Prima prova scritta di Geometria 1, 1 febbraio 2016 1. i) Dimostrare

Prima prova scritta di Geometria 1, 1 febbraio 2016
1. i) Dimostrare che autovettori v1 , . . . , vn di autovalori distinti λ1 , . . . , λn di un endomorfismo f : V → V sono linearmente indipendenti.
ii) Dimostrare che ogni famiglia v1 , . . . , vn di genitori di uno spazio vettoriale contiene
una base.
2. Usando vettori e ortogonalità, dimostrare:
i) Le due diagonali di un rombo (parallelogramma equilaterale) sono ortogonali.
ii) Il teorema di Talete che l’angolo opposto al diametro di un triangolo iscritto in una
semicirconferenza è un angolo retto.
3. i) Dimostrare che mg (λ) ≤ ma (λ), per ogni autovalore λ di un endomorfismo f :
V → V di uno spazio vettoriale V di dimensione finita.
ii) Sia f : V → V un endomorfismo di uno spazio vettoriale V di dimensione finita e
W un sottospazio di V tale che f (W ) ⊂ W . Se f è triangolarizzabile, dimostrare che
anche la sua restrizione f |W : W → W è triangolarizzabile.
4. Sia V uno spazio vettoriale euclideo. Fissato un vettore v ∈ V , sia φv : V → R
l’applicazione definita da
φv (w) = < v, w >,
per tutti w ∈ V .
i) Dimostrare che φv è lineare (e allora φv ∈ V ∗ ).
ii) Dimostrare che φ : V → V ∗ , φ(v) = φv , è lineare.
iii) Dimostrare che φ è iniettiva e, se la dimensione di V è finita, anche suriettiva e
allora un isomorfismo.
5. i) Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita n. Se k > n, dimostrare che ogni
applicazione multilineare alternante f : V × . . . × V = V k → K è banale (costante zero).
ii) Sia v1 , . . . , vn una base di V . Dimostrare che una funzione determinante D : V ×
. . . × V = V n → K con D(v1 , . . . , vn ) = 1 è unica (dedurre la formula di Leibniz).
6. i) Trovare la forma normale di Jordan della matrice

1 a

A= 0 1
0 0
(in dipendenza dei parametri a e b).

1
b
1
ii) Trovare la forma normale di Jordan della matrice
1
0
A=
0
0

a
1
0
0
b
1
1
0

c
d

1
1
(in dipendenza dei parametri a, b, c e d).
Giustificare le risposte (sia in i) che in ii), non è richiesto di trovare le matrici dei
cambiamenti di base).
Seconda prova scritta di Geometria 1, 23 febbraio 2016
1. i) Dare la definizione della matrice MA
B (f ) = (aij ) di un’applicazione lineare f : V →
W , rispetto a basi A = (v1 , . . . , vn ) di V e B = (w1 , . . . , wm ) di W .
ii) Dimostrare che
MA
B : Hom(V, W ) → M(m × n, K)
è un isomorfismo (lineare, iniettivo e suriettivo), dove MA
B associa a un’applicazione
A
lineare f : V → W la sua matrice MB (f ) rispetto alle basi A di V e B di W .
2. Sia V uno spazio vettoriale unitario di dimensione finita e f : V → V un endomorfismo autoaggiunto. Dimostrare che:
i) ogni autovalore λ di f è reale;
ii) autovettori di autovalori distinti sono ortogonali;
iii) la matrice di f rispetto a una base ortonormale di V è hermitiana;
iv) esiste una base ortonormale di V che consiste di autovettori di f .
3. i) Siano f, g : V → V endomorfismi di uno spazio vettoriale V che commutano
(f ◦ g = g ◦ f ). Sia Autf (λ) un autospazio di f . Dimostrare che g(Autf (λ)) ⊂ Autf (λ).
ii) Siano f, g : V → V endomorfismi autoaggiunti di uno spazio unitario V di dimensione
finita che commutano. Utilizzando il teorema spettrale per endomorfismi autoaggiunti,
dimostrare che esiste una base ortonormale di V di autovettori communi di f e g (cioè,
f e g sono diagonalizzabili simultaneamente).
4. Sia A la matrice

1
0
A =  −1 0
0 −1

0
1
1
su un campo K. Trovare se A è diagonalizzabile o triangolarizzabile sui campi K =
R, C, Z2 e Z7 . Se A è diagonalizzabile, indicare la forma diagonale di A.
5. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita, V ∗ = Hom(V, K) lo spazio duale
e V ∗∗ = (V ∗ )∗ = Hom(V ∗ , K) lo spazio biduale di V . Per v ∈ V , sia τv : V ∗ → K
definita da
τv (φ) = φ(v),
per ogni φ : V → K in V ∗ . Dimostrare che:
i) τv : V ∗ → K è lineare (e allora τv è un elemento di V ∗∗ ).
ii) τ : V → V ∗∗ , definita da τ (v) = τv , è lineare.
iii) τ : V → V ∗∗ è un isomorfismo.
6. i) Trovare la forma normale di Jordan della matrice
2
0
A=
0
0

a
2
0
0

1 b
0 1
,
2 c
0 2
in dipendenza dei parametri a, b e c (giustificare la risposta).
ii) In ogni caso, trovare una base di Jordan.
Terza prova scritta di Geometria 1, 22 giugno 2016
1. Sia (vi )i∈I una base di uno spazio vettoriale V , per un insieme di indici I arbitrario,
e siano vi∗ ∈ V ∗ tale che vi∗ (vj ) = δij (simbolo di Kronecker).
i) Dimostrare che i vettori vi∗ , i ∈ I, sono linearmente indipendenti.
ii) Dimostrare che i vettori vi∗ , i ∈ I, non generano V ∗ se V ha dimensione infinita.
2. Sia V uno spazio vettoriale unitario di dimensione finita e f : V → V un endomorfismo unitario. Dimostrare che:
i) ogni autovalore di f ha valore assoluto 1, e dedurre da questo che f è un isomorfismo;
ii) autovettori di autovalori distinti sono ortogonali;
iii) la matrice di f rispetto a una base ortonormale di V è unitaria;
iv) esiste una base ortonormale di autovettori di f .
3. i) Dato un elemento ā 6= 0̄ in Zp , per un numero primo p, dimostrare che l’applicazione
φ : Zp → Zp , φ(x̄) = āx̄, è iniettiva.
ii) Dimostrare che ogni elemento ā 6= 0̄ in Zp ha un elemento inverso rispetto al prodotto.
4. i) Scrivere la formula che definisce i coefficienti della matrice MA
B (f ) = (aij ) di
un’applicazione lineare f : V → W , rispetto a basi A = (v1 , . . . , vn ) di V e B =
(w1 , . . . , wm ) di W .
ii) Sia anche g : W → U lineare e C = (u1 , . . . , uk ) una base di U . Dimostrare che
B
A
MA
C (g ◦ f ) = MC (g)MB (f ).
5. Trovare le forme normali di Jordan delle matrici (senza il



1 a 1
1 a 1
0 1 0
A = 0 1 b e B = 
0 0 1
0 0 1
0 0 0
cambiamento di base)

b
1
,
c
1
in dipendenza dei parametri a, b e c.
6. i) Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita e f : V → W lineare. Dimostrare
la formula di dimensions per applicazioni lineari:
dim(V ) = dim(Kerf ) + dim(Imf ).
ii) Siano W1 e W2 sottospazi di uno spazio vettoriale W di dimensione finita, e sia f :
W1 × W2 → W l’applicazione lineare f (w1 , w1 ) = w1 − w2 . Determinare (le dimensioni
del) nucleo e immagine di f , poi dedurre da i) la formula di dimensione per sottospazi:
dim(W1 + W2 ) = dim W1 + dim W2 − dim(W1 ∩ W2 ).