Comments
Description
Transcript
2 1211 הלאש
שאלה 2 1211 להלן הפונקציה הסקלרית: kQ0 + y2 + z2 x2 f (x, y, z) = p א .חשבו את הגרדיאנט של הפונקציה בקורדינטות קרטזיות ).(x, y, z ב .רשמו את הפונקציה בקורדינטות כדוריות ) (r, θ, ϕולאחר מכן חשבו את הגרדיאנט בקורדינטות אלו. ג .הראו שאם תכתבו את התוצאה מסעיף א באמצעות קורדינטות כדוריות ,תקבלו בדיוק את התוצאה בסעיף ב. #לשם פתרון סעיפים ב ו־ג היעזרו ברקע התיאורטי בדפי תרגול ,1עמודים 1ו־.5 פתרון א .חשבו את הגרדיאנט של הפונקציה בקורדינטות קרטזיות ).(x, y, z גרדיאנט בקורדינטות קרטזיות 2 ∂ ∂ ∂ , , ∂x ∂y ∂z kQ0 x ) (x2 + y 2 + z 2 − = ~ ∇ = ∂f ∂x באותו אופן מחשבים עבור רכיב yורכיב zומקבלים: ! kQ0 z kQ0 x kQ0 y − ,− ,− 3/2 3/2 3/2 ) (x2 + y 2 + z 2 ) (x2 + y 2 + z 2 ) (x2 + y 2 + z 2 kQ0 )(x, y, z 3/2 ) (x2 + y 2 + z 2 = ~ ∇f =− ~ ∇f ב .רשמו את הפונקציה בקורדינטות כדוריות ) (r, θ, ϕולאחר מכן חשבו את הגרדיאנט בקורדינטות אלו. נזהה כי r2 = x2 + y 2 + z 2בקורדינטות כדוריות .למעשה rהוא גודלו של וקטור עם רכיבים קרטזיים ).(x, y, z kQ0 r = )f (r, θ, ϕ 1 כעת נבצע את פעולת הגרדיאנט בקורדינטות כדוריות: ∂ ∂ 1 ∂ ̂= r ̂+ θ ̂+ ϕ ∂r ∂r r sin θ ∂ϕ ∂ ∂ 1 1 ∂ = , , ∂r r ∂θ r sin θ ∂ϕ ~ ∇ שימו לב כי הפונקציה הסקלרית אינה תלויה בזוויות θו־ .ϕלפיכך ,הנגזרות לפי הזוויות ∂ ∂ ∂θו־ ∂ϕמתאפסות ואנחנו נשארים רק עם הרכיב בכיוון ̂:r ̂~ = r̂ ∂f = − kQ0 r ∇f ∂r r2 ג .הראו שאם תכתבו את התוצאה מסעיף א באמצעות קורדינטות כדוריות ,תקבלו בדיוק את התוצאה בסעיף ב. נשתמש בקשר בין קורדינטות קרטזיות לקורדינטות כדוריות: = r sin θ cos ϕ x = r sin θ sin ϕ y = r cos θ z = r x2 + y 2 + z 2 p נציב בתוצאה של סעיף א ונקבל: kQ0 )(r sin θ cos ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos θ r3 kQ0 )− 2 (sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ r − נשים לב כי הכיוון ̂ rניתן על ידי )r̂ = (sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ ולכן למעשה קיבלנו את התוצאה מסעיף ב: ̂~ = − kQ0 r ∇f r2 2 = = ~ ∇f 1 נתון שדה : ⃗ × ⃗r ⃗ = m E r3 m ⃗ is a constant מצאו את ⃗ ∇·E נפתור את זה בקואורדינטות קרטזיות באמצעות כתיב אינדקסים ,כאשר אינדקס שמופיע פעמיים פירושו סכימה: ( ) m ⃗ × ⃗r ⃗ · ∇ · E = êi ∂i r3 1 = êi ∂i ϵjkl · êj mk rl 3 r 1 = ∂i δij ϵjkl mk rl 3 r ] [ 1 1 = ϵjkl mk 3 ∂j rl + rl ∂j 3 r r [ ]) ( 1 −3rj = ϵjkl mk 3 δjl + rl r r5 mk mk = 3 ϵjkl δjl − 3 5 ϵjkl rj rl r r האיבר הראשון מתאפס מכיוון ש אם i = jה ϵjklמתאפס ,אבל אם הם שונים ה δjl מתאפס. האיבר השני לא יתרום לסכום ,מכיוון שבסה"כ הוא אנטי סימטרי להחלפות ב j ו ) .lמורכב מחלק אנטי סימטרי להחלפות ,ϵjkl ,ומחלק סימטרי להחלפה זו.( rj rl : כלומר חלק מהאיברים אינם אפס ,אבל בסכום הכולל תמיד יופיע איבר ,והמינוס של האיבר ,ולכן הסכום מתאפס .סה"כ קיבלנו ⃗ = 0 ∇·E