...

ינש קרפ : קוח סואג

by user

on
Category: Documents
6

views

Report

Comments

Transcript

ינש קרפ : קוח סואג
‫פרק שני‪ :‬חוק גאוס ויישומיו‬
‫‪9‬‬
‫‪ 2.1‬קווי השדה החשמלי‬
‫‪ 2.2‬חוק גאוס‪ :‬מהו )דיון כללי( ?‬
‫‪ 2.3‬השטף של שדה וקטורי‬
‫‪ 2.4‬השטף של השדה החשמלי‬
‫‪ 2.5‬חוק גאוס‬
‫‪ 2.6‬ישומו של חוק גאוס‪:‬‬
‫‪9‬‬
‫‪9‬‬
‫‪9‬‬
‫‪9‬‬
‫‪9‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪1‬‬
‫שדה של מטען נקודתי‬
‫שדה של תיל אינסופי‬
‫שדה של מישור מטען אינסופי‬
‫שדה של התפלגות מטען כדורית‬
‫שדה בין לוחות קבל‬
‫מסקנות מחוק גאוס לגבי המטען העודף של מוליך‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪ 2.1‬קווי השדה החשמלי‬
‫¾‬
‫¾‬
‫¾‬
‫¾‬
‫קווי שדה חשמלי הם קוים במרחב )בדרך כלל עקומים( שהמשיק להם‬
‫בכל נקודה ונקודה מציין את כיוונו של השדה החשמלי באותה הנקודה‪.‬‬
‫קווי השדה החשמלי מתחילים במטען חיובי ומסתיימים במטען שלילי‪.‬‬
‫קווי שדה חשמלי לעולם אינם יכולים להיחתך )מדוע ?(‬
‫עצמתו של השדה החשמלי פרופורציונית לצפיפות קווי השדה‪:‬‬
‫במקומות בהם הקווים צפופים השדה חזק ולהפך‪.‬‬
‫שדה לא אחיד‬
‫‪2‬‬
‫שדה אחיד‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪ 2.1‬קווי השדה החשמלי המשך‪...‬‬
‫שדה חשמלי בקרבת יריעת מטען‬
‫דקה ומבודדת‪ .‬זהו שדה אחיד‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫שדה של מטען נקודתי‬
‫חיובי‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪ 2.1‬קווי השדה החשמלי המשך‪...‬‬
‫זוג מטענים‬
‫נקודתיים‬
‫וחיובים‬
‫‪4‬‬
‫קווי שדה של מערך‬
‫דיפולי‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪ 2.1‬קווי השדה החשמלי המשך‪...‬‬
‫תצלום של תצורת קווי‬
‫שדה מסביב לטבלה‬
‫טעונה ולשני מוטות‬
‫המדמים מערך דיפולי‪.‬‬
‫התצורה מתאפשרת‬
‫הודות לזרעי דשא‬
‫הצפים בנוזל צמיגי‬
‫מבודד‪ .‬כדי לראות את‬
‫האפקט יש צורך במתח‬
‫חשמלי גבוהה‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪ 2.2‬חוק גאוס‪ :‬מהו )דיון כללי( ?‬
‫¾ חוק גאוס הוא פורמליזם מתמטי המאפשר לנו לחשב‬
‫את השדה החשמלי של התפלגויות מטען סימטריות‬
‫בקלות רבה‪.‬‬
‫¾ חוק גאוס מניב את אותם התוצאות כחוק קולון‬
‫אולם הוא נחשב לכללי יותר והוא ישים גם למקרה‬
‫בו המטענים אינם סטטיים‪.‬‬
‫¾ חוק גאוס קושר בין השדה החשמלי למקורותיו‪,‬‬
‫דהיינו למטענים החשמליים היוצרים אותו‪.‬‬
‫¾ נעיר כי מספר הבעיות שניתן לפותרם בעזרת חוק‬
‫גאוס קטן והוא מוגבל לבעיות בעלות סימטריה‬
‫גבוהה‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪ 2.3‬השטף של שדה וקטורי‬
‫¾‬
‫‪7‬‬
‫השטף )‪ (Flux‬הוא תכונה פיסיקלית של כל שדה וקטורי והיא מספקת‬
‫מידה לזרימתו או לחדירתם של קווי השדה דרך משטח )צורה דו‪-‬‬
‫ממידית( הנמצא בשדה‪ .‬בדוגמא הבאה נתייחס לשטף שדה מהיריות‬
‫של זורם כלשהוא‪ .‬נתייחס לנוזל כלשהוא הזורם בצורה אחידה‪ .‬את‬
‫הזרימה נייצג ע"י שדה מהיריות‪ .‬נדמיין לעצמנו כי אנו שמים תיל‬
‫שכופף בצורת לולאה ריבועית בניצב לכיוון הזרימה )ציור ‪.(a‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪ 2.3‬השטף של שדה וקטורי המשך‪...‬‬
‫¾ אנו מגדירים את השטף של שדה המהירות דרך שטח הלולאה הניצבת למהירות ע"י‪:‬‬
‫‪Φ = vA‬‬
‫¾ כאשר ‪ v‬היא המהירות ו‪ A -‬הוא השטח של המשטח דרכו השטף מחושב‪.‬‬
‫¾ לשטף יש יחידות של נפח מחולק בזמן כלומר הוא מהווה מידה לקצב החדירה של הנוזל‬
‫דרך הלולאה הניצבת לשדה‪ .‬יהיה זה נוח להתייחס לשטף כמידה למספר קווי השדה‬
‫החודרים את הלולאה בניצב‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪ 2.3‬השטף של שדה וקטורי המשך‪...‬‬
‫¾ ומה קורה אם משטח הלולאה מהווה זווית כלשהיא עם כיוון השדה ? פשוט ניקח את‬
‫ההיטל של המשטח בכיוון המאונך כמוראה ב ‪ .b‬במקרה זה השטף יהיה‪:‬‬
‫‪Φ = vA cos θ‬‬
‫¾‬
‫¾‬
‫¾‬
‫¾‬
‫שימו לב‪ :‬מספר קווי השדה החודרים דרך המשטח הנטוי זהה למספר קווי השדה‬
‫החודרים את היטלו בכיוון המאונך‪ .‬אולם‪ ,‬הוא קטן יותר מהמקרה הקודם‪ ,‬פשוט כי‬
‫המשטח נטוי‪.‬‬
‫בציור ‪ c‬משטח הלולאה מקביל למהירות אין קווי שדה החודרים את משטח הלולאה‬
‫והשטף הוא אפס‪.‬‬
‫כפי שנראה להלן חוק גאוס דן בשטף דרך משטח סגור ולפיכך נצטרך להבחין בין שטף‬
‫חיובי לשטף שלילי‪ .‬לפי הסכמה שטף הנכנס לצורה הסגורה נלקח כשלילי ושטף יוצא מן‬
‫הצורה הוא שלילי‪.‬‬
‫נגדיר את השטף באמצעות המכפלה הסקלרית באופן הבא‪:‬‬
‫‪r r‬‬
‫)‪Φ = ∑ v A (1‬‬
‫‪9‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫¾‬
‫‪ 2.3 r‬השטף של שדה וקטורי המשך‪...‬‬
‫כאשר ‪ A‬נקרא ווקטור השטח הנורמאלי )מאונך( למשטח‪ .‬זהו ווקטור‬
‫שגודלו שווה לשטח של הצורה דרכה מחושב השטף והוא מכוון תמיד החוצה‬
‫מן הצורה‪.‬‬
‫תרגיל דוגמא מספר ‪:1‬‬
‫חשב את השטף דרך הצורה‬
‫הסגורה שהופיע באיור‬
‫קודם‪.‬‬
‫נוכל לכתוב את השטף דרך‬
‫‪ 5‬המשטחים באופן הבא‪:‬‬
‫‪r r r r r r r r r r‬‬
‫‪Φ = v A1 + v A2 + v A3 + v A4 + v A5‬‬
‫השטף דרך פאה ‪ 2‬הוא אפס כי וקטור השטח מאונך למהירות וכנ"ל לגבי פאות ‪4‬‬
‫ו‪ .5-‬השטף דרך פאה ‪ 1‬הוא ‪ −VA1‬וזה שדרך פאה ‪ 3‬הוא ‪ .vA cos θ‬השטף הכללי‬
‫הוא אפס כי מהגיאומטריה ברור ש ‪. A3 cos θ = A1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪ 2.3‬השטף של שדה וקטורי המשך‪...‬‬
‫‪A1 = ab cos θ‬‬
‫‪A3 = ab‬‬
‫‪b‬‬
‫‪v‬‬
‫‪a‬‬
‫‪θr‬‬
‫‪θ‬‬
‫‪a cos θ‬‬
‫‪A3‬‬
‫ƒ התוצאה האחרונה אינה מפתיעה אם נזכור שהשטף סופר את מספר קווי‬
‫השדה‪ .‬כל קו שדה שנכנס דרך משטח ‪ 1‬יוצא ממשטח ‪ 3‬ולכן השטף הכללי אפס‪.‬‬
‫ƒ זו התוצאה שתתקבל עבור כל משטח סגור שאין בו מקורות נביעה או לכידה של‬
‫נוזל‪ .‬אילו היה קיים מקור נביעה )למשל קרח הנמס( השטף הכללי היה חיובי כי‬
‫יותר קווי שדה היו יוצאים ולהפך‪ .‬מכאן נובע כי השטף דרך משטח סגור כלשהוא‬
‫יהיה שווה לעוצמת המקורות הכלואים בתוך המשטח הסגור‪.‬‬
‫‪11‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪ 2.4‬השטף של שדה החשמלי‬
‫¾‬
‫באנלוגיה לנוסחא )‪ (1‬השטף של השדה החשמלי דרך מספר משטחים כלשהוא‬
‫‪r r‬‬
‫יוגדר כ‪:‬‬
‫)‪Φ E = ∑ E A (2‬‬
‫¾‬
‫עבור משטחים עקומים נכליל את ה‪r‬משוואה האחרונה‪ .‬נחלק את המשטח‬
‫לאלמנטים דיפרנציאלים ששטחם ‪ dA‬ונבצע אינטגרציה‬
‫‪r r‬‬
‫)‪Φ E = ∫ E dA (3‬‬
‫¾‬
‫האינטגרל האחרון קרוי אינטגרל משטחי או דו ממדי‪.‬‬
‫‪12‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪ 2.4‬השטף של שדה החשמלי‬
‫‪13‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪ 2.4‬השטף של שדה החשמלי‬
‫תרגיל דוגמא מספר ‪:2‬‬
‫הציור הבא מראה גליל דמיוני בתוך שדה חשמלי אחיד‪ .‬יש לחשב את‬
‫השטף דרך המשטח הגלילי הסגור‬
‫‪r r‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪ΦE = ‬‬
‫‪∫ E dA = ∫ E dA + ∫ E dA + ∫ E dA‬‬
‫‪c‬‬
‫‪14‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪ 2.4‬השטף של שדה החשמלי‬
‫‪r r‬‬
‫‪E dA = ∫ EdA cos180° = − E ∫ dA = − EA‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪E dA = + EA‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪E dA = 0‬‬
‫∫‬
‫‪a‬‬
‫∫‬
‫‪c‬‬
‫∫‬
‫‪b‬‬
‫‪ΦE = 0‬‬
‫השטף ‪ 0‬כי שוב אין מקורות )מטען חשמלי( כלואים בתוך המשטח הסגור‬
‫‪15‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪ 2.5‬חוק גאוס‬
‫¾ השטף של השדה החשמלי דרך משטח סגור כלשהוא שווה לסך‬
‫כמות המטען החשמלי הכלואה בתוך המשטח‪ .‬כל מטען מחוץ‬
‫למשטח אינו משפיע‪.‬‬
‫¾‬
‫‪r r‬‬
‫‪ε0 ‬‬
‫‪∫ E dA = qenc‬‬
‫עבור מטען נקודתי השדה פונה רדיאלית החוצה‪:‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪ε0 ‬‬
‫‪∫ E dA =ε 0 ∫ EdA = q‬‬
‫⇓‬
‫‪2‬‬
‫‪ε0E ‬‬
‫‪ε‬‬
‫‪π‬‬
‫‪dA‬‬
‫=‬
‫‪q‬‬
‫⇒‬
‫‪E‬‬
‫‪4‬‬
‫‪r‬‬
‫‪)=q‬‬
‫( ‪0‬‬
‫∫‬
‫‪1‬‬
‫‪16‬‬
‫‪q‬‬
‫=‪E‬‬
‫‪2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪πε‬‬
‫‪4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫יישומו של חוק גאוס‬
‫¾‬
‫‪ .1‬השדה של תיל אינסופי הטעון בצפיפות מטען ‪λ‬‬
‫¾‬
‫מטעמי סימטריה השדה עובר דרך המעטפת‬
‫הגלילית בניצב‪.‬‬
‫בתור משטח גאוסי נבחר גליל בעל רדיוס ‪r‬‬
‫שהמוט עובר דרך ציר הסימטריה שלו‬
‫אין חדירת קווי שדה דרך כיפות הגליל ולכן‪:‬‬
‫שטף אפס‬
‫¾‬
‫‪r r‬‬
‫‪ε0 ‬‬
‫‪∫ E dA =ε 0 E ∫ dA =ε 0 E ( 2π rh ) = qenc = λ h‬‬
‫‪17‬‬
‫‪λ‬‬
‫=‪E‬‬
‫‪2πε 0 r‬‬
‫שטף אפס‬
‫‪[email protected]‬‬
‫יישומו של חוק גאוס המשך‪...‬‬
‫¾‬
‫‪ .2‬השדה של מישור מטען אינסופי בעל צפיפות‬
‫¾‬
‫מטעמי סימטריה נובע כי השדה ניצב‬
‫למישור‪.‬‬
‫בתור משטח גאוסי נבחר בגליל בעל‬
‫שטח חתך ‪ A‬הניצב למשור המטען‪.‬‬
‫¾‬
‫¾‬
‫‪σ‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪ε0 ‬‬
‫‪∫ E dA =qenc‬‬
‫‪ε 0 ( EA + EA ) = σ A‬‬
‫‪σ‬‬
‫=‪E‬‬
‫‪2ε 0‬‬
‫‪18‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫שטף אפס דרך מעטפת‬
‫גלילית‬
‫יישומו של חוק גאוס המשך‪...‬‬
‫¾‬
‫‪ .3‬השדה של קליפה כדורית הטעונה‬
‫אחידות במטען כללי ‪q‬‬
‫בתור משטח גאוס נבחר בכדור‬
‫קונצנטרי )משותף מרכז( עם הקליפה‪.‬‬
‫בגלל הסימטריה הכדורית הזווית‬
‫בין השדה לווקטור השטח היא אפס‬
‫כמו כן השדה החשמלי זהה בכל‬
‫נקודה על פני מעטפת גאוס ומכאן‪:‬‬
‫‪ .1‬עבור האזור החיצוני משטח ‪s1‬‬
‫)מחוץ לקליפה(‬
‫‪r r‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ε0 ‬‬
‫‪E‬‬
‫‪‬‬
‫‪dA‬‬
‫=‬
‫‪q‬‬
‫⇒‬
‫‪ε‬‬
‫‪E‬‬
‫‪4‬‬
‫‪π‬‬
‫‪r‬‬
‫(‬
‫‪)=q‬‬
‫‪0‬‬
‫∫‬
‫‪1‬‬
‫‪19‬‬
‫‪q‬‬
‫‪q‬‬
‫=‪E‬‬
‫)‪= k 2 (r > R‬‬
‫‪2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪4πε 0 r‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫יישומו של חוק גאוס המשך‪...‬‬
‫קיבלנו תוצאה חשובה המראה כי בנקודות חיצוניות הקליפה הטעונה‬
‫מתנהגת כאילו כל מטענה רוכז במרכז הכדור‪ ,‬דהיינו היא מתנהגת‬
‫כמטען נקודתי‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫עבור האזור הפנימי )משטח ‪ (s2‬נקבל שהשדה מתאפס כי לא כלוא כל‬
‫מטען בתוך המשטח ושדה אם היה קיים הוא היה רדיאלי ובעל אותו‬
‫ערך על פני מעטפת גאוס‪.‬‬
‫‪r<R‬‬
‫‪E=0‬‬
‫מסקנה‪ :‬כל מטען שיושם בתוך החלל הכדורי לא יחוש כל כוח‪.‬‬
‫‪20‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫יישומו של חוק גאוס המשך‪...‬‬
‫¾‬
‫נסכם את התוצאות שקיבלנו בשני משפטי הקליפה‪:‬‬
‫משפטי הקליפה‬
‫‪ .1‬קליפה טעונה )בצורה אחידה( מתנהגת בנקודות‬
‫חיצוניות כאילו כל מטענה מרוכז במרכז הקליפה‪.‬‬
‫‪ .2‬קליפה טעונה )בצורה אחידה( אינה מפעילה כל כוח‬
‫על מטען המוצב בנקודה כלשהיא בתוך הקליפה‪.‬‬
‫‪21‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫יישומו של חוק גאוס המשך‪...‬‬
‫¾‬
‫‪ .4‬השדה של התפלגות מטען כדורית‬
‫כאשר צפיפות המטען היא פונקציה של הרדיוס בלבד ) ‪ ρ = ρ ( r‬אנו אומרים‬
‫שלהתפלגות המטען סימטריה כדורית‪ .‬גם כאן חוק גאוס הוא פשוט במיוחד‪.‬‬
‫מחוץ להתפלגות המטען השדה‬
‫מתנהג כשדהו של מטען נקודתי‬
‫הנמצא במרכז מהסיבה שהשדה‬
‫רדיאלי ובעל ערך קבוע על פני‬
‫המעטפת הגאוסית‪ .‬אגף שמאל‬
‫של חוק גאוס זהה לזה שבדוגמא‬
‫הקודמת‪ .‬מאחר והמשטח הגאוסי‬
‫הוא מחוץ להתפלגות הוא מכיל בתוכו‬
‫אם כל כמות המטען‪.‬‬
‫‪22‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫יישומו של חוק גאוס המשך‪...‬‬
‫¾‬
‫ומכאן נקבל עבור השדה החיצוני‪:‬‬
‫)‪(1‬‬
‫¾‬
‫)‪(r > R‬‬
‫‪1‬‬
‫‪q‬‬
‫‪q‬‬
‫‪=k 2‬‬
‫=‪E‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4πε 0 r‬‬
‫‪r‬‬
‫כדי לחשב את השדה בפנים ההתפלגות נבחר משטח גאוסי כדורי שרדיוסו‬
‫קטן מרדיוס ההתפלגות‪ .‬אגף שמאל של חוק גאוס זהה לזה של האיזור‬
‫החיצוני פרט לעובדה שכעת ‪ . r < R‬אולם השוני הוא באגף הימני‪ .‬אם‬
‫במקרה הקודם כל המטען היה כלוא בתוך המשטח הגאוסי הרי שכעת רק‬
‫חלק ממנו כלוא‪ .‬נסמן מטען זה ב ‪ . q ' -‬נפעיל את חוק גאוס ונקבל עבור‬
‫השדה הפנימי את התוצאה ‪:‬‬
‫'‪q‬‬
‫)‪E = k 2 (r < R) (2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪23‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫יישומו של חוק גאוס המשך‪...‬‬
‫¾‬
‫ואיך נחשב את ' ‪q‬‬
‫? לצורך כך עלינו לדעת את התפלגות המטען ואז‪:‬‬
‫)‪q ' = ∫ ρ ( r ) dv = ∫ ρ ( r ) ( 4π r 2 ) dr (3‬‬
‫¾‬
‫בתור דוגמא הבה ונחשב את השדה של כדור טעון בצפיפות נפחית קבועה‬
‫בנקודות פנימיות‪ .‬היות הצפיפות קבועה נוכל להוציאה אל מחוץ לסימן‬
‫האינטגרל‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫‪4 3‬‬
‫‪q ' = ρ ∫ ( 4π r ' ) dr ' = π r ρ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫¾‬
‫נציב את המטען בנוסחא )‪ (2‬ונקבל‪:‬‬
‫‪ρ‬‬
‫‪kq‬‬
‫=‪E‬‬
‫‪r= 3r‬‬
‫‪3ε 0‬‬
‫‪R‬‬
‫כאשר המעבר האחרון התקבל ע"י הצבת צפיפות המטען‪:‬‬
‫‪24‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪q‬‬
‫‪4 3‬‬
‫‪πR‬‬
‫‪3‬‬
‫=‪ρ‬‬
‫יישומו של חוק גאוס המשך‪...‬‬
‫¾‬
‫נסכם את התוצאות שקיבלנו עבור כדור הטעון בצפיפות מטען אחידה‬
‫‪⎧ q‬‬
‫‪⎪⎪k R 3 r‬‬
‫⎨ = ) ‪E (r‬‬
‫‪⎪k q‬‬
‫‪⎪⎩ r 2‬‬
‫‪0<r < R‬‬
‫‪r≥R‬‬
‫השדה גדל ליניארית בפנים הכדור וצונח כ אחד חלקי ריבוע המרחק מחוץ‬
‫לכדור‪.‬‬
‫)‪E (r‬‬
‫שפת הכדור‬
‫‪r‬‬
‫‪25‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫מסקנות הנובעות מחוק גאוס לגבי המטען העודף‬
‫של מוליכים‬
‫¾‬
‫משפט ‪ :1‬השדה החשמלי בקרבו )בכל נקודה פנימית( של מוליך‬
‫אלקטרוסטטי הוא אפס‪.‬‬
‫¾‬
‫הוכחה )בדרך השלילה( אילו היה קיים שדה חשמלי בקרבו של המוליך הוא‬
‫היה מפעיל כוח על אלקטרוני ההולכה וגורם לתזוזתם‪ ,‬בסתירה להנחה כי‬
‫המוליך במצב אלקטרוסטטי‪.‬‬
‫¾‬
‫משפט ‪ :2‬מטענו העודף של מוליך מתפרס על שפתו החיצונית של המוליך‪.‬‬
‫לא קיים מטען עודף בתוך פנימו של המוליך‪.‬‬
‫נניח שמטען עודף ניתן למוליך גם בחלקו הפנימי‪ .‬בתחילה קיים שדה‬
‫חשמלי בקרבו של המוליך שנוצר כתוצאה מהמטען העודף‪ .‬שדה זה מפעיל‬
‫כוח על המטענים והם מסתדרים מחדש‪ .‬במהרה ‪ 10−9 s‬השדה החשמלי‬
‫בתוך המוליך מתאפס והמטענים מגיעים לשיווי משקל אלקטרוסטטי‪.‬‬
‫¾‬
‫‪26‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫מסקנות הנובעות מחוק גאוס לגבי המטען העודף‬
‫של מוליכים המשך‪...‬‬
‫¾ הוכחת משפט ‪ :2‬נביט במוליך בעל צורה סתמית כמתואר בציור‪:‬‬
‫נבנה מעטפת גאוסית בסמוך מאוד לפני המוליך ובחלקו הפנימי‪ .‬מאחר והשדה החשמלי‬
‫בקרבו של המוליך הוא אפס‪ ,‬הרי שהוא גם אפס על פני מעטפת גאוס‪ .‬לפיכך שטף השדה‬
‫החשמלי הוא אפס ומחוק גאוס נקבל שהמטען העודף בתוך מעטפת גאוס הינו אפס‪.‬‬
‫כעת‪ ,‬אם קיים למוליך מטען עודף הרי שהוא חייב להיות מחוץ למעטפת גאוס‪ ,‬כלומר על‬
‫פניו החיצוניים של המוליך ‪.‬‬
‫‪27‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫מסקנות הנובעות מחוק גאוס לגבי המטען העודף‬
‫של מוליכים‬
‫¾ ומה קורה אם בתוך המוליך קיים חלל ?‬
‫¾ אם לא קיים מטען בתוך החלל ניתן להראות באותו האופן כי לא קיים מטען עודף על שפת‬
‫ה חלל ‪.‬‬
‫¾ ומה קורה אם קיים מטען ' ‪ + q‬בתוך החלל ?‬
‫¾ השדה החשמלי בקרבו של המוליך עדיין אפס ומכאן‬
‫שהשטף דרך משטח גאוס עודנו אפס‪ .‬לפיכך המטען‬
‫הנקי הכלוא בתוך המשטח הגאוסי חייב להיות אפס‪.‬‬
‫'‪q + q‬‬
‫מכאן שעל משטח החלל יופיע מטען מושרה שלילי' ‪. −q‬‬
‫' ‪−q‬‬
‫היות ומטען מושרה לא משנה את המטען הכללי הרי‬
‫‪+‬‬
‫' ‪+q‬‬
‫שמטען ' ‪ + q‬יופיע על שפתו החיצונית של המוליך‬
‫שיצטרף למטען המקורי שהיה קיים שם‪.‬‬
‫‪28‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫מסקנות הנובעות מחוק גאוס לגבי המטען העודף‬
‫של מוליכים המשך‪..‬‬
‫תרגיל דוגמא מספר ‪:3‬‬
‫מוליך צינורי חלול וארוך מאוד בעל רדיוסים פנימי וחיצוני ‪ a‬ו‪ b-‬נתון בתוך‬
‫מוליך צינורי ארוך קואקסיאלי )משותף ציר( בעל רדיוסים פנימי וחיצוני ‪c‬‬
‫ו‪ .d -‬המוליך הפנימי נושא מטען ‪ +2q‬והמוליך החיצוני נושא מטען ‪−3q‬‬
‫כיצד מופלג המטען על פני משטחי המוליכים ??‬
‫‪29‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫מסקנות הנובעות מחוק גאוס לגבי המטען העודף‬
‫של מוליכים המשך‪..‬‬
‫ממשפט הקליפה ידוע לנו שכל מטען שיהיה‬
‫על הגלילי החיצוני לא ישפיע על הגליל‬
‫הפנימי‪ .‬הווה אומר נוכל להתייחס לגליל‬
‫הפנימי כאל מערכת מבודדת‪ .‬היות והשדה‬
‫החשמלי בקרבו של המוליך הוא אפס הדבר‬
‫מחייב שמטען של ‪2 q‬‬
‫יימצא על השפה ‪ b‬ועל השפה ‪ a‬לא יהיה כל‬
‫מטען‪ .‬כעת‪ ,‬גם בקרבו של המוליך החיצוני‬
‫השדה אפס הרי שמתחייב מחוק גאוס‬
‫שמטען של ‪ −2q‬חייב להימצא על השפה ‪c‬‬
‫על מנת שסך כל המטען שיימצא בתוך‬
‫משטח גאוסי גלילי בעל רדיוס ‪c < r < d‬‬
‫יהיה אפס‪ .‬על השפה ‪ d‬חייב להיות מטען ‪–q‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫על‪30‬מנת לקיים את שימור המטען‪.‬‬
‫‪d‬‬
‫‪c‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪2q‬‬
‫‪−2q‬‬
‫‪−q‬‬
‫השדה החשמלי בסמוך לפניו של מוליך טעון‬
‫¾ מעשית צפיפות המטען בדרך כלל אינה קבועה אלא פונקציה של המקום‪ .‬נוכל‬
‫להשתמש בחוק גאוס על מנת למצוא קשר בין השדה החשמלי בנקודה מסוימת‬
‫בסמוך לפניו של המוליך וצפיפות המטען באותה הנקודה‪.‬‬
‫משפט ‪ : 3‬השדה החשמלי בסמוך‬
‫לפניו החיצונים של המוליך ניצב‬
‫ל ו‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬אם השדה לא היה ניצב‬
‫לפני המוליך אז היה לו רכיב‬
‫המקביל לפני המוליך‪ .‬רכיב זה היה גורם למטען‬
‫המצוי על פני המוליך לנוע בסתירה להנחת האלקטרוסטטיות‪.‬‬
‫‪31‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫השדה החשמלי בסמוך לפניו של מוליך טעון‬
‫המשך‪...‬‬
‫בתור משטח גאוס נבחר גליל קטן שבסיס אחד שלו בתוך המוליך והשני מבחוץ‬
‫‪r r‬‬
‫‪E dA = EA‬‬
‫∫‬
‫‪side walls‬‬
‫‪32‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪E dA +‬‬
‫∫‬
‫‪r r‬‬
‫‪E dA +‬‬
‫‪inner cap‬‬
‫‪σ‬‬
‫=‪E‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫∫‬
‫‪outer cap‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪ΦE = ‬‬
‫= ‪∫ E dA‬‬
‫השדה החשמלי בסמוך לפניו של מוליך טעון‬
‫המשך‪...‬‬
‫¾‬
‫נשווה את התוצאה האחרונה עם זו שהתקבלה עבור יריעת מטען‪:‬‬
‫‪σ‬‬
‫= ‪E‬‬
‫‪2ε 0‬‬
‫¾‬
‫כיצד נסביר את ההבדל ? ניתן לטעון יריעת מטען עי ידי פיזור אחיד של‬
‫המטען מצידו האחד של משטח פלסטיק‪ .‬המטענים נדבקים וללא זזים‪.‬‬
‫לא ניתן לטעון מוליך בצורה זו כי המטענים יזוזו‪ .‬כדי להראות שאין‬
‫סתירה בין התוצאות נביט במוליך הבא‪ .‬אם המוליך מבודד )אין גוף‬
‫טעון אחר בסביבה( אז המטען יתחלק שוות בין שני משטחי המוליך‪.‬‬
‫נוכל להראות באמצעות סופרפוזיציה כי השדה בתוך‬
‫המוליך אפס ובסמוך לפני המוליך הוא נתון על ידי‪:‬‬
‫‪σ‬‬
‫= ‪E‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪33‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫תרגיל דוגמא מספר ‪:4‬‬
‫בין שני כדורים קונצנטריים רדיוס פנימי ‪ ,a‬קיים איזור המכיל מטען המפוזר‬
‫‪A‬‬
‫= ) ‪ρ (r‬‬
‫בצפיפות נפחית‬
‫‪r‬‬
‫ב ‪) r=0‬מרכז המערכת( מצוי מטען נקודתי ‪ .q‬מצא מה צריך להיות הקבוע‬
‫המספרי ‪ A‬על מנת שגודל השדה בין הכדורים יהיה בלתי תלוי ב –‪.r‬‬
‫¾‬
‫בתור משטח גאוס נבחר כדור משותף ציר בעל‬
‫‪r r‬‬
‫רדיוס ‪.r‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ε0 ‬‬
‫)*( ' ‪∫ E ⋅ dA = qenc ⇒ε 0 E ( 4π r ) = q + q‬‬
‫כאשר ’‪ q‬הוא המטען בנפח הכדורי‪ .‬נחשב אותו‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪A‬‬
‫‪q ' = ∫ ρ (r ')dV = ∫ 4π r '2 dr ' = 2π A r 2 − a 2‬‬
‫'‪r‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫הצבה של התוצאה האחרונה ב * ודרישה לשדה קבוע נותנת ‪:‬‬
‫‪34‬‬
‫‪q‬‬
‫=‪A‬‬
‫‪2‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪4π a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪+q‬‬
‫‪r‬‬
Fly UP