Elenco degli argomenti trattati durante le lezioni

ALGEBRA 3
ELENCO DEGLI ARGOMENTI TRATTATI DURANTE LE LEZIONI
1. M ARTEDÌ 1 MARZO 2016
Chiacchiere organizzative. Prerequisiti. Panoramica del corso.
2. G IOVEDÌ 3 MARZO 2016
Concetto di rappresentazione lineare di un gruppo: rappresentazioni lineari e azioni lineari. Sottorappresentazioni e sottospazi invarianti. Sottorappresentazioni banali. Rappresentazioni quoziente.
Esempi. Rappresentazioni del gruppo banale; rappresentazioni di C2 ; rappresentazioni di Cn . Una rappresentazione di Dn e le sue sottorappresentazioni.
Duale di una rappresentazione; azione lineare di G su Hom(V, W ) quando V, W sono rappresentazioni di G.
Rappresentazione di permutazione: possiede sempre una retta invariante.
3. M ARTEDÌ 8 MARZO 2016
Gergo: rappresentazioni fedeli e rappresentazioni banali. Omomorfismi di rappresentazioni: costituiscono un
sottospazio di Hom(V, W ). Se V, W sono rappresentazioni di G, un elemento T ∈ Hom(V, W ) è un G-omomorfismo
se e solo se g.T = T per ogni g ∈ G.
Enunciato del Teorema di Maschke: se W ⊂ V sono rappresentazioni k-lineari del gruppo finito G, e char k = 0,
allora esiste una sottorappresentazione W 0 ⊂ V tale che V = W ⊕ W 0 . L’enunciato è ovvio per spazi vettoriali — e
quindi per le rappresentazioni del gruppo banale G = h1i — anche nel caso in cui V abbia dimensione infinita.
Idea della dimostrazione: se p : V → W è un proiettore (lineare) su W , ker p è un complementare di W , ed è
necessariamente una sottorappresentazione se p è un G-omomorfismo. L’omomorfismo
P =
1 X
g.p
|G| g∈G
è automaticamente G-invariante, la sua immagine è contenuta in W , e fissa gli elementi di W uno per uno. Spiegazione dettagliata di dove vengono usate le ipotesi del teorema. Controesempi nel caso di gruppo infinito o di
caratteristica non nulla. L’ipotesi di caratteristica nulla può essere sostituita dall’affermazione che char k non divida
|G|.
Lemma di Schur. Vari enunciati: se V è irriducibile, un G-omomorfismo V → W è iniettivo o nullo; se W è
irriducibile, un G-omomorfismo V → W è suriettivo o nullo; se V, W sono irriducibili, un G-omomorfismo V → W
è invertibile o nullo; se V è irriducibile, allora EndG (V ) è un corpo; se V è irriducibile di dimensione finita sul campo
algebricamente chiuso k, allora EndG (V ) contiene solo i multipli scalari di IdV . Dimostrazione sbrigativa.
4. G IOVEDÌ 10 MARZO 2016
Richiami dalla lezione precedente. Dire “una rappresentazione è somma diretta di sue sottorappresentazioni
irriducibili” è diverso dal dire “una rappresentazione è somma diretta delle sue sottorappresentazioni irriducibili”.
Dimostrazione meno rapida del Lemma di Schur. L’identità è sempre un G-endomorfismo.
Teoria dei caratteri. Che cos’è un carattere (di una rappresentazione complessa di dimensione finita di un gruppo
finito). Ogni rappresentazione irriducibile di un gruppo finito ha dimensione finita. Gergo: carattere e carattere
irriducibile.
Se χ è il carattere di una rappresentazione V , allora χ(1) = dim V ; χ(g) ≤ dim V è somma diretta di radici
complesse dell’unità; χ(g −1 ) = χ(g); χ(g) = χ(h) se g e h sono coniugati in G; χ(gh) = χ(hg).
χV ⊕W (g) = χV (g) + χW (g); χV ∗ (g) = χV (g). Calcolo del carattere di una rappresentazione di permutazione in
termini di punti fissi; rappresentazione regolare e carattere regolare. Caratteri irriducibili (e non) del gruppo ciclico
Cn . Cenni su indipendenza lineare e ortogonalità dei caratteri.
Una conseguenza del lemma di Schur: se (V, ρ) è una rappresentazione di G, allora
1 X
ρ(g)
|G| g∈G
è un proiettore G-lineare su V G = {v ∈ V | g.v = v per ogni g ∈ G}. In particolare,
dim V G =
1 X
χ(g).
|G| g∈G
1
2
ALGEBRA 3
5. M ARTEDÌ 15
MARZO
2016
Prodotto tensoriale di spazi vettoriali. Proprietà universale del prodotto tensoriale; il prodotto tensoriale è unico
a meno di isomorfismo unico.
Esistenza del prodotto tensoriale: una costruzione naturale. Costruzione alternativa utilizzando delle basi specifiche. dim U ⊗ V = dim U · dim V .
Isomorfismo tra Hom(U, V ) e U ∗ ⊗ V quando U, V hanno dimensione finita. Struttura di rappresentazione sul
prodotto tensoriale di due rappresentazioni.
6. M ARTEDÌ 22
MARZO
2016
Se U e V sono rappresentazioni (di dimensione finita) del gruppo (finito) G, allora l’isomorfismo naturale U ∗ ⊗
V → Hom(U, V ) è un G-omomorfismo. Carattere della rappresentazione prodotto tensoriale: χU ⊗V = χU · χV .
Rappresentazioni isomorfe hanno lo stesso carattere; χHom(U,V ) = χU · χV .
Se U e V sono rappresentazioni irriducibili, allora Hom(U, V )G ha dimensione 1 se U e V sono isomorfe, e 0 se U
e V non lo sono; in particolare
1 X
hχU , χV i =
χU (g)χV (g)
|G| g∈G
vale 0 se U, V non sono isomorfe e 1 se lo sono.
Conseguenze: rappresentazioni irriducibili con lo stesso carattere sono isomorfe; caratteri irriducibili distinti sono linearmente indipendenti; rappresentazioni (anche non irriducibili) con lo stesso carattere sono isomorfe; due
decomposizioni di una stessa rappresentazione in somma diretta di rappresentazioni irriducibili hanno lo stesso
numero di addendi e addendi a due a due isomorfi (a meno di una permutazione degli indici).
La molteplicità di ogni carattere irriducibile di G nel carattere regolare è pari alla sua dimensione. Conseguenze:
un gruppo finito G possiede una lista completa finita di rappresentazioni irriducibili a due a due non isomorfe; la
somma dei quadrati delle loro dimensioni è uguale a |G|.
7. G IOVEDÌ 31 MARZO 2016
Calcolo della tavola dei caratteri di alcuni gruppi finiti (non abeliani, di ordine piccolo). Caratteri di grado 1: i
caratteri di grado 1 di un gruppo G si ottengono calcolando gli omomorfismi di gruppo G/G0 → C. Il sottogruppo
derivato G0 è il più piccolo sottogruppo normale di G a quoziente abeliano; se H, K sono sottogruppi normali di G
tali che G/H, G/K sono abeliani, allora G/(H ∩ K) è abeliano. Tavola dei caratteri di S3 . Calcolo delle rappresentazioni irriducibili (non isomorfe) attraverso l’algebra lineare; calcolo dei caratteri irriducibili utilizzando le proprietà
di ortogonalità e il carattere regolare.
Tavola dei caratteri di D4 , di Q4 . I gruppi D4 , Q4 hanno la stessa tavola dei caratteri ma non sono isomorfi. Uso
dell’ortogonalità dei caratteri irriducibili e del carattere regolare nella determinazione della tavola dei caratteri. In
tutti gli esempi, il numero dei caratteri irriducibili è uguale al numero delle classi di coniugio, e mai minore.
8. M ARTEDÌ 5 APRILE 2016
Correzione di un errore nel calcolo dei caratteri di D4 . Calcolo della tavola dei caratteri di D5 .
Completezza dei caratteri irriducibili. Voglio mostrare che i caratteri irriducibili (distinti) di G non sono soltanto
linearmente indipendenti ma costrituiscono una base dello spazio delle funzioni centrali di G in C. Per farlo, mostro
che se f : G → C è una funzione centrale ortogonale ad ogni carattere irriducibile, allora f ≡ 0. Conseguenza: il
numero dei caratteri irriducibili di G è uguale al numero delle classi coniugate di G. Un gruppo è abeliano se e solo
se le sue rappresentazioni irriducibili hanno tutte grado 1. Il numero di caratteri irriducibili di grado 1 di G è |G/G0 |.
Giustificazione filosofica della dimostrazione. Se (V, ρ) è una rappresentazione di G, so fare agire su V non
soltanto gli elementi di G, ma anche le loro combinazioni lineari! Pertanto, V possiede una struttura di CG-modulo,
e CG ha una naturale struttura di anello indotta dalla struttura di gruppo di G.
Anche
P quando G non possiede elementi centrali non banali, CG possiede molti elementi centrali: la combinazione
lineare g∈G αg g è nel centro di CG esattamente quando G 3 g 7→ αg ∈ C è una funzione centrale di G. Per il Lemma
di Schur, l’azione di ciascun elemento di Z(CG) sulle rappresentazioni irriducibili di G è data da un multiplo scalare
dell’identità.
9. G IOVEDÌ 7
APRILE
2016
Digressione sugli interi algebrici: costituiscono un sottoanello di C. Noetherianità di gruppi abeliani: i gruppi
abeliani finiti sono noetheriani; Z è noetheriano; ogni estensione di gruppi abeliani noetheriani è noetheriana. Zr è
un gruppo abeliano noetheriano.
Ogni elemento di Z(CG) agisce su una rappresentazione irriducibile (V, ρ) di G come un multiplo scalare dell’identità; l’applicazione che associa a z ∈ Z(CG) il numero complesso
P λ(z) tale che ρ(z) = λ(z) idV è un omomorfismo
di anelli Z(CG) → C. Se C è una classe di coniugio di G, zC = g∈C g appartiene sia a Z(CG) che a ZG; poiché ZG
è isomorfo a Z|G| come gruppo abeliano (additivo), ogni elemento di ZG (e quindi anche zC ) soddisfa un polinomio
monico a coefficienti interi. λ(zC ) è un intero algebrico.
P
Se V è una rappresentazione irriducibile di G, allora dim V divide G. Dimostrazione: l’elemento z = g χ(g)g ∈
Z(CG) ∩ ZG agisce su V come λ(z) idV , ma la sua traccia è |G|; pertanto λ(z) = |G|/ dim V . Poiché λ(z) è un intero
ALGEBRA 3
3
algebrico, il rapporto |G|/ dim V è un intero. Applicazione: se G è un gruppo non abeliano di ordine pq, e p < q sono
numeri primi, allora p divide q − 1 e G possiede esattamente p + (q − 1)/p classi coniugate.
In fretta: se (V, ρ) è una rappresentazione di G, l’irriducibilità di V dipende solo dall’immagine dell’omomorfismo
ρ : G → GL(V ); se U è una rappresentazione irriducibile di G e V è una rappresentazione irriducibile di H, allora
(g, h).u ⊗ v = (g.u) ⊗ (h.v) definisce su U ⊗ V una struttura di rappresentazione irriducibile di G × H. Se V è una
raprpesentazione irriducibile di G, allora dim V divide |G|/|Z(G)|.
10. G IOVEDÌ 14 APRILE 2016
Fine della dimostrazione del fatto che il grado di una rappresentazione irriducibile di G divide |G|/|Z/G)|.
Moltiplicando un carattere irriducibile per un carattere di grado 1 si ottiene un carattere irriducibile. Proprietà di
ortogonalità delle colonne della tavola dei caratteri. Calcolo della cardinalità di ciascuna classe di coniugio a partire
dalla tavola dei caratteri.
Nucleo di un carattere. Struttura dei sottogruppi normali di un gruppo a partire dalla sua tavola dei caratteri:
ogni sottogruppo normale è nucleo di qualche rappresentazione. Applicazioni al calcolo delle tavole dei caratteri di
alcuni gruppi.
Enunciato del teorema di Burnside sulla risolubilità dei gruppi di ordine pa q b . Inizio della dimostrazione.
11. G IOVEDÌ 21
APRILE
2016
Calcolo delle tavole dei caratteri di alcuni gruppi utilizzando varie tecniche.
12. M ARTEDÌ 26
APRILE
2016
Fine della dimostrazione del teorema di Burnside sulla risolubilità dei gruppi il cui ordine è divisibile per esattamente due primi.
Anelli (associativi con 1) e moduli (sinistri): definizioni. Algebre su un campo. Omomorfismi di moduli, sottomoduli, moduli quozienti. Moduli ciclici. Sottomoduli di R visto come modulo sinistro su se stesso.
13. G IOVEDÌ 28
APRILE
2016
Precisazioni sulla lezione precedente: una struttura di R-modulo su un gruppo abeliano M è un omomorfismo
di anelli R → End M ; se R è una k-algebra, allora M è un k-spazio vettoriale e l’immagine dell’omomorfismo è
contenuta in Endk M . Se M è un R-modulo, ogni omomorfismo di anelli S → R rende M un S-modulo. Se M è un
R-modulo e IM = (0), allora M è in modo naturale un R/I-modulo.
Ogni R-modulo ciclico è isomorfo a R/I, dove I è un ideale sinistro. Ogni R-modulo irriducibile è ciclico, ed è
isomorfo a R/I, dove I è un ideale sinistro massimale. Teorema di Krull: se I è un ideale sinistro proprio di R, allora
esiste un ideale sinistro (proprio) massimale di R che lo contiene. Chiacchiere sul Lemma di Zorn.
Semisemplicità di moduli. Sottomoduli e quozienti di un modulo semisemplice sono semisemplici. Ogni modulo
semisemplice non nullo contiene un sottomodulo irriducibile: idea della dimostrazione.
14. M ARTEDÌ 3
MAGGIO
2016
Fine della dimostrazione del fatto che ogni modulo semisemplice non nullo contiene un sottomodulo irriducibile.
Per un R-modulo M sono affermazioni equivalenti: M è somma dei suoi sottomoduli irriducibili; M è somma
diretta di suoi sottomoduli irriducibili; M è semisemplice. La somma diretta di moduli semisemplici è semisemplice.
Se R, visto come R-modulo per moltiplicazione sinistra, è semisemplice, allora ogni R-modulo è semisemplice.
Definizione di anello semisemplice. Esempi: ogni corpo è un anello semisemplice; Z/(6) è un anello semisemplice;
Z non è un anello semisemplice. L’algebra gruppo kG di un gruppo finito G è un anello semisemplice non appena
la caratteristica di k non divida l’ordine di G.
Accenni di decomposizione isotipica.
15. G IOVEDÌ 5 MAGGIO 2016
Massimo sottomodulo semisemplice di un R-modulo. Componenti isotipiche di un modulo semisemplice. Le
componenti isotipiche decompongono un modulo semisemplice in somma diretta. Ogni componente isotipica di
M coincide con la somma degil addendi isomorfi di una decomposizione di M in somma diretta di sottomoduli
irriducibili. Esempio: componenti isotipiche di un CG-modulo quando G è un gruppo finito.
Struttura degli anelli semisemplici. Vari esempi di anelli semisemplici; le matrici n × n a coefficienti in un corpo
formano un anello semisemplice. Decomposizione isotipica di R visto come R-modulo sinistro. Se R è un anello
semisemplice, le sue componenti isotipiche sono ideali bilateri, sono in numero finito, e sono sottoanelli con unità.
16. M ARTEDÌ 10 MAGGIO 2016
Per un anello semisemplice, essere semplice e avere un solo irriducibile (a meno di isomorfismo) sono la stessa
nozione. Le componenti isotipiche di un anello semisemplice sono anelli semplici e semisemplici.
Struttura degli anelli semplici e semisemplici. Se R è un anello con unità, allora ogni R-endomorfismo di R visto
come R-modulo sinistro è (in modo unico) una moltiplicazione destra per un elemento di R; in particolare, EndR (R)
è anti-isomorfo all’anello R. In altre parole, R ' EndR (R)op .
Teorema di Artin-Wedderburn: se R è semplice e semisemplice, allora R è isomorfo a Matn×n (k) dove k =
EndR (U ) è il corpo degli endomorfismi dell’unico R-modulo irriducibile U , e n è la molteplicità dell’irriducibile U
4
ALGEBRA 3
nel modulo R. Dimostrazione: R, visto come R-modulo, è somma diretta di un numero finito di copie di U . Inoltre,
EndR (U ⊕n ' Matn×n (EndR (U )). Alcune osservazioni: se k è un corpo, allora anche kop è un corpo; se k è un
campo, allora Matn×n (k) ' Matn×n (kop ). Se k è un corpo, e V è uno spazio vettoriale di dimensione n, allora
Endk (V ) è isomorfo a Matn×n (kop ), e non a Matn×n (k).
Anticipazioni sul teorema di densità di Jacobson. Un esempio: l’anello R = C IdV + Endfin
C (V ) ⊂ EndC V .
17. G IOVEDÌ 12
MAGGIO
2016
Dimostrazione della prima versione del teorema di densità di Jacobson: se M è un R-modulo irriducibile, K =
EndR M , e m1 , . . . , ms sono K-linearmente indipendenti, allora per ogni scelta di n1 , . . . , ns ∈ M , esiste a ∈ R tale
che am1 = n1 , . . . , ams = ns . Casi s = 1, 2. Dimostrazione generale per induzione.
Dimostrazione della seconda versione del teorema di densità di Jacobson: se M è un R-modulo semisemplice,
R0 = EndR M , e f ∈ EndR0 M , per ogni scelta di m1 , . . . , ms ∈ M esiste a ∈ R tale che ami = f (mi ) per ogni i.
Caso s = 1. Caso generale.
Dimostrazione precisa delle affermazioni della lezione precedente sull’anello R = C IdV + Endfin
C (V ) ⊂ EndC V .
18. M ARTEDÌ 17 MAGGIO 2016
Precisazioni e osservazioni sulla lezione precedente.
Se M è un R-modulo, R0 = EndR M e M è un R0 -modulo finitamente generato, allora l’applicazione canonica
R → EndR0 M è un omomorfismo suriettivo di anelli. Se R è una k-algebra di dimensione finita, e M è un suo
modulo irriducibile, allora K = EndR M è un corpo che contiene k e ne è estensione finita. Inoltre M ha dimensione
finita sia come k- che come K-spazio vettoriale, e quindi R → EndK M è un omomorfismo suriettivo di anelli.
Se R è una k-algebra semplice di dimensione finita, e M è un suo modulo irriducibile, allora R → EndK M è un
isomorfismo di anelli, e quindi R ' Matn×n (K op ), dove n = dimK M . Casi particolari
• Se k = R, allora K è isomorfo a R, C oppure H (Frobenius). Le uniche R-algebre semplici di dimensione
finita sono della forma Matn×n (R), Matn×n (C), Matn×n (H).
• Se k = C, allora K è isomorfo a C (teorema fondamentale dell’algebra). Le uniche C-algebre semplici di
dimensione finita sono della forma Matn×n (C).
• Se k = Fq è un campo finito, allora K è isomorfo a Fqk (piccolo teorema di Wedderburn: ogni corpo finito è
un campo). Le uniche Fq -algebre semplici di dimensione finita sono della forma Matn×n (Fqk ).
n
Se G è un gruppo finito,
P allora CG ' ⊕i=1 Matdi ×di (C), dove le di sono le dimensioni degli irriducibili di G.
Pertanto |G| = dim CG = i d2i . Ogni irriducibile di G compare, nella rappresentazione regolare, un numero di volte
pari alla sua dimensione perché Matn×n (C) è somma diretta di n copie del proprio unico (a meno di isomorfismo)
irriducibile.
La semisemplicità di un anello non segue dalla sua semisemplicità. Un esempio: R = ChX, Di ⊂ EndC C[x], dove
X è l’operatore di moltiplicazione per x e D è l’operatore di derivata. DX = XD + 1. Ogni elemento a ∈ R si scrive
P
i
in modo unico come a = n
i=0 ai (X)D , per un’opportuna scelta di polinomi ai . R è semplice. R è un dominio (non
commutativo). R non è semisemplice.
Il radicale di Jacobson. Definizione: se R è un anello con 1, il suo radicale di Jacobson J(R) è l’intersezione degli
ideali sinistri massimali di R. J(R) è un ideale sinistro di R. Alcuni esempi: R = Z, R corpo, R = Matn×n (k) con
k corpo, R dominio a ideali principali, R = C[[x]]. Se a ∈ J(R), allora 1 + a ha inverso sinistro in R; in particolare,
1 + xa ha inverso sinistro in R per ogni scelta di x ∈ R.
19. G IOVEDÌ 19
MAGGIO
2016
Se l’anello semplice R possiede un ideale minimale non nullo I, allora la componente I-isotipica dell’R-modulo
R è un ideale bilatero non banale di R. Pertanto R coincide con la sua componente I-isotipica, ed è un anello
semisemplice. Questo mostra che ChX, Di non ha nessun ideale sinistro minimale (in particolare, non sarà artiniano,
con gergo introdotto in seguito).
Il radicale di Jacobson: un elemento a ∈ R appartiene al radicale di Jacobson J(R) di R se e solo se 1 + xa è
invertibile a sinistra per ogni x ∈ R se e solo se a agisce come 0 su ogni R-modulo irriducibile. Conseguenza: il
radicale di Jacobson di R è un suo ideale bilatero. Osservazione: se a è nel radicale di Jacobson di R, allora l’inverso
sinistro di 1 + xa è in realtà un inverso bilatero. Lemma di Nakayama: se M è un R-modulo finitamente generato
tale che J(R)M = M , allora M = (0). Controesempio nel caso non finitamente generato.
Anelli artiniani e radicale di Jacobson. Definizione di anello noetheriano e artiniano. In un anello noetheriano
(artiniano) ogni famiglia di ideali sinistri possiede elementi massimali (minimali). Un anello semisemplice è sia
artiniano che noetheriano.
Se R è un anello artiniano, allora R è semisemplice se e solo se J(R) = (0); controesempio nel caso non artiniano.
Se R è semplice artiniano, allora J(R) = (0) e quindi R è semisemplice (lo sapevamo già). J(R) contiene ogni ideale
sinistro nilpotente di R; in particolare contiene ogni elemento fortemente nilpotente di R. Es.: gli elementi fortemente
nilpotenti di un anello R formano un ideale bilatero.
20. M ARTEDÌ 24 MAGGIO 2016
Un elemento a ∈ R è fortemente nipotente se e solo se Ra è un ideale sinistro nilpotente di R. Se R è artiniana,
allora J(R) è un ideale nilpotente, e quindi J(R) contiene tutti e soli gli elementi fortemente nilpotenti di R. En
passant: controesempio al Lemma di Nakayama se si rimuove l’ipotesi di finita generazione del modulo. J(R) =
ALGEBRA 3
5
J(Rop ); in altre parole, l’intersezione degli ideali sinistri massimali di R coincide con l’intersezione degli ideali destri
massimali di R. Precisazioni sul Teorema di Maschke: se k è un campo e G è un gruppo finito, kG è semisemplice se
e solo se char k non divide |G|.
Moduli di tipo finito. Definizione di modulo di tipo finito e di serie di composizione. Esempi di moduli che
ammettono serie di composizione. Se l’R-modulo M è di tipo finito, allora possiede una serie di composizioni. Se M
ha una serie di composizione, anche i suoi sottomoduli e quozienti ammettono una serie di composizione.
Chiacchiere sugli enunciati dei teoremi di Jordan-Hölder e Krull-Schmidt.
21. G IOVEDÌ 26
MAGGIO
2016
Richiami sui moduli di tipo finito. Enunciato del teorema di Jordan-Hölder e dimostrazione. Lunghezza di un
modulo. Conseguenze del teorema di Jordan-Hölder: la lunghezza è una funzione crescente per inclusioni, e strettamente crescente per inclusioni strette; i moduli con una serie di composizione sono di tipo finito; la molteplicità di un
modulo irriducibile in un modulo semisemplice è ben definita (= non dipende dalla decomposizione in irriducibili);
nel teorema di Artin-Wedderburn, l’anello Matn×n (k) determina sia n che k (a meno di isomorfismo).
Moduli indecomponibili. Ogni modulo di tipo finito ammette una decomposizione in somma diretta di sottomoduli indecomponibili.
Lemma e decomposizione di Fitting. Un R-endomorfismo di un R-modulo indecomponibile di tipo finito M 6= 0
è invertibile oppure nilpotente (e non può essere entrambe le cose).
Affermazioni ausiliarie. La somma di endomorfismi nilpotenti di un modulo indecomponibile di tipo finito è
ancora nilpotente. Se φ : M → N e ψ : N → M sono tali che φ ◦ ψ è invertibile, e M è indecomponibile di tipo finito,
allora φ, ψ sono entrambe invertibili.
22. M ARTEDÌ 31 MAGGIO 2016
Dimostrazione del Teorema di Krull-Schmidt.
Risoluzione di esercizi.
D IPARTIMENTO DI M ATEMATICA , U NIVERSITÀ DEGLI STUDI DI R OMA – “L A S APIENZA”
E-mail address: [email protected]