Regola di Ruffini

Regola di Ruffini
La divisione tra due polinomi ( )
( ) si può svolgere in maniera semplificata mediante una
regola, detta regola di Ruffini, quando il divisore B(x) è un binomio di primo grado del tipo
( )
. In questo caso il resto della divisione, dovendo essere di grado inferiore al grado
del divisore, è un numero; il grado del quoziente, essendo dato dalla differenza tra i gradi del
dividendo e quello del divisore, è inferiore di una unità rispetto al grado del dividendo. La parte
letterale del quoziente, conoscendone il grado, resta determinata ed è inutile considerarla:
bisogna solo individuare i coefficienti dei termini del polinomio quoziente. Vediamo come è
possibile fare con un esempio.
Supponiamo di voler determinare il quoziente e il resto della divisione tra il polinomio
( )
e il binomio di primo grado ( )
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
5 𝑥
5 𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
5𝑥
4𝑥
𝑥
5 𝑥
4 𝑥
𝑥
4𝑥
4 𝑥
𝑥
𝑥
0
0
Analizzando attentamente lo svolgimento della divisione notiamo che




Il quoziente è un polinomio di 3° grado, cioè inferiore di una unità rispetto al grado del
divisore
il coefficiente del termine di grado più alto del quoziente è lo stesso del termine di grado più
alto del dividendo;
i coefficienti degli altri termini del quoziente sono gli ultimi termini di ogni rettangolo ottenuti
sommando i primi due termini: il primo termine è il corrispondente coefficiente del dividendo
mentre i numeri cerchiati sono ottenuti moltiplicando il primo coefficiente dei vari dividendi
per il termine noto del divisore cambiato di segno
il risultato dell’operazione messa in evidenza dal rettangolo di colore giallo rappresenta il
resto della divisione;
Prof. G. Frassanito – Liceo scientifico “E. Medi” - Galatone
Pag. 1
La regola di Ruffini consente di determinare i coefficienti del quoziente e il resto della divisione
prendendo in considerazione solo i coefficienti del dividendo e il termine noto del divisore,
cambiato di segno, trascurando la parte letterale sia del dividendo che del divisore.
I coefficienti del dividendo devono essere inseriti nella prima riga di schema formato da tre righe
orizzontali e separando l’ultimo termine con un tratto verticale;
+3
-2
-1
+1
-3
A sinistra del primo tratto verticale e sopra il tratto orizzontale si posiziona il termine noto del
divisore cambiato di segno
+3
-2
-1
+1
-3
-1
Abbassiamo il coefficiente del primo termine del dividendo sul posto corrispondente sulla terza
riga che è la riga dei coefficienti del quoziente
+3
-2
-1
+1
-3
-1
+3
Si moltiplica il termine a sinistra del primo tratto verticale con il termine presente nella terza riga e
si incolonna il risultato sulla seconda riga come mostrato in figura
+3
-1
-2
-1
+1
-3
-3
+3
Sommando i termini della seconda colonna (corrispondenti ai primi due del rettangolo rosso)
otteniamo il secondo coefficiente del quoziente
+3
-1
-2
-1
+1
-3
-3
+3
-5
Prof. G. Frassanito – Liceo scientifico “E. Medi” - Galatone
Pag. 2
Ripetendo fino alla fine questi ultimi due punti otterremo gli altri coefficienti del quoziente e
nell’ultima colonna il resto della divisione
+3
-1
-2
-1
-3
+5
+1
-3
+1
-3
-3
+3
-5
+3
-2
-1
-3
+5
+3
-5
+4
+3
-2
-1
+1
-3
+5
-4
+3
-5
+4
+3
-2
-1
+1
-3
-3
-4
-5
-2
-4
-1
+3
+1
-3
-3
+5
-4
+3
+3
-5
+4
-3
+3
-2
-1
+1
-3
-3
+5
-4
+3
-5
+4
-3
0
-1
-1
-1
+3
+3
-1
-1
+3
Coefficienti quoziente
Quoziente: ( )
5
Possiamo, pertanto scrivere
Prof. G. Frassanito – Liceo scientifico “E. Medi” - Galatone
4
-3
Resto divisione
; resto:
(
)(
.
5
4
)
Pag. 3
Applicazione della regola di Ruffini quando il divisore è del tipo ( )
Nel caso in cui il coefficiente del termine di primo grado del divisore è diverso da 1 sarebbe
necessario dividere dividendo e divisore per a per far diventare il divisore del tipo ( )
e
applicare ancora la regola di Ruffini. Quando, però, si dividono dividendo e divisore per uno stesso
numero a, il quoziente della divisione non cambia ma il resto resta diviso per a come si può vedere
dal seguente esempio numerico
22
4
11
2
2
5
1
5
La regola di Ruffini si applica nel seguente modo:
1. Si dividono tutti termini del dividendo e del divisore per a ottenendo i polinomi ( )
( )
2. A questi ultimi due polinomi si applica la regola di Ruffini e si determina il quoziente ( ), che
è anche il quoziente della divisione tra ( )
( ) e il resto R’.
3. Per ottenere il resto R della divisione dei polinomi ( ) ( ) si moltiplica R’ per a, cioè
Esempio
determinare
( )
il
quoziente
e
il
resto
della
4 e il binomio di primo grado ( )
Dividiamo per 2 tutti i termini di ( )
( )
divisione
tra
il
polinomio
( ). Otteniamo i polinomi
( )
4
Applichiamo la regola di Ruffini per determinare il quoziente e il resto della divisione tra
( )
( )
4
-2
5
4
5
4
4
Il quoziente di questa divisione è anche il quoziente della divisione tra ( )
5
( )
4
Il resto R della divisione tra
( )
( ) ed è
( ) si ottiene moltiplicando il resto R’ per 2, cioè
4
Prof. G. Frassanito – Liceo scientifico “E. Medi” - Galatone
4
Pag. 4
Esercizi proposti
1.
2.
3.
4.
5.
6.
(
(
(
(
(
(
) (
)
) (
4
) (
) (
) (
) (
)
)
)
)
)
Bibliografia
N. Dodero – P. Baroncini – R. Manfredi – I. Fragni: Lineamenti. Math BLU nella matematica
Algebra vol. 1
Prof. G. Frassanito – Liceo scientifico “E. Medi” - Galatone
Pag. 5