SERIE DI POTENZE Esercizi risolti Esercizio 1 Determinare il raggio

SERIE DI POTENZE
Esercizi risolti
Esercizio 1
Determinare il raggio di convergenza e l’insieme di convergenza della serie di potenze
∞
X
n=0
(n2
xn
.
+ 2)2n
Esercizio 2
Determinare il raggio di convergenza e l’insieme di convergenza della serie di potenze
∞
X
n + 1 x3n
n=1
.
n + 2 3n
Esercizio 3
Determinare il raggio di convergenza e l’insieme di convergenza della serie di potenze
∞
X
xn
n=1
na
,
dove a è un numero reale positivo.
Esercizio 4
Determinare il raggio di convergenza e l’insieme di convergenza della serie di potenze
∞
X
(2x − 1)n
3n + 1
n=1
.
Esercizio 5
Determinare il raggio di convergenza e l’insieme di convergenza della serie di potenze
∞
X
xn! = x + x2 + x6 + x24 + x120 + . . . .
n=1
Esercizio 6
Determinare il raggio di convergenza e l’insieme di convergenza della serie di potenze
∞ X
1
n=1
3
+
1
n
n
xn .
Esercizio 7
Determinare il raggio di convergenza e l’insieme di convergenza della serie di potenze
∞
X
(1 + log 2)n
n 2n
n=1
xn .
Esercizio 8
Determinare il raggio di convergenza e l’insieme di convergenza della serie di potenze
2
∞ X
n + 2 −n
n
n=1
xn .
[Per lo studio della convergenza agli estremi si utilizzi lo sviluppo log(1 + t) = t −
dove o(t2 ) indica un infinitesimo di ordine superiore a t2 per t → 0.]
t2
2
+ o(t2 ),
Esercizio 9
Determinare il raggio di convergenza e l’insieme di convergenza della serie di potenze
∞
X
2n + n3
n=1
3n + n2
xn .
Esercizio 10
Determinare il raggio di convergenza e l’insieme di convergenza della serie di potenze
∞
X
(2n)! n
x .
5n (n!)2
n=1
√
[Per lo studio della convergenza agli estremi si ricordi la formula di Stirling: n! ∼ nn e−n 2πn
(n → ∞)].
Esercizio 11
Determinare il raggio di convergenza e l’insieme di convergenza della serie di potenze
∞
X
n+3
log
xn .
n+2
n=1
[Si ricordi l’equivalenza log(1 + n1 ) ∼
1
n
(n → ∞).]
Esercizio 12
Determinare il raggio di convergenza e l’insieme di convergenza della serie di potenze
∞
X
1 n
√ x .
2 n
n=1
Esercizio 13
Determinare lo sviluppo in serie di Taylor delle seguenti funzioni, centrato nei punti indicati,
indicandone il raggio di convergenza:
1. f (x) = e1−x
2. f (x) =
2
(x0 = 0)
1
2x−3
(x0 = 0)
3. f (x) = log(1 + x)
(x0 = 1)
Esercizio 14
Sviluppare in serie di McLaurin la funzione
f (x) =
2x − 8
x2 − 8x + 12
precisando il raggio di convergenza. Utilizzare il risultato ottenuto per calcolare f (n) (0) per n
generico.
Svolgimenti
Esercizio 1
Per la determinazione del raggio di convergenza utilizziamo il criterio del rapporto, calcolando
an+1
(n2 + 2)2n
1 n2 + 2
1
= lim
=
lim
= .
n→∞ an
n→∞ ((n + 1)2 + 2)2n+1
n→∞ 2 n2 + 2n + 3
2
lim
Il raggio di convergenza è quindi R = 2. Nel punto x = 2 la serie si riduce a
∞
X
n=0
che converge (è equivalente a
P
(n2
1
,
+ 2)
1/n2 ), mentre per x = −2 abbiamo la serie
∞
X
(−1)n
,
(n2 + 2)
n=0
che è (assolutamente) convergente. Quindi la serie proposta converge in [−2, 2].
Esercizio 2
Con la sostituzione z = x3 ci riconduciamo alla serie
∞
X
n + 1 zn
n=1
n + 2 3n
.
Applichiamo il criterio del rapporto, calcolando
1
n + 2 n + 2 3n
= .
n+1
n→∞ n + 3 n + 1 3
3
La serie (nella variabile z) ha raggio di convergenza Rz = 3; quindi converge per |z|
< 3;
√
3
3
ricordando la sostituzione fatta, la serie
iniziale converge per |x | < 3, cioè per |x| < 3. Il
√
3
raggio di convergenza
è
quindi
R
=
3.
√
Per x = 3 3 otteniamo la serie numerica
lim
∞
X
n+1
n=1
n+2
,
che non converge in quanto il suo termine generale
non tende a zero (condizione necessaria di
√
3
convergenza delle serie numeriche). Per x = − 3 otteniamo la serie numerica
∞
X
(−1)n
n=1
n+1
;
n+2
anche questa serie non converge in quanto il suo termine generale non ammette limite (per n
pari la successione dei suoi termini tende a 1, mentre per n dispari
√ √ tende a -1).
L’insieme di convergenza della serie proposta è quindi (− 3 3, 3 3).
Esercizio 3
Determiniamo il raggio di convergenza con il criterio della radice. Si ha
√
n
1
1
= lim √
an = lim √
= 1,
n→∞ ( n n)a
n→∞ n na
√
√
dove abbiamo usato il limite fondamentale limn→∞ n n = 1. (Possiamo anche scrivere n na =na/n =
ea log n/n → e0 = 1, ricordando il limite fondamentale limn→∞ log n/n = 0.) Il raggio di convergenza è quindi R = 1 per ogni valore a > 0.
Studiamo il comportamento nell’estremo x = 1; la serie
lim
n→∞
∞
X
1
na
n=1
converge se a > 1, diverge se a ≤ 1.
Sostituendo invece x = −1, abbiamo la serie a segni alterni
∞
X
(−1)n
n=1
na
.
Questa serie è convergente per ogni valore di a > 0, per il criterio di Leibniz. Infatti il
termine generale è decrescente e infinitesimo.
L’insieme di convergenza della serie proposta è quindi [−1, 1) se a ≤ 1 e [−1, 1] se a > 1.
Esercizio 4
P
La serie assegnata non è della forma
an z n ; per ricondurla a questa forma scriviamo
∞
X
[2(x − 1/2)]n
n=1
3n + 1
=
∞
X
2n (x − 1/2)n
n=1
3n + 1
.
Con la sostituzione z = x − 1/2 ci riconduciamo a una serie centrata nell’origine:
∞
X
2n z n
.
3n + 1
n=1
Il raggio di convergenza di questa serie è Rz = 3/2, come si verifica con il criterio della radice
o del rapporto; agli estremi dell’intervallo la serie non converge (in entrambi i casi si ottiene
una serie il cui termine generale non è infinitesimo), per cui l’insieme di convergenza risulta
{z : −3/2 < z < 3/2}. Tenendo conto della sostituzione z = x − 1/2, la serie proposta converge
per |x − 1/2| < 3/2 e ha dunque raggio di convergenza R = 3/2 e insieme di convergenza
{x : −1 < x < 2}.
P n n
Possiamo anche porre subito 2x − 1 = t, ottenendo la serie ∞
0 t /(3 + 1). Questa ha
raggio di convergenza Rt = 3, quindi la serie iniziale converge per −3 < 2x − 1 < 3, cioè per
−1 < x < 2.
Esercizio 5
P
n
Scrivendo la nostra serie come ∞
n=1 an x abbiamo che la successione dei coefficienti an è
1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, ..., 0, 1, 0, 0, 0, ... ,
dove gli zeri non si ripetono con regolarità ma in blocchi “sempre più grandi” all’aumentare di
n. Non è quindi possibile operare una sostituzione z = xk allo scopo di ottenere una serie con
coefficienti tutti non nulli.
Per studiare l’insieme di convergenza della serie assegnata procediamo direttamente, trattandola come una serie numerica (per ogni valore fissato di x). È immediato osservare che la
serie diverge in x = 1 e in x = −1, mentre converge per |x| < 1. Infatti se |x| < 1 possiamo
affermare che
∞
X
|xn! | = |x| + |x2 | + |x6 | + . . . ≤ |x| + |x2 | + |x3 | + |x4 | + |x5 | + . . . ;
n=1
la serie maggiorante è la serie geometrica presa in modulo, che sappiamo essere convergente per
|x| < 1. Dal criterio del confronto discende l’assoluta convergenza della serie proposta, che ha
quindi raggio di convergenza uguale a uno e insieme di convergenza (−1, 1).
Un altro metodo per studiare la convergenza è quello di applicare il criterio del rapporto
alla serie numerica di termini bn = xn! = |x|n! (questa vale per ogni n ≥ 2 essendo n! pari):

se |x| < 1,
 0
bn+1
|x|(n+1)!
(n+1)!−n!
n n!
+∞
se
|x| > 1,
=
=
|x|
=
|x|
→

bn
|x|n!
1
se |x| = 1.
Dunque la serie converge per |x| < 1 e diverge per |x| > 1, e quindi R = 1.
Esercizio 6
Applichiamo il criterio della radice. Posto an = (1/3 + 1/n)n si ha
√
lim n an = lim 13 + n1 = 13 .
n→∞
n→∞
Il raggio di convergenza è allora R = 3.
Per x = 3 la serie di potenze diventa
∞
X
1
3
+
1 n
n
3n .
n=1
Questa serie diverge in quanto il termine n-esimo (1 + 3/n)n tende a e3 6= 0.
Per x = −3 si ottiene la serie
∞
X
(−1)n
1
3
+
1 n
n
3n ,
n=1
che non converge perchè il termine n-esimo (−1)n (1 + 3/n)n non ha limite per n → ∞ (e quindi
non tende a zero). Infatti la successione dei termini di indice pari tende a e3 , quella dei termini
di indice dispari a −e3 . L’insieme di convergenza è dunque (−3, 3).
Esercizio 7
Posto an =
(1+log 2)n
n 2n
si ha
lim
n→∞
√
n
1+log
2
√
n
n→∞ 2 n
an = lim
=
1+log 2
,
2
P 1
Per x = R la serie di potenze si riduce alla serie armonica ∞
1 n , che
P∞ (−1)n
diverge. Per x = −R otteniamo invece la serie armonica a segni alterni 1
n , che converge
2
2
,
).
per il criterio di Leibniz. L’insieme di convergenza è dunque [− 1+log
2 1+log 2
da cui R =
2
1+log 2 .
Esercizio 8
Posto an =
2
n+2 −n
n
lim
si ha
√
n
n→∞
an = lim
n→∞
n+2
n
−n
= lim
n→∞
1
1
= 2.
2 n
e
1+ n
Il raggio di convergenza è R = e2 .
P∞ 2n
Per x = e2 la serie di potenze si riduce alla serie numerica
n=1 e
2
n+2 −n
.
n
2
n+2 −n
2n
.
Proviamo a calcolare il limite per n → ∞ del termine n-esimo an = e
n
t2
2
tutto all’esponente di e e usando lo sviluppo log(1 + t) = t − 2 + o(t ) si ha
lim an = lim e
n→∞
n→∞
= lim e
2n
Portando
2
2
2 −n
2
= lim e2n e−n log(1+ n )
1+
n→∞
n
2n−n2
“
”
2
2 2
− 12 ( n
) +o( 12 )
n
n
n→∞
= lim e2n−2n+2+o(1) = e2 6= 0.
n→∞
P∞
an non può convergere (essendo a termini positivi essa
2
P∞
n 2n n+2 −n ,
diverge). Per x =
si procede in modo analogo: si ottiene la serie
1 (−1) e
n
che non può convergere in quanto il termine n-esimo non tende a zero. Concludiamo che
l’insieme di convergenza è l’intervallo aperto (−e2 , e2 ).
Poichè an non tende a zero, la serie
1
−e2
Esercizio 9
Posto an =
2n +n3
3n +n2
si ha
lim
n→∞
√
n
2
an = lim
n→∞ 3
1+
1+
n3
2n
n2
3n
!1/n
2
= .
3
Dunque R = 3/2. Agli estremi la serie non converge. Infatti per x = 3/2 si ottiene la serie
P∞ 1+ n2n3
, il cui termine generale tende a 1 6= 0, mentre per x = −3/2 si ottiene la serie
1
n2
1+ 3n
P∞
1
(−1)n
3
1+ 2nn
2
1+ n
3n
, il cui termine generale non ha limite. L’insieme di convergenza è dunque
(−3/2, 3/2).
Esercizio 10
Applichiamo il criterio del rapporto. Posto an =
(2n)!
si ha
5n (n!)2
(2n + 2)!
5n (n!)2
(2n + 2)(2n + 1)
an+1
4
= lim n+1
= lim
= .
2
2
n→∞ an
n→∞ 5
n→∞
((n + 1)!) (2n)!
5(n + 1)
5
lim
Il raggio di convergenza è R = 5/4.
Per x = 5/4 otteniamo la serie
∞
X
(2n)!
.
4n (n!)2
n=1
Il criterio del rapporto non ci dice nulla in quanto il rapporto√dei coefficienti tende a 1, come si
verifica subito. Applicando la formula di Stirling n! ∼ nn e−n 2πn otteniamo
√
√
4n n2n e−2n 4πn
(2n)!
(2n)2n e−2n 4πn
1 1
∼
=√ √ .
√
2 = n 2n −2n
4n (n!)2
4
n
e
2πn
n
n
−n
π n
4 n e
2πn
Per il criterio del confronto asintotico la serie si comporta come la serie
in quanto 1/2 ≤ 1.
Per x = −5/4 si ottiene la serie
∞
X
(−1)n
n=1
P∞
1
1 n1/2 ,
che diverge
(2n)!
.
4n (n!)2
1 1
(2n)!
si ha an ∼ √ √ e dunque
4n (n!)2
π n
decrescente. Si ha
Posto an =
lim an = 0. Dimostriamo che an è
n→∞
(2n + 2)!
(2n)!
≤ n
4n+1 ((n + 1)!)2
4 (n!)2
(2n + 2)(2n + 1)
⇐⇒
≤1
4(n + 1)2
⇐⇒ 4n2 + 6n + 2 ≤ 4n2 + 8n + 4
an+1 ≤ an ⇐⇒
⇐⇒ 2n + 2 ≥ 0.
Questa è verificata ∀n ∈ N. La serie converge allora per il criterio di Leibniz.
L’insieme di convergenza è [−5/4, 5/4).
Esercizio 11
Posto an = log
n+3
n+2
(n → ∞), abbiamo
1
1
1
= log 1 +
(> 0 ∀n) e ricordando che log(1 + ) ∼
n+2
n
n
1
1
1
log
1
+
n+3
an+1
n
∼ n+3
∼
=
1
1 = 1.
1
an
log 1 + n+2
n+2
n
Dunque an+1 /an → 1 e per il criterio del rapporto il raggio di convergenza è R = 1. Possiamo
P
1
1
anche procedere osservando che an = log 1 + n+2
∼ n+2
∼ n1 , e dunque
an xn deve avere
P xn
, cioè 1.
lo stesso raggio di convergenza di
n
∞
X
n+3
Per x = 1 la serie
log
diverge per il criterio del confronto asintotico, essendo
n+2
1
log
n+3
n+2
∼
1
1
∼
n+2
n
(n → ∞).
∞
X
n+3
Per x = −1 la serie
(−1)n log
converge invece per il criterio di Leibniz. Infatti
n+2
1
n+3
n+3
si ha lim log
= log 1 = 0. Inoltre la successione an = log
è decrescente in
n→∞
n+2
n+2
quanto la disuguaglianza
1
1
an+1 ≤ an ⇐⇒ log 1 +
≤ log 1 +
n+3
n+2
1
1
⇐⇒ 1 +
≤1+
n+3
n+2
1
1
⇐⇒
≤
n+3
n+2
⇐⇒ n + 3 ≥ n + 2
è verificata ∀n ∈ N. L’insieme di convergenza è [−1, 1).
Esercizio 12
√
Applicando il criterio della radice con an = 1/2 n si ha
√
n
1
an =
2
→
√1
n
1
= 1.
20
Il raggio di convergenza è dunque R = 1.
Per x = −1 otteniamo la serie a segni alterni
∞
X
(−1)n
√
n=1
2
n
,
√
che converge per il criterio di Leibniz in quanto 1/2
Per x = 1 otteniamo la serie a termini positivi
n
tende a zero decrescendo.
∞
X
1
√ .
2 n
n=1
Per studiarne la convergenza, osserviamo che la successione
rapidamente della successione
lim
1
√
n
2
n→∞ 12
n
1
1
= 2 log n . In effetti si ha
2
n
e
1
2
√
n
=
√
e
1
n log 2
tende a zero più
√
n2
2 log n− n log 2
√ = lim e
= e−∞ = 0,
n→∞ 2 n
n→∞
= lim
∞
∞
X
X
1
1
1
√ converge
)
(n
→
∞).
Poichè
la
serie
converge,
anche
la
serie
2
2
n
n
n
2
2 n
1
n=1
per il criterio del confronto asintotico.
cioè
1
√
= o(
L’insieme di convergenza è [−1, 1].
Esercizio 13
2
1. Poichè f (x) = e e−x , utilizzando lo sviluppo della funzione esponenziale
z
e =
∞
X
zn
n=0
n!
e operando la sostituzione z = −x2 , otteniamo
f (x) = e
∞
X
(−x2 )n
n!
n=0
∞
X
(−1)n x2n
=e
n!
n=0
.
La serie esponenziale converge per ogni z reale e quindi la serie data converge per ogni x
reale (R = +∞).
2. Possiamo calcolare lo sviluppo di f (x) riconducendoci alla serie geometrica
∞
X
1
=
zn,
1−z
(|z| < 1).
n=0
Scriviamo
f (x) =
1
1
=
2x − 3
−3 1 −
2x
3
=−
1 1
3 1 − 2x
3
e sostituiamo z = 2x/3, ottenendo
∞
1X
f (x) = −
3
n=0
2x
3
n
∞
1X
=−
3
n=0
2n
3n
xn .
Poichè la serie geometrica converge per |z| < 1, tenendo conto della sostituzione effettuata
3
vediamo che la serie ottenuta converge se | 2x
3 | < 1, vale a dire per |x| < 2 . Dunque
R = 3/2. È immediato verificare che la serie non converge nei punti x = 3/2 e x = −3/2.
3. Con la sostituzione t = x − 1 ci riconduciamo allo sviluppo centrato in t0 = 0 della
funzione log(2 + t), che scriviamo nella forma
t
t
log(2 + t) = log 2 1 +
= log 2 + log 1 +
.
2
2
Utilizzando lo sviluppo della funzione log(1 + z):
log(1 + z) =
∞
X
(−1)n+1 z n
n=1
n
,
per |z| < 1,
con la sostituzione z = t/2, otteniamo
log(2 + t) = log 2 +
∞
X
(−1)n+1 tn
n=1
n2n
che converge quando |t/2| < 1, cioè quando |t| < 2, e infine
,
log(1 + x) = log 2 +
∞
X
(−1)n+1 (x − 1)n
n2n
n=1
.
Questa serie converge se |x − 1| < 2 (⇒ R = 2), cioè nell’intervallo (−1, 3). Nel punto
x = 3 converge, in quanto si riduce alla serie armonica a segni alterni. Nel punto x = −1
si ottiene invece la serie
log 2 +
∞
X
(−1)n+1 (−1)n 2n
n2n
n=1
= log 2 +
∞
X
(−1)2n+1
n=1
n
= log 2 −
∞
X
1
,
n
n=1
che è divergente.
Esercizio 14
Conviene decomporre f (x) in fratti semplici e sviluppare le due funzioni ottenute:
2x − 8
1
1
1
1
=
+
=
+
x2 − 8x + 12
x−6 x−2
−6(1 − x/6) −2(1 − x/2)
P n
Utilizzando la serie geometrica (1 − z)−1 = ∞
0 z , con le sostituzioni z = x/6 e z = x/2
rispettivamente, otteniamo
f (x) =
∞
∞
∞
∞
∞ X
X
X
1 X xn 1 X xn
xn
xn
1
1
f (x) = −
−
=−
−
=
− n+1 − n+1 xn
6
6n
2
2n
6n+1
2n+1
6
2
n=0
n=0
n=0
n=0
n=0
.
P
P
La serie (x/6)n converge per |x/6| < 1, cioè per |x| < 6. Analogamente la serie (x/2)n
converge per |x| < 2. Il raggio di convergenza della serie di Mc Laurin di f è dunque R = 2.
Infine, ricordando la formula dello sviluppo in serie di Taylor, si ha che
f (n) (0)
1
1
= − n+1 − n+1
n!
6
2
e quindi
f (n) (0) = −
n!
n!
−
.
6n+1 2n+1