1 Un blocco di massa m = 2.5 kg, si muove su un piano orizzontale

A.A. 2014-15
Fisica Generale
07-07-15
ESERCIZIO 1
Un blocco di massa m = 2.5 kg, si muove su un piano orizzontale scabro, con coefficiente di attrito
dinamico fra il blocco e la superficie
0.25, e urta contro una molla orizzontale di costante elastica k
1
= 320 N m , inizialmente a riposo. La molla viene compressa di una lunghezza massima
x = 7.5 cm. Calcolare:
a) il lavoro svolto dalla molla per arrestare il blocco;
b) l’energia meccanica dissipata dalla forza d'attrito dall’istante del contatto sino a quando il blocco viene
arrestato dalla molla
c) la velocità del blocco all’istante in cui ha urtato la molla.
Soluzione
∆
∆
0.9 , dove si è
a) Il lavoro svolta dalla molla è
,
,
considerato che l’energia potenziale iniziale della molla è nulla, essendo le stessa a riposo.
b) L’energia meccanica dissipata dalla forza d'attrito dall’istante del contatto sino a quando il blocco
viene arrestato dalla molla è pari a
∆
0.46
c) L’energia cinetica iniziale si può ricavare dall’equazione ∆
, avendo chiamato
il
0
, da cui
lavoro delle forze non conservative. Si ha pertanto 0
,
,
1.36 , (si ricorda che
è negativo), da cui
2 , ⁄
1.04 .
,
,
ESERCIZIO 2
Un elemento puntiforme di massa m = 700 g è posto nella posizione A della slitta
di massa M = 8 kg disegnata in figura, che appoggia su un piano orizzontale privo
di attrito; inizialmente il sistema è in quiete. Ad un certo istante l’elemento inizia a
scivolare senza attrito lungo la guida circolare AB, di raggio r = 75 cm. L’arco
sotteso dalla porzione di guida percorsa dall’elemento è /4, di modo che esso
abbandona la slitta nel punto B con velocità orizzontale. Calcolare, la velocità della slitta e la velocità
dell’elemento puntiforme all’istante in cui l’elemento abbandona la slitta:
Soluzione
Tutto il sistema è privo di attrito; le uniche forze esterne al sistema slitta + elemento puntiforme hanno
direzione verticale, e le forze responsabili del moto della slitta sono le reazioni vincolari interne tra
l’elemento puntiforme e la slitta stessa; pertanto si conserva la componente orizzontale della quantità di
moto del sistema. Chiamata v la velocità dell’elemento puntiforme e V la velocità della slitta all’istante
⁄ .
dato, si ha:
0, da cui
Data l’assenza di attriti, si ha anche la conservazione dell’energia meccanica tra l’istante iniziale e
l’istante in cui l’elemento abbandona la slitta:
. Mettendo a sistema le due
equazioni si ha:
2
1
⁄
4 ⁄
e
2
1
⁄
0.35 .
ESERCIZIO 3
Una fune inestensibile e di massa trascurabile è avvolta su di
un cilindro di massa M e raggio r sostenuto da un asse fisso
orizzontale privo di attrito. La fune si srotola senza strisciare
attorno al cilindro, e viene tenuta orizzontale tramite un
Fig. 1
Fig. 2
perno liscio, attorno al quale essa scivola per poi sostenere
verticalmente un elemento materiale di massa m, che scende
per effetto della forza peso. (vd. Fig. 1).
a) Se l’elemento materiale scende con accelerazione a1 = g/4, calcolare il valore del rapporto m/M.
1
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Si avvicini successivamente al cilindro una parete verticale, in modo che essa eserciti sul cilindro stesso
una forza di attrito costante Fa applicata nel punto di contatto e diretta verticalmente verso il basso (vd.
Fig. 2). Sia ora l’accelerazione pari ad a2 = g/10, si ponga la massa dell’elemento materiale m = 240 g e la
massa M sia data dal rapporto calcolato al punto a).
b) Calcolare il valore di Fa.
Soluzione
a) Si consideri la seconda legge della dinamica per m e la seconda legge cardinale della dinamica per il
cilindro, prendendo come polo il suo centro di massa; sia T la tensione della fune:
1
dove
⁄
prima equazione:
1⁄ 2
⁄2
b) Il sistema precedente va riscritto
⁄
e
⁄ . Si ottiene:
⁄2 che, si sostituisce nella
/4 fornisce:
, e assieme al valore dato
′
2
′⁄
′
. È ora
′⁄
⁄
1⁄6.
⁄ . Si noti che la tensione
⁄10 si ottiene:
della fune è differente dal caso precedente. Dalla prima equazione, con
9⁄10
. Se si sostituisce ora questo valore nella seconda equazione del sistema si ottiene:
⁄10 9
⁄2 ; utilizzando ora il rapporto ⁄
6, si ottiene
3⁄5
1.41 .
ESERCIZIO 4
Un gas perfetto biatomico occupa un volume VA = 100 1 alla pressione pA = 1 atm e alla temperatura
TA = 15 °C. Il gas viene compresso adiabaticamente fino ad uno stato B in cui la pressione è pB; quindi lo
si lascia raffreddare, a volume costante, fino ad un terzo stato C in cui la temperatura è pari a quella
iniziale e la pressione è pc = 20 atm. Calcolare:
a) la pressione pB;
b) la quantità di calore ceduta dal gas durante il raffreddamento.
Soluzione
⁄
, da cui si ha
. Gli stati A e C sono
a) L'equazione dell'adiabatica AB è
alla stessa temperatura, per cui si ha
, essendo B e C connessi da una isocora. Si
⁄
⁄
ha
66.3
6.717 ∙ 10
.
⁄
4.23
. Poiché il
b) Il numero di moli del gas si può ricavare dallo stato A:
raffreddamento avviene a volume costante, il calore ceduto è
∆ . La temperatura
si può
⁄ , da cui
⁄
ricavare dalla trasformazione isocora: ⁄
955.2 . Si ha
58647
578.9 .
quindi:
ESERCIZIO 5
Sono date due sfere costituite di materiale conduttore, poste a grande distanza l’una dall’altra. La prima
sfera porta una carica
2 , mentre la seconda è inizialmente scarica. I raggi delle due sfere sono,
rispettivamente,
3 ∙ 10
e
9 ∙ 10
. Le due sfere vengono quindi collegate tramite un filo
conduttore sottile. Calcolare:
a) i potenziali finali delle due sfere, V1 e V2;
b) le cariche finali q1 e q2 su ciascuna delle due sfere;
c) la densità superficiale di carica finale sulla sfera 1.
Soluzione
a) Quando le due sfere vengono collegate elettricamente, formano un unico conduttore, e si portano
quindi allo stesso potenziale. È quindi
⇒
⇒
,. da cui si ottiene
2
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q
q ⁄ , dove le due cariche sono legate dalla relazione
ha quindi
150 .
⁄4
b) Per quanto detto prima le cariche sono:
c) La densità superficiale di carica della sfera 1 è
5 ∙ 10
e
q
3
4.4 ∙ 10
⁄
4
. Si
1.5 .
.
ESERCIZIO 6
Un circuito quadrato di lato L =40 cm, massa totale M = 30 g e resistenza
complessiva R = 5 Ω è alimentato da un generatore di f.e.m. ε = 10 V. Il circuito
giace su un piano verticale ed ha un lato orizzontale posizionato in modo che il
circuito risulta essere parzialmente immerso in un campo magnetico costante
B = 5 T entrante nel piano del foglio, e si muove verso l’alto con velocità
costante v. Calcolare:
a) il valore della corrente che circola nel circuito;
b) il verso di percorrenza della corrente indotta;
c) la forza elettromotrice indotta;
d) la velocità con cui si muove il circuito.
Soluzione
a) Le forze magnetiche che agiscono sulle porzioni immerse di filo verticale si annullano a vicenda, per
cui l’unico tratto del circuito su cui agisce una forza non compensata è quello orizzontale. La forza
meccanica agente su di esso è
, ed è evidentemente diretta verso l’alto. Essendo il moto
uniforme, la forza totale deve essere nulla; tale forza è la somma della forza magnetica e della forza
peso:
0. Ricaviamo da qui il valore della corrente totale:
0.147 .
b) La corrente data dal generatore circola in verso orario, come si vede dalla figura. Il flusso del campo
magnetico tende ad aumentare, per cui dalla legge di Lenz si deduce che la corrente indotta deve
circolare in verso antiorario.
c) La corrente totale è determinata sia dal generatore che dalla f.e.m. indotta, che è opposta al generatore
per quanto detto al punto b). Si ha:
⇒
9.26 .
d) Dalla legge di Faraday-Neumann, chiamata Σ
la parte di circuito immersa nel campo magnetico,
si ottiene:
Φ
Σ
⇒| |
3
4.63 .