Comments
Description
Transcript
ינש קרפ : קוח סואג
פרק שני :חוק גאוס ויישומיו 9 2.1קווי השדה החשמלי 2.2חוק גאוס :מהו )דיון כללי( ? 2.3השטף של שדה וקטורי 2.4השטף של השדה החשמלי 2.5חוק גאוס 2.6ישומו של חוק גאוס: 9 9 9 9 9 .1 .2 .3 .4 .5 .6 1 שדה של מטען נקודתי שדה של תיל אינסופי שדה של מישור מטען אינסופי שדה של התפלגות מטען כדורית שדה בין לוחות קבל מסקנות מחוק גאוס לגבי המטען העודף של מוליך [email protected] 2.1קווי השדה החשמלי ¾ ¾ ¾ ¾ קווי שדה חשמלי הם קוים במרחב )בדרך כלל עקומים( שהמשיק להם בכל נקודה ונקודה מציין את כיוונו של השדה החשמלי באותה הנקודה. קווי השדה החשמלי מתחילים במטען חיובי ומסתיימים במטען שלילי. קווי שדה חשמלי לעולם אינם יכולים להיחתך )מדוע ?( עצמתו של השדה החשמלי פרופורציונית לצפיפות קווי השדה: במקומות בהם הקווים צפופים השדה חזק ולהפך. שדה לא אחיד 2 שדה אחיד [email protected] 2.1קווי השדה החשמלי המשך... שדה חשמלי בקרבת יריעת מטען דקה ומבודדת .זהו שדה אחיד. 3 שדה של מטען נקודתי חיובי [email protected] 2.1קווי השדה החשמלי המשך... זוג מטענים נקודתיים וחיובים 4 קווי שדה של מערך דיפולי [email protected] 2.1קווי השדה החשמלי המשך... תצלום של תצורת קווי שדה מסביב לטבלה טעונה ולשני מוטות המדמים מערך דיפולי. התצורה מתאפשרת הודות לזרעי דשא הצפים בנוזל צמיגי מבודד .כדי לראות את האפקט יש צורך במתח חשמלי גבוהה. 5 [email protected] 2.2חוק גאוס :מהו )דיון כללי( ? ¾ חוק גאוס הוא פורמליזם מתמטי המאפשר לנו לחשב את השדה החשמלי של התפלגויות מטען סימטריות בקלות רבה. ¾ חוק גאוס מניב את אותם התוצאות כחוק קולון אולם הוא נחשב לכללי יותר והוא ישים גם למקרה בו המטענים אינם סטטיים. ¾ חוק גאוס קושר בין השדה החשמלי למקורותיו, דהיינו למטענים החשמליים היוצרים אותו. ¾ נעיר כי מספר הבעיות שניתן לפותרם בעזרת חוק גאוס קטן והוא מוגבל לבעיות בעלות סימטריה גבוהה. 6 [email protected] 2.3השטף של שדה וקטורי ¾ 7 השטף ) (Fluxהוא תכונה פיסיקלית של כל שדה וקטורי והיא מספקת מידה לזרימתו או לחדירתם של קווי השדה דרך משטח )צורה דו- ממידית( הנמצא בשדה .בדוגמא הבאה נתייחס לשטף שדה מהיריות של זורם כלשהוא .נתייחס לנוזל כלשהוא הזורם בצורה אחידה .את הזרימה נייצג ע"י שדה מהיריות .נדמיין לעצמנו כי אנו שמים תיל שכופף בצורת לולאה ריבועית בניצב לכיוון הזרימה )ציור .(a [email protected] 2.3השטף של שדה וקטורי המשך... ¾ אנו מגדירים את השטף של שדה המהירות דרך שטח הלולאה הניצבת למהירות ע"י: Φ = vA ¾ כאשר vהיא המהירות ו A -הוא השטח של המשטח דרכו השטף מחושב. ¾ לשטף יש יחידות של נפח מחולק בזמן כלומר הוא מהווה מידה לקצב החדירה של הנוזל דרך הלולאה הניצבת לשדה .יהיה זה נוח להתייחס לשטף כמידה למספר קווי השדה החודרים את הלולאה בניצב. 8 [email protected] 2.3השטף של שדה וקטורי המשך... ¾ ומה קורה אם משטח הלולאה מהווה זווית כלשהיא עם כיוון השדה ? פשוט ניקח את ההיטל של המשטח בכיוון המאונך כמוראה ב .bבמקרה זה השטף יהיה: Φ = vA cos θ ¾ ¾ ¾ ¾ שימו לב :מספר קווי השדה החודרים דרך המשטח הנטוי זהה למספר קווי השדה החודרים את היטלו בכיוון המאונך .אולם ,הוא קטן יותר מהמקרה הקודם ,פשוט כי המשטח נטוי. בציור cמשטח הלולאה מקביל למהירות אין קווי שדה החודרים את משטח הלולאה והשטף הוא אפס. כפי שנראה להלן חוק גאוס דן בשטף דרך משטח סגור ולפיכך נצטרך להבחין בין שטף חיובי לשטף שלילי .לפי הסכמה שטף הנכנס לצורה הסגורה נלקח כשלילי ושטף יוצא מן הצורה הוא שלילי. נגדיר את השטף באמצעות המכפלה הסקלרית באופן הבא: r r )Φ = ∑ v A (1 9 [email protected] ¾ 2.3 rהשטף של שדה וקטורי המשך... כאשר Aנקרא ווקטור השטח הנורמאלי )מאונך( למשטח .זהו ווקטור שגודלו שווה לשטח של הצורה דרכה מחושב השטף והוא מכוון תמיד החוצה מן הצורה. תרגיל דוגמא מספר :1 חשב את השטף דרך הצורה הסגורה שהופיע באיור קודם. נוכל לכתוב את השטף דרך 5המשטחים באופן הבא: r r r r r r r r r r Φ = v A1 + v A2 + v A3 + v A4 + v A5 השטף דרך פאה 2הוא אפס כי וקטור השטח מאונך למהירות וכנ"ל לגבי פאות 4 ו .5-השטף דרך פאה 1הוא −VA1וזה שדרך פאה 3הוא .vA cos θהשטף הכללי הוא אפס כי מהגיאומטריה ברור ש . A3 cos θ = A1 10 [email protected] 2.3השטף של שדה וקטורי המשך... A1 = ab cos θ A3 = ab b v a θr θ a cos θ A3 התוצאה האחרונה אינה מפתיעה אם נזכור שהשטף סופר את מספר קווי השדה .כל קו שדה שנכנס דרך משטח 1יוצא ממשטח 3ולכן השטף הכללי אפס. זו התוצאה שתתקבל עבור כל משטח סגור שאין בו מקורות נביעה או לכידה של נוזל .אילו היה קיים מקור נביעה )למשל קרח הנמס( השטף הכללי היה חיובי כי יותר קווי שדה היו יוצאים ולהפך .מכאן נובע כי השטף דרך משטח סגור כלשהוא יהיה שווה לעוצמת המקורות הכלואים בתוך המשטח הסגור. 11 [email protected] 2.4השטף של שדה החשמלי ¾ באנלוגיה לנוסחא ) (1השטף של השדה החשמלי דרך מספר משטחים כלשהוא r r יוגדר כ: )Φ E = ∑ E A (2 ¾ עבור משטחים עקומים נכליל את הrמשוואה האחרונה .נחלק את המשטח לאלמנטים דיפרנציאלים ששטחם dAונבצע אינטגרציה r r )Φ E = ∫ E dA (3 ¾ האינטגרל האחרון קרוי אינטגרל משטחי או דו ממדי. 12 [email protected] 2.4השטף של שדה החשמלי 13 [email protected] 2.4השטף של שדה החשמלי תרגיל דוגמא מספר :2 הציור הבא מראה גליל דמיוני בתוך שדה חשמלי אחיד .יש לחשב את השטף דרך המשטח הגלילי הסגור r r r r r r r r ΦE = ∫ E dA = ∫ E dA + ∫ E dA + ∫ E dA c 14 b a [email protected] 2.4השטף של שדה החשמלי r r E dA = ∫ EdA cos180° = − E ∫ dA = − EA r r E dA = + EA r r E dA = 0 ∫ a ∫ c ∫ b ΦE = 0 השטף 0כי שוב אין מקורות )מטען חשמלי( כלואים בתוך המשטח הסגור 15 [email protected] 2.5חוק גאוס ¾ השטף של השדה החשמלי דרך משטח סגור כלשהוא שווה לסך כמות המטען החשמלי הכלואה בתוך המשטח .כל מטען מחוץ למשטח אינו משפיע. ¾ r r ε0 ∫ E dA = qenc עבור מטען נקודתי השדה פונה רדיאלית החוצה: r r ε0 ∫ E dA =ε 0 ∫ EdA = q ⇓ 2 ε0E ε π dA = q ⇒ E 4 r )=q ( 0 ∫ 1 16 q =E 2 r πε 4 0 [email protected] יישומו של חוק גאוס ¾ .1השדה של תיל אינסופי הטעון בצפיפות מטען λ ¾ מטעמי סימטריה השדה עובר דרך המעטפת הגלילית בניצב. בתור משטח גאוסי נבחר גליל בעל רדיוס r שהמוט עובר דרך ציר הסימטריה שלו אין חדירת קווי שדה דרך כיפות הגליל ולכן: שטף אפס ¾ r r ε0 ∫ E dA =ε 0 E ∫ dA =ε 0 E ( 2π rh ) = qenc = λ h 17 λ =E 2πε 0 r שטף אפס [email protected] יישומו של חוק גאוס המשך... ¾ .2השדה של מישור מטען אינסופי בעל צפיפות ¾ מטעמי סימטריה נובע כי השדה ניצב למישור. בתור משטח גאוסי נבחר בגליל בעל שטח חתך Aהניצב למשור המטען. ¾ ¾ σ r r ε0 ∫ E dA =qenc ε 0 ( EA + EA ) = σ A σ =E 2ε 0 18 [email protected] שטף אפס דרך מעטפת גלילית יישומו של חוק גאוס המשך... ¾ .3השדה של קליפה כדורית הטעונה אחידות במטען כללי q בתור משטח גאוס נבחר בכדור קונצנטרי )משותף מרכז( עם הקליפה. בגלל הסימטריה הכדורית הזווית בין השדה לווקטור השטח היא אפס כמו כן השדה החשמלי זהה בכל נקודה על פני מעטפת גאוס ומכאן: .1עבור האזור החיצוני משטח s1 )מחוץ לקליפה( r r 2 ε0 E dA = q ⇒ ε E 4 π r ( )=q 0 ∫ 1 19 q q =E )= k 2 (r > R 2 r 4πε 0 r [email protected] [email protected] יישומו של חוק גאוס המשך... קיבלנו תוצאה חשובה המראה כי בנקודות חיצוניות הקליפה הטעונה מתנהגת כאילו כל מטענה רוכז במרכז הכדור ,דהיינו היא מתנהגת כמטען נקודתי. .2 עבור האזור הפנימי )משטח (s2נקבל שהשדה מתאפס כי לא כלוא כל מטען בתוך המשטח ושדה אם היה קיים הוא היה רדיאלי ובעל אותו ערך על פני מעטפת גאוס. r<R E=0 מסקנה :כל מטען שיושם בתוך החלל הכדורי לא יחוש כל כוח. 20 [email protected] יישומו של חוק גאוס המשך... ¾ נסכם את התוצאות שקיבלנו בשני משפטי הקליפה: משפטי הקליפה .1קליפה טעונה )בצורה אחידה( מתנהגת בנקודות חיצוניות כאילו כל מטענה מרוכז במרכז הקליפה. .2קליפה טעונה )בצורה אחידה( אינה מפעילה כל כוח על מטען המוצב בנקודה כלשהיא בתוך הקליפה. 21 [email protected] יישומו של חוק גאוס המשך... ¾ .4השדה של התפלגות מטען כדורית כאשר צפיפות המטען היא פונקציה של הרדיוס בלבד ) ρ = ρ ( rאנו אומרים שלהתפלגות המטען סימטריה כדורית .גם כאן חוק גאוס הוא פשוט במיוחד. מחוץ להתפלגות המטען השדה מתנהג כשדהו של מטען נקודתי הנמצא במרכז מהסיבה שהשדה רדיאלי ובעל ערך קבוע על פני המעטפת הגאוסית .אגף שמאל של חוק גאוס זהה לזה שבדוגמא הקודמת .מאחר והמשטח הגאוסי הוא מחוץ להתפלגות הוא מכיל בתוכו אם כל כמות המטען. 22 [email protected] יישומו של חוק גאוס המשך... ¾ ומכאן נקבל עבור השדה החיצוני: )(1 ¾ )(r > R 1 q q =k 2 =E 2 4πε 0 r r כדי לחשב את השדה בפנים ההתפלגות נבחר משטח גאוסי כדורי שרדיוסו קטן מרדיוס ההתפלגות .אגף שמאל של חוק גאוס זהה לזה של האיזור החיצוני פרט לעובדה שכעת . r < Rאולם השוני הוא באגף הימני .אם במקרה הקודם כל המטען היה כלוא בתוך המשטח הגאוסי הרי שכעת רק חלק ממנו כלוא .נסמן מטען זה ב . q ' -נפעיל את חוק גאוס ונקבל עבור השדה הפנימי את התוצאה : 'q )E = k 2 (r < R) (2 r 23 [email protected] יישומו של חוק גאוס המשך... ¾ ואיך נחשב את ' q ? לצורך כך עלינו לדעת את התפלגות המטען ואז: )q ' = ∫ ρ ( r ) dv = ∫ ρ ( r ) ( 4π r 2 ) dr (3 ¾ בתור דוגמא הבה ונחשב את השדה של כדור טעון בצפיפות נפחית קבועה בנקודות פנימיות .היות הצפיפות קבועה נוכל להוציאה אל מחוץ לסימן האינטגרל: r 4 3 q ' = ρ ∫ ( 4π r ' ) dr ' = π r ρ 3 0 2 ¾ נציב את המטען בנוסחא ) (2ונקבל: ρ kq =E r= 3r 3ε 0 R כאשר המעבר האחרון התקבל ע"י הצבת צפיפות המטען: 24 [email protected] q 4 3 πR 3 =ρ יישומו של חוק גאוס המשך... ¾ נסכם את התוצאות שקיבלנו עבור כדור הטעון בצפיפות מטען אחידה ⎧ q ⎪⎪k R 3 r ⎨ = ) E (r ⎪k q ⎪⎩ r 2 0<r < R r≥R השדה גדל ליניארית בפנים הכדור וצונח כ אחד חלקי ריבוע המרחק מחוץ לכדור. )E (r שפת הכדור r 25 [email protected] מסקנות הנובעות מחוק גאוס לגבי המטען העודף של מוליכים ¾ משפט :1השדה החשמלי בקרבו )בכל נקודה פנימית( של מוליך אלקטרוסטטי הוא אפס. ¾ הוכחה )בדרך השלילה( אילו היה קיים שדה חשמלי בקרבו של המוליך הוא היה מפעיל כוח על אלקטרוני ההולכה וגורם לתזוזתם ,בסתירה להנחה כי המוליך במצב אלקטרוסטטי. ¾ משפט :2מטענו העודף של מוליך מתפרס על שפתו החיצונית של המוליך. לא קיים מטען עודף בתוך פנימו של המוליך. נניח שמטען עודף ניתן למוליך גם בחלקו הפנימי .בתחילה קיים שדה חשמלי בקרבו של המוליך שנוצר כתוצאה מהמטען העודף .שדה זה מפעיל כוח על המטענים והם מסתדרים מחדש .במהרה 10−9 sהשדה החשמלי בתוך המוליך מתאפס והמטענים מגיעים לשיווי משקל אלקטרוסטטי. ¾ 26 [email protected] מסקנות הנובעות מחוק גאוס לגבי המטען העודף של מוליכים המשך... ¾ הוכחת משפט :2נביט במוליך בעל צורה סתמית כמתואר בציור: נבנה מעטפת גאוסית בסמוך מאוד לפני המוליך ובחלקו הפנימי .מאחר והשדה החשמלי בקרבו של המוליך הוא אפס ,הרי שהוא גם אפס על פני מעטפת גאוס .לפיכך שטף השדה החשמלי הוא אפס ומחוק גאוס נקבל שהמטען העודף בתוך מעטפת גאוס הינו אפס. כעת ,אם קיים למוליך מטען עודף הרי שהוא חייב להיות מחוץ למעטפת גאוס ,כלומר על פניו החיצוניים של המוליך . 27 [email protected] מסקנות הנובעות מחוק גאוס לגבי המטען העודף של מוליכים ¾ ומה קורה אם בתוך המוליך קיים חלל ? ¾ אם לא קיים מטען בתוך החלל ניתן להראות באותו האופן כי לא קיים מטען עודף על שפת ה חלל . ¾ ומה קורה אם קיים מטען ' + qבתוך החלל ? ¾ השדה החשמלי בקרבו של המוליך עדיין אפס ומכאן שהשטף דרך משטח גאוס עודנו אפס .לפיכך המטען הנקי הכלוא בתוך המשטח הגאוסי חייב להיות אפס. 'q + q מכאן שעל משטח החלל יופיע מטען מושרה שלילי' . −q ' −q היות ומטען מושרה לא משנה את המטען הכללי הרי + ' +q שמטען ' + qיופיע על שפתו החיצונית של המוליך שיצטרף למטען המקורי שהיה קיים שם. 28 [email protected] מסקנות הנובעות מחוק גאוס לגבי המטען העודף של מוליכים המשך.. תרגיל דוגמא מספר :3 מוליך צינורי חלול וארוך מאוד בעל רדיוסים פנימי וחיצוני aו b-נתון בתוך מוליך צינורי ארוך קואקסיאלי )משותף ציר( בעל רדיוסים פנימי וחיצוני c ו .d -המוליך הפנימי נושא מטען +2qוהמוליך החיצוני נושא מטען −3q כיצד מופלג המטען על פני משטחי המוליכים ?? 29 [email protected] מסקנות הנובעות מחוק גאוס לגבי המטען העודף של מוליכים המשך.. ממשפט הקליפה ידוע לנו שכל מטען שיהיה על הגלילי החיצוני לא ישפיע על הגליל הפנימי .הווה אומר נוכל להתייחס לגליל הפנימי כאל מערכת מבודדת .היות והשדה החשמלי בקרבו של המוליך הוא אפס הדבר מחייב שמטען של 2 q יימצא על השפה bועל השפה aלא יהיה כל מטען .כעת ,גם בקרבו של המוליך החיצוני השדה אפס הרי שמתחייב מחוק גאוס שמטען של −2qחייב להימצא על השפה c על מנת שסך כל המטען שיימצא בתוך משטח גאוסי גלילי בעל רדיוס c < r < d יהיה אפס .על השפה dחייב להיות מטען –q [email protected] על30מנת לקיים את שימור המטען. d c a b 2q −2q −q השדה החשמלי בסמוך לפניו של מוליך טעון ¾ מעשית צפיפות המטען בדרך כלל אינה קבועה אלא פונקציה של המקום .נוכל להשתמש בחוק גאוס על מנת למצוא קשר בין השדה החשמלי בנקודה מסוימת בסמוך לפניו של המוליך וצפיפות המטען באותה הנקודה. משפט : 3השדה החשמלי בסמוך לפניו החיצונים של המוליך ניצב ל ו. הוכחה :אם השדה לא היה ניצב לפני המוליך אז היה לו רכיב המקביל לפני המוליך .רכיב זה היה גורם למטען המצוי על פני המוליך לנוע בסתירה להנחת האלקטרוסטטיות. 31 [email protected] השדה החשמלי בסמוך לפניו של מוליך טעון המשך... בתור משטח גאוס נבחר גליל קטן שבסיס אחד שלו בתוך המוליך והשני מבחוץ r r E dA = EA ∫ side walls 32 r r E dA + ∫ r r E dA + inner cap σ =E ε0 [email protected] ∫ outer cap r r ΦE = = ∫ E dA השדה החשמלי בסמוך לפניו של מוליך טעון המשך... ¾ נשווה את התוצאה האחרונה עם זו שהתקבלה עבור יריעת מטען: σ = E 2ε 0 ¾ כיצד נסביר את ההבדל ? ניתן לטעון יריעת מטען עי ידי פיזור אחיד של המטען מצידו האחד של משטח פלסטיק .המטענים נדבקים וללא זזים. לא ניתן לטעון מוליך בצורה זו כי המטענים יזוזו .כדי להראות שאין סתירה בין התוצאות נביט במוליך הבא .אם המוליך מבודד )אין גוף טעון אחר בסביבה( אז המטען יתחלק שוות בין שני משטחי המוליך. נוכל להראות באמצעות סופרפוזיציה כי השדה בתוך המוליך אפס ובסמוך לפני המוליך הוא נתון על ידי: σ = E ε0 33 [email protected] תרגיל דוגמא מספר :4 בין שני כדורים קונצנטריים רדיוס פנימי ,aקיים איזור המכיל מטען המפוזר A = ) ρ (r בצפיפות נפחית r ב ) r=0מרכז המערכת( מצוי מטען נקודתי .qמצא מה צריך להיות הקבוע המספרי Aעל מנת שגודל השדה בין הכדורים יהיה בלתי תלוי ב –.r ¾ בתור משטח גאוס נבחר כדור משותף ציר בעל r r רדיוס .r 2 ε0 )*( ' ∫ E ⋅ dA = qenc ⇒ε 0 E ( 4π r ) = q + q כאשר ’ qהוא המטען בנפח הכדורי .נחשב אותו: r r A q ' = ∫ ρ (r ')dV = ∫ 4π r '2 dr ' = 2π A r 2 − a 2 'r a a ) ( ) ( הצבה של התוצאה האחרונה ב * ודרישה לשדה קבוע נותנת : 34 q =A 2 [email protected] 4π a a +q r