Radicali - IISS Medi

Radicali
Radice quadrata
Consideriamo la funzione che associa ad un numero reale il suo quadrato:
il cui grafico è il seguente:
Il grafico della funzione si trova al di sopra dell’asse delle x ed è simmetrico rispetto all’asse
delle y. Pertanto si deduce che il quadrato è sempre un numero non negativo e numeri opposti
hanno lo stesso quadrato:
-3
3
6
quadrato
quadrato
9
6
L’operazione inversa dell’elevamento al quadrato si chiama radice quadrata.
Definizione
Si dice radice quadrata di un numero reale a, positivo o nullo, quel numero reale b, positivo o
nullo, tale che elevato al quadrato dà come risultato a.
In simboli:
√
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Terminologia
Indice della radice
√
radicando
radice
Osserviamo che non esiste la radice quadrata di un numero negativo poiché nessun numero
elevato al quadrato è negativo. Pertanto il dominio della funzione radice quadrata è
costituito dall’insieme dei numeri reali non negativi.
Inoltre dato che due numeri opposti hanno lo stesso quadrato, la radice quadrata di un
numero dovrebbe dare come risultato due numeri opposti
-2
2
6
Radice quadrata
Radice quadrata
4
6
Questo renderebbe la radice quadrata una relazione e non una funzione perché ad un numero,
ad esempio 4, corrisponderebbero due radici +2 e -2.
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Poiché si vuole considerare la radice come una funzione si preferisce associare a √ la sola
radice positiva. Il codominio della funzione radice quadrata, quindi, è costituito da tutti i
numeri reali non negativi. Pertanto il grafico della funzione radice quadrata è:
Se confrontiamo il grafico della funzione radice quadrata con i grafici della funzione
quadratica e la funzione identica notiamo che:
√
√
√
Ad esempio
√
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√
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Dalla definizione possiamo ricavare due importanti proprietà.
√
Equivale a dire
Sostituendo nella (1) b2 al posto di a otteniamo
√
Questo vuol dire che se l’indice della radice è uguale all’esponente del radicando la radice è
uguale alla base del radicando.
Se, invece, sostituiamo nella (2) √ al posto di b otteniamo:
√
Questo vuol dire che il quadrato della radice quadrata è uguale al radicando.
Dalle due precedenti proprietà possiamo scrivere che:
√
√
Osservazione
Dalla definizione di radice quadrata notiamo che a e b sono entrambi non negativi perciò
devono sempre avere segno concorde.
Esempi
√
√
√
√
Attenzione
non è vero
√
√
perché non c’è concordanza di segno tra radicando e radice. Per rispettare la concordanza è
necessario scrivere il risultato in valore assoluto
√
√
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|
|
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Questa osservazione ci porta a porre molta attenzione quando il radicando è un’espressione
letterale. Ad esempio:
√
| | poiché non conosciamo il segno di a
Radice cubica
Definizione: Si dice radice cubica di un numero reale a quel numero reale b che, elevato al
cubo, dà come risultato a.
In simboli:
√
Dal seguente grafico relativo alla funzione radice cubica si evince che:
 il suo dominio è tutto R cioè la radice cubica esiste sempre per qualsiasi numero reale a
 il codominio è tutto R
 esiste concordanza di segno tra radicando e radice.
Dalla definizione possiamo ricavare due importanti proprietà.
√
equivale a dire
Sostituendo nella (1) b3 al posto di a otteniamo
√
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Questo vuol dire che se l’indice della radice è uguale all’esponente del radicando la radice è
uguale alla base del radicando.
Se, invece, sostituiamo nella (2) √ al posto di b otteniamo:
√
Questo vuol dire che il cubo della radice cubica è uguale al radicando.
Dalle due precedenti proprietà possiamo scrivere che:
√
√
Se confrontiamo il grafico della funzione radice cubica con i grafici della funzione cubica e la
funzione identica notiamo che:
√
√
√
Un’importante proprietà della radice cubica
Una semplice, ma importante proprietà della radice cubica ci consente di operare sempre con
radicandi positivi in quanto ci permette di portare fuori dal segno radice il segno meno.
Illustriamo tale proprietà con un esempio.
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Sappiamo che:
√
√
Cambiando di segno la (2) otteniamo:
√
Le radici (1) e (3) sono uguali pertanto possiamo scrivere:
√
√
Esempi
√
√
√
√
√
non si deve mettere il valore assoluto
Radici n-esime
Oltre alle radici quadrate e cubiche si possono considerare radici di qualsiasi indice. In questo
caso si parla di radice n-esima per indicare una radice con un indice n.
Definizione
Si dice radice n- esima, con n pari, di un numero reale a non negativo quel numero reale b,
non negativo, che elevato ad n dà come risultato a.
In simboli:
√
Definizione
Si dice radice n- esima, con n dispari, di un numero reale a quel numero reale b che elevato
ad n dà come risultato a.
In simboli:
√
Osservazione
Tutte le proprietà che valgono per le radici quadrate e le radici cubiche, generalizzando,
valgono per le radici n-esime, per cui abbiamo:
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concordanza di segno tra radicando e radice
√
√
√
√
√
√
Non si definisce la radice di indice 0 cioè alla scrittura √
mentre alla scrittura √ si dà il valore a.
non si dà nessun significato;
Potenza di un radicale
Dalle proprietà (1) e (2) deduciamo che elevare alla n un radicale equivale ad elevare alla n il
suo radicando.
La condizione di esistenza e il radicando letterale
I radicali ad indice pari esistono solo se il radicando è positivo o nullo, mentre i radicali di indice
dispari esistono per qualsiasi valore di R.
Ad esempio:
√
√
√
√
√
√
√
Se il radicando, come negli esempi precedenti, è un numero è subito possibile stabilire se il
radicale esiste oppure no, ma se il radicando fosse una espressione letterale allora si devono
determinare le condizioni di esistenza (abbreviato C.E.) che determinano l’insieme dei valori
da attribuire alle lettere del radicando affinché il radicale esista.
C.E. per indice dispari: i radicali con indice dispari esistono se esiste il radicando
C.E. per indice pari: i radicali con indice pari esistono se esiste il radicando ed è
maggiore o uguale a zero
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Esempi
√
√
√
√
√
√
√
√
{
√
{
Semplificazione di radicali con indice della radice uguale all’esponente del
radicando
Abbiamo già visto che
√
√
√
√
non è vero
√
√
perché non c’è concordanza di segno tra radicando e radice. Per rispettare la concordanza è
necessario scrivere il risultato in valore assoluto
√
√
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|
|
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Generalizzando la regola si ha:
√
| |
√
Esempi
√
|
√
|
|
|
√
La proprietà invariantiva
Dato un radicale con radicando positivo o nullo, moltiplicando o dividendo l’indice della radice
e l’esponente del radicando per lo stesso numero intero positivo si ottiene un radicale
equivalente a quello dato, cioè:
√
√
Dimostrazione
Eleviamo entrambi i membri allo stesso indice np
√
√
Esempio
√
√
√
√
Osservazione
Le uguaglianze vanno lette da sinistra verso destra e da destra verso sinistra.
La precedente proprietà letta da sinistra verso destra vuol dire che se si moltiplica l’indice
della radice e l’esponente del radicando per lo stesso numero intero positivo si ottiene un
radicale equivalente a quello dato.
Letta da destra verso sinistra vuol dire che se si divide l’indice della radice e l’esponente del
radicando per lo stesso numero intero positivo si ottiene un radicale equivalente a quello dato.
Pertanto la proprietà invariantiva si può applicare per semplificare un radicale come vedremo
in seguito.
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Osservazione
La proprietà invariantiva si può applicare solo se il radicando è maggiore o uguale a
zero.
Se l’indice della radice è dispari e il radicando è negativo applicando la proprietà invariantiva si
potrebbe perdere la concordanza del segno come nel seguente esempio:
√
√
Il primo radicando è negativo e il secondo è positivo per cui estraendo le radici si avrebbe
-2=+2.
Per estendere la proprietà invariantiva anche ai radicali con indice dispari e radicando
negativo si estrae il segno prima dell’applicazione della proprietà invariantiva come nel
seguente esempio:
√
√
√
Osservazione
A radicali del tipo √
positivo.
non si deve estrarre il segno prima perché il radicando è già
La proprietà invariantiva con radicali aventi radicando letterale
La perdita della concordanza del segno si verifica quando l’esponente del radicando e
l’indice del radicale, entrambi dispari, vengono moltiplicati per un numero pari perché
in questo caso l’esponente del radicando diventa pari.
√
√
Se invece l’esponente non cambia cioè rimane pari o dispari, la concordanza del segno si
conserva.
√
√
√
√
√
√
Nei radicali con radicando letterale, se il radicando può assumere valori negativi e
l’esponente viene trasformato da dispari a pari, si deve imporre che sia mantenuta la
concordanza del segno. Pertanto, in questo caso, è bene premettere lo studio del segno del
radicando per stabilire quando è negativo.
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Il radicale √
ha il radicando che può assumere valori negativi e per non perdere la
concordanza del segno si ha:
{
√
√
√
Nel radicale √ il radicando non assume valori negativi, per cui si può applicare la proprietà
invariantiva senza imporre condizioni.
√
√
Proprietà invariantiva: semplificazione di radicali
La proprietà invariantiva si può applica per semplificare i radicali se la base del radicando è
maggiore o uguale a zero; se, invece, la base è negativa si potrebbe perdere la concordanza del
segno come mostrato nel seguente esempio:
√
√
Il primo radicale è positivo il mentre il secondo è negativo perché l’esponente della base del
radicando da pari è diventato dispari.
Se il radicando ha base negativa ed esponente che, dopo la semplificazione, passa da pari a
dispari, allora, per garantire la concordanza del segno il modulo alla base.
√
√|
|
La concordanza del segno, invece, si conserva se l’esponente della base del radicando,
dopo la semplificazione, rimane dispari o rimane pari come nei seguenti esempi
√
√
√
√
La stessa procedura si applica anche quando il radicando è letterale: ogni volta che, studiando
il segno del radicando si trova che la base può essere negativa, se l’esponente del radicando
passa da pari a dispari, allora si mette il modulo per garantire la concordanza del segno come
nel seguente esempio:
√
√| |
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Riduzione dei radicali allo stesso indice
Il confronto tra due radicali aventi lo stesso indice è semplice perché è maggiore il radicale con
radicando maggiore:
√
√
Se i radicali hanno indice diverso allora, per confrontarli, bisogna ridurli allo stesso indice
applicando la proprietà invariantiva.
Ad esempio, per confrontare √ con √ riduciamo entrambi i radicali allo stesso indice
moltiplicando l’indice della radice e l’esponente del radicando rispettivamente per 4 e per 3
√
√
Praticamente: l’indice comune dei due radicandi è uguale al m.c.m. degli indici e gli
esponenti dei radicandi si ottengono dividendo il m.c.m. per l’indice della radice e
moltiplicando il risultato per l’esponente del radicando.
Moltiplicazione e divisione di radicali con lo stesso indice
Il prodotto di radicali aventi lo stesso indice è uguale ad un radicale avente lo stesso indice e
per radicando il prodotto dei radicandi:
√
√
√
Il quoziente di radicali aventi lo stesso indice è uguale ad un radicale avente lo stesso indice e
per radicando il rapporto dei radicandi:
√
√
√
Se i radicali da moltiplicare o da dividere hanno indici diversi, prima si riducono allo stesso
indice e poi si moltiplicano o si dividono.
Esempi
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
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√
√
√
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√
√
√
√
√
√
√
√
Radice di radice
La radice di un’altra radice è uguale a una radice avente lo stesso radicando e indice uguale al
prodotto degli indici delle radici:
√√
√
Esempi
√√
√
√√√
√ √
√
√
√√
√√
√
√√
√
√
√
Portare fuori dal segno di radice
Consideriamo √
che, utilizzando le proprietà dei radicali, possiamo scrivere come:
√
√
√
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√
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Osserviamo che l’esponente del fattore del termine fuori dal segno di radice è uguale al
quoziente della divisione fra l’esponente del radicando e l’indice della radice (7:2).
L’esponente del termine che rimane sotto la radice è uguale al resto di tale divisione.
Generalizzando: dato il radicale
√
con radicando maggiore o uguale a zero e indice della radice n minore o uguale
dell’esponente del radicando m; indicando con q il quoziente della divisione m:n e con r il suo
resto si ha:
√
√
Si possono estrarre dalla radice solo i fattori del radicando con esponente maggiore o uguale
all’indice della radice.
Nel caso in cui non è noto il segno della base del radicando bisogna stare attenti a
mantenere la concordanza del segno mettendo, eventualmente, il modulo; questo succede
quando nell’estrazione gli esponenti da pari diventano dispari.
Esempio 1
√
√
La concordanza del segno è garantita dagli esponenti pari di a.
Esempio 2
√
|
| √|
|
La concordanza del segno è garantita dal modulo poiché gli esponenti di a da pari diventano
dispari.
Esempio 3
√
Poiché si possono portare fuori dal segno di radice solo fattori bisogna scomporre il radicando
mettendo in evidenza 4x4
√
Portiamo fuori x4
| | √
La concordanza del segno è garantita dal modulo visto che l’esponente della x da pari diventa
dispari.
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Portare sotto il segno di radice
Il coefficiente positivo di un radicale può essere trasportato sotto il segno di radice con un
procedimento inverso rispetto all’estrazione di fattori dalla radice e precisamente: si porta il
coefficiente sotto il segno di radice elevando il suo esponente all’indice della radice e
moltiplicandolo per il radicando:
√
√
Se il coefficiente è negativo e l’indice della radice è dispari vale ancora la regola
precedente.
Esempio
√
√
Nel caso in cui il coefficiente è negativo e l’indice della radice è pari si perde la
concordanza del segno. In questo caso si lascia fuori dalla radice il segno meno e si porta sotto
la radice il modulo del coefficiente.
Esempio
√
√
√
In generale:
√
√
√
{
√
√
Esempi
√
√
√ ) √
√
√
√
(
√
(√
√
) √
√ √
√
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{
√
√
√
Addizione e sottrazione di radicali
Definizione
Due radicali si dicono simili se, semplificati fino ad essere irriducibili, differiscono solo per il
coefficiente, cioè se hanno lo stesso indice e lo stesso radicando. Ad esempio sono simili i
seguenti radicali:
√
√
√
Non sono simili:
√
√
√
Definizione
La somma algebrica di più radicali simili è un radicale simile che ha come coefficiente la
somma dei coefficienti.
Osservazione
Spesso, prima di sommare, è necessario rendere i radicali simili semplificando oppure
portando dentro o fuori dal segno di radice.
Esempi



√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
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√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
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
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
Attenzione
√
√
√
Razionalizzazione del denominatore di una frazione
Per agevolare i calcoli con i radicali è opportuno, quando si incontra una frazione avente al
denominatore un radicale trasformarla, applicando la proprietà invariantiva delle frazioni, in
una frazione equivalente che non abbia radicali al denominatore. Questa operazione prende il
nome di razionalizzazione.
Esamineremo questo procedimento solo in alcuni semplici casi.

Primo caso: il denominatore è un radicale quadratico eventualmente moltiplicato per un
coefficiente.
Supponiamo che la frazione sia della forma
√
Per razionalizzare il denominatore si moltiplicano il numeratore e il denominatore per √
(fattore razionalizzante)
√
√
√
√
√
√
√
√
Esempio
√

√
√
Secondo caso: il denominatore è un radicale di indice n>2.
Supponiamo che la frazione sia della forma
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√
Il fattore razionalizzante è:
√
Esempio
√

√
√
√
√
√
√
√
Terzo caso: il denominatore è la somma algebrica di due radicali quadratici o di un
radicale quadratico e di un numero razionale come ad esempio
√
√
√
√
Per togliere dal denominatore le radici bisogna elevarle al quadrato. Questo ce lo consente il
prodotto notevole (A-B)(A+B)=A2-B2.
Nell’ipotesi a>0 e b>0 i fattori razionalizzanti si deducono facilmente e sono riassunti nella
seguente tabella
denominatore
Fattore
razionalizzante
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
Esempi
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
(√
(
√ )
√ )
√
√
√
√
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Radicali doppi
Un radicale doppio è un’espressione del tipo:
√
√
Un radicale doppio può essere trasformato nella somma algebrica di due radicali semplici
quando
è un quadrato perfetto. In questo caso, per la trasformazione si applicano le
seguenti formule:
√
√
√
√
√
√
Esempio
Trasformare il radicale doppio √
√
√
√
√
√ nella somma di due radicali semplici.
√
√
√
√
√
√
Potenze con esponente razionale
Definizione
Si definisce potenza ad esponente razionale
di un numero reale positivo a l’espressione:
√
Leggendo la precedente uguaglianza da destra verso sinistra si ha:
√
Cioè un radicale può essere scritto come potenza con esponente frazionario.
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Definizione
Si definisce potenza ad esponente razionale -
di un numero reale positivo a l’espressione:
√
Osservazione
Vediamo perché la potenza
non è definita per a<0.
Innanzitutto non avrebbero significato tutte le potenze con base negative ed esponente
frazionario con denominatore pari
Perché condurrebbero ad espressione radicali prive di significato
√
√
In altri casi si andrebbe incontro ad ambiguità come nel seguente esempio
√
√
√
Pur essendo le basi e gli esponenti uguali si avrebbe
Per questo motivo si conviene di non considerare tra le potenze con esponente frazionario
quelle con base negativa.
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