4 Sottoinsiemi chiusi di uno spazio metrico

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Sottoinsiemi chiusi di uno spazio metrico
(4.1) Definizione. Sia A ⊂ X un sottoinsieme di uno spazio metrico X.
Un punto x ∈ X si dice di accumulazione (anche: punto limite) per A in X
se per ogni r > 0 l’intersezione Br (x) ∩ A contiene almeno un punto oltre al
centro x.
Idea: i punti di accumulazione di A dovrebbero essere i punti limite di
successioni in A. Se A = {xn }n∈N ⊂ X è una successione convergente, allora
il limite della successione è punto limite di A. È davvero cosı́?
(4.2) Definizione. Sia X uno spazio metrico. Un sottoinsieme C ⊂ X si
dice chiuso se contiene tutti i suoi punti di accumulazione.
(4.3) Il complementare in X di un chiuso è aperto. Il complementare in X
di un aperto è chiuso. Quindi C ⊂ X è chiuso se e solo se X ! C è aperto.
Dimostrazione. Sia C ⊂ X un chiuso e x ∈ X ! C. Dato che C è chiuso,
x non può essere un punto di accumulazione, e quindi esiste r > 0 per cui
Br (x) ∩ C = ∅. Ma allora Br (x) ⊂ (X ! C) e quindi X ! C è intorno di x.
Per l’arbitrarietà di x in X ! C si ha che X ! C è aperto.
Viceversa, sia A ⊂ X un aperto e sia C il complementare X ! A. Se
x è un punto di accumulazione di C allora non è un punto di A: infatti, A
sarebbe intorno di x, per cui ci sarebbe r > 0 tale che Br (x) ⊂ A, ma allora
Br (x) ∩ C ⊂ A ∩ C = ∅, cioè x non sarebbe di accumulazione per C. In
altre parole, i punti di accumulazione di C sono contenuti in C e dunque C
è chiuso.
q.e.d.
(4.4) L’insieme C di tutti i chiusi di uno spazio metrico X verifica le seguenti
proprietà:
(i) ∅ ∈ C, X ∈ C,
!
(ii) B ⊂ C =⇒ C∈B C ∈ C,
"
(iii) B ⊂ C, B è finito, allora C∈B C ∈ C.
Dimostrazione. Basta considerare la proposizione (3.17) e il fatto che i chiusi
sono i complementari degli aperti (dualità).
q.e.d.
(4.5) Definizione. Sia A ⊂ X. L’unione di A con l’insieme di tutti i suoi
punti di accumulazione si dice chiusura di A in X e si indica con A.
(4.6) Nota. La chiusura A di A contiene A. Inolre, se A ⊂ B, si ha che
A ⊂ B (esercizio (2.5)).
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(4.7) La chiusura A di A è il più piccolo insieme chiuso che contiene A (in
altre parole: l’intersezione di tutti i chiusi che contengono A). In particolare,
è un chiuso.
Dimostrazione. Per prima cosa vediamo che A è chiuso e per farlo mostriamo
che X ! A è aperto. Se x ∈ X ! A, cioè x non è né punto di A né punto
di accumulazione, allora in particolare esiste r > 0 per cui Br (x) ∩ A = ∅;
d’altro canto Br (x) è aperto (cioè intorno di ogni suo punto), e quindi non
può contenere punti di accumulazione per A. Ma allora Br (x) ∩ A = ∅, cioè
Br (x) ⊂ X ! A.
Ora, consideriamo un insieme chiuso C che contiene A. Dato che A ⊂ C,
si ha che A ⊂ C, ed essendo C chiuso si ha: C = C. Ma allora A ⊂ C,
cioè A è contenuto in tutti i chiusi che contengono A. Essendo A chiuso, in
particolare A è un chiuso contenente A, e quindi la tesi.
q.e.d.
(4.8) Corollario. Un insieme A ⊂ X è chiuso se e solo se coincide con la
sua chiusura A = A.
(4.9) Sia f una funzione f : X → Y tra spazi metrici. Le tre proposizioni
seguenti sono equivalenti:
(i) f è continua
(ii) ∀A ⊂ X, f (A) ⊂ f (A).
(iii) per ogni C ⊂ Y chiuso, la sua controimmagine f −1 (C) ⊂ X è chiuso.
Dimostrazione. Supponiamo f continua. Mostriamo che 1 =⇒ 2. Sia x ∈
A. Se x ∈ A, allora f (x) ∈ f (A) ⊂ f (A), e quindi f (x) ∈ f (A). Se x ∈ A!A,
allora x deve essere di accumulazione per A. Vogliamo mostrare che o f (x)
appartiene a f (A) oppure ne è punto di accumulazione. Se f (x) ∈ f (A),
allora non c’è altro da dimostrare. Supponiamo altrimenti che f (x) (∈ f (A).
Ora, dato che f è continua, per ogni r > 0 la controimmagine dell’intorno
circolare f −1 (Br (f (x))) è un intorno di x, e quindi esiste ! > 0 (che dipende
da r e x) per cui B! (x) ⊂ f −1 (Br (f (x))). Ma x è di accumulazione per A,
e quindi B! (x) ∩ A (= {x}, cioè esiste un punto z ∈ B! (x) ∩ A, z (= x, ed in
particolare
f (z) ⊂ Br (f (x))
Dato che stiamo supponendo f (x) (∈ f (A) e che z ∈ A, si ha che f (z) ∈ f (A)
e quindi f (z) (= f (x). Cioè, per ogni r > 0 l’intorno Br (f (x)) contiene punti
di f (A) diversi da f (x), e quindi f (x) è di accumulazione per f (A).
Ora dimostriamo che (ii) =⇒ (iii). Sia C ⊂ Y un chiuso e A = f −1 C la
sua controimmagine in X. Dal momento che f (A) ⊂ f (A), e che f (A) ⊂ C,
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f (A) ⊂ C = C, e quindi A ⊂ f −1 C. Ne segue che A ⊂ A, da cui A = A,
visto che anche A ⊂ A.
Ora dimostriamo che (iii) =⇒ (i). Se A ⊂ Y è aperto, allora C = Y ! A
è chiuso in Y , e quindi f −1 C è chiuso in X, il che implica che X ! f −1 C è
aperto. Ma
X ! f −1 C = {x ∈ X : f (x) (∈ C} = f −1 (X ! C) = f −1 (A),
quindi f −1 (A) è aperto.
q.e.d.
(4.10) Nota. Continuità: f (lim) = lim(f ) . . .
Ancora: Tutti i punti di uno spazio metrico sono chiusi. Infatti, se y (=
x ∈ X e r = d(x, y), allora r > 0 e y ∈ Br/2 (y) () x, cioè X ! {x} è aperto.
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Spazi topologici
Cfr: Cap I § 2-3, Sernesi Vol II [1].
Se si analizzano le dimostrazioni delle proprietà finora vista degli aperti,
chiusi e funzioni continue di spazi metrici, ci si rende conto che la metrica
serve solo per definire la famiglia degli intorni circolari e alcune proprietà
caratterizzanti.
Sia X un insieme. Una famiglia di sottoinsiemi A ⊂ 2X che verifica le
proprietà di (3.17) consente di fatto di introdurre una definizione non solo
metrica di continuità.
(5.1) Definizione. Una famiglia A ⊂ 2X di sottoinsiemi di un insieme X si
dice topologia se verifica le seguenti proprietà:
(i) ∅ ∈ A, X ∈ A,
"
(ii) B ⊂ A =⇒ B∈B B ∈ A,
!
(iii) B ⊂ A, B è finito, allora B∈B B ∈ A.
Uno spazio X munito di una topologia A ⊂ 2X (spesso indicata con la lettera
τ ) viene detto spazio topologico 5 e gli elementi di A si dicono gli aperti di X.
È banale verificare che la definizione di aperto di uno spazio metrico consente di associare ad ogni spazio metrico una topologia come nella definizione
(3.19), che è detta anche topologia metrica. Sappiamo già che spazi metrici
diversi possono avere la stessa topologia metrica (se le metriche sono equivalenti). Non tutti gli spazi topologici però ammettono l’esistenza di una
metrica che genera la topologia (cioè, non tutti sono metrizzabili).
(5.2) Esempio. Consideriamo le due topologie estreme, cioè quella con più
aperti possibile e quella con meno aperti possibile.
(i) Topologia banale: ha solo i due aperti A = {∅, X} ⊂ 2X (che devono
esistere per poter soddisfare tutti gli assiomi della definizione (5.1)).
(ii) Topologia discreta: tutti i sottoinsiemi sono aperti A = 2X .
Questo serve a rilassare il concetto di “vicinanza” che è intrinseco per gli
spazi metrici.
Cosı̀ come uno spazio metrico X è più propriamente una coppia (X, d), anche uno
spazio topologico dovrebbe essere indicato come coppia (X, τ ) con τ ⊂ 2X , ma per brevità
la topologia non viene espressamente indicata, se non quando necessario.
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(5.3) Definizione. Se X è uno spazio topologico, A ⊂ X è un sottoinsieme
e x ∈ A, si dice che A è un intorno di x se contiene un aperto B tale che
x ∈ B ⊂ A.6 Allora x si dice punto interno di A.
Possiamo anche definire funzioni continue usando la caratterizzazione del
teorema (3.14).
(5.4) Definizione. Siano X e Y spazi topologici. Una funzione f : X → Y
si dice continua se per ogni aperto A ⊂ Y la controimmagine f −1 A è aperto
di X.
Anche il concetto di sottoinsieme chiuso, di punto di accumulazione e di
chiusura può essere esteso agli spazi topologici, utilizzando il fatto che gli
aperto sono per definizione intorni dei propri punti.
(5.5) Definizione. Sia A ⊂ X un sottoinsieme di uno spazio topologico X.
Un punto x ∈ X si dice di accumulazione (anche: punto limite) per A in
X se per ogni intorno B di x l’intersezione B ∩ A contiene almeno un altro
punto oltre a x. La chiusura A di A è definita come l’unione di A con tutti i
suoi punti di accumulazione.
(5.6) Sia X uno spazio topologico e C ⊂ X un suo sottoinsieme. Le seguenti
proposizioni sono equivalenti.
(i) X ! C è aperto.
(ii) C contiene tutti i suoi punti di accumulazione.
Dimostrazione. Basta ripetere la dimostrazione di (4.3) sostituendo ovunque
intorni aperti invece che intorni circolari.
q.e.d.
(5.7) Definizione. Un sottoinsieme C ⊂ X di uno spazio topologico si dice
chiuso se una delle due proposizioni equivalenti di (5.6) è verificata.
Ancora, cambiando di poco la dimostrazione di (4.7) si può dimostrare
che (vedi esercizio (2.8)):
(5.8) La chiusura A di un sottoinsieme A ⊂ X è il più piccolo sottoinsieme
chiuso di X che contiene A (in altre parole: l’intersezione di tutti i chiusi
che contengono A). In particolare, è un chiuso.
6
Alcuni definiscono intorni solo gli aperti che contengono x.
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Base di una topologia
La topologia metrica è generata dalla famiglia di tutti gli intorni circolari,
nel senso che gli aperti sono tutti e soli le unioni di intorni circolari. Ci si
può chiedere quando una famiglia di insiemi genera una topologia in questo
modo. Basta prendere le proprietà degli intorni circolari di spazi metrici di
(3.18).
(5.9) Definizione. Una famiglia di sottoinsiemi B ⊂ 2X di un insieme X si
dice base se le seguenti proprietà sono soddisfatte:
(i) per ogni x ∈ X esiste almeno
" un elemento della base B ∈ B che contiene
x (equivalentemente, X = B∈B B).
(ii) Se B1 , B2 ∈ B e x ∈ B1 ∩ B2 , allora esiste Bx ∈ B tale che x ∈ Bx ⊂
B1 ∩ B2 (equivalentemente, B1 ∩ B2 è unione di elementi della base).
Possiamo riscrivere (3.18) dicendo: gli intorni circolari costituiscono una
base. Il modo di generare una topologia a partire da una base procede
dall’osservazione che gli aperti sono le unioni di intorni circolari.
(5.10) Sia X un insieme. Data una base B ⊂ 2X , sia A ⊂ 2X la famiglia
di tutte le unioni di elementi di B unita a ∅. Allora A è una topologia per X
ed è la più piccola topologia in cui gli elementi della base B sono aperti.
Dimostrazione. Esercizio.
q.e.d.
(5.11) Definizione. La topologia generata come in (5.10) si dice topologia
generata dalla base B.
(5.12) Esempio. In X = N = {1, 2, 3, . . .} siano Bi = {ki : k ∈ N} = {n ∈
N : n ≡ 0 mod i}. Sono una base? La topologia in N è quella metrica? È
quella discreta? È metrizzabile (cioè può essere generata da una metrica)?
5.2
Topologia indotta (topologia dei sottospazi/sottospazi
topologici)
Cfr: Sernesi, Vol II, Cap II §5 [1].
Se X è uno spazio topologico, la topologia τ di X induce una topologia,
detta topologia indotta per restrizione sui sottospazi Y ⊂ X. Cioè, per
definizione A ⊂ Y è aperto se e solo se esiste U ⊂ X aperto la cui intersezione
con Y è A: gli aperti di Y sono tutte e sole le intersezioni
A=Y ∩U
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di aperti di X con Y . Quando si considerano sottoinsiemi di uno spazio
topologico, si assume che abbiano la topologia indotta, se non esplicitamente
indicato in altro modo.
(5.13) Nota. Tutti gli intervalli del tipo [a, b), con a < b costituiscono una
base per la retta reale R. La topologia che ne risulta ha piú aperti di quella
generata dalla metrica euclidea. Gli intervalli del tipo (−∞, b), con b ∈ R
sono una base? Se sı́, essa genera una topologia con piú o meno aperti di
quella euclidea? Esiste una metrica che genera questa topologia? Quando
una funzione è semicontinua superiormente?
Topologie finite
Sia X un insieme: ricordiamo che R una relazione (binaria) su X è una
forma proposizionale su X × X, cioè una funzione R : X × X → {0, 1} (o
Vero/Falso), indicata nei due modi R(x, y) = xRy. La relazione è simmetrica
se per ogni x ∈ X si a che xRx = 1 (è vero), e transitiva se per ogni
x, y, z ∈ X si ha che xRy = yRz = 1 =⇒ xRz = 1. Una relazione binaria
simmetrica e transitiva è detta relazione di preordine parziale.
(5.14) Nota. Sia X un insieme finito, con una topologia A. Allora A
definisce una relazione di preordine parziale R su X (che possiamo indicare
con RA ) nel modo seguente: se x, y ∈ X, si definisce
xRy ⇐⇒ (“ogni aperto U di X che contiene x contiene anche y”)
che è una relazione riflessiva e transitiva (perché?).
(5.15) Nota. Se R è una relazione di preordine parziale su X, allora definiamo una topologia A su X nel modo seguente: sia, per ogni x ∈ X, Ux
l’insieme definito da
Ux = {y ∈ X : xRy}.
Se x1 e x2 sono due elementi di X e z ∈ Ux1 ∩ Ux2 , allora x1 Rz e x2 Rz, e
quindi
Uz = {y ∈ X : zRy} ⊂ Ux1 ∩ Ux2 = {y ∈ X : x1 Ry ∧ x2 Ry},
dato che zRy ∧ x1 Rz =⇒ x1 Ry, zRy ∧ x2 Rz =⇒ x2 Ry. Inolre x ∈ Ux
(perché riflessiva), e dunque gli Ux costituiscono una base per una topologia
di X, la topologia associata alla relazione R.
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Utilizzando (5.14) e (5.15), si può mostrare che le topologie su X sono in
corrispondenza biunivoca con le relazioni riflessive e transitive su X. Problema: come elencare tutte le relazioni riflessive e transitive su un insieme finito
X? È possibile scrivere un algoritmo che le elenca? Vediamo per X = {1, 2}
si hanno le seguenti topologie.
#
$
1 0
1) Matrice (relazione binaria):
0 1
A = {{} , {1} , {2} , {1, 2}} ⊂ 2X
#
$
1 0
2) Matrice (relazione binaria):
1 1
A = {{} , {1} , {1, 2}} ⊂ 2X
#
$
1 1
3) Matrice (relazione binaria):
0 1
A = {{} , {2} , {1, 2}} ⊂ 2X
#
$
1 1
4) Matrice (relazione binaria):
1 1
A = {{} , {1, 2}} ⊂ 2X
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