Document 2345054

‫תאריך הבחינה‪26.02.15 :‬‬
‫שם המרצה‪ :‬שניר כהן‬
‫שם הקורס‪ :‬מבוא למכניקה לכימאים‬
‫מספר הקורס‪203.1.1341 :‬‬
‫שנה‪ 2015 :‬סמסטר‪ :‬א' מועד‪ :‬ב'‬
‫משך הבחינה‪ 3 :‬שעות‪.‬‬
‫חומר עזר‪ :‬דף נוסחאות מצורף ומחשבון‪.‬‬
‫יש לענות על כל השאלות‪ .‬יש ל ציין (בקצרה) את החוק הפיזיקלי בו משתמשים‪ ,‬ול הציב מספרים‬
‫רק בסוף הפיתוח המתמטי‪.‬‬
‫𝐦‬
‫𝟐𝐬‬
‫𝟎𝟏 = 𝒈 ‪ .‬בשאלות‪/‬סעיפים ללא נתונים מספריים‪ ,‬יש להתייחס ל ‪𝒈-‬‬
‫כפרמטר ולא להציב אותו מספרית‪ .‬בהצלחה!‬
‫שאלה ‪ 25 ( . 1‬נק') גוף קטן בעל מסה 𝑚 מ ונח בקצה שולחן בעל גובה 𝐻 ‪ .‬כדור קטן בעל מסה 𝑀‬
‫קשור לחוט חסר מסה המחובר לתקרה‪ .‬הכדור מ שוחרר ממנוחה מגובה ‪ ℎ‬מעל השולחן ‪ ,‬הוא מתנגש‬
‫בגוף הקטן והגוף נזרק מהשולחן‪ .‬מהירות הכדור מיד לאחר ההתנגשות הייתה ‪ 2⁄3‬ממהירותו רגע‬
‫לפני ההתנגשות‪ ,‬בכיוון ימין‪ .‬ההתנגשו ת מתרחשת במצב בו החוט מאונך לשולחן‪.‬‬
‫א ‪ .‬מה ו גודל מהירות הגוף מיד לאחר ההתנגשות? (‪ 10‬נק')‬
‫ב‪ .‬מהו המרחק האופקי שעבר הגוף עד לפגיעה בקרקע? (‪ 10‬נק')‬
‫ג‪ .‬אם ידוע כי ההתנגשות הייתה אלסטית‪ ,‬מהו יחס המסות‬
‫𝑀‬
‫𝑚‬
‫? נוסחת עזר‪ 5( . 𝑢2 = 𝑣1 + 𝑢1 :‬נק')‬
‫𝑀‬
‫𝑚‬
‫𝐻‬
‫‪ℎ‬‬
‫א‪ .‬שימור תנע בכיוון ציר ‪: x‬‬
‫‪𝑀𝑣1 + 𝑚𝑣2 = 𝑀𝑢1 + 𝑚𝑢2‬‬
‫‪2‬‬
‫רגע לפני ההתנגשות הגוף במנוחה לכן ‪ . 𝑣2 = 0‬כמו כן‪ ,‬לפי הנתון בשאלה‪ . 𝑢1 = 3 𝑣1 :‬מכאן‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪𝑀𝑣1 = 𝑀 ( 𝑣1 ) + 𝑚𝑢2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪𝑀𝑣1‬‬
‫= ‪⇒ 𝑢2‬‬
‫𝑚‪3‬‬
‫נמצא את ‪ 𝑣1‬ע"י שימור אנרגיה עבו ר הכדור‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐻𝑔𝑀 ‪𝑀𝑔(𝐻 + ℎ) = 𝑀𝑣12 +‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑀𝑔ℎ = 𝑀𝑣12‬‬
‫‪2‬‬
‫‪𝑣1 = √2𝑔ℎ‬‬
‫‪𝑀𝑣1‬‬
‫𝑀‬
‫=‬
‫‪√2𝑔ℎ‬‬
‫𝑚‪3‬‬
‫𝑚‪3‬‬
‫= ‪𝑢2‬‬
‫ב‪ .‬הגוף נזרק אופקית מהשולחן במהירות ‪ 𝑢2‬שמצאנו‪ .‬נחשב את הזמן עד לפגיעה בקרקע‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑦 = 𝑦0 + 𝑣0,𝑦 𝑡 + 𝑎𝑦 𝑡 2 = 𝐻 − 𝑔𝑡 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑦 = 0 ⇒ 0 = 𝐻 − 𝑔𝑡 2‬‬
‫‪2‬‬
‫𝐻‪2‬‬
‫√=𝑡‬
‫𝑔‬
‫את המרחק האופקי נמצא מתוך המשוואה‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫𝑡 ‪𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0,𝑥 𝑡 + 𝑎𝑥 𝑡 2 = 𝑢2‬‬
‫‪2‬‬
‫𝑀‬
‫𝑀‪2𝐻 2‬‬
‫‪√𝐻ℎ‬‬
‫=‬
‫√‪√2𝑔ℎ‬‬
‫𝑚‪3‬‬
‫𝑔‬
‫𝑚‪3‬‬
‫=𝑥‬
‫ג‪ .‬בהתנגשות אלסטית מתקיים ‪ 𝑢2 = 𝑣1 + 𝑢1‬ב מקרה בו גוף ‪ 1‬פוגע ב גוף ‪ 2‬ה נמצא במנו חה לפני‬
‫ההתנגשות‪ .‬ניעזר בסעיף א' ונציב‪:‬‬
‫‪𝑀𝑣1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪= 𝑣1 + 𝑣1 = 𝑣1‬‬
‫𝑚‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫𝑀‬
‫‪=5‬‬
‫𝑚‬
‫⇒ ‪𝑢2 = 𝑣1 + 𝑢1‬‬
‫שאלה ‪ 25( . 2‬נק') על שולחן אופקי חלק מונח גוף שמסתו ‪ 𝑚2‬ועליו גוף נוסף שמסתו ‪ . 𝑚1‬מקדם‬
‫החיכוך הסטטי בין הגופים הוא 𝑠𝜇 ‪ .‬חשבו את הכ וח האופקי ‪ , 𝐹 ,‬המקסימלי שניתן להפעיל כך שלא‬
‫תתרחש החלקה בין הגופים ‪ ,‬כאשר הכוח מופעל‪:‬‬
‫א ‪ .‬על הגוף התחתון? ( ‪ 13‬נק')‬
‫ב‪ .‬על הגוף העליון ? ( ‪ 12‬נק')‬
‫א‪ .‬כאשר אין החלקה בין הגופים תהיה להם אותה ה תאוצה ‪ ,‬נסמן אותה ב ‪ . 𝑎-‬חוק שני של ניוטון בציר‬
‫‪ x‬עבור הגוף התחתון‪:‬‬
‫𝑎 ‪𝐹 − 𝑓𝑠 = 𝑚2‬‬
‫עבור הגוף העליון‪:‬‬
‫𝑎 ‪𝑓𝑠 = 𝑚1‬‬
‫𝑠𝑓‬
‫‪𝑚1‬‬
‫=𝑎‬
‫נציב במשוואה עבור הגוף התחתון‪:‬‬
‫𝑠𝑓‬
‫‪𝑚1‬‬
‫‪𝐹 − 𝑓𝑠 = 𝑚2 𝑎 = 𝑚2‬‬
‫𝑠𝑓‬
‫‪𝑚2‬‬
‫‪+ 𝑓𝑠 = 𝑓𝑠 (1 +‬‬
‫)‬
‫‪𝑚1‬‬
‫‪𝑚1‬‬
‫‪𝐹 = 𝑚2‬‬
‫הכוח 𝐹 יהיה מקסימלי כאשר כוח החיכוך הסטטי ‪ , 𝑓𝑠 ,‬יהיה מקסימלי ‪:‬‬
‫‪𝑚2‬‬
‫‪𝑚2‬‬
‫‪= 𝑓𝑠,𝑚𝑎𝑥 (1 +‬‬
‫‪) = 𝜇𝑠 𝑁 (1 +‬‬
‫)‬
‫‪𝑚1‬‬
‫‪𝑚1‬‬
‫𝑥𝑎𝑚𝐹‬
‫עבור הגוף העליון ‪ ,‬הכוח הנורמלי 𝑁 הוא הכוח שמפעיל הגוף התחתון על יו בכיוון ציר ‪ ,y‬כלפי מעלה‪.‬‬
‫מחוק שני של ניוטון בציר ‪ . 𝑁 = 𝑚1 𝑔 : y‬מכאן‪:‬‬
‫) ‪𝐹𝑚𝑎𝑥 = 𝜇𝑠 𝑔(𝑚1 + 𝑚2‬‬
‫ב‪ .‬כעת הכוח פועל על הגוף העליון‪ ,‬לכן‪:‬‬
‫𝑎 ‪𝐹 − 𝑓𝑠 = 𝑚1‬‬
‫עבור הגוף התחתון‪:‬‬
‫𝑎 ‪𝑓𝑠 = 𝑚2‬‬
‫𝑠𝑓‬
‫‪𝑚2‬‬
‫=𝑎‬
‫נציב את התאוצה‪:‬‬
‫𝑠𝑓‬
‫‪𝑚2‬‬
‫‪𝐹 − 𝑓𝑠 = 𝑚1 𝑎 = 𝑚1‬‬
‫‪𝑚1‬‬
‫)‬
‫‪𝑚2‬‬
‫‪𝐹 = 𝑓𝑠 (1 +‬‬
‫‪𝑚1‬‬
‫‪𝑚1‬‬
‫‪) = 𝜇𝑠 𝑁 (1 +‬‬
‫)‬
‫‪𝑚2‬‬
‫‪𝑚2‬‬
‫‪𝑚1‬‬
‫‪= 𝜇𝑠 𝑚1 𝑔 (1 +‬‬
‫)‬
‫‪𝑚2‬‬
‫‪⇒ 𝐹𝑚𝑎𝑥 = 𝑓𝑠,𝑚𝑎𝑥 (1 +‬‬
‫𝑁 הוא הכוח הנ ורמלי שמצאנו בסעיף א'‪.‬‬
‫𝑥𝑎𝑚𝐹‬
‫שאלה ‪ 25 ( . 3‬נק') מסה ראשונה ‪ 𝑚𝐴 = 2 kg‬מונחת על שולחן חסר חיכוך ומחוברת בקצה אחד‬
‫לקפיץ בעל קבוע קפיץ‬
‫‪N‬‬
‫‪m‬‬
‫‪ 𝑘 = 50‬ובקצה השני לחבל חסר מסה‪ ,‬שעובר דרך גלגלת חסרת מסה‬
‫ומחובר למסה שנייה ‪ 𝑚𝐵 = 5 kg‬ה תלויה באוויר‪ .‬הקפיץ רפוי כאשר המסות משוחררות ממנוחה‪.‬‬
‫א ‪ .‬מהי ה התארכות המקסימלית של הקפיץ? ( ‪ 12‬נק')‬
‫ב‪ .‬מה י מהירות המסות כאשר הקפיץ מ תארך ב ‪ 10 cm-‬ביחס ל אורכו הרפוי ? ( ‪ 13‬נק')‬
‫א‪ .‬האנרגיה במערכת נשמרת‪.‬‬
‫ב התחלה‪ :‬המסות משוחררות ממנוחה‪ ,‬לכן ‪ . 𝐾𝐴,𝑖 = 𝐾𝐵,𝑖 = 0‬הקפיץ רפוי ‪ ,‬לכן ‪ . 𝑈𝑒𝑙 = 0‬כמו כן נקבע‬
‫ציר 𝑦 חיובי כלפי מעלה ‪ ,‬כאשר ב ‪ 𝑦 = 0 -‬נמצא גוף ‪ B‬כאשר המסות משוחררות‪ ,‬ומכאן ש ‪-‬‬
‫‪.𝑈𝑔𝑟𝑎𝑣 = 0‬‬
‫בסך הכול ‪. 𝐸𝑖 = 0‬‬
‫בסוף ‪ :‬כאשר הקפיץ ה תארך באופן מק סימלי‪ ,‬המסות אינן נעות לכן ‪ .𝐾𝐴,𝑓 = 𝐾𝐵,𝑓 = 0‬נסמן ב ‪𝑥𝑚𝑎𝑥 -‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫𝑥𝑎𝑚𝑥𝑘 ‪ . 𝑈𝑒𝑙 = 2‬האנרגיה הפוטנציאלית הכובדית של‬
‫את ההתארכות המקסימלית של הקפיץ ונרשום‬
‫גוף ‪ B‬היא 𝑦𝑔 𝐵𝑚‪ , 𝑈𝑔𝑟𝑎𝑣 = −‬אך מכיוון שהגופים מחוברים באמצעות חוט גוף ‪ B‬יו רד מרחק השווה‬
‫ל ‪ .𝑥𝑚𝑎𝑥 -‬לכן נוכל לרשום‪. 𝑈𝑔𝑟𝑎𝑣 = −𝑚𝐵 𝑔𝑥𝑚𝑎𝑥 :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫𝑥𝑎𝑚𝑥𝑘 ‪.𝐸𝑓 = 2‬‬
‫בסך הכול 𝑥𝑎𝑚𝑥𝑔 𝐵𝑚 ‪−‬‬
‫משימור האנרגיה ‪:‬‬
‫‪1 2‬‬
‫𝑥𝑘‬
‫𝑥𝑎𝑚𝑥𝑔 𝐵𝑚 ‪−‬‬
‫𝑥𝑎𝑚 ‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫𝑥𝑎𝑚𝑥𝑘 = 𝑔 𝐵𝑚‬
‫‪2‬‬
‫=‪0‬‬
‫𝑔 𝐵𝑚‪2‬‬
‫‪=2m‬‬
‫𝑘‬
‫= 𝑥𝑎𝑚𝑥 ⇒‬
‫ב‪ .‬כאשר ההתארכות היא 𝑥𝑎𝑚𝑥 < ‪ 𝑥 = 0.1 m‬הגופים עדיין בתנועה‪ .‬כיוון שהם נעים באותה‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫המהירות נוכל לרשום‪ . 𝑣𝐴 = 𝑣𝐵 = 𝑣 :‬האנרגיות הקינטיות הן‪.𝐾𝐴 = 2 𝑚𝐴 𝑣 2 , 𝐾𝐵 = 2 𝑚𝐵 𝑣 2 :‬‬
‫האנרגיה‬
‫הפוטנציאלית‬
‫האלסטית‬
‫היא‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑈𝑒𝑙 = 2 𝑘𝑥 2‬‬
‫ובאותו‬
‫אופן‬
‫𝑥𝑔 𝐵𝑚‪. 𝑈𝑔𝑟𝑎𝑣 = −‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫לכן האנרגיה במצב זה היא 𝑥𝑔 𝐵𝑚 ‪. 𝐸𝑓 = 2 (𝑚𝐴 + 𝑚𝐵 )𝑣 2 + 2 𝑘𝑥 2 −‬‬
‫משימור אנרגיה‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫𝑥𝑔 𝐵𝑚 ‪(𝑚𝐴 + 𝑚𝐵 )𝑣 2 + 𝑘𝑥 2 −‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑚𝐵 𝑔𝑥 − 𝑘𝑥 2 = (𝑚𝐴 + 𝑚𝐵 )𝑣 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫=‪0‬‬
‫‪2𝑚𝐵 𝑔𝑥 − 𝑘𝑥 2‬‬
‫= 𝑣‬
‫𝐵𝑚 ‪𝑚𝐴 +‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2𝑚𝐵 𝑔𝑥 − 𝑘𝑥 2‬‬
‫‪m‬‬
‫√=𝑣‬
‫‪= 1.17‬‬
‫𝐵𝑚 ‪𝑚𝐴 +‬‬
‫‪s‬‬
‫כמו‬
‫בסעיף‬
‫הקודם‪:‬‬
‫שאלה ‪ 25 ( . 4‬נק') קורה שמסתה 𝑚 ואורכה 𝐿 מוחזקת לקיר ע"י ציר‪ .‬משחררים את הקורה ממנוחה‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫נתון מומנט ההתמד של הקורה ביחס לציר‪. 𝐼 = 3 𝑚𝐿2 :‬‬
‫א ‪ .‬מצאו ביטוי לתאוצה הזוויתית כפונקציה של הזווית 𝛽‪ 13 ( .‬נק')‬
‫נתון‪.𝑂𝐵 = 0.4 m ,𝑂𝐴 = 0.15 m , 𝐿 = 0.5 m , 𝑚 = 10 kg :‬‬
‫ב‪ .‬מהן התאוצות המשיקיות‪ 𝑎𝐴 ,‬ו ‪ 𝑎𝐵 -‬בנקודות ‪ A‬ו ‪ B-‬כאשר ‪ 12( ? 𝛽 = 50°‬נק')‬
‫א‪ .‬את התאוצה הזו ויתית נמצא מתוך חוק שני של ניוטון לסיבובים ע"י חישוב מומנט הכוח הכולל‬
‫הפועל על הקורה‪ ,‬ביחס לציר המוגדר בשאלה‪ .‬רק כוח הכובד מפעיל מומנט כוח ביחס לציר הנ"ל‪,‬‬
‫לכן‪:‬‬
‫𝛼𝐼 = 𝑔𝑚𝜏‬
‫𝐿‬
‫𝐿‬
‫𝛽 ‪𝑚𝑔 sin(90° − 𝛽) = 𝑚𝑔 cos‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫𝛽 ‪𝐿𝑚𝑔 cos 𝛽 𝐿𝑚𝑔 cos 𝛽 3𝑔 cos‬‬
‫=𝛼⇒‬
‫=‬
‫=‬
‫𝐼‪2‬‬
‫𝐼‪2‬‬
‫𝐿‪2‬‬
‫= 𝑔𝑚𝜏‬
‫ב‪ .‬נשתמש בקשר בין התאוצה הזוויתית לתאוצה המשיקית‪ , 𝑎𝑡𝑎𝑛 = 𝛼𝑅 ,‬נסמן 𝐴𝑂 = 𝐴𝑅 ו ‪-‬‬
‫𝐵𝑂 = 𝐵𝑅 ונציב את שאר הנתונים ‪:‬‬
‫𝛽 ‪3𝑔 cos‬‬
‫‪m‬‬
‫‪𝑅𝐴 = 2.89 2‬‬
‫𝐿‪2‬‬
‫‪s‬‬
‫𝛽 ‪3𝑔 cos‬‬
‫‪m‬‬
‫= 𝐵𝑅𝛼 = 𝐵𝑎‬
‫‪𝑅𝐵 = 7.71 2‬‬
‫𝐿‪2‬‬
‫‪s‬‬
‫= 𝐴𝑅𝛼 = 𝐴𝑎‬