C8 Il moto circolare uniforme

C8. Il moto circolare uniforme
Nel moto circolare, il punto materiale si muove su una circonferenza; questa può essere percorsa interamente più volte
(come da una lancetta di orologio), oppure solo in parte (come da un’auto in curva), o ancora con moto oscillatorio
(come da un pendolo). Infine, ogni moto vario può essere approssimativamente descritto come una sequenza di moti
circolari, visto che ogni traiettoria curvilinea può essere approssimata localmente a un arco del cerchio osculatore.
Il più semplice moto circolare è il moto circolare uniforme.
Per definizione, si dice uniforme un moto circolare in cui il modulo della
r
velocità sia costante. Si noti però che il vettore velocità v , sempre tangente alla
traiettoria, non è affatto costante, perché cambia continuamente orientazione.
Le coordinate polari
La posizione del punto materiale P è fissata dalle coordinate (x, y) in un
riferimento cartesiano ortogonale. In un problema di moto circolare, conviene
porre l’origine del riferimento nel centro O della circonferenza.
In alternativa, è possibile assegnare le coordinate polari (r, θ) di P:
- si sceglie come l’asse x come asse polare;
r
- θ è l'angolo orientato1 che il vettore r forma con l’asse polare x;
r
- r è il modulo del vettore r .
Le relazioni tra coordinate cartesiane e coordinate polari sono le seguenti:
 x = r cos (θ )

 y = r sen (θ)
;
 r = x 2 + y2


y
 tg(θ ) =
x

La legge oraria del moto circolare
La legge oraria del moto circolare può essere espressa in forme diverse, a seconda di come si intenda determinare la
posizione del punto P:
a)
Usando l’ascissa curvilinea: s = s(t)
 r = cos t
b) Attraverso le coordinate polari: 
 θ = θ (t )
c)
 x = x (t )
Attraverso le coordinate cartesiane: 
 y = y (t )
r r
d) In forma vettoriale: r = r (t )
Tutte queste descrizioni sono equivalenti e, a seconda delle circostanze, si può scegliere quella più vantaggiosa.
1
θ aumenta se P si muove in verso antiorario e diminuisce se P si muove in senso orario.
La legge oraria del moto circolare uniforme in termini dell’ascissa curvilinea s
Detto vo il modulo costante della velocità, si ha:
vo =
ds
dt
da cui si ricava2:
s = vo t + so
Ne segue che nel moto circolare uniforme il punto P percorre archi uguali in tempi uguali.
La velocità angolare
La lunghezza dell’arco ∆s = s2 - s1 è data da:3
∆s = r ∆θ
Dividendo ambo i membri dell'equazione per ∆t, si ottiene:
∆s
∆θ
=r
∆t
∆t
ds
dθ
=r
dt
dt
→
Questa relazione si scrive anche:
v=rω
con
ω=
dθ
dt
ω prende il nome di velocità angolare.
Il segno di ω è legato al verso di percorrenza della circonferenza:
ω>0
ω<0
la circonferenza è percorsa in senso antiorario
la circonferenza è percorsa in senso orario
→
→
l’angolo θ è crescente nel tempo
l’angolo θ è decrescente nel tempo
L’unità di misura di ω nel SI segue dalla definizione di velocità angolare media:
ω=
2
∆θ
∆t
;
[ω] = [∆θ] = rad s −1
[∆t ]
Formalmente, si ottiene s(t) con la tecnica dell’integrale (indefinito oppure definito). Si può però anche ragionare per
induzione: come per il moto rettilineo uniforme x = vo t + xo, così per il moto circolare uniforme s = vo t + so.
3
Si usa qui la definizione di misura dell’angolo in radianti.
La legge oraria del moto circolare uniforme in termini delle coordinate polari
Se il modulo della velocità è costante e pari a vo, dalla definizione di velocità angolare segue che anche ω è costante e
pari a ωo:
vo = r ωo
ωo =
;
vo
r
Partendo dall’espressione s = v o t + s o e dividendo ambo i membri per r, si trova la legge oraria espressa in termini
dell’angolo4:
θ = ωo t + θ o
Da questa legge si vede che nel moto circolare uniforme il punto P copre angoli uguali in tempi uguali.5
La legge oraria del moto circolare uniforme in termini delle coordinate cartesiane
Dall’espressione di θ, si può ricavare la legge oraria in termini delle coordinate cartesiane:
 x = r cos (ωo t + θ o )

 y = r sen (ωo t + θ o )
Da questa formulazione della legge oraria e si determinano, calcolando le derivate, velocità e accelerazione. Ponendo,
per semplicità, θο = 0, si trova:
 x = r cos (ω t )

 y = r sen (ω t )
;
 v x = − r ω sen (ω t )

 v y = r ω cos (ω t )
;
 a x = − r ω2 cos (ω t )

2
 a y = − r ω sen (ω t )
L’accelerazione nel moto circolare uniforme
Nel moto circolare uniforme l’accelerazione tangenziale è nulla, perché il modulo della velocità è costante.
Osservando che a x ∝ x ; a y ∝ y , si ha:
 a x = − ω2 x

2
 a y = − ω y
r
r
a = − ω2 r
→
r
L’equazione vettoriale dimostra che l’accelerazione è un vettore parallelo a r , ma opposto in verso e, dunque, punta
verso il centro. Dunque l’accelerazione centripeta è sempre diversa da zero e vale, in modulo6:
ac = ω2 r
;
ac =
v2
r
;
ac = v ω
4
Si usa qui, nuovamente, la definizione di angolo in radianti:
5
E’ scorretto parlare di “angolo percorso”.
Si passa da un’espressione all’altra ricordando che v = ω r
6
s
=θ
r
I diagrammi a fianco mostrano l’orientazione
r r r
dei vettori r , v , a .
r
r
Si noti che a non cambia se v cambia verso.
Un approccio geometrico al calcolo di ac
Il calcolo eseguito dimostra che l’accelerazione nel moto circolare uniforme è diretta verso il centro e ha modulo
v2
. Questa valutazione può apparire un po’ astratta; perciò è riportato nel seguito, a complemento, un argomento
r
di carattere geometrico.
ac =
r
r
Il disegno in basso mostra come applicare la regola di sottrazione tra vettori per calcolare ∆v = v 2 − v1 . Se si prendono
in considerazione istanti di tempo via via più vicini, l’arco disegnato in nero diventa sempre più piccolo, ma il vettore
∆v si mantiene sempre diretto verso il centro. L’accelerazione ha la stessa orientazione di ∆v ed è dunque centripeta.
r r
Il modulo di ac si può poi determinare studiando il triangolo isoscele formato dai vettori v1 , v 2 , ∆v . Se ∆θ << 1,
∆v
∆θ
 ∆θ 
∆v = 2 v sen 
=v
=vω
 ≈ v ∆θ , da cui a c ≈
∆t
∆t
 2 
Il moto circolare uniforme come moto periodico
Un moto periodico è caratterizzato da questa proprietà: esiste un intervallo di tempo T, detto periodo, tale che ogni
grandezza cinematica assuma nuovamente lo stesso valore dopo il tempo T.
Quindi, in un moto periodico si ha:
r
r
r
r
r
r
r (t + T ) = r (t ) ; v(t + T ) = v(t ) ; a (t + T ) = a (t )
Il moto circolare uniforme è un moto periodico. Il periodo T è il tempo necessario a percorrere un giro.
Si consideri per semplicità θο = 0, sicché la legge oraria si scrive:
θ=ωt
Nell’istante t = T, il punto materiale ha compiuto un giro, cioè θ = 2π. Si ha quindi:
2π = ω T
ω=
;
2π
T
La frequenza ν è il numero di giri fatti nell’unità di tempo7; dunque è l’inverso del periodo, cioè:
ν=
1
, da cui si ha anche ω = 2π ν
T
Una nota sulle unità di misura: Nel SI, [ω] = s-1 e anche [ν] = s-1. Tuttavia, ω è ν sono grandezze fisiche non omogenee;
per esempio, non ha senso fisico sommare una velocità angolare a una frequenza. Per rendere chiara questa circostanza,
nel SI l’unità di misura della frequenza è detta Hz e, pur essendo opzionale8, si indica nell’unità di ω il simbolo rad
(radianti). Quindi si scrive correntemente:
[ω] = rad s-1
;
[ν] = Hz
Infine, si ricordi che l’unità pratica di misura della frequenza è
[ν] = giri min-1 = rpm
7
(rounds per minute)
;
60 rpm = 1 Hz
La lettera greca ν viene letta “ni” nella tradizione latina, “nu” in quella anglosassone, che recepisce la dizione
orientale. L’uso dell’alfabeto greco per rappresentare simboli di uso tecnico è molto consolidato. E’ consigliabile che
gli studenti lo conoscano bene!
8
Si ricordi che i radianti sono numeri.
La condizione di incontro tra due punti
Nel caso del moto rettilineo, la condizione perché due punti materiali distinti si incontrino è che in un certo istante ad
essi sia associato lo stesso valore dell’ascissa x. Si potrebbe pensare che nel moto circolare la condizione debba essere
riproposta in modo simile, in termini dell’ascissa curvilinea o dell’angolo θ, ma non è così. Si deve infatti tenere conto
del fatto che le posizioni individuate dall’angolo θ e dall’angolo θ + 2π n, con n intero, sono identiche!
Si consideri ad esempio il moto della lancetta delle secondi e di quella dei minuti e ci si proponga di determinare in
quali istanti esse si allineano. Posto T1 = 60 s, T2 = 3600 s, la velocità angolare della lancetta dei secondi vale
2π
2π
ω1 =
= 0.1047 rad s −1 e quella dei minuti ω2 =
= 0.0017 rad s −1 . Preso l’istante t = 0 alla mezzanotte, le leggi
T1
T2
orarie si scrivono:
θ1 = ω1t
θ 2 = ω2 t
Le due lancette si incontrano quando θ1, θ2 hanno la stessa ampiezza modulo 2π; cioè in tutti gli istanti tn che
soddisfano l’equazione:
ω1t n − ω2 t n = 2π n
tn =
;
2π n
ω1 − ω2
da cui t1 = 61 s, t2 = 122 s, ecc.
Il moto armonico come proiezione del moto circolare uniforme
Il moto circolare uniforme ha un interessante nesso con il moto armonico: se il punto P si muove di moto circolare
uniforme, la sua proiezione H sull’asse delle ascisse si muove di moto armonico.
Posizione, velocità e accelerazione di H coincidono con le componenti x dei vettori posizione, velocità, accelerazione
di P. Se θo = 0, si ha:
x = r cos (ω t )
v x = − r ω sen (ω t )
;
;
a x = − r ω2 cos (ω t )
Queste equazioni coincidono con quelle dell’oscillatore armonico di ampiezza
A = r, pulsazione ω, fase iniziale φo = 0.
Si faccia attenzione al significato fisico del simbolo ω:
moto circolare
moto armonico
→
→
velocità angolare
pulsazione
Il moto armonico è un moto rettilineo: è scorretto descriverlo in termini di
velocità angolare!