Interne Unternehmensrechnung

Interne Unternehmensrechnung
Wahlpflichtkurs Bachelor
WS 2015/16
Prof. Dr. Barbara Schöndube-Pirchegger
Lehrstuhl für Unternehmensrechnung und Controlling
1
Allgemeine Informationen
•
Kontakt
– Büro: Vilfredo Pareto Gebäude (G 22), Raum E 209
– Sprechstunde: Do. 11-12 Uhr oder nach Vereinbarung
– email: [email protected]
– Tel.: 67 58728
•
Website:
http://www.bwl1.ovgu.de/
2
Allgemeine Informationen
•
•
Vorlesung:
Vermittlung der fachlichen Inhalte
Fr, 11:15-12:45
•
•
Übung:
Auseinandersetzung mit dem Vorlesungsstoff anhand von Aufgaben
Do. 13:15-14:45
bei Herrn Jamm,
1. Termin: 29.10.2015
3
Allgemeine Informationen
•
Lehrbuch:
– Ewert, R. / Wagenhofer, A., „Interne Unternehmensrechnung“, 8.
Auflage, Springer 2014.
– Verfügbar unter Springerlink
– Spezielle Literatur wird gegebenenfalls in der LV bekannt gegeben
•
Lehrveranstaltungsunterlagen:
– Folien werden vor der Veranstaltung auf der Website bereitgestellt
– Übungsblätter
•
Leistungsbeurteilung:
– Klausur am Ende des Semesters
4
Lernziele der Veranstaltung
Zielsetzung:
• Studierende sollen verschiedene Instrumente der internen
Unternehmensrechnung kennenlernen
• Sie sollen in der Lage sein, Stärken und Schwächen dieser
Instrumente vor dem Hintergrund ihrer Einsatzbedingungen im
Unternehmen kritisch zu hinterfragen
Dazu gehört:
• Die Untersuchung von Entscheidungsproblemen im Unternehmen
• Die Untersuchung von Steuerungsproblemen im Unternehmen
• Die Analyse der Frage, welchen Beitrag die interne
Unternehmensrechnung und ihre Instrumente zur Lösung dieser
Probleme leisten können
5
Einordnung in den Studienverlauf
Kosten- und
Leistungsrechnung
Kosten- und
Leistungsmanagement
Entscheidungsunterstützungsfunktion
•
Entscheidungsbeeinflussungsfunktion
VL Aktivitätsanalyse und Kostenbewertung:
– Kostenrechnung: Kostenarten-, Kostenstellen-, Kostenträgerrechnung
•
VL Interne Unternehmensrechnung:
– Fragen der Kostenrechnung werden weitgehend ausgeblendet
– Kostenmanagement: Wie können Kosten beeinflusst werden?
6
Veranstaltungsgliederung
•
Teil 1: Entscheidungsrechnungen
– Entscheidungsunterstützungsfunktion steht im Vordergrund
• Produktionsprogrammentscheidungen
• Preisentscheidungen
• Entscheidungen unter Unsicherheit
•
Teil 2: Koordinationsrechnungen
– Entscheidungsbeeinflussungsfunktion steht im Vordergrund,
Koordinations- und Anreizprobleme werden berücksichtigt
• Budgetierung
• Performancemessung
• Verrechnungspreise
7
Teil 1:
Entscheidungsrechnungen
8
Einführung
•
•
•
Wie müsste man ganz grundsätzlich bei der Lösung von
Entscheidungsproblemen vorgehen?
Inwieweit folgen Instrumente des Kosten- und
Leistungsmanagement solchen Vorgaben?
Eine Antwort auf die erste Frage liefert das Grundmodell der
Entscheidungstheorie:
– Jedes Entscheidungsproblem ist mithilfe dieses Grundmodells
darstellbar
– Jedes Entscheidungsproblem ist gekennzeichnet durch
• Entscheidungsfeld
• Zielplan
9
Grundmodell der Entscheidungstheorie
•
Entscheidungsfeld
– Aktionsraum a ∈ A
– Menge der möglichen Umweltzustände θ ∈ Θ
– Ergebnisfunktion ω(a, θ)
ω (am ,θ n ) =
( m = 1,K, M ; n = 1,K, N )
⎡ω 11(am ,θ n ) ω 12 (am ,θ n )
⎢ω (a ,θ ) ω (a ,θ )
22 m n
⎢ 21 m n
M
M
⎢
⎢ω (a ,θ ) ω (a ,θ )
⎣ J1 m n
J2 m n
L ω 1T (am ,θ n ) ⎤
L ω 2T (am ,θ n ) ⎥
⎥
O
M
⎥
L ω JT (am ,θ n )⎥⎦
• ω(a, θ) ist im Zweifel als Matrix zu verstehen, die beliebig viele
Ergebnisarten abbilden kann:
z.B. Zahlungen, Gewinne, Prestige, Einfluss, Vermeidung
von Umweltbelastungen, soziale Aspekte
10
Grundmodell der Entscheidungstheorie
„
Zielplan
z Präferenzsystem (Arten-, Höhen-, Zeit-, Ungewissheitspräferenz)
z Definition der Ergebnisarten
Ergebnismatrix:
Zustände
Aktionen
θ1
θ2
L
θN
a1
ω (a1,θ 1)
ω (a1,θ 2)
L
ω (a1,θ N)
a2
ω (a2,θ 1)
ω (a2,θ 2)
L
ω (a2,θ N)
M
M
M
O
M
L
ω (aM,θ N)
aM
ω (aM,θ 1) ω (aM,θ 2)
11
Entscheidungsrechnungen
•
Verwendet werden (aufbereitete) Informationen der Kosten- und
Leistungsrechnung:
Kosten: Bewertete, sachzielbezogene Güterverbräuche eines
Unternehmens in einer Periode
Erlöse: Bewertete, sachzielbezogene Gütererstellungen eines
Unternehmens in einer Periode
•
•
•
Berücksichtigte Ergebnisarten sind Kosten und Leistungen bzw.
Gewinn
Fokussierung auf das Unternehmen, nicht den Entscheider (z.B.
Investor)
Einperiodige Betrachtungsweise
12
Notwendigkeit von Vereinfachungen
•
•
•
Anwendung des Grundmodells läuft darauf hinaus, dass ein
Totalmodell gelöst werden muss
Dabei müssten individuelle Portefeuilleaktivitäten umfassend
integriert werden - und zwar bei jeder Entscheidung
Kosten und Nutzen stehen in keinem Verhältnis
Optimaler Komplexionsgrad eines Informationssystems
„
Kosten- und Leistungsrechnung kann als spezifischer
Vorschlag zur Lösung des Komplexionsproblems interpretiert
werden
13
Produktionsprogrammplanung
Ausgangssituation:
•
Kurzfristig wirksame Entscheidungssituation
•
Gegebener Bestand an Potentialfaktoren
•
Keine zeitlichen Interdependenzen im Erlös-, Kosten- und
Restriktionsbereich
•
Nur monetäre Zielgrößen
•
Ausschluss von Lagerhaltung
•
Sichere Erwartungen
Fragestellung:
Welche Produkte sollen in welchen Mengen mit welchen der
vorhandenen Fertigungsverfahren hergestellt und abgesetzt werden?
14
Optimierungsproblem
max G ( x1,K, x J ) = D( x1,K, x J ) − K
xj
F
=
J
∑ xj ⋅dj
− KF
j =1
u.d.B.
J
∑ v ij ⋅ x j
j =1
≤ Vi
0 ≤ xj ≤ xj
i = 1,K , I
j = 1,K , J
15
Eigenschaften des Optimierungsproblems
•
•
Lineares Optimierungsproblem
Fixkosten sind nicht entscheidungsrelevant
– Berücksichtigung variabler Kosten insofern hinreichend
•
Restriktionen
– Können sich auf Beschaffung, Produktion, Absatz (etc.) beziehen
– Gleichungen oder Ungleichungen
– Differenzierung nach der Wirksamkeit relevant:
• Einproduktrestriktionen
• Mehrproduktrestriktionen
16
Grafische Darstellung
- Zwei Produkt-Fall x2
v i 1 ⋅ x 1 + v i 2 ⋅ x 2 = Vi ⇒ x 2 =
Vi
v
− i1 ⋅ x1
vi2 vi2
x2
d1 ⋅ x 1 + d 2 ⋅ x 2 = D
D d1
⇒ x2 =
−
⋅ x1
d2 d2
x 2∗
0
x1∗
x1
x1
17
Lösungsweg:
keine wirksame Mehrproduktrestriktion
•
Identifizierung aller Produkte mit dj > 0
– Produkte mit negativem Deckungsbeitrag werden niemals in das
Produktionsprogramm aufgenommen
•
Die jeweiligen Mengen werden auf die zugehörigen
Absatzobergrenzen gesetzt
– Da die Möglichkeit einer Lagerhaltung ausgeschlossen wird, ist eine
Überproduktion niemals sinnvoll
•
Test: Falls keine der Mehrproduktrestriktion bindet, hat man das
optimale Programm gefunden
18
Beispiel:
K
Produkt
j=1
j=2
j=3
Preis pj
200
480
1.100
variable Kosten kj
160
400
1.170
Deckungsbeitrag d j
40
80
-70
Obergrenze x j
300
200
600
Verbrauch v 1j
2
8
5
Verbrauch v 2 j
9
4
1
F
= 4.000
Aggregat
Kapazität Vi
i=1
2.500
i=2
3.700
19
Lösungsweg:
Eine wirksame Mehrproduktrestriktion
Ausgangspolitik: Bei d j > 0 ist x ∗j = x j , andernfalls ist x ∗j = 0
•
•
•
Nun bindet genau eine Mehrproduktrestriktion i
Die Reihung der Produkte (Produktionsreihenfolge) erfolgt nach der
Höhe der spezifischen Deckungsbeiträge
Das Produktionsprogramm wird nach dieser Reihung unter
Berücksichtigung der Absatzobergrenzen bestimmt
Spezifischer Deckungsbeitrag:
dj
$
d ij =
v ij
( j = 1,K, J )
20
Beispiel (Fortsetzung):
Aggregat
Kapazität Vi
i=1
1.000
d 1 = 40 ,d 2 = 80
i=2
3.700
v 11 = 2, v 12 = 8
dj
$
d ij =
v ij
d
40
= 20
d$11 = 1 =
2
v 11
x1∗ = 300;
j = 1,K , J
d
80
= 10
d$12 = 2 =
8
v 12
x 2∗ = min{200;(1.000 − 300 ⋅ 2) 8} =
= min{200;50} = 50;
x 3∗ = 0
Deckungsbeitrag D = 16.000 und Gewinn G = 12.000.
21
Mehr als eine wirksame
Mehrproduktrestriktion - Spezialfälle •
Die Lösung durch Reihung nach den spezifischen
Deckungsbeiträgen kann beibehalten werden, wenn
– Die Rangfolge der Produkte gemäß spezifischer
Deckungsbeiträge gleich ist für alle bindenden Restriktionen
– es eine für alle Produkte gleichmäßig strengste
Mehrproduktrestriktion gibt
22
Stückweise lineare Deckungsbeiträge
- degressiv Produkt
j = 1a
j = 1b
j=2
Preis pj
200
170
480
variable Kosten kj
160
160
400
Deckungsbeitrag
dj
Obergrenze x j
40
10
80
200
100
200
Verbrauch v1 j
2
2
8
Verbrauch v2 j
9
9
4
V1 = 1.000
V2 = 3.700
40
10
80
d$11a =
= 20; d$11b =
= 5; d$12 =
= 10
2
2
8
x 1∗a = 200;
x 1∗b = 0;
x 2∗ = 75
Î Programm kann aus mehreren Produktarten bestehen, die
nicht in ihren Höchstmengen gefertigt werden
23
Stückweise lineare Deckungsbeiträge
- progressiv (1) Produkt
j = 1a
j = 1b
j=2
Preis p j
200
200
480
variable Kosten k j
190
160
400
Deckungsbeitrag
dj
Obergrenze x j
10
40
80
100
200
200
Verbrauch v1 j
2
2
8
Verbrauch v 2 j
9
9
4
V1 = 1.000
V2 = 3.700
10
40
80
d$11a =
= 5; d$11b =
= 20; d$12 =
= 10
2
2
8
x1a ⋅ v11 ⋅ d$11a + (V1 − x1a ⋅ v11 ) ⋅ d$11b
x ⋅v
φ
$
d11 =
= d$11b − d$11b − d$11a ⋅ 1a 11 =
V1
V1
(
= 20 − 15 ⋅
200
V1
)
(für 200 ≤ V1 ≤ 600)
24
Stückweise lineare Deckungsbeiträge
- progressiv (2) •
Je mehr Kapazität vorhanden, desto günstiger wird im
Durchschnitt Produktart 1
•
“Kritischer” Mittelvorrat
20 −
0
3.000 $
= d12 = 10
o
V1
⇒
V1o =
3.000
= 300
10
< V1 ≤ 300: nur Produktart 2
300 < V1 ≤ 600: nur Produktart 1
600 < V1
: Produktart 1 voll, Produktart 2 je nach Kapazitätshöhe
25
Mehrere wirksame Mehrproduktrestriktionen- Beispiel Produkt
j=1
j=2
j=3
Preis pj
200
480
1.100
variable Kosten kj
160
400
1.170
Deckungsbeitrag d j
40
80
-70
Obergrenze x j
300
200
600
Verbrauch v 1 j
2
8
5
Verbrauch v 2 j
9
4
1
Aggregat
Kapazität V i
i=1
1.000
i=2
1.620
26
Lösung mittels Simplex-Methode
•
Erzeugung eines Gleichungssystems durch Einführung
nichtnegativer Schlupfvariablen w
2 ⋅ x 1 + 8 ⋅ x 2 + 1 ⋅ w 1 + 0 ⋅ w 2 + 0 ⋅ w 3 + 0 ⋅ w 4 = 1.000
9 ⋅ x 1 + 4 ⋅ x 2 + 0 ⋅ w 1 + 1 ⋅ w 2 + 0 ⋅ w 3 + 0 ⋅ w 4 = 1.620
1 ⋅ x 1 + 0 ⋅ x 2 + 0 ⋅ w 1 + 0 ⋅ w 2 + 1 ⋅ w 3 + 0 ⋅ w 4 = 300
0 ⋅ x 1 + 1 ⋅ x 2 + 0 ⋅ w 1 + 0 ⋅ w 2 + 0 ⋅ w 3 + 1 ⋅ w 4 = 200
x 1 , x 2 ≥ 0; w 1 , w 2 , w 3 , w 4 ≥ 0
Zielfunktion:
D = 40 ⋅ x1 + 80 ⋅ x 2 + 0 ⋅ w 1 + 0 ⋅ w 2 + 0 ⋅ w 3 + 0 ⋅ w 4
27
Ausgangstableau
BV
w1
w2
w3
w4
x1 x2
2
8
9
4
1
0
0
1
-40 -80
w1
1
0
0
0
0
w2
0
1
0
0
0
w3
0
0
1
0
0
w4
0
0
0
1
0
D
0
0
0
0
1
RS
1.000
1.620
300
200
0
1 ⋅ D − 40 ⋅ x 1 − 80 ⋅ x 2 = 0
28
Tableau nach der 1. Iteration
BV x1
x2 1/4
w2
8
w3
1
w4 -1/4
-20
x2
1
0
0
0
0
w1 w2
1/8 0
-1/2 1
0
0
-1/8 0
10
0
w3
0
0
1
0
0
w4
0
0
0
1
0
D
RS
0
125
0 1.120
0
300
0
75
1 10.000
D = 10.000 + 20 ⋅ x1 − 10 ⋅ w 1
x1 + 1
x 2 = − 0,25
w 2 = − 9 + 4 ⋅ 0,25 = − 8
w1 + 1
x 2 = − 0,125
w 2 = 0,125 ⋅ 4 = 0,5
29
(End-)Tableau nach der 2. Iteration
BV
x2
x1
w3
w4
x1
0
1
0
0
0
x2
1
0
0
0
0
w1
w2
w3
9/64 -1/32 0
-1/16 1/8
0
1/16 -1/8
1
-9/64 1/32 0
8,75
2,5
0
w4
0
0
0
1
0
D
RS
0
90
0
140
0
160
0
110
1 12.800
D = 12.800 − 8,75 ⋅ w 1 − 2,5 ⋅ w 2
8,75 =
1
9
⋅ 80 −
⋅ 40
16
64
2,5 = −
1
1
⋅ 80 + ⋅ 40
32
8
30
Endtableau - Sensitivitätsanalyse
x 1 = 140 +
1
1
⋅ w1 − ⋅ w 2
16
8
w 3 = 160 −
1
1
⋅ w1 + ⋅ w 2
16
8
x 2 = 90 −
9
1
⋅ w1 +
⋅w2
64
32
w 4 = 110 +
9
1
⋅ w1 −
⋅w2
64
32
w 1 + (w 2 = 0)
⎧ 90 ⋅ 64 160 ⋅ 16 ⎫
;
w 1 ≤ min⎨
⎬ = 640
1 ⎭
⎩ 9
w 2 + (w 1 = 0)
⎧ 8 ⋅ 140 32 ⋅ 110 ⎫
w 2 ≤ min⎨
;
.
⎬ = 1120
1
1
⎩
⎭
w 1 − (w 2 = 0)
110 ⋅ 64 ⎫
⎧ 140 ⋅ 16
;−
w 1 ≥ max ⎨ −
⎬ = − 782,2
1
9
⎭
⎩
w 2 − (w 1 = 0)
32 ⋅ 90 ⎫
⎧ 8 ⋅ 160
;−
w 2 ≥ max ⎨ −
⎬ = − 1.280
1
1
⎭
⎩
31
Opportunitätskosten
•
Opportunitätskosten bilden die durch Wahl einer Alternative
entgangenen Vorteile der besten verdrängten Alternative ab
– Opportunitätskosten sind nicht zahlungswirksam
– Durch die Berücksichtigung von Opportunitätskosten wird versucht, das
Entscheidungsproblem zu vereinfachen
• Entsprechend dem Grundmodell der Entscheidungstheorie müsste
die Ergebnismatrix für alle vorhandenen Alternativen aufgestellt
werden
• Durch die Verwendung von Opportunitätskosten wird versucht, dies
zu vermeiden
• Dilemma: um Opportunitätskosten exakt bestimmen zu können
müssten die Ergebnisse sämtlicher Alternativen bekannt sein
32
Preisentscheidungen
Überblick:
• Konzept der relevanten Kosten für Preisentscheidungen
– Preisuntergrenzen
• Bei nichtlinearen Kostenverläufen, bei Engpässen, bei ungenutzter
Kapazität, bei sequentieller Auftragsannahme
– Preisobergrenzen
• Produktinterdependenzen
•
Ermittlung optimaler Preise
– Im dynamischen Kontext, Lerneffekte, Verschleißeffekte
•
Einfluss von Produktinterdependenzen auf Preisentscheidungen
– Komplementarität, Substitutivität
– Konkurrenzwirkungen
33
Preisgrenzen
•
•
Preisgrenzen sind kritische Werte, für die das Unternehmen bei der
Entscheidung zwischen den Aktionen indifferent ist
Preisuntergrenze
Niedrigster Preis für Endprodukt, zu dem dieses gerade noch oder mit
einer bestimmten Menge angeboten wird
•
Preisobergrenze
Höchster Preis für einen Inputfaktor, zu dem dieser gerade noch oder
mit einer bestimmten Menge bezogen oder verwendet wird
•
Zwecke
– Annahme oder Ablehnung eines Zusatzauftrages
– Elimination eines Produktes aus dem Produktionsprogramm
– Veränderung der Zusammensetzung des Produktionsprogrammes
34
Grundsätzliche Vorgehensweise
•
•
Preisgrenzen sind Entscheidungswerte, die für jede einzelne
spezifische Entscheidung ermittelt werden
Für unterschiedliche Entscheidungen werden sie differieren
•
Grundsätzlich gilt:
– Gegenübergestellt werden der Deckungsbeitrag des Status Quo und
der Deckungsbeitrag des veränderten Status Quo nach einer
bestimmten Entscheidung
– Der kritische Wert liefert identische Deckungsbeiträge in den
Vergleichsfällen
35
Kurzfristige Preisuntergrenzen
Grundlagen
•
Basis für die Preisuntergrenze:
Grenzkosten eines Produkts (bzw. Auftrags):
•
p$ = k
Wie bestimmen sich die Grenzkosten?
– Fall 1: Rohstoffe werden ansonsten für Produktion eingesetzt
• Tagespreis
• Lager kann ohne Transaktionskosten sofort ergänzt werden
– Fall 2: Rohstoffe sind Restposten
• Netto-Veräußerungswert
(ggf. vermindert um Ersparnisse bei Lager- und/oder
Entsorgungskosten)
36
Kurzfristige Preisuntergrenzen
Grundlagen
•
PUG bei Auswirkungen auf das Basisgeschäft
– entgehende Deckungsbeiträge relevant
•
Beispiel:
– Kunde bestellt einmalig 100 Stück eines Produktes, das sich leicht von
bisher bezogenem Produkt 1 unterscheidet
– Variable Kosten des Spezialproduktes um 2 höher als diejenigen des
Produktes 1
– k1 = 42 ; Listenpreis p1 = 60
•
Annahme 1: Kunde substituiert voll: PUG = (42 + 2) + (60 - 42) = 62
•
Annahme 2: Kunde substituiert jedenfalls und bestellt bei einem
Konkurrenten, falls Preis über 60 liegt:
PUG = k = 44
37
Grenzkosten bei nichtlinearen
Kostenverläufen
Annahme bisher: lineare Kostenverläufe
– Grenzkosten = variable Kosten
– Grenzkosten konstant pro Stück
•
Andere Kostenverläufe denkbar
– Prominentes Beispiel: Erfahrungskurve
120,00
(Grenz-) Stückkosten
•
Erfahrungskurve mit 20%
100,00
80,00
60,00
40,00
20,00
0,00
Menge
Empirische Gesetzmäßigkeit:
Mit jeder Verdoppelung der
kumulierten
Produktionsmenge sinken die
auf die Wertschöpfung
bezogenen
(Grenz)Stückkosten um einen
bestimmten Prozentsatz
Beispiel : Kosten des ersten
Stücks 100, Prozentsatz 20 %
Kosten 1.Stück
Kosten 2.Stück
Kosten 4.Stück
Kosten 8.Stück
Kosten 16.Stück
100
80
64
51,2
40,96
38
Erfahrungskurve
Formale Zusammenhänge
•
•
Es gilt: K ′(X ) = K ′(1) ⋅ (1 − α )z
mit z = Anzahl der Verdopplungen, wobei gilt: X = 2z
Nutzerfreundlichere Formulierung erlaubt direktes Ablesen der
Grenzkosten des letzten Stücks bei Kenntnis der Produktionsmenge
x:
κ
K ′( X )= K ′(1) ⋅ X
•
Formaler Zusammenhang:
(
)
log (1 − α ) =z ⋅ log(1 − α ) =
z
log X
log(1 − α )
⋅ log(1 − α ) = log X ⋅
= log X ⋅ κ
log 2
log 2
( ) folgt :
Wegen log X ⋅ κ = log X κ
(1−α )z = X κ
(κ =log (1 − α ) log 2 )
39
Beispiel
¾
¾
¾
¾
Bisherige Produktionsmenge 100
K´(1) = 300
α = 0,24214
Neuer Auftrag 20 Stück
log (1 − 0,24214 )
κ =
= − 0,4
log 2
Preisuntergrenze = durchschnittliche Stückkosten
120
p$ =
∑
X = 101
(300 ⋅ X
20
− 0,4
)
=
914,4
= 45,72
20
40
Preisuntergrenzen und Engpässe
Produkt
j=1 j=2
j=0
Preis pj
variable Kosten kj
Deckungsbeitrag d j
200
160
40
480
400
80
Obergrenze x j
Verbrauch v 1 j
300
2
200
8
3
Verbrauch v 2 j
9
4
5
p$
270
p$
− 270
K F = 4.000
Aggregat
Kapazität Vi
i=1
2.500
i=2
3.700
41
Preisuntergrenzen und Engpässe
Optimum Basisprogramm : x1* = 300 x2* = 200
V1 = 2.200 < 2.500
V2 = 3.500 < 3.700
Annahme: Zusatzauftrag beträgt 60 Stück
V2 = 3.500 + 60 ⋅ v 20 = 3.800 > 3.700
Verdrängung von Produkten gemäß spezifischer Deckungsbeiträge
40
= 4 ,4
d$ 21 =
9
80
= 20
d$ 22 =
4
k 0 ⋅ x 0 + 100 ⋅ d$ 21
444,4
p$ =
= 270 +
= 277,41
60
x0
42
Preisuntergrenzen bei mehreren
Engpässen
•
Vorhandene Kapazitäten sind um die Beanspruchung durch den
Zusatzauftrag zu verringern
•
Neubestimmung des optimalen Produktionsprogramms
•
Deckungsbeitragsdifferenz zum ursprünglichen Programm gibt die
relevanten Opportunitätskosten an
•
Opportunitätskosten der Verdrängung des ursprünglichen
Programms können in gewissem Umfang verwendet werden
43
Preisuntergrenzen und
ungenutzte Kapazitäten
•
Folgenden Vorschlag findet man oft in der Literatur:
Preisuntergrenze eines Auftrags=
variable Kosten+ abbaufähige Fixkosten- Wiederanlauf- und
Stilllegungskosten
•
Beispiel :
–
–
–
–
–
–
Kapazität: 1.000 Stück pro Monat; Auftragsgröße: 5.000 Stück
Variable Kosten: 5 pro Stück
Fixkosten Gehälter: 20.000/Monat; 2-monatige Kündigung
Miete Produktionshalle: 30.000/Monat; ½-jährliche Kündigung
Wiederanlaufkosten: 4.000 (einmalig)
Stilllegungskosten: 1.000/Monat
44
Preisuntergrenzen und
ungenutzte Kapazitäten
Lösung des Beispiels
Fertigungszeit: 5 Monate
Abbaufähige Fixkosten: Gehälter für 3 Monate = 60.000
Miete kann nicht abgebaut werden
Stilllegungskosten für 5 Monate: 5.000
Einmalige Wiederanlaufkosten: 4.000
Preisuntergrenze :
Problem :
p$ = 5 +
60.000 − 5.000 − 4.000
= 15,2
5.000
¾ Zurechenbarkeit der Kosten auf den Auftrag
¾ Implizite Annahme: Aufträge “stören”, sie
behindern das Schließen
45
Preisuntergrenzen bei
sequentieller Auftragsannahme
•
Annahmen:
–
–
–
–
–
•
Gegebener Planungszeitraum
Gegebene Kapazität (Anzahl der Aufträge)
Nachfrage entspricht der Anzahl von Auftragsangeboten durch Kunden
Konditionen jedes Angebots sind risikobehaftet
Wahrscheinlichkeitsverteilung von Deckungsbeiträgen
Opportunitätskosten der Auftragsannahme in Stufe 0 < t < T
⎡ T %∗ ⎤ ⎡ T %∗ ⎤
Et ⎢ ∑dτ n⎥ −Et ⎢ ∑dτ j ⎥
⎣τ=t+1 ⎦ ⎣τ=t+1 ⎦
⎡ T ∗ ⎤
Et ⎢ d%τ n⎥
⎢⎣τ =t +1
⎥⎦
∑
= in t erwarteter DB bei künftig optimaler Anpassung,
falls der Auftrag in t nicht akzeptiert wird
46
Sequentielle Auftragsannahme
3 Zeitpunkte, Kapazität = 2
j
300
B
j
300+246 φ H
546 n C
φH
A
478,2
420
φM
φL
j
B
200+246
446 n C
φM
φL
300 n
j
210 n
j
420
j B
100+246
420 n C
420
210 n
j
D 210
200
210
D
100
n
φH
300
φM
j
n
φL
D
200
j
n
100
210
d L = 100, φ L = 0,3; d M = 200, φ M = 0,3; d H = 300, φ H = 0,4
47
Preisuntergrenzen im sequentiellen Modell
Stufe 1
• Opportunitätskosten: 420 − 246 = 174
Preisuntergrenze: p$ = k + 174
Stufe 2
•
Opportunitätskosten Kapazität 1: 210 − 0 = 210
Preisuntergrenze Kap.1 : p$ = k + 210
Opportunitätskosten Kapazität 2: 210 − 210 = 0
Preisuntergrenze Kap.2 :
p$ = k
Stufe 3
Preisuntergrenze:
p$ = k
48
Sequentielle Lösung
Eigenschaften
•
Auftrag H wird stets angenommen
•
Auftrag M wird anfangs akzeptiert, dann aber abgelehnt, falls auf
zweiter Stufe nur noch eine Kapazitätseinheit vorhanden ist
•
Auftrag L wird nur angenommen, falls garantiert keine Knappheit
•
Lösung hat mit dem optimalen Ausnutzen von Optionen zu tun
•
•
Knappheit ist letztlich stochastisch
PUG liegt stets über den Grenzkosten, falls positive
Wahrscheinlichkeit für Knappheit gegeben ist
Kann als Begründung für Verwendung von Vollkosten als
Approximation dienen
•
49
Preisobergrenzen
•
Preisobergrenze ist der höchste Preis für einen Inputfaktor, zu dem
dieser gerade noch oder mit einer bestimmten Menge bezogen oder
verwendet wird
•
Möglichkeiten für die Gewinnung von Preisobergrenzen
– Direkte Substitution durch einen anderen Inputfaktor
– Substitution des Inputfaktors durch eine Änderung des
Produktionsverfahrens
– Eigenfertigung des Inputfaktors anstelle Fremdbezug
50
Beispiel
•
Das Produkt 1 benötigt v11 = 4 Einheiten des Inputfaktors 1;
der Absatzpreis beträgt p1 = 200, variable Stückkosten ohne die
Kosten des Inputfaktors k = 140
.
j
Falls anstelle des Inputfaktors 1 auch ein anderer Inputfaktor 2 mit
r2 =10 (Substitution) und v21 = 5 Einheiten verwendet werden kann
d 1 = p1 − (k j + v 21 ⋅ r2 ) = 200 − (140 + 5 ⋅ 10) = 10
rˆ1 =
p1 − k 1 − d 1 200 − 140 − 10
=
= 12,5
v 11
4
Bei Preis über 12,5 ist es kostengünstiger, den Inputfaktor 2 anstelle
von 1 zu verwenden
51
Beispiel
Anderes Verfahren welches beide Inputfaktoren 1 und 2 benötige.
I
I
v11
= 1 v 21
= 2 ⇒ drei Verfahren:
1. Inputfaktor 1 alleine mit variablen Stückkosten
k j + v 11 ⋅ r1 = 140 + 4r1
2. Inputfaktor 2 alleine mit variablen Stückkosten
k j + v 21 ⋅ r2 = 140 + 5 ⋅ 10 = 190
3. Verfahren I mit beiden Inputfaktoren mit variablen Stückkosten
I
I
k j + v 11
⋅ r1 + v 21
⋅ r2 = 140 + 1r1 + 2 ⋅ 10 = 160 + r1
Verfahren I effizient für 6, 6 ≤ r1 ≤ 30 , am kostengünstigsten
r1>30
Inputfaktor 1 vollständig durch Inputfaktor 2 substituiert.
r1 unter 6, 6 , nur Inputfaktor 1
52
Spezifische Preisobergrenzen
•
Inputfaktor geht in mehrere Endprodukte ein
– Grundsätzlich für jedes Produkt eine
produktspezifische Preisobergrenze ermitteln
– Die höchste dieser Preisobergrenzen ist die
absolute Preisobergrenze
•
Beispiel: Produktionsprogramm besteht aus 3 Produkten
Produkt
j=1
j=2
j=3
Preis pj
200
480
320
variable Kosten kj
Deckungsbeitrag dj
Verbrauch v j
Absatzmenge xj
vorl. variable Kosten k j
Preisobergrenze rˆ j
160
40
4
300
140
15
400
80
5
200
375
21
270
50
8
40
230
11,25
53
Beispiel
•
Gegenwärtige Kosten des Inputfaktors r=5
– Absolute Preisobergrenze ist daher 21
•
Entwicklung der Nachfragemenge q
r < 11,25 :
3
q = ∑ j =1v j ⋅ x j = 4 ⋅ 300 + 5 ⋅ 200 + 8 ⋅ 40 = 2.520
11,25 ≤ r < 15 : q = v 1 ⋅ x1 + v 2 ⋅ x 2 = 4 ⋅ 300 + 5 ⋅ 200 = 2.200
15 ≤ r < 21:
q = v 2 ⋅ x 2 = 5 ⋅ 200 = 1.000
21 ≤ r :
q=0
54
Bestehen von Produktinterdependenzen
•
Fortsetzung Beispiel:
•
Angenommen, Produkte 2 und 3 vollständig komplementär
rˆ23 =
•
( p2 − k 2 ) ⋅ x 2 + ( p3 − k 3 ) ⋅ x 3 105 ⋅ 200 + 90 ⋅ 40
=
= 18, 63
v 2 ⋅ x2 + v 3 ⋅ x3
5 ⋅ 200 + 8 ⋅ 40
Zusammensetzung des gesamten bestehenden
Produktionsprogrammes soll bestehen - Preisobergrenze
3
rˆ123 = ∑ j =1
(p j − k j ) ⋅ x j
vj ⋅ xj
=
42.600
= 16,905
2.520
„Kostenobergrenze“
55
Optimale Preise
•
•
Preissetzung hängt von verschiedenen Einflussgrößen ab
Im Rahmen der Unternehmensrechnung werden häufig
ausschließlich Kosten betrachtet
– Andere Einflussgrößen werden konstant gehalten
•
Annahmen im Grundmodell
– Preisabsatzfunktion x(p) ist bekannt
– Monopol
– „Normale“ Produkte
•
Implikationen:
– Nachfrage fällt bei steigendem Preis x´ < 0
– Preiselastizität
η=
dx dp dx p
: = ⋅ <0
x p dp x
56
Gewinnmaximierung
max G ( p ) = p ⋅ x ( p ) − K ( x ( p ))
p
dx
dx
− K ′( x ) ⋅
=0
dp
dp
•
Notwendige Bedingung: G ′ = x ( p ) + p ⋅
•
•
Optimalitätsbedingung: Grenzerlös = Grenzkosten
Optimaler Preis lässt sich für Beispiele ermitteln
•
Beispiel: Multiplikative Preis-Absatz-Funktion, lin. Kostenfunktion
x ( p) = α ⋅ p β
p∗ =
β
1+ β
[ β < − 1]
η = β ⋅ α ⋅ p β −1 ⋅
p
=β
β
α ⋅p
⋅k
57
Eigenschaften der Lösung
•
Relevant ist neben der PAF die Grenzkostenfunktion
•
Fixkosten sind im obigen Szenario nicht relevant
– Grenzkosten entsprechen den variablen Kosten pro Stück
– Implizite Annahme: kurzfristige Betrachtung
•
Positive Periodengewinne sind trotz optimaler Preisbildung nicht
garantiert
58
Dynamische Preisstrategien
•
•
Die Festlegung des Preises in einer Periode hat u.U. Auswirkungen
auf weitere Perioden
Solche Interdependenzen müssen bei der Festlegung des Preises
jeder Periode berücksichtigt werden
– Carry over-Effekte, Produktlebenszyklus
{p1 , p2 ,.., pT }
•
Dynamische Preisstrategie
•
Erfassung der Interdependenzen über “dynamische” PAF
x t = x t ( p1 , p 2 ,K , pt ) bzw.
x t = x t ( x 1 , x 2 ,K , x t − 1 , pt )
59
Optimale Preisstrategie
•
•
Beispiel: 2 Perioden
Maximierung des Barwerts der Gewinne beider Perioden
G = [ p1 ⋅ x 1 − K ( x 1 )] ⋅ ρ − 1 + [ p 2 ⋅ x 2 − K ( x 2 )] ⋅ ρ − 2
mit x 2 = x 2 ( x1, p2 )
•
Preis der 2. Periode unterscheidet sich strukturell nicht vom
kurzfristig optimalen Preis
– Zum Zeitpunkt der Preisbildung sind vorangegangene Größen bereits
realisiert
– Fallen bei Bildung der Ableitung weg
•
Optimaler Preis der 1. Periode ergibt sich durch
dx
∂G
∂ x dx
= x1 + [p1 − K ′( x1)] ⋅ 1 ⋅ ρ −1 + [p2 − K ′( x2 )] ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ ρ −2 = 0
∂ p1
∂ x1 dp1
dp1
60
Optimale Preisstrategie
•
Optimalitätsbedingung dynamische Preisfestlegung:
∂G
dx
∂ x dx
= x1 + [p1 − K ′( x1)] ⋅ 1 ⋅ ρ −1 + [p2 − K ′( x2 )] ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ ρ −2 = 0
∂ p1
dp1
∂ x1 dp1
•
Optimalitätsbedingung statische Preisfestlegung
dx
∂G
= x1 + [p1 − K ′( x1 )] ⋅ 1 = 0
dp1
∂ p1
∂ x2
>0 ⇒
∂ x1
p1∗ sinkt relativ zur kurzfristigen Lösung
∂ x2
<0
∂ x1
p1∗ steigt relativ zur kurzfristigen Lösung
⇒
61
Interpretation
•
Fall 1: die Absatzmenge der zweiten Periode steigt mit der
Absatzmenge der ersten Periode
– In diesem Fall ist es optimal, den Absatzpreis der ersten Periode
gegenüber der kurzfristigen Betrachtung zu senken
– Dies erhöht die Absatzmenge nicht nur in Periode 1 sondern auch in
Periode 2
•
Fall 2: die Absatzmenge der zweiten Periode sinkt mit der
Absatzmenge der ersten Periode
– Es ist optimal, den Preis der ersten Periode gegenüber der kurzfristigen
Betrachtung zu erhöhen
– Dies vermindert die Absatzmenge und die negativen Auswirkungen auf
die zweite Periode
62
Kosteninterdependenzen
•
Lerneffekte
– Minderung der Produktionskosten je Einheit bei steigender kumulierter
Menge
•
Verschleißeffekte
•
– Steigerung der Produktionskosten je Einheit z.B. Aufgrund von
Materialermüdung
kt = (x1, x2, ..., xt-1, xt)
Formale Darstellung:
•
•
Basisstückkosten bkt, Änderungsfaktoren ct(xt)
Stückkosten:
⎡ t −1
kt = ⎢
⎢ τ =1
⎣
∏ (1+ cτ ( xτ ))
– Lerneffekt: ct′ ( xt ) < 0
⎤
⎥ ⋅ bk
t
⎥
⎦
t = 1,K,T ;k1 = bk1
– Verschleißeffekt: ct′ ( xt ) > 0
63
Auswirkungen auf Lösung
•
Lerneffekt:
x̂1 > x1∗
bzw.
p̂1 < p1*
– Investition in Erfahrung
– „Überproduktion“
•
Verschleißeffekt: x̂1 < x1∗
bzw.
p̂1 > p1*
– Unterproduktion
•
Probleme:
– Woher kommen die Informationen
– Schätzung der langfristigen Preis-Absatz-Funktion notwendig
64
Produktinterdependenzen
•
Beispiel: Produkt-Marktinterdependenzen
•
Erfassung durch gemeinsame Preis-Absatz-Funktion
x j = x j ( p1 , p2 )
„
bzw
(
x j p j , xi
)
für i , j = 1, 2
und i ≠ j
Maximierung des Gesamtgewinns der Periode
G = ( p1 ⋅ x1 − K ( x1 )) + ( p2 ⋅ x 2 − K ( x 2 ))
∂x
∂x
∂G
= x1 + ( p1 − K ′( x1 )) ⋅ 1 + ( p2 − K ′( x 2 )) ⋅ 2 = 0
∂ p1
∂ p1
∂ p1
∂ x2
> 0⇒
∂ p1
Substitutivität mit (c.p.) preiserhöhendem Effekt
∂ x2
< 0⇒
∂ p1
Komplementarität mit (c.p.) preissenkendem Effekt
65
Zahlenbeispiel
•
Zwei substitutive Produkte mit folgenden PAF
x1 = 100 − 2p1 + p2 und k1 = 4
x2 = 200 − 2p2 + p1 und k2 = 5
Fixkosten 5.096,5
Unternehmen maximiert gesamten Deckungsbeitrag
D = (p1 − 4)(100 − 2p1 + p2) + (p2 − 5)(200 − 2p2 + p1)
∂D
= 100 − 2 p1 + p2 − 2 ⋅ ( p1 − 4 ) + p2 − 5 = 103 − 4 p1 + 2 p2 = 0
∂ p1
∂D
= 200 − 2 p2 + p1 − 2 ⋅ ( p2 − 5 ) + p1 − 4 = 206 − 4 p2 + 2 p1 = 0
∂ p2
p1∗ = 68,6 ; p 2∗ = 85,83
x 1∗ = 48,5 ; x 2∗ = 97
D ∗ = 10.977,16
66
Isolierte Lösungen
•
Annahme: Beide Produktbereiche entscheiden isoliert
Jeder Bereich maximiert seinen Deckungsbeitrag
Bereich 1 maximiert D1 = (p1 − 4)(100 − 2p1 + p2)
Bereich 2 maximiert D2 = (p2 − 5)(200 − 2p2 + p1)
Die daraus folgenden Lösungen ergeben sich aus
∂ D1
= 100 − 2 p1 + p2 − 2 ⋅ ( p1 − 4 ) = 108 − 4 p1 + p2 = 0
∂ p1
∂ D2
= 200 − 2 p2 + p1 − 2 ⋅ ( p2 − 5 ) = 210 − 4 p2 + p1 = 0
∂ p2
p$ 1 = 42,8 ; p$ 2 = 63,2
x$ 1 = 77,6 ; x$ 2 = 116,4
D$ 1 = 3.010,88 ; D$ 2 = 6.774,48 ; D$ = 9.785,36
67
Ökonomische Interpretation
•
Bei der insgesamt optimalen Lösung ergäbe sich:
D*1 = 3.136,33
D*2 = 7.840,83
„
„
„
„
„
„
„
Beide sind größer als bei isolierter Optimierung
Warum also die Abweichung?
Grund: Gegeben den Preis des jeweils anderen, hat jeder Bereich
einen Anreiz, abzuweichen
An der Stelle der insgesamt optimalen Preise beträgt zB der
Grenzdeckungsbeitrag für Bereich 1 = -80,83
Daher entsteht Anreiz zur Preissenkung
Mengenreduzierung bei anderem Bereich spielt direkt keine Rolle
Der Gesamteffekt dieses beidseitigen Handelns ist indes fatal
68
Mögliches Korrektiv:
spez. Allokation der Fixkosten
85,83 k$1
68,6 = 25 +
+
4
2
⇒ k$1 = 44,416
68,6 k$ 2
85,83 = 50 +
+
4
2
⇒ k$ 2 = 37,33
37,33 = 5 +
α 2 ⋅ 5.096,5
44,416 = 4 +
97
⇒ α 2 = 0,6154
α 1 ⋅ 5.096,5
48,5
⇒ α 1 = 0,3846
69
Diskussion
•
Im Beispiel existiert eine Fixkostenallokation mit den gewünschten
Eigenschaften
•
Für deren Konstruktion wurde aber die optimale Lösung benötigt
•
Dann braucht man aber die Allokation zunächst nicht (oder??)
•
Außerdem war die Höhe der Fixkosten so gewählt, dass Verteilung
der gesamten Fixkosten resultierte
•
Andernfalls bleibt etwas übrig oder es reicht nicht
•
Bei Komplementarität müssten analog die variablen Kosten gesenkt
werden
•
Allokation der Fixkosten kann aber im Rahmen von
Koordinationsüberlegungen ein approximatives Mittel sein
•
Bereiche entscheiden isoliert mit besseren Informationen
•
Fixkostenallokation bringt Lösung bei Substitutivität in “richtige”
Richtung
70
Optimale Preise bei Konkurrenz
•
Beispiel:
Zwei Unternehmen 1 und 2 stellen ein homogenes Produkt her.
Variable Stückkosten: k1 = k2 = k.
Beide Unternehmen geben gleichzeitig ihre Preise pj bekannt
Aufteilung der Nachfrage entsprechend der PAF des Marktes
Unternehmen müssen diese Nachfrage mit Absatzmengen x1
und x2 anschließend erfüllen.
Nachfrager werden gänzlich vom Unternehmen mit dem
geringeren bekannt gegebenen Preis kaufen, das andere
Unternehmen geht leer aus.
71
Duopolsituation mit Bertrand-Wettbewerb
•
Angenommen, Unternehmen 1 wüsste, dass Unternehmen 2 den
Preis p2 > k anbietet.
Optimale Preisentscheidung: p1 = p2 − ε
Einziges Gleichgewicht p*1 = p*2 = k.
Was ist, wenn variable Kosten der beiden Unternehmen
unterschiedlich sind, etwa k1 < k2?
•
Optimaler Preis p*1 = k2 − ε (es sei denn, der Monopolpreis liegt
darunter)
•
Optimaler Preis von Unternehmen 1 alleine von den variablen
Kosten des Unternehmens 2 abhängig
•
Kritische Annahme: Beide Unternehmen kennen die Kosten des
anderen genau
72
Entscheidungsrechnungen bei
Unsicherheit
•
Motivation:
– Vorgebrachte Gründe für Annahme sicherer Erwartungen bei KLR:
• KLR dient kurzfristig wirksamen Entscheidungen
• Erläuterung grundlegender Prinzipien
– Gegenargument:
• Stimmigkeit obiger Argumente erst nach Analyse unter
Einbeziehung der Unsicherheit beurteilbar
– Darum: Explizite Einbeziehung von Unsicherheit in diesem Kapitel
•
Beispiele:
– Break Even-Analyse
– Kurzfristige Produktionsprogrammentscheidungen
73
Break Even-Analyse
• Grundidee
– Einfluss von exogenen Parametern auf die Lösung von
Entscheidungsproblemen
• Methode: Sensitivitätsanalyse
z Empfindlichkeit der Zielgrößen auf Änderungen der Parameter
z Ermittlung des “günstigen” Parameterbereichs: Entscheidung bleibt
optimal
• Grundmodell der Break Even-Analyse
Fokus auf Beschäftigungsunsicherheit
– Ermittlung einer Break Even-Menge
– Ermittlung anderer kritischer Parameterwerte möglich
74
BEA im Einproduktfall
•
Bestimmung der Periodengewinns
G=(p−k ) ⋅ x−K F =d ⋅ x−K F
mit
d
k
p
x
KF
Deckungsbeitrag
variable Stückkosten je Produkteinheit
Absatzpreis je Produkteinheit
Produkteinheiten
Fixkosten
K F
x$ =
d
K F
=
p − k
75
Beispiel
•
Absatzpreis = 100, variable Kosten = 40, Fixkosten = 120.000
BEM = 120.000/(100-40) = 2.000
E, K
Erlöse E
Gewinnzone
Kosten K
KF
Verlustzone
x$
x
76
Kritische Werte:
•
•
BreakEven-Menge
Kritischer Gewinn G
K F
xˆ =
d
K F +G
xˆ =
d
K F +G
pˆ =k +
x
•
Break Even-Preis
•
F
K
+G
Break Even-Stückkosten kˆ=p−
x
77
Fortsetzung Beispiel:
Fixkosten =
120.000
Absatzpreis =
100
variable Kosten =
40
Menge =
1.800
kritischer Gewinn =
0
Break Even-Preis = 40 + 120.000/1.800 = 106,67
für Absatzpreis = 90
Break Even-Stückkosten = 90 - 120.000/1.800 = 23,22
Für Absatzpreis = 80
Break Even-Stückkosten = 80 - 120.000/1.800 = 13,33
78
BEA im Einproduktfall
Auswertungen
•
Beeinflussung der Break Even-Menge durch
– Veränderung der proportionalen
Stückkosten
– Veränderung des Absatzpreises
– Veränderung des Mindestgewinns
– Erhöhung des Fixkostenblocks durch zusätzliche Werbemaßnahmen,
Einstellung von zusätzlichem Verkaufspersonal
– Änderung auf Produktionsverfahren in Richtung niedrigerer variabler
Stückkosten bei höheren Fixkosten
• Deckung auszahlungswirksamer Teile der Fixkosten (“Cash-Point”)
79
Risikomaße
•
Sicherheitskoeffizient
•
Fragestellung: Um welchen Prozentsatz darf Umsatz/Absatz (ausgehend
von Basiswert) sinken, ohne in die Verlustzone zu geraten?
•
Überlegungen
– Je höher SK, desto sicherer positiver/bestimmter Periodenerfolg
– Ausgangsmenge x: volle Kapazitätsauslastung
p ⋅ x − p ⋅ x$ x − x$
x$
=
= 1−
SK =
p⋅ x
x
x
Beispiel
Kapazität x = 10.000,
BE-Menge = 8.000
Sicherheitskoeffizient = 1 − 8.000/10.000 = 0,2
Kapazitätsauslastung kann um 20% unterschritten werden, ehe man Verluste
macht
80
Risikomaße
•
Operating Leverage
•
Fragestellung: wie verändert sich der relative Gewinn im Verhältnis zum
relativen Umsatz?
Δx ⋅ d
ΔG
OL = G
ΔE
E
•
x ⋅d − K )
(
OL =
F
Δx ⋅ p
x⋅p
Zusammenhanng zwischen Sk und OL:
OL =
Δx ⋅ d ⋅ x
(
Δx ⋅ x ⋅ d − K F
)
=
x
KF
x−
d
=
1
1
=
x − x$ SK
x
81
Beurteilung von SK und OL
•
Problem: Keine Berücksichtigung der Verteilungen
•
Alternatives Risikomaß: Gewinnvarianz
( )
(
)
2
~
σ 2 G = σ 2 x~ ⋅ d − K F = σ 2 ( x~ ⋅ d ) = σ 2 ( x~ ) ⋅ d 2 = σ 2 ( x~ ) ⋅ ( p − k )
Gewinnvarianz
z Niedrigere Stückkosten führen zu höherem Deckungsbeitrag und
höherer Varianz des Gewinns
z Fixkosten ohne Konsequenzen für Varianz
SK bzw. OL
z Niedrigere Stückkosten führen zu höherem Deckungsbeitrag, zu
geringerer BEM und zu höherem SK und niedrigerem OL
z Höhere Fixkosten führen zu größerem OL
82
Beispiel:
•
•
Varianz der Absatzmengen: 150
Absatzpreis: 10
Verfahren 1:
K1F = 1.000;
k1 = 8;
⇒
d 1 = 2;
Verfahren 2:
K 2F = 2.000;
k 2 = 6;
⇒
d 2 = 4;
x$ 1 =
1.000
= 500
2
x$ 2 =
2.000
= 500
4
Gleiche Werte für SK und OL
Gewinnvarianzen
(~ )
Verfahren 1:
σ 2 G1 = σ 2 ( x~ ) ⋅ d 12 = 150 ⋅ 2 2 = 150 ⋅ 4 = 600
Verfahren 2:
σ 2 G 2 = σ 2 ( x~ ) ⋅ d 22 = 150 ⋅ 4 2 = 150 ⋅ 16 = 2.400
(~ )
83
Stochastische Break Even-Analyse
Einproduktfall
•
Explizite Untersuchung der Wahrscheinlichkeitsverteilung des
Gewinns
– Verteilung der einzelnen Bestimmungsfaktoren
– Annahme risikobehafteter Absatzmengen
– Risiko als Wahrscheinlichkeit für Erfolgsniveau G
[ ]
~
~] ⋅ d − K F
E G = E[x
{
~
Pr G ≥ G
Break Even-Wahrscheinlichkeit
}
{
}
~
~ ≥ x$ }
Pr G ≥ 0 ⇔ Pr { x
84
Beispiel:
Absatzmengen x seien gleichverteilt im Intervall
f (x) =
1
;
x − x
F(x) =
x − x
x − x
Break Even-Wahrscheinlichkeit
{
}
~
Pr G ≥ 0
x ∈ [ x; x ]
{
}
~
Pr G ≥ 0 = 1 − F ( x$ )
falls x$ ≥ x
⎧0
⎪
⎪ x − x$
= ⎨
falls x < x$ < x
⎪x − x
⎪
⎩ 1 falls x$ ≤ x
85
Beispiel:
Absatzmengen gleichverteilt in [0, 10.000]
F(x) = 0,0001x
Deckungsbeitrag d = 50, Fixkosten = 200.000
Break Even-Menge = 4.000
F(4.000) = 0,4 und Break Even-Wahrscheinlichkeit = 0,6
Wahrscheinlichkeit
•
0
4.000
10.000 Menge
86
Stochastische Break Even-Analyse
•
Alternative Fragestellung:
– Wie hoch ist der maximale Erfolg, der mit einer vorgegebenen
Wahrscheinlichkeit überschritten wird?
– Formale Abbildung:
{
}
~
Pr G ≥ G = Pr
KF + G
x−
x − x$
d
1 − F ( x$ ) =
=
= Pr
x− x
x− x
(
)
G = d ⋅ x − Pr ⋅ ( x − x ) − K F
87
Beispiel:
•
•
•
Ein Unternehmen muss über die Einstellung von zusätzlichem
Verkaufspersonal entscheiden.
Es gelten folgende Annahmen:
Ausgangssituation:
–
–
–
–
•
Absatzmengen gleichverteilt in [0, 10.000]
Deckungsbeitrag d = 40
Fixkosten = 150.000
Mindestgewinn = 200.000
Bei Einstellung Verkaufspersonal:
–
–
–
–
Deckungsbeitrag d = 40
zusätzliche Fixkosten von 90.000
Absatzmengen gleichverteilt in [0,13.000]
Mindestgewinn = 200.000
88
Beispiel
•
•
Zielsetzung 1: Maximierung der Break Even-Wahrscheinlichkeit
Ausgangssituation:
– erforderlicher Absatz = 8.750;
– Break-Even Wahrscheinlichkeit 0,125
Variante:
– erforderlicher Absatz = 11.000;
– Wahrscheinlichkeit = 1 - 11.000/13.000 = 0,1538
•
Ergebnis: Einstellung von Zusatzpersonal vorteilhaft
89
Beispiel:
•
•
Zielsetzung 2: Ergebnismaximierung bei vorgegebener
Wahrscheinlichkeit
Vorgegebene Wahrscheinlichkeit = 0,4
Ausgangssituation
G = 40[10.000 − 0,4(10.000 − 0)] - 150.000 = 90.000
Variante
G = 40[13.000 − 0,4(13.000 − 0)] − 240.000 = 72.000
•
Ergebnis: Einstellung zusätzlichen Verkaufspersonals unvorteilhaft
90
Break Even-Analyse
Mehrproduktfall
•
Unterschiede zum Einproduktfall:
– Ausgleichseffekte zwischen verschiedenen Produktarten
– Produktionsprogramm soll in seiner Gesamtheit ein bestimmtes
Ergebnis bescheren
– Nicht mehr eine Break Even-Menge, sondern eine Vielzahl von
Mengenkombinationen
Absatzmengenkombinationen der
Produktarten j = 1, ..., J:
⎧⎪
ˆ
X = ⎨ xˆ ≥ 0
⎪⎩
⎫⎪
F
ˆ
xj ⋅dj = K + G ⎬
∑
j =1
⎭⎪
J
xˆ = ( xˆ 1, xˆ 2 ,K , xˆ J ) ∈ Xˆ
91
Break Even-Analyse Mehrproduktfall
•
Zweiproduktfall: Gerade
K F + G d1
x$1 ⋅ d1 + x$ 2 ⋅ d2 = K + G ⇒ x$ 2 =
−
⋅ x$1
d2
d2
F
•
Mehrproduktfall:
Konvexkombination isolierter Break Even-Mengen
KF + G
i
$x j = ( 0 ,K ,x$ ij ,K ,0 )
x$ j =
dj
x$ = α1 ⋅ x$ 1 + α2 ⋅ x$ 2 + L + αJ ⋅ x$ J =
αj ≥ 0 ∀j ;
J
∑α j
J
∑α j ⋅ x$ j
j =1
=1
j =1
92
Beispiel:
•
J = 4 Produktarten
Deckungsbeiträge: d1 = 20; d2 = 70; d3 = 60; d4 = 150
Fixkosten = 150.000
Mindestgewinn = 60.000
Break Even-Mengen
x$ 1i = 10 .500 ; x$ 2i = 3 .000 ; x$ 3i = 3 .500 ; x$ 4i = 1.400
Beliebiger Break Even-Vektor
⎡ x$ 1 ⎤
⎢ x$ ⎥
⎢ 2⎥
⎢ x$ 3 ⎥
⎢ x$ ⎥
⎣ 4⎦
=
⎡ 0 ⎤
⎡ 0 ⎤
⎡10.500⎤
⎢ 0 ⎥
⎢ 3.000⎥
⎢ 0 ⎥
⎥ + α4
⎥ + α3 ⋅ ⎢
⎥ + α2 ⋅ ⎢
α1 ⋅ ⎢
⎢ 3.500⎥
⎢ 0 ⎥
⎢ 0 ⎥
⎥
⎢
⎢ 0 ⎥
⎢ 0 ⎥
⎣ 0 ⎦
⎦
⎣
⎦
⎣
⎡ 0 ⎤
⎢ 0 ⎥
⎥
⋅⎢
⎢ 0 ⎥
⎥
⎢
⎣1.400⎦
=
⎡α 1 ⋅ 10.500⎤
⎢ α ⋅ 3.000 ⎥
⎥
⎢ 2
⎢ α 3 ⋅ 3.500 ⎥
⎢ α ⋅ 1.400 ⎥
⎦
⎣ 4
93
Konstanter Absatzmix
•
•
Beliebiges Produkt als Leitprodukt
Annahme konstanter Verhältnisse der Absatzmengen
– Für erstes Produkt als Leitprodukt und βj als konstante Verhältnisse
der Absatzmengen der Produkte j zu Produkt 1
βj =
D=
xj
x1
für j = 1,K ,J
J
∑ x j ⋅dj
j =1
=
J
∑ ( x1 ⋅ β j ) ⋅ d j
j =1
= x1 ⋅
J
∑ βj ⋅dj
j =1
= x1 ⋅ d
KF + G
x$ 1 =
d
94
Break Even-Umsatz
Ermittlung des Break Even-Umsatzes bei konstantem Absatzmix
E=
J
∑ x j ⋅ pj
j =1
= x1 ⋅
J
∑ βj ⋅ pj
j =1
= x1 ⋅ p
F
+G
K
E$ = p ⋅ x$ 1 =
d p
Relation “Deckungsbeitrag zu Gesamtumsatz” für jedes Produkt
gegeben und konstant
Dj
E
=
xj ⋅dj
x1 ⋅ p
=
x1 ⋅ ( β j ⋅ d j )
x1 ⋅ p
=
βj ⋅dj
p
F
+G
K
E$ = J
Dj
∑
j =1
E
95
Beispiel: BEM und BE-Umsatz
Mengenrelation 1 : 2 : 4 : 4
d = 1 ⋅ 20 + 2 ⋅ 70 + 4 ⋅ 60 + 4 ⋅ 150 = 1.000
x$ 1 =
210.000
= 210
1.000
x$ 2 = 210 ⋅ 2 = 420 ; x$ 3 = 210 ⋅ 4 = 840 ; x$ 4 = 210 ⋅ 4 = 840
p1 = 110; p 2 = 200; p 3 = 160; p 4 = 220
p = 1 ⋅ 110 + 2 ⋅ 200 + 4 ⋅ 160 + 4 ⋅ 220 = 2.030
96
Beispiel:
D
D1
20
140 D 3
240 D 4
600
=
=
=
; 2 =
;
;
2.030 E
2.030 E
2.030 E
2.030
E
210.000
210.000 ⋅ 2.030
E$ =
= 426.300
=
1.000
1.000
2.030
97
Pessimistische und
optimistische Variante
•
Pessimistische Variante
– Individuelle Deckungsbeitrags-Umsatz-Relationen Dj /Ej in
aufsteigender Reihenfolge, bis Absatzobergrenze erreicht ist
•
Optimistische Variante
– umgekehrt
Gewinn G
optimistische
Variante
E$ opt
E$
KF
pess
Umsatz E
pessimistische
Variante
98
Break Even-Analyse - Ergebnis
•
BEA vermittelt Gefühl für Bedeutung der
Unsicherheit
•
BEA als wichtige Signalfunktion
insbes für mehr Informationsbeschaffungen bzw Planungsansätze unter
expliziter Einbeziehung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen
•
Keine konkrete Handlungsempfehlung
•
Erfordernis expliziter Analyse der Konsequenzen verschiedener
Problemstrukturen für die Unternehmenspolitik
99
Programmplanung bei Risiko
•
Untersuchung der Implikationen expliziter Risikoberücksichtigung in
der Produktionsprogrammplanung
– Bestehen Unterschiede in der Lösungsstruktur
•
Was ist risikobehaftet?
–
–
Risikobehaftete Beschaffungs- oder Absatzpreise (Deckungsbeitrag)
Risikobehaftete Fixkosten
~
G=
J
j =1
•
(
)
~
~
∑ x j ⋅ p~ j − k j − K F =
J
~
∑ xj ⋅dj
~
~
~
− KF = D − KF
j =1
Annahmen im folgenden
–
–
Eine Mehrproduktrestriktion, die nicht risikobehaftet ist
Gesamtes Produktionsprogramm wird im voraus festgelegt
100
Bernoulli-Prinzip
•
Erwartungsnutzenmaximierung
–
–
–
–
–
Subjektive Nutzenfunktion U für jeden Entscheidungsträger
Subjektive Bewertung des Risikos durch einzelnen Entscheidungsträger
Ergebnisgröße ω: Endvermögen der Planungsperiode
Gewählte Alternative ist jene mit dem größten Nutzenerwartungswert
Endvermögen ω = gegebenes Anfangsvermögen ω0 +
Periodengewinn
ω% = ω0 + G% = ω0 + D% − K% F
Ε ⎡⎣ U
(
(ω% ) ⎤⎦ = E ⎡ U ω 0 + D% − K%
⎣
F
)
⎡ ⎛
⎤ = E ⎢U ⎜ ω 0 +
⎦
⎣⎢ ⎝
J
∑
j =1
x j ⋅ d% j − K%
F
⎞⎤
⎟⎥
⎠ ⎦⎥
101
Erwartungswertmaximierung
•
Spezialfall:
– Nutzenfunktion U linear: U(ω) = α + Rω mit R > 0
– Entscheider ist risikoneutral
•
Gesucht
– Produktionsprogramm mit maximalem
(Perioden-)Gewinnerwartungswert
(
E ⎡⎣U (ω% ) ⎤⎦ = E[α + R ⋅ ω% ] = α + R ⋅ ω0 + E ⎡⎣G% ⎤⎦
)
J
⎡
⎤
F
%
E ⎣⎡G ⎦⎤ = E ⎡⎣ D% − K% ⎤⎦ = E ⎢ ∑ x j ⋅ d% j − K% F ⎥ =
⎣ j =1
⎦
J
∑x
j =1
j
⋅ E ⎡⎣ d% j ⎤⎦ − E ⎡⎣ K% F ⎤⎦
Reihung nach dem höchsten erwarteten spezifischen DB
Fixkosten sind irrelevant
102
Beispiel:
Produkt
DB
Stunden/St
erwarteter DB
1
je zu 50% 10 oder 20
5
15
2
14
5
14
Kapazität: 1.400 Stunden
Ausschließliche Produktion von Produkt 1
1.400/5 = 280 Stück
Erwarteter DB: 4.200
103
Erwartungsnutzenmaximierung bei
risikoscheu
•
Streng konkave Nutzenfunktion U
– U’(ω) > 0; U’’(ω) < 0
–
–
–
–
•
Programmplanung als nichtlineares Optimierungsproblem
Bedeutung des erwarteten spezifischen DB nimmt ab
Es kommt zu Diversifikationseffekten
Maximierung des Erwartungsnutzens führt zu optimalem
Produktprogramm-Portefeuille
Beispiel:
Produkt
DB
Stunden/St
1
je zu 50% 10 oder 20
5
2
14
5
104
Beispiel:
Kapazität: 1.400 Stunden
Nutzenfunktion logarithmisch; ω > 0
U (ω ) = 2ln (ω ) ; U ′ (ω ) =
•
2
ω
> 0; U ′′ (ω ) = −
2
ω2
<0
Vereinfachende Annahmen: ω0 = 0 und Fixkosten = 0
LG = ln (10 ⋅ x1 + 14 ⋅ x2 ) + ln ( 20 ⋅ x1 + 14 ⋅ x2 ) − λ ⋅ ( 5 ⋅ x1 + 5 ⋅ x2 − 1.400 )
Kuhn/Tucker-Bedingungen
x ∗j > 0
und
x ∗j = 0
und
∂ LG
=0
∂ xj
∂ LG
≤0
∂ xj
j = 1,2
j = 1,2
105
Beispiel:
•
Frage: Sind beide Produkte im optimalen Programm?
– Lösungsweg:
• Wird nur Produkt 1 gefertigt, darf an Stelle (280, 0) die Ableitung
von LG nach x2 nicht positiv sein
∂ LG ( x1 = 280; x2 = 0 )
14
14
=
+
− λ ⋅5
2.800 5.600
∂ x2
∂ LG ( x1 = 280; x2 = 0 )
10
20
=
+
− λ ⋅ 5 = 0 ⇒ λ = 0,00143
∂ x1
2.800 5.600
Setzt man diesen Wert für λ in die obige Ableitung ein, ergibt sich
eine positive Differenz von 0,00035
ÖProdukt 2 ist Bestandteil des optimalen Produktionsprogramms
Ähnliche Vorgehensweise zeigt, dass auch Produkt 1 im optimalen
Produktionsprogramm enthalten ist
106
Ermittlung des optimalen
Produktionsprogramms
•
Restriktion als Gleichung nach Produkt 2 auflösen
ln (10 ⋅ x1 + 14 ⋅ ( 280 − x1 ) ) + ln ( 20 ⋅ x1 + 14 ⋅ ( 280 − x1 ) ) =
ln ( 3.920 − 4 ⋅ x1 ) + ln ( 3.920 + 6 ⋅ x1 )
•
Nullsetzen der 1. Ableitung
−
4
6
+
=0
3.920 − 4 ⋅ x1∗ 3.920 + 6 ⋅ x1∗
⇒ x1∗ =
3.920
= 163,3
24
⇒
3.920 = 24 ⋅ x1∗
x2∗ = 280 − 163,3 = 116,6
107
Fixkosten und Anfangsvermögen
•
Entscheidungsrelevanz von Fixkosten und Anfangsvermögen
abhängig von Risikoscheu
U ′′ (ω )
AR (ω ) = −
U ′ (ω )
•
Maß der Risikoscheu
•
Beispiel: Logarithmische Nutzenfunktion
Absolute Risikoaversion AR(ω)
• Absolute Risikoaversion nimmt - gegeben ein Anfangsvermögen - ab
• Höhere Fixkosten induzieren niedrigeres Endvermögensniveau
• Wahrscheinlichkeitsverteilung für Produktionsprogramm wird in
einen Bereich der Nutzenfunktion mit stärkerer Risikoscheu
verschoben
108
Beispiel:
•
Positives Anfangsvermögen ω0 positive, sichere Fixkosten KF
•
Zielfunktion:
(
)
(
ln ω0 + 3.920 − 4 ⋅ x1 − K F + ln ω0 + 3.920 + 6 ⋅ x1 − K F
)
3.920 + ω0 − K F = 24 ⋅ x1∗
⇒
3.920 + ω0 − K F
x =
;
24
∗
1
3.920 + ω0 − K F
x = 280 −
24
∗
2
Fixkosten über 3.920 + ω0: nur Produkt 2
Anfangsvermögen über 2.800 + KF: nur Produkt 1
109
Konstante absolute Risikoaversion
•
•
•
Logarithmische Nutzenfunktionen bilden abnehmende absolute
Risikoaversion ab
Exponentielle Nutzenfunktionen bilden dagegen konstante absolute
Risikoaversion ab
Beispiel:
1
U (ω ) = − ⋅ e − α ⋅ω ;
(α > 0 )
α
U ′′ (ω )
α ⋅ e −α ⋅ω
AR (ω ) = −
=
= α
−α ⋅ω
U ′ (ω )
e
1 −α ⋅ D + δ
1
U ( D + δ ) = − ⋅ e ( ) = − ⋅ e − α ⋅D ⋅ e − α ⋅δ = − α ⋅ U (δ ) ⋅ U ( D )
α
α
E ⎡U D% + δ ⎤ = − α ⋅ U (δ ) ⋅ E ⎡U D% ⎤
⎣
⎦
⎣
⎦ Wegen U(δ) < 0 ist -αU(δ) positiv
(
•
)
( )
(sichere) Fixkosten und sicheres
Anfangsvermögen wieder bedeutungslos
Mit δ = ω0 − KF wird Irrelevanz von
KF und Anfangsvermögen deutlich
110
Stochastische Fixkosten
• Potentielle Relevanz der Fixkosten wird verstärkt
• Zusätzliche Diversifikationsaspekte hinsichtlich risikobehafteter
Fixkosten
• Auch bei konstanter absoluter Risikoaversion grundsätzliche
Relevanz der Fixkosten
δ = ω0 − K F
• Exponentielle Nutzenfunktion mit
(
) ( )
( ) ( ))
(
= ( − α ⋅ U (ω ) ) ⋅ ( − α ⋅ {E ⎡U ( − K% ) ⎤ ⋅ E ⎡U ( D% ) ⎤ + Cov (U ( − K% ) ,U ( D% ) )} )
⎣
⎦ ⎣
⎦
E ⎡⎣U (ω% ) ⎤⎦ = α 2 ⋅ E ⎡U (ω0 ) ⋅ U − K% F ⋅ U D% ⎤ =
⎣
⎦
= ( − α ⋅ U (ω0 ) ) ⋅ − α ⋅ Ε ⎡U − K% F ⋅ U D% ⎤ =
⎣
⎦
F
F
0
111
Stochastische Fixkosten
•
Keine Fixkostenrelevanz nur dann,
wenn Fixkosten mit DB nicht korreliert sind
•
Stochastische Fixkosten alleine induzieren keine Fixkostenrelevanz
– Deckungsbeiträge dann sicher; G% = D − K% F
Ö Zustandsabhängiges Endvermögen für jeden Zustand maximal bei
Programm mit maximalem Deckungsbeitrag
Ö Dominanzprinzip
Man kann sich auf die bekannten Sicherheitsansätze beschränken,
falls die Fixkosten die alleinige risikobehaftete Größe sind
112
Zusammenfassung
•
Im Rahmen der Erwartungsnutzenmaximierung sind Fixkosten
irrelevant
– falls Nutzenfunktion mit konstanter absoluter Risikoaversion und
Fixkosten sicher
– falls Fixkosten die alleinige stochastische Größe
– regelmäßig auch als sichere Größe relevant, falls Nutzenfunktion
ohne konstante absolute Risikoaversion
– grundsätzlich relevant, falls neben Deckungsbeiträgen auch Fixkosten
risikobehaftet und keine lineare Nutzenfunktion (Risikoneutralität)
•
Relevanz des Anfangsvermögens
– obige Ergebnisse gelten analog
– Anfangsvermögen am Periodenbeginn aber sicher -insofern muss diesbezüglich keine Unsicherheit beachtet werden
113
Implikationen
•
Begründung der Verwendung von Vollkostenrechnungen
– Streng genommen nur Vollkostenrechnungen als Periodenrechnungen
•
Fixkosten relevant wegen Einflusses auf Bewertung der
Gewinnverteilungen
– Fixkosten nach wie vor unabhängig von den Entscheidungsvariablen
•
Faktisch nichtlineares Entscheidungsproblem
– Risikobehaftetes Endvermögen ist das Argument einer
Nutzenfunktion, deren Erwartungswert zu maximieren ist
•
Problem: Bestimmung der Nutzenfunktion
– Kurzfristig wirksames Entscheidungsproblem, das in einen
längerfristigen Zusammenhang eingebettet ist
– Was ist der Nutzen des Endvermögens der betrachteten Periode?
Probleme mit Ausschüttungen, Effekte von Folgeentscheidungen,
Bewertungsinterdependenzen
114