#9 לוגרת ,תויטמתמ תוטישל אובמ 2015 רבמצדב 21 רמשמ הדש
by user
Comments
Transcript
#9 לוגרת ,תויטמתמ תוטישל אובמ 2015 רבמצדב 21 רמשמ הדש
מבוא לשיטות מתמטיות ,תרגול #9 21בדצמבר 2015 שדה משמר הגדרות שקולות לשדה משמר ~ .1 F~ = ∇φ ~ × F~ = 0 .2 ∇ F~ · d~r = φ(~rf ) − φ(~ri ) .3 R C תרגיל מצא פונקציה סקלרית המקיימת ~ ,F~ = ∇φעבור ) .F~ = (x + y, y + x, ze z 2 2 פתרון למעשה יש מערכת של שלוש משוואות דיפרנציאליות שצריך לפתור: = x2 + y = y2 + x = zez x3 )+ xy + C(y, z 3 ∂φ ∂x ∂φ ∂y ∂φ ∂z = )(x2 + y)dx + C(y, z )∂C(y, z = y2 + x ∂z Z = = x+ )φ(x, y, z ∂φ ∂y y3 )+ D(z 3 x3 y3 = )φ(x, y, z + xy + )+ D(z 3 3 ∂φ )dD(z = = zez ∂z dz Z zez = z(ez − 1) + E x3 y3 + xy + + z(ez − 1) + E 3 3 1 = )C(y, z = )D(z = )φ(x, y, z תרגיל נתון ̂yz √ z x̂ + 2xŷ + √ = ~ .Fהמסילה מ ) (0, 0, 0לנקודה ).(1, 1, 1 • ~r(t) = (t, t, t), 0 ≤ t ≤ 1 • .~r(t) = (t, t2 , t4 ), 0 ≤ t ≤ 1 R חשב את W = C F~ · d~rבשני המקרים. פתרון נבדוק תחילה אם השדה משמר. ∂Fy ∂Fx − = 2 6= 0 ∂y ∂x אז ~ × F~ 6= 0 ∇ והשדה אינו משמר .לכן ) (3לא מתקיים. √ √ 1 2 = ( t − 2t + t)dt = 2 t3/2 − t2 |10 3 3 0 Z 1 Z 1 4 1 1 = (t2 − 2t · 2t + t · 4t3 )dt =(−3t2 + 4t4 )dt = −t3 + t5 |10 = − 6 5 5 3 0 0 1 תרגיל חשב את האינטגרל 4 dz 1 + z2 )(3,3,1 2xdx − y 2 dy − Z = W )(0,0,0 פתרון נבדוק אם השדה משמר ∂Fy =0 ∂x ∂Fy =0 ∂z ∂Fz =0 ∂x = = = 4 ∂Fx ) 1 + z 2 ∂y ∂Fz ∂y ∂Fx ∂z F~ = (2x, −y 2 , − ואכן ,השדה משמר לכן קיים פוטנציאל )φ(x, y, z )2x ⇒ φ(x, y, z) = x2 + C(y, z = −y 2 ⇒ φ(x, y, z) = − = − = y3 )+ D(x, z 3 4 )⇒ φ(x, y, z) − 4 arctan z + E(x, y 1 + z2 y3 x2 − − 4 arctan z + C 3 = ∂φ ∂x ∂φ ∂y ∂φ ∂z )φ(x, y, z Z = W1 = W2 נשים לב שקיצור הדרך הזה התאפשר רק בגלל שהשדה מקיים ̂. F~ = g(x)x̂ + h(y)ŷ + k(z)z בכל אופן, π =π 4 W = φ(3, 3, 1) − φ(0, 0, 0) = 9 − 9 − 4 arctan 1 − 0 = −4 אינטגרל משטחי של שדה וקטורי ־ שטף Z Z F~ · n̂dS =Φ S כאשר Sמציין משטח dS ,הוא אלמנט שטח על המשטח ו ̂ nהוא נורמל למשטח .לתוצאה נקרא השטף של השדה הוקטורי דרך המשטח. משטח פתוח/משטח סגור אם המשטח נתון בצורה ) z = f (x, yראינו כי הנורמל הוא 1 )(−∂x f, −∂y f, 1 1 + (∂x f )2 + (∂y f )2 n̂ = p כמו כן ,ראינו כי 1 + (∂x f )2 + (∂y f )2 dxdy q = dS לכן ,בסה״כ ∂f ∂f ~ F · − , − , 1 dxdy ∂x ∂y D Z Z Z Z = F~ · n̂dS S עבור משטח סגור ,שבד״כ נתון בצורה ) ,f (x, y, zוקטור הנורמל הוא ~ ∇f | ~ |∇f = ̂n תרגיל חשב בשתי הדרכים את השטף של F~ = ~zדרך מעטפת הכדור x + y + z = aבאוקטנט הראשון. 2 פתרון דרך א׳: 2 2 2 z = f (x, y) p a 2 − x2 − y 2 = −y −x n̂ = ! ,p ,1 a2 − x2 − y 2 a2 − x2 − y 2 ! Z Z −x −y ~ Φ = F · n̂dS = ~z · p ,p , 1 dxdy = a 2 − x2 − y 2 a2 − x2 − y 2 S D Z Z Z Z π/2 Z a p π p 2 = a2 − r2 rdrdθ = a − r2 rdr = zdxdy = 2 0 D 0 a π1 2 πa3 = − (a − r2 )3/2 = 23 6 0 p תרגיל דרך המלבןF~ (x, y, z) = yx2 x̂ − 2ŷ + xz k̂ חשב את שטף השדה .ŷ בכיווןy = 0, −1 ≤ x ≤ 2, 2 ≤ z ≤ 7 פתרון Z Φ= F~ · n̂dS = Z Z Z 2 (yx , −2, xz) · (0, 1, 0) = −2 S S dS = −30 S תרגיל ובתחוםz = 0, z = a בין המישוריםx2 + y 2 = a2 היוצא מהגלילF~ = z x̂ = xŷ + yẑ חשב את שטף השדה x ≥ 0, y ≥ 0 פתרון Z Z n̂ = F~ · n̂dS = xx̂ + y ŷ Z Za (zx + xy)adθdz = S Z S π/2 Z = Z 2 π/2 (az cos θ + a cos θ sin θ)dzdθ = 0 = h 0 0 a2 h ah2 cos θ + sin 2θ)dθ = 2 2 ah (h + a) 2 משפט גרין ־ סטוקס ומשפט גאוס משפט סטוקס שווה לאינטגרל המסילתי של השדה לאורך המסילה התוחמתS שטף הרוטור של השדה דרך משטח פתוח דו מימדי :את המשטח I C F~ (~r) · d~r ZZ = S ~ × F~ ) · n̂dS (∇ כאשר Cהיא שפת המשטח הפתוח ,S ̂ nהוא וקטור יחידה הניצב למשטח ,Sכיוונו נקבע ביחס לאוריינטציה של המסילה ,לפי כלל יד ימין. זאת בתנאי שהשדה רציף וגזיר בתוך התחום המוגדר ע״י Cוכן תחום זה הינו פשוט קשר. במקרה הדו מימדי ,המשפט נקרא משפט גרין, dxdy ∂Fx ∂Fy − ∂x ∂y ZZ I = Fx dx + Fy dy C D תרגיל השתמש במשפט גריל על מנת לחשב את הסירקולציה של ̂ F~ = xyx̂ + y 2 yעל פני שפת התחום הנמצא בין y = x2 ו y = xברביע הראשון. 2.0 1.5 1.0 0.5 1.2 1.4 1.0 0.6 0.8 0.2 0.4 פתרון ZZ = (0 − x)dxdy √y x2 = dy 2 y 1 y Z = D √ Z 1 Z = − xdxdy = − y 0 2 2 F~ · d~r y y3 1 y y − dy = −( − )|10 = − 2 2 4 6 12 0 1 Z = − 0 תרגיל חשב באמצעות משפט גרין את אינטגרל המסילה ex cos ydx − ex sin ydy Z C כאשר .P = (ln 2, 0), Q = (0, 1), R = (− ln 2, 0) ,C : P → Q → R פתרון משפט גרין דורש מסילה סגורה ,לכן נגדיר מסלול סגור C 0 = C ∪ RPואז נרשום I Z Z = + = I C0 ∆Z Z RP (−ex sin y + ex sin y)dxdy = 0 = ∆ ln 2 Z 3 1 ex dx = −(2 − ) = − 2 2 − ln 2 Z Z =− I − =0− RP RP Z = C0 C תרגיל חשב באמצעות משפט סטוקס את הסירקולציה של ) F~ = (x2 , 2x, z 2סביב האליפסה 4x2 + y 2 = 4במישור x − yנגד כיוון השעון. פתרון ניתן לבחור כל משטח לאינטגרל המשטחי .פשוט ביותר לבחור את האליפסה במישור x − yואת הנורמל בכיוון ̂.n̂ = z ZZ = ~ × F~ · ẑdS ∇ ZZ Z ZS ∂Fx ∂Fy − dxdy = 2 dxdy = 2π · 2 · 1 = 4π = ∂x ∂y = F~ · d~r חישוב שטח באמצעות משפט גרין התחום Rהנתחם על ידי מסילה פשוטת קשר Cעל ידי שימוש במשפט גרין. נמצא ביטוי לשטח H RR ~ ~ F · d~r = R ∇ × F~ · n̂dS C נשים לב שאם ̂~ × F~ = n ∇ ,אז ZZ dS = S = F~ · d~r R I C ואנחנו מכירים שדה כזה, 1 )F~ = (−y, x 2 לכן, I −ydx + xdy C 1 2 = AREA OF R תרגיל חשב את שטח האליפסה x(t) = a cos t, y(t) = b sin t, 0 ≤ t ≤ 2π באמצעות משפט סטוקס. I פתרון −a sin tdt = dx b cos tdt I 1 (ab sin2 t + ab cos2 t)dt = πab 2 C = dy = S תרגיל חשב את שטח הצורה הנתונה על ידי 1 sin 2t 2 sin t = x y = 0≤t≤π פתרון נצייר את התחום: 1.0 0.5 0.4 !0.2 0.2 !0.4 !0.5 !1.0 נחשב את השטח )של לולאה אחת) באמצעות משפט סטוקס, Z 1 π 1 sin 2t cos t − sin t cos 2t dt 2 0 2 Z π Z 1 1 π 2 2 = sin t cos t − sin t(2 cos t − 1) dt = − sin t cos2 t + sin t dt 2 0 2 0 π 1 1 2 = cos3 t − cos t 2 3 3 0 משפט סטוקס בתחום לא פשוט קשר מה קורה אם יש חורים בתחום ,או נקודה בה הנגזרות של השדה לא מוגדרות? I = xdy − ydx C = = 1 =A 2 תרגיל חשב את האינטגרל x −y dx + 2 dy, 2 + y2 x x + y2 C x2 + y 2 = a2 I = W : C .1ע״י משפט סטוקס. .2ישירות )ע״י פרמטרזציה(. פתרון .1לפי סטוקס, ZZ ~ × F~ ) · n̂dS ∇( I F~ (~r) · d~r = C S ∂Fy ∂Fy − =0 ∂x ∂x = ~ × F~ )z ∇( 0 = ~ × F~ ) · n̂dS ∇( ZZ S .2מכיוון שהשדה מתבדר בראשית ,משפט סטוקס לא תקף ויש לחשב את האינטגרל ישירות ,ע״י פרמטרזציה. a cos t = x a sin t y = 0 ≤ t ≤ 2π Z 2π 2 2 a sin t + a2 cos2 t dt = 2π = a2 0 W כלומר ,למרות ש~ × F~ = 0 ∇ ,אינטגרל העבודה לא מתאפס. זאת מכיוון שהתחום אינו פשוט קשר. נשים לב שאם היינו הופכים את Hכיוון המסילה, היינו מקבלים . K F~ · d~r = −2π אם כך ,הדרך הנכונה לשימוש במשפט סטוקס הוא על ידי בחירת משטח שלא מכיל את הראשית: טבעת התחומה בין המסלול C־ מעגל בעלת רדיוס חיצוני ,aנגד כיוון השעון. לבין המסלול K־ מעגל בעל פנימי , 0 < b < aעם כיוון השעון. F~ (~r) · d~r = 0. I I F~ (~r) · d~r + K = ~ × F~ ) · n̂dS ∇( C ZZ ANNULUS כלומר ,שני אינטגרלי המסלול מבטלים זה את זה והרוטור מתאפס אם נבחר ,F~ = (−y, x)/2נקבל ZZ ) ~ × F~ ) · n̂dS = π(a2 − b2 ∇( S משפט גאוס )משפט הדיברגנץ( השטף של שדה וקטורי ~ Fדרך מעטפת סגורה כלשהי Sשווה לאינטגרל על הדיברגנס של השדה בתוך נפח התחום על ידי מעטפת זו: ZZZ Z ~ · F~ dV ∇ V Z Z = F~ · n̂dS S תרגיל דרך הקוביהF~ = (x2 , y, z) חשב את שטף השדה 0≤ x ≤1 0≤ y ≤1 0≤ z ≤1 .ישירות וע״י משפט גאוס פתרון : חישוב ישיר של השטף z = 1, 0 ≤ x, y ≤ 1 : n̂ = ẑ (1) z = 0, 0 ≤ x, y ≤ 1 : n̂ = −ẑ (2) y = 1, 0 ≤ x, z ≤ 1 : n̂ = ŷ (3) y = 0, 0 ≤ x, z ≤ 1 : n̂ = −ŷ (4) x = 1, 0 ≤ y, z ≤ 1 : n̂ = x̂ (5) x 0, 0 ≤ y, z ≤ 1 : n̂ = −x̂ (6) = 1 Z 1 Z F~ · ẑdxdy z=1 F~ · (−ẑ)dxdy z=0 F~ · ŷdxdz y=1 ~ F · (−ŷ)dxdz = zdxdy ⇒ Φz=1 = = 0 F~ · x̂dydz x=1 F~ · (−x̂)dydz = x2 dydz ⇒ Φx=1 = = 0 (12) Φ = Φx=1 + Φy=1 + Φz=1 = 3 (13) zdxdy = z = 1 0 = zdxdy = 0 = ydxdz ⇒ Φy=1 = (7) 0 (8) 1 Z 1 Z ydxdz = y = 1 0 (9) 0 (10) y=0 1 Z 1 Z 0 x2 dydz = x2 = 1 (11) 0 x=0 :חישוב השטף ע״י משפט גאוס ZZZ Φ= ~ · F~ dV = ∇ ZZZ 1 Z Z (2x + 1 + 1)dxdydz = 0 0 1 1 (x2 + 2x)0 dydz = 3 תרגיל .z = 1 והמישורz = x2 + y 2 דרך המשטח הנוצר על ידי הקונוסF~ = z ẑ חשב את שטף השדה פתרון ZZ ~= F~ · dS S ZZZ ~ · F~ dV = ∇ ZZZ 1dV = 1 π BASE × HEIGHT = 3 3 תרגיל חשב את שטף השדה ) F~ = (x, y, 2 − 2xדרך המשטח הנוצר על ידי הפרבולואיד z = 1 − x2 − y 2מעל מישור .xy .1ע״י חישוב ישיר של האינטגרל המשטחי. .2ע״י שימוש במשפט הדיברגנץ. פתרון חישוב ישיר )(2x, 2y, 1 p 1 + 4x2 + 4y 2 ZZ )(2x, 2y, 1 = (x, y, 2 − 2x) · p = dS 1 + 4x2 + 4y 2 S ZZ ZZ = = (2x2 + 2y 2 + 2 − 2z)dxdy = (4x2 + 4y 2 )dxdy = 1 r4 4r rdrdθ = 8π = 2π 4 0 1 Z 2 D 2π ̂n F~ · n̂dS ZZ S Z = 0 0 משפט הדיברגנץ משפט הדיברגנץ מקשר בין שטף דרך משטח סגור למקורות בתוך המשטח. לכן נחשב את השטף דרך המשטח הסגור ,כולל הבסיס x2 + y 2 = 1, z = 0ונחסיר את השטף דרך הדיסקה. השטף דרך המשטח הסגור: ZZZ (1 + 1 − 2)dxdydz = 0 = ~ · F~ dV ∇ ZZZ = ZZ F~ · n̂dS S+O השטף דרך הדסקה בלבד: ZZ dxdy = −2π ZZ (x, y, z) · (−ẑ)dxdy = −2 = O לכן השטף דרך הפרבולואיד הוא ΦS + Φ O = 0 = Φtotal 2π = ΦS F~ · n̂dS ZZ = ΦO O