ottenuta dalla generica matrice
simmetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Classificazione delle quattro tipologie di gioco simmetrico . . .
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
Tabella del matrimonio perfetto . . . . . . . . .
Equilibri di Nash nel matrimonio perfetto . . .
Tabella della caccia al cervo . . . . . . . . . . .
Equilibri di Nash nella caccia al cervo . . . . . .
Tabella della corsa del coniglio . . . . . . . . . .
Equilibri di Nash nella corsa del coniglio . . . .
Tabella del dilemma del prigioniero . . . . . . .
Equilibrio Di Nash Nel Dilemma Del Prigioniero
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17
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19
20
20
4.1
4.2
4.3
4.4
Tabella Del Gioco Coordinamento . . . . . . . .
Equilibri Di Nash Nel Gioco Di Coordinamento
Tabella Guerra Sessi . . . . . . . . . . . . . . .
Equilibri Di Nash Nella Guerra Dei Sessi . . . .
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2
3
4
4
5
6
6
6
. 12
. 13
vi
ELENCO DELLE FIGURE
Capitolo 1
La Teoria dei Giochi
1.1
Introduzione
La teoria dei giochi ha avuto negli ultimi decenni un enorme sviluppo e un
notevole successo, con applicazioni rilevanti in vari contesti: dall’economia,
alla biologia evolutiva, alla scienza politica, alla programmazione ad agenti.
Questa disciplina analizza le situazioni in cui più decisori si trovano a fare
delle scelte, dal complesso delle quali dipende il risultato finale. Tipicamente,
inoltre, i vari esiti finali possibili sono valutati in modo differente dai decisori
coinvolti. Assunzioni standard sono
• che i decisori siano razionali, ovvero che abbiano preferenze coerenti sull’insieme degli impatti finali potenziali, e che ciascuno cerchi di determinare, per quanto in suo potere, l’esito che maggiormente preferisce
• che i decisori siano intelligenti, ovvero che siano in grado di rappresentare
e analizzare le situazioni che hanno di fronte, che possano formulare
ipotesi ed effettuare deduzioni sul comportamento proprio e altrui.
1.2
I giochi
Un gioco è formalmente definito da:
x ∈ X = X1 × X2 × X3 × . . . × Xn
ω∈Ω
fi : X × Ω → F i ⊆ R i ∈ N
Πi = {(fi , fi0 ) : fi ≥ fi0 } ⊆ Fi × Fi
dove
1
2
La Teoria dei Giochi
• N è l’insieme finito dei giocatori, di cardinalità n
• ogni giocatore i ∈ N ha un insieme non vuoto Xi di mosse attuabili
• Ω è l’insieme degli scenari
• fi (x1 , x2 , . . . , xn , ω) è l’impatto per il giocatore i indotta dalle mosse
x1 , . . . , xn di tutti i giocatori e dallo scenario ω, ed è un numero reale
• ogni giocatore i ha una relazione di preferenza Πi sui possibili impatti
che consiste nel massimizzare il valore dell’impatto stesso
Nel seguito consideriamo giochi con due giocatori, ognuno dei quali ha solo
due mosse, convenzionalmente indicate con cooperare (C) oppure non cooperare
(NC) con l’altro giocatore. Indichiamo f1 e f2 con f e g, X1 e X2 con X e Y .
Il guadagno del primo giocatore si può rappresentare con una tabella simile
a quella mostrata in Figura 1.1, il guadagno del secondo giocatore con una
tabella analoga mostrata in Figura 1.2. Per comodità, le due tabelle possono
essere unificate in una sola (vedi Figura 1.3).
Figura 1.1: Esempio Tabella Giocatore Uno
Figura 1.2: Esempio Tabella Giocatore Due
I concetti di ”cooperazione” e ”non cooperazione” sono etichette generiche,
in parte arbitrarie, che diamo alle due strategie e l’associazione fra etichetta e
strategia dipende dai valori dei guadagni.
1.3 Equilibri di Nash
3
Figura 1.3: Esempio Tabella Unificata
1.3
Equilibri di Nash
Gli equilibri di Nash sono soluzioni dotate di particolare proprietà che li rendono significativi.
Definizione 1.1 (Equilibrio di Nash). Dato il gioco G = (X, Y, f, g), diremo
che (x, y) ∈ X × Y è un equilibrio di Nash per G se:
f(x, y) ≥ f(x, y) per ogni x ∈ X
g(x, y) ≥ f(x, y) per ogni y ∈ Y
Il significato di queste disuguaglianze è il seguente: se le mosse giocate
costituiscono le componenti di un equilibrio di Nash, nessuno dei giocatori
ha interesse a cambiare mossa se tutti gli altri giocatori conservano la propria.
Cioè un equilibrio di Nash esiste se, fissate le mosse degli altri, nessun giocatore
vuole modificare la propria.
In un gioco di coppia, si possono determinare facilmente gli equilibri di
Nash. Si consideri la tabella del primo giocatore e si ponga in ciascuna colonna
una freccia che va dal valore più piccolo al valore più grande, cioè si cerchi
un possibile miglioramento della strategia del primo giocatore. In seguito,
si consideri la tabella del secondo giocatore e si ponga in ciascuna riga una
freccia che va dal valore più piccolo al valore più grande, essa rappresenta un
possibile miglioramento della strategia del secondo giocatore. Sovrapponendo
le due tabelle, se ci sono celle puntate da due frecce, questi sono gli equilibri
di Nash.
Vediamo l’applicazione della metodologia in un esempio. Le Figure 1.4
e 1.5 mostrano una matrice delle utilità per il giocatore uno e il giocatore due,
rispettivamente. Nella Figura 1.6 sovrapponiamo le due matrici e individuiamo
i possibili equilibri di Nash, cioè i punti in cui le frecce si concentrano. In questo
caso la mutua cooperazione è l’unico equilibrio di Nash.
Riprendendo la definizione di equilibrio di Nash e le disuguaglianze precedentemente esposte possiamo vedere che se il giocatore uno giocasse una
4
La Teoria dei Giochi
Figura 1.4: Matrice delle utilità per il primo giocatore
Figura 1.5: Matrice delle utilità per il secondo giocatore
qualunque strategia a sua disposizione diversa dalla prima, a seguito della
scelta del secondo giocatore di giocare la prima strategia, può solo peggiorare
il proprio guadagno, passando da un’utilità di 3 a un utilità di 1, e lo stesso
ragionamento può essere fatto per ogni giocatore e per ogni strategia. Quindi
se i giocatori raggiungono un equilibrio di Nash, nessuno può più migliorare il
proprio risultato modificando solo la propria strategia, ed ciascuno è vincolato
alle scelte degli altri.
1.4
I Giochi Competitivi
Un gioco viene definito competitivo se ogni giocatore sceglie la propria strategia
senza coordinare il proprio comportamento con quello degli altri giocatori.
1.4 I Giochi Competitivi
5
Figura 1.6: Sovrapposizione delle due matrici
1.4.1
La Morra Cinese
La morra cinese è un gioco in cui i giocatori prendono le proprie decisioni
contemporaneamente e quindi senza un reale coordinamento. I due giocatori,
contemporaneamente, scelgono una tra le tre mosse possibili: Sasso (S), Carta
(C) o Forbice (F). Nel confronto, il Sasso batte la Forbice, ma a sua volta il
Sasso viene battuto dalla Carta, le Forbici battono la Carta e scelte identiche
tra i due giocatori portano al pareggio. È abbastanza intuitivo che la strategia
ottimale per entrambi i giocatori, immaginando che ogni giocatore desideri
massimizzare la differenza tra il numero di partite vinte e quelle perse, sia di
scegliere a caso tra le tre mosse. Questa strategia equivale ad estrarre una delle
tre mosse in base ad una legge che attribuisca probabilità 1/3 a ciauscuna di
esse.
Si può rappresentare il gioco con la matrice dei pagamenti (o payoff ) nella
quale:
• 1 corrisponde alla vincita dell’attore che gioca sulle righe
• 0 corrisponde al pareggio
• -1 corrisponde alla perdita del giocatore che gioca sulle righe
La mossa del giocatore 1 corrisponde alla scelta di una riga e quella del
giocatore 2 alla scelta di una colonna (Vedi Figura 1.7).
Nella tabella non vengono riportati entrambi i payoff perchè, essendo la
morra cinese un gioco a somma zero, i payoff per il secondo giocatore sono
opposti a quelli per il primo giocatore.
Nel caso della morra cinese non esiste nessun equilibrio di Nash.
1.4.2
Pari e dispari
Un altro gioco in cui non esiste un equilibrio di Nash è pari e dispari, descritto
nella Lettera Rubata di Edgar Allan Poe. Il gioco funziona nel seguente modo:
6
La Teoria dei Giochi
Figura 1.7: Matrice dei pagamenti per il gioco della morra cinese
il primo giocatore prende alcune palline in mano, il secondo giocatore deve
indovinare se siano in numero pari o in numero dispari; se indovina, vince una
pallina, altrimenti ne perde una. La Figura 1.8 mostra la matrice dei payoff
relativa al gioco.
Figura 1.8: Matrice Dei Pagamenti Per Il Gioco Pari E Dispari
Ricerchiamo gli equilibri di Nash (vedi Figura 1.9).
Figura 1.9: Equilibri Di Nash Pari E Dispari
Il gioco non è simmetrico, e non presenta alcun equilibrio di Nash. Anche
se utilizzassimo la tecnica del minimax non troveremmo nessun equilibrio perché per il primo giocatore il minimo in entrambe le righe nella prima tabella è
1.4 I Giochi Competitivi
7
-1, mentre per il secondo giocatore il minimo di entrambe le colonne nella seconda tabella è ancora -1, quindi i due giocatori non possono simultaneamente
realizzare il proprio minimax.
8
La Teoria dei Giochi
Capitolo 2
I giochi simmetrici
2.1
Definizione
Un gioco viene definito simmetrico quando i due giocatori hanno lo stesso
guadagno in condizioni analoghe, cioè:
fCC = gCC
fN N = gN N
fCN = gN C
fN C = gCN
Le prime due condizioni sonno ovvie. Per le altre due basta ricordare che
ad esempio fCN indica quello che guadagna il giocatore uno se egli collabora
e il giocatore due non collabora, mentre gN C indica quello che guadagna il
giocatore due se il giocatore uno non collabora mentre lui collabora, e quindi
in entrambi i casi si ha il guadagno di un giocatore nel caso che esso collabori
e l’altro tradisca.
Diamo una definizione di gioco simmetrico più rigorosa.
Definizione 2.1 (Gioco simmetrico). Un gioco G = {N, X, u} a due giocatori
N = {1, 2} si dice simmetrico quando X1 = X2 e f1 (x2 , x1 ) = f2 (x1 , x2 ) per
ogni (x1 , x2 ) ∈ X.
Questo corrisponde a dire che la matrice dei payoff del secondo giocatore è la
matrice trasposta della matrice del primo giocatore: B = AT (vedi Figura 2.1).
Figura 2.1: Gioco Simmetrico
Un ulteriore rafforzamento alla simmetria si ha nei giochi totalmente simmetrici (o doubly symmetric), nei quali i due giocatori hanno sempre gli stessi
payoff. In questo caso, A = AT e quindi B = A (vedi Figura 2.2).
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10
I giochi simmetrici
Figura 2.2: Gioco totalmente simmetrico
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CC CN
CN CC
CC NC
NC CC
NC CN
CN NC
CC CN
CN CC
NC NN
NC NN
CN NN
CN NN
CC NN
CC NN
NN NC
NN NC
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CC NN CN
NN CC CN
NN CN CC
CN NN CC
CC NN NC
NN CC NC
CC NC NN
NC CC NN
NC
NC
NC
NC
CN
CN
CN
CN
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NC NN
NN NC
NN CN
CN NN
NN NC
NC NN
NC CN
CN NC
CC CN
CC CN
NC CC
NC CC
CN CC
CN CC
NN CC
NN CC
Tabella 2.1: Elenco dei 24 possibili giochi simmetrici a due giocatori con due
mosse ciascuno
Distinguiamo infine i giochi simmetrici in quantitativi e qualitativi. Nei
giochi quantitativi è l’importo assoluto dei guadagni che conta, mentre nei
giochi qualitativi è solo il loro valore relativo.
2.2
Da 24 a 4 giochi
Un gioco simmetrico qualitativo è completamente determinato dal modo in cui
uno dei giocatori (ad esempio, il primo) ordina i quattro impatti fCC , fCN ,
fN C e fN N . Vi sono quindi tanti giochi simmetrici qualitativi quante sono le
permutazioni di quattro valori: 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 giochi. La Tabella 2.2
elenca i ventiquattro possibili giochi simmetrici a due giocatori e due mosse
per giocatore.
In realtà è possibile dimostrare che esistono solo sei giochi simmetrici.
Infatti si possono:
• scambiare i nomi delle due strategie (per entrambi i giocatori contemporaneamente, altrimenti si perderebbe la simmetria!)
• scambiare i due giocatori (cioè considerare l’ordinamento visto dal secondo giocatore anziché dal primo)
2.2 Da 24 a 4 giochi
11
In entrambi i casi, 12 giochi si trasformano negli altri 12. Applicando una o
entrambe le trasformazioni, 6 giochi si trasformano negli altri 18.
Possiamo scegliere i 6 giochi “standard” assegnando un significato concreto alle due strategie, cioè definendo “cooperativa” la strategia che soccombe
quando giocata contro l’altra e che fornisce i risultati migliori quando giocata
contro sé stessa. Questo corrisponde alle ipotesi N C > CN e CC > N N .
Se poi consideriamo solo gli equilibri di Nash, è possibile dimostrare che
esistono solo quattro tipologie di giochi, di cui due speculari fra loro. Data la
generica matrice dei payoff in Figura 2.3, infatti, se si sottrae la stessa quantità
da tutti gli elementi di una colonna, la posizione degli equilibri non cambia
per nulla (tutte le strategie peggiorano della stessa quantità: non c’è motivo
di cambiare quella scelta).
Figura 2.3: Matrice delle utilità per un generico gioco simmetrico
È lecito quindi sottrarre a21 dalla prima colonna e a12 dalla seconda, ottenendo quindi la matrice di Figura 2.4.
Figura 2.4: Matrice delle utilità ottenuta sottraendo a12 e a21
Rinominando i valori come (a11 − a21 ) = a1 e (a22 − a12 ) = a2 , si ottiene il
gioco totalmente simmetrico di Figura 2.5.
Quindi si possono considerare solo quattro possibili tipologie di giochi simmetrici a due giocatori. Analizziamo le quattro tipologie e i loro rapporti di
dominanza.
1. a1 > 0 e a2 < 0, cioè (a11 − a21 ) > 0 e (a22 − a12 ) < 0: la prima
strategia domina strettamente la seconda per ogni giocatore. In questo
caso, esiste un solo equilibrio di Nash nel punto di mutua cooperazione
(CC). Un esempio di questo gioco sarà il matrimonio perfetto.
12
I giochi simmetrici
Figura 2.5: Matrice totalmente simmetrica ottenuta dalla generica matrice
simmetrica
2. a1 > 0 e a2 > 0, cioè (a11 − a21 ) > 0 e (a22 − a12 ) > 0: ci sono due
equilibri di Nash stretti simmetrici, giacenti sulla diagonale principale e
corrispondenti alle strategie CC e NN. Un esempio di questo gioco sarà
il gioco di coordinamento.
3. a1 < 0 e a2 < 0, cioè (a11 − a21 ) < 0 e (a22 − a12 ) < 0: nessuna strategia
è dominata e ci sono due equilibri di Nash asimmetrici, giacenti sulla
diagonale seondaria della matrice e corrispondenti alle strategie CN e
NC. Esempi di questo gioco sono il gioco di anti-coordinamento e la
guerra dei sessi.
4. a1 < 0 e a2 > 0, cioè (a22 −a12 ) > 0 e (a11 −a21 ) < 0: la seconda strategia
domina strettamente la prima per ogni giocatore. In questo caso, esiste
un solo equilibrio di Nash nel punto di mutua non cooperazione (NN).
Un esempio di questo gioco sarà il dilemma del prigioniero.
La Figura 2.6 mostra una classificazione grafica delle quattro tipologie.
Nel capitolo seguente vedremo un esempio per ciascuno dei quattro tipi
di gioco, e scopriremo che corrispondono a quattro diversi tipi fra i sei prima
elencati. Nel capitolo successivo vedremo gli altri due giochi, scoprendo che
dal punto di vista degli equilibri essi ricadono nelle categorie già viste.
2.2 Da 24 a 4 giochi
Figura 2.6: Classificazione delle quattro tipologie di gioco simmetrico
13
14
I giochi simmetrici
Capitolo 3
Esempi Di Giochi Simmetrici
Questo capitolo espone un esempio per ciascuna delle quattro categorie di
giochi simmetrici.
3.1
Tipo 1: il matrimonio perfetto
Il gioco determinato da:
CC > N C > CN > N N
si chiama Matrimonio perfetto e descrive la situazione in cui più cooperazione
c’è, maggiore è la soddisfazione dei due giocatori. L’ordinamento fra le possibili
situazioni è:
• la cooperazione di entrambi i coniugi (CC) è la situazione migliore
• la seconda miglior situazione è che l’altro coniuge cooperi e io no (NC)
• la terza soluzione è di cooperare con un coniuge che non coopera (CN)
• la situazione peggiore è che entrambi non cooperino (NN)
Per esempio, assegnando i seguenti valori arbitrari agli impatti (fCC = 3,
fN C = 2, fCN = 1 e fN N = 0), si ottiene la tabella del gioco mostrata in
Figura 3.1.
In questo gioco risulta esservi un solo equilibrio di Nash, che corrisponde
alla mutua cooperazione (vedi Figura 3.2), unica strategia non dominata per
entrambi.
15
16
Esempi Di Giochi Simmetrici
Figura 3.1: Tabella del matrimonio perfetto
Figura 3.2: Equilibri di Nash nel matrimonio perfetto
3.2
Tipo 2: la caccia al cervo
Il gioco determinato da:
CC > N C > N N > CN
si chiama caccia al cervo. Il nome deriva da un passo di J.J Rousseau tratto
dal Discorso sull’origine delle disuguaglianze tra gli uomini (1755). L’idea di
Rousseau è che le società umane siano un’evoluzione delle temporanee alleanze
rese necessarie dalla caccia a grandi animali, sui quali un individuo isolato non
potrebbe avere la meglio. Per cacciare un grosso animale, il cervo, è necessario
essere almeno in due ed è richiesta la cooperazione di entrambi i giocatori (o
cacciatori in questo caso); ma mentre si sta cacciando un cervo può capitare
di vedere una lepre, la cui cattura, essendo un animale più piccolo, può essere
condotta da un solo uomo. Il cacciatore viene cosı̀ tentato di lasciare la caccia
al cervo (difficile) per quella alla lepre (semplice): infatti, un cervo è meglio
di una lepre ma una lepre è meglio di niente. La tentazione è rafforzata dal
considerare che anche l’altro cacciatore potrebbe abbandonare la caccia al cervo
se vedesse la lepre.
Il ragionamento di ciascun giocatore si può dunque riassumere nel seguente
modo:
• la situazione migliore è la cooperazione (CC) di entrambi, perchè consente di prendere il cervo
3.2 Tipo 2: la caccia al cervo
17
• se io non cooperassi sarebbe meglio che l’altro continuasse a cooperare
(NC), perchè se non prendessi la lepre potrei tornare a cacciare il cervo
• se il secondo cacciatore non cooperasse sarebbe meglio che anch’io non
cooperassi, perchè cosı̀ anche io avrei la possibilità di prendere una lepre
(NN)
• se il secondo cacciatore non cooperasse la cosa peggiore che potrei fare
sarebbe di continuare a cooperare, perchè certamente non prenderei né
il cervo né la lepre (CN)
Assegnando dei valori arbitrari agli impatti (fCC = 3, fN C = 2, fCN = 0 e
fN N = 1), si ottiene la tabella mostrata in Figura 3.3.
Figura 3.3: Tabella della caccia al cervo
Applicando la metodologia per la ricerca della equilibri di Nash ricaviamo
che in questo gioco esistono due punti di equilibrio (vedi Figura 3.4). Ci sono
Figura 3.4: Equilibri di Nash nella caccia al cervo
dunque due possibilità simmetriche. La mutua cooperazione è un comportamento desiderabile perchè corrisponde a guadagni più alti per entrambi, ma la
mutua non cooperazione è anch’essa un equilibrio ed è meno rischiosa perché
obbedisce al criterio del caso pessimo. Quindi sia la mutua cooperazione che
18
Esempi Di Giochi Simmetrici
la mutua non cooperazione sono comportamenti razionali, e si sceglierà l’una
o l’altra strategia in base ad altri fattori, come il livello di fiducia verso l’altro
giocatore.
3.3
Tipo 3: la corsa del coniglio
Il gioco determinato da:
N C > CC > CN > N N
si chiama corsa del coniglio. Il nome deriva dal film con James Dean Gioventù
Bruciata (1955). Il gioco si basa sulla sfida tra due giovani in cui ognuno guida
un auto (rubata) a tutta velocità verso un precipizio e quello che salta fuori
per primo è un ”coniglio”, nel senso di fifone, e perde.
Questo gioco è conosciuto anche con il nome di falchi e colombe e Bertrand
Russell ne modificò il nome in Il senso comune e la guerra nucleare per descrivere la situazione di tensione tra USA e URSS. Infatti un esempio di questo
gioco nella vita reale si trova nelle sfide, siano esse militari, politiche o economiche. In queste sfide uno dei due contendenti gioca il tutto per tutto nella
speranza che l’altro ceda, rischiando il comune disastro. Esempi storici sono:
la crisi di Cuba, la corsa agli armamenti, lo spiegamento dei missili SS-20 in
Europa, la guerra del Golfo. . .
Il ragionamento di ciascun giocatore si può dunque riassumere nel seguente
modo:
• la situazione migliore è che io non cooperi e l’altro giocatore sı̀ (NC),
perché cosı̀ io vinco e lui è un coniglio
• se io coopero, sarebbe meglio che anche lui cooperasse (CC), perché cosı̀
faremmo entrambi la figura del coniglio
• se lui non coopera, è meglio che io cooperi (CN), perché eviterei di cadere
nel precipizio
• l’ipotesi peggiore è che entrambi non cooperiamo (NN), perchè sarebbe
la mutua distruzione
Assegnando dei valori arbitrari agli impatti (fCC = 2, fN C = 3, fCN = 1 e
fN N = 0), si ottiene la tabella mostrata in Figura 3.5.
Applicando la metodologia per la ricerca degli equilibri di Nash ricaviamo
che in questo gioco esistono due punti di equilibrio (vedi Figura 3.6).
Nonostante esistano ben due equilibri di Nash non esiste una strategia
razionale per il gioco, nel senso che gli equilibri di Nash portano a soluzioni
3.4 Tipo 4: il dilemma del prigioniero
19
Figura 3.5: Tabella della corsa del coniglio
Figura 3.6: Equilibri di Nash nella corsa del coniglio
che sono razionali solo per un giocatore, mentre la simmetria del gioco vuole che
una soluzione sia razionale per entrambi. Questo è un gioco in cui non si vince
(e sembrerebbe anche logico), anche se la mutua collaborazione sembrerebbe
la soluzione meno irrazionale.
3.4
Tipo 4: il dilemma del prigioniero
Il gioco determinato da:
N C > CC > N N > CN
si chiama dilemma del prigioniero. Il nome deriva da una ricerca di Merrill
Flood e Melvin Dresher sulla teoria dei giochi, promossa dalla Rand Corporation (Applicazioni ad una strategia nucleare globale (1950)). Il nome si deve
invece ad Albert Tucker. Il dilemma si basa sulla seguente storia: due ladri,
sospettati anche di un efferato delitto, vengono arrestati e imprigionati in due
celle separate. Il giudice ha prove sufficienti per dimostrare che i due sono colpevoli del reato minore, ma per infliggere una pena più severa avrebbe bisogno
della confessione. Il giudice offre quindi ai due ladri, mantenuti rigorosamente
isolati, uno sconto di pena a chi accettasse di testimoniare contro l’altro (in
tal caso la pena di quest’ultimo aumenterebbe e la propria verrebbe ridotta).
Ogni giocatore vuole minimizzare il tempo da trascorrere in carcere e può scegliere tra due azioni: confessare oppure non confessare, senza sapere che cosa
stia scegliendo l’altro. Chi ha confessato viene considerato un pentito prezioso
e subirà una condanna molto lieve, ma quello che non ha confessato andrà in
carcere per il massimo della pena. Se entrambi confessano avranno, con la
concessione di alcune attenuanti generiche, come pena la reclusione per 5 anni.
20
Esempi Di Giochi Simmetrici
Se entrambi tacciono, saranno imprigionati per un solo anno a causa del solo
reato minore.
Il ragionamento di ciascun giocatore si può dunque riassumere nel seguente
modo:
• la situazione migliore è che io parli e l’altro no (NC), in questo modo
minimizzo la mia pena
• la seconda migliore ipotesi è che nessuno di noi parli (CC), perché cosı̀
entrambi saremmo condannati a una pena lieve
• se l’altro giocatore decide di parlare è meglio che anche io parli (NN),
perché cosı̀ verremmo entrambi condannati a una pena ridotta
• la peggiore delle ipotesi è che solo l’altro parli (CN), perché in questo
modo solo io sarei condannato alla massima pena
Assegnando dei valori arbitrari agli impatti (fCC = 2, fN C = 3, fCN = 0 e
fN N = 1), si ottiene la tabella mostrata in Figura 3.7.
Figura 3.7: Tabella del dilemma del prigioniero
Applicando la metodologia per la ricerca della equilibri di Nash ricaviamo
che in questo gioco esiste un solo punto di equilibrio (vedi Figura 3.8) che
corrisponde alla mutua non cooperazione, unica strategia non dominata.
Figura 3.8: Equilibrio Di Nash Nel Dilemma Del Prigioniero
Benché la soluzione sia necessaria, ad essa si accompagna un dilemma.
Infatti, da un lato la non cooperazione è la sola possibilità razionale in quanto
3.4 Tipo 4: il dilemma del prigioniero
21
non dominata, dall’altro però la cooperazione è più desiderabile (perché fCC >
fN N ). A favore della cooperazione sembra andare il seguente ragionamento:
essendo il gioco totalmente simmetrico il comportamento razionale deve essere
o CC o NN, ed il primo è preferibile al secondo. L’errore sta nel supporre che
sia CC che NN siano possibilità razionali, mentre il problema della teoria dei
giochi sta appunto nel determinare quali siano tali possibilità, e poi scegliere
fra loro. Il dilemma formalizza quindi un conflitto fra razionalità e interesse,
che sembra essere tipico di molte situazioni concrete. Il dilemma del prigioniero
risulta essere in assoluto il gioco più studiato.
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Esempi Di Giochi Simmetrici
Capitolo 4
Altri esempi di giochi
simmetrici
In questo capitolo vengono esposti ulteriori esempi di giochi simmetrici, nella
quale non si richiede più che la cooperazione dell’altro giocatore sia necessariamente vantaggiosa.
4.1
Gioco Di Coordinamento
La descrizione del gioco definito gioco di coordinamento è la seguente: due
agenti devono scegliere simultaneamente la strategia di gioco; pensiamo ad
esempio a due facchini che devono spostare un peso e devono decidere se spingere o tirare, se entrambi facessero lo stesso andrebbe tutto ok, se facessero
l’uno il contrario dell’altro sarebbe solo uno spreco di forze. Se scelgono la stessa strategia il loro payoff è positivo, altrimenti è nullo. Se entrambi scelgono la
strategia A ciascuno prende 5. Se entrambi scelgono la strategia B, ciascuno
prende 10. La tabella del gioco diventerebbe quella mostrata in figura 4.1.
Figura 4.1: Tabella Del Gioco Coordinamento
Applicando la metodologia per la ricerca degli equilibri di Nash ricaviamo
che in questo gioco esistono due punti di equilibrio (vedi Figura 4.2).
23
24
Altri esempi di giochi simmetrici
Figura 4.2: Equilibri Di Nash Nel Gioco Di Coordinamento
Non ci sono quindi strategie dominanti, anche se nel secondo punto di
equilibrio (BB) i giocatori massimizzano la loro soddisfazione.
4.2
La Guerra Dei Sessi
Un altro gioco interessante (determinato da: N C > CN > N N > CC ) si
chiama guerra (o battaglia, o lotta) dei sessi. La descrizione del gioco è la
seguente: due innamorati hanno deciso di trascorrere la serata insieme. Prima
che la batteria del cellulare di lui si scaricasse, i due stavano discutendo animatamente. Lui cercava di convincere lei ad andare a vedere la partita di calcio,
lei invece cercava di portarlo a un balletto classico. Entrambi, comunque, preferiscono uscire insieme piuttosto che rimanere separati, visto che la solitudine
renderebbe non interessante anche lo spettacolo più gradito. Il ragionamento
di ciascun giocatore è il seguente:
• La cosa migliore è che entrambi andassimo dove voglio io (NC)
• La seconda alternativa è che entrambi andassimo dove vuole l’altro,
perché almeno staremmo insieme (CN)
• Se però non ci dovessimo incontrare, sarebbe meglio che ciascuno andasse
dove vuole andare (NN)
• Se non ci dovessimo incontrare, la cosa peggiore sarebbe andare ciascuno
dove vuole l’altro (CC)
Assegnando dei valori arbitrari ai possibili stati di cooperazione e non cooperazione come:
CC = 0
NC = 3
CN = 2
NN = 1
4.2 La Guerra Dei Sessi
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Figura 4.3: Tabella Guerra Sessi
La tabella del gioco diventerebbe quella mostrata in figura 4.3. Applicando
la metodologia per la ricerca degli equilibri di Nash, ricaviamo che in questo
gioco esistono due punti di equilibrio (vedi Figura 4.4).
Figura 4.4: Equilibri Di Nash Nella Guerra Dei Sessi
Gli equilibri di Nash risultano essere nei punti CC e NN. Si noti che, a differenza del dilemma del prigioniero, qui non esiste una soluzione che entrambi
sceglierebbero potendosi parlare, come era (NC,NC) nel dilemma del prigioniero. Questo perché i due hanno visioni diverse. Possiamo tuttavia osservare
che sia NC che CN sono risultati ragionevoli. Prendiamo ad esempio il caso in
cui entrambi finiscano al balletto. Lui potrebbe ragionare nel seguente modo:
se sapessi che lei è andata al balletto sarebbe inutile che io andassi alla partita
da solo; quindi vado anche io al balletto. E ovviamente la stessa cosa la può
pensare lei, e assistere entrambi alla partita.
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Altri esempi di giochi simmetrici