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I solidi a superficie curva
PROPRIETÀ. Un punto che ruota attorno ad un asse determina una
circonferenza.
PROPRIETÀ. Una linea, un segmento o una retta che ruotano
attorno ad un asse determinano una superficie curva.
DEFINIZIONE. La superficie curva viene detta superficie di
rotazione; la retta a asse di rotazione; la linea g generatrice della
superficie di rotazione.
Area 2 - Capitolo 3 - PAG. 180
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Il cilindro
DEFINIZIONE. Si dice cilindro il solido generato dalla rotazione
completa di un rettangolo attorno ad uno dei suoi lati.
Analizzando la figura rileviamo che:
 il lato AD attorno al quale ruota il rettangolo rappresenta l’asse di
rotazione e costituisce l’altezza del cilindro;
 il lato BC, opposto a quello di rotazione, genera una superficie detta superficie laterale del
cilindro;
 la rotazione dei lati AB e CD genera due cerchi che costituiscono le due superfici di base del
cilindro (o semplicemente basi); tali lati rappresentano i raggi delle basi.
Area 2 - Capitolo 3 - PAG. 180
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2
L’area delle superfici del cilindro
REGOLA. L’area della superficie laterale del cilindro è data dal
prodotto della lunghezza della circonferenza di base per la misura
dell’altezza.
Ricordando che
C  2   r
Al 
 2   r  h

Area 2 - Capitolo 3 - PAG. 181
avremo:
r
Al
2   h

h
Al
2   r
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L’area delle superfici del cilindro
REGOLA. L’area della superficie totale del cilindro è data dalla somma
dell’area della superficie laterale con l’area delle due basi. In simboli:
At  Al  2 Ab
Da questa formula possiamo ricavare le due formule inverse:

Al  At  2  Ab

Ab 

Area 2 - Capitolo 3 - PAG. 181
At  Al
2
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Il volume del cilindro
REGOLA. Il volume del cilindro è dato dal prodotto dell’area del
cerchio di base per la misura dell’altezza. In simboli:
V  Ab  h
Essendo
Ab    r 2

 Da
possiamo scrivere:

questa formula possiamo ricavare le
due formule inverse:
Area 2 - Capitolo 3 - PAG. 182
V   r2 h
V
r
 h
h
V
 r2
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Il cono
DEFINIZIONE. Si dice cono il solido generato dalla rotazione completa di
un triangolo rettangolo attorno ad uno dei suoi cateti.
Analizzando la figura rileviamo che:
 il cateto VO attorno al quale ruota il triangolo è l’asse di rotazione e rappresenta l’altezza del
cono;
 l’ipotenusa VA genera una superficie detta superficie laterale del cono e rappresenta l’apotema
del cono;
 l’altro cateto OA genera un cerchio che costituisce la superficie di base del cono e rappresenta il
raggio del cono.
Area 2 - Capitolo 3 - PAG. 183
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L’area delle superfici del cono
Per ottenere lo sviluppo del cono, bisogna tagliarlo lungo l’apotema e la circonferenza di base.
REGOLA. L’area della superficie laterale del cono è data dal prodotto della lunghezza della
semicirconferenza di base per la misura dell’apotema. In simboli:
Al    r  a
Da questa formula possiamo ricavare le due formule inverse:
Al
r
 a
Area 2 - Capitolo 3 - PAG. 183
a
Al
 r
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L’area delle superfici del cono
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REGOLA. L’area della superficie totale del cono è data dalla somma dell’area della superficie
laterale con l’area di base. In simboli:
At  Al  Ab
ricavare le due formule inverse:
Da questa formula possiamo
Al  At  Ab

Area 2 - Capitolo 3 - PAG. 184
Ab  At  Al

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3
Il volume del cono
PROPRIETÀ. Un cono è equivalente ad un terzo di un cilindro avente il raggio di base e l’altezza
congruenti.
REGOLA. Il volume del cono è dato dalla terza parte del prodotto dell’area del cerchio di base per la
misura dell’altezza. In simboli:
V
Essendo
Ab    r
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possiamo
anche scrivere:

quest’ultima formula possiamo
 Da
ricavare le due formule inverse:
Area 2 - Capitolo 3 - PAG. 185
Ab  h
3
3 V
r 
 h
V
 r2 h
3
h
3 V
 r2
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La sfera
DEFINIZIONE. Si dice sfera il solido generato dalla rotazione completa di un
semicerchio attorno al suo diametro.
Il raggio e il centro del semicerchio sono anche il raggio e il centro della sfera.
DEFINIZIONE. Si dice superficie sferica l’insieme di tutti i punti dello spazio
che hanno la stessa distanza da un punto fisso detto centro.
Area 2 - Capitolo 3 - PAG. 188
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
4
Le posizioni reciproche di un piano e una sfera
Un piano rispetto a una sfera di centro O e raggio r può essere:
Esterno
se non ha alcun punto in
comune con la sfera.
OP  r
Tangente
se ha un solo punto in
comune con la sfera.
Secante
se l’intersezione tra piano e sfera
è costituita da un cerchio.
OP  r
OP  r
Se il piano secante α passa per il centro della sfera esso viene detto
piano diametrale e la sua intersezione con la sfera è un cerchio cha ha
lo stesso centro O e lo stesso raggio r della sfera e viene denominato


cerchio massimo.
Area 2 - Capitolo 3 - PAG. 188
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L’area della superficie sferica
TEOREMA. L’area della superficie sferica è uguale all’area della
superficie laterale del cilindro equilatero ad essa circoscritto.
Poiché l’area della superficie laterale di un cilindro equilatero è data dalla
formula Al = 4  π  r , possiamo enunciare la seguente
REGOLA. L’area della superficie sferica è uguale a quattro volte l’area
di un suo cerchio massimo. In simboli:
A  4  r2
Da questa formula possiamo ricavare la formula inversa:

r
Area 2 - Capitolo 3 - PAG. 189
A
4
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Il volume della sfera
TEOREMA. La sfera è equivalente ad un cono avente l’altezza
congruente al raggio della sfera e il raggio di base congruente al diametro
della sfera.
Vale quindi la seguente:
4
REGOLA. Il volume della sfera è uguale al prodotto dei
di π per il cubo
della misura del raggio. In simboli:
3
4
V    r3
3

Da questa formula possiamo ricavare la formula inversa:

3 V
r
4
3
Area 2 - Capitolo 3 - PAG. 190
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Altri solidi di rotazione
Rotazione completa di un triangolo rettangolo attorno all’ipotenusa
At solido  Al 1  Al 2
Vsolido  V1 V2
Rotazione completa di un triangolo isoscele attorno alla base

At solido  2 Al cono
Vsolido  2Vcono
Rotazione completa di un triangolo ottusangolo attorno al lato
adiacente all’angolo ottuso

At solido  Al 1  Al 2
Area 2 - Capitolo 3 - PAG. 192
Vsolido  V1 V2
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Altri solidi di rotazione
Rotazione completa di un trapezio rettangolo attorno alla base maggiore
At solido  Al cilindro  Al cono  Ab cilindro
Vsolido  Vcilindro Vcono
Rotazione completa di un trapezio rettangolo attorno alla base minore
At solido  Al cilindro  Al cono  Ab cilindro
Vsolido  Vcilindro Vcono
Area 2 - Capitolo 3 - PAG. 193
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Altri solidi di rotazione
Rotazione completa di un trapezio isoscele attorno alla base maggiore
At solido  Al cilindro  2 Al cono
Vsolido  Vcilindro  2Vcono


Rotazione completa di un trapezio isoscele attorno alla base minore
At solido  Al cilindro  2 Al cono
Vsolido  Vcilindro  2Vcono
Area 2 - Capitolo 3 - PAG. 194
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