Comments
Description
Transcript
ץיפקל רושק רתימ חוציפל השק זוגא – :
אגוז קשה לפיצוח – מיתר קשור לקפיץ נקודות עיקריות להבנה בפתרון התרגיל הזה: .1בתרגילים מסויימים עדיף לנו לעבוד עם נוסחאות גל בצורתם המורכבת ,דהיינו .צורה זו מבוססת על נוסחת אויילר ,כך שאנו מקבלים )דהיינו ,אנו יכולים בסוף הפיתוח לקחת רק את החלק הממשי של נוסחת הגל( לכן ,בשביל לפתור תרגיל זה צריך להביע את האמפליטודות של הגל הנכנס ,המוחזר והעובר בצורה מרוכבת .2גבול הרצף –אנו נישתמש בגבול הרצץ כאשר אנו עוברים מהיחס שהיחס לנגזרת .נשים לב ,כאשר אנו מודדים את הזוית של העקומה ביחס לכיוון החיובי של ציר ה , של הזוית שמחברת בין ראשית הצירים לנקודה בה אנו לוקחים את נותנת לנו את ה של הזוויות לנגזרת ביחס ל , על מנת להבין את הצורה בה מבינים איך להמיר מה אפשר להיעזר בדף הזה - http://en.wikipedia.org/wiki/Vibrating_string#Derivation .3אנו יכולים להתחיל למדל את המודל בצורה הזו - ולהוסיף לנקודה את הכוח של הקפיץ ככוח שפועל כלפי מטה ,בעל כוח פרופורציונלי ל . ,שיש לו מסה אנו לוקחים את משוואת הכוחות שפועלות על החלק מהמיתר בין ל ,אז גם המסה של החלק הזה שואפת כלשהי .כאשר אנו לוקחים את הגבול של היא האמפליטודה של לאפס .בנוסף ,בפיתוח שלנו אנו נניח שהאמפליטודה שנמדדת ב ,והאמפליטודה שנמדדת בנקודה היא סכום של האמפליטודות של הגל הנכנס הגל העובר . והגל המוחזר פתרון התרגיל * עכשיו אני כותב את הזוויות של הכוחות שמופעלים על אלמנט מהמיתר בצורה קצת שונה ,בשביל שיהיה קל יותר לא להתבלבל עם הסימנים של הנגזרות במעבר לגבול הרצף משוואת הכוחות על הנקודה בה הקפיץ מחובר היא נעבור כעת לגבול הרצף ונקבל אנו מקבלים איפה שהשתמשנו בעובדה שבשביל איך שלקחנו את הזוית ,השיפוע של הגרף שמתקבל מ ,ושמנו לב שעל פי צריך לצאת שלילי בגבול הרצף. נציב עכשיו במשוואה שאנו מקבלים את צורות הגל שהנחנו כעת אנו משתמשים בעובדה שעברנו להתייחס לנקודה בה מחובר הקפיץ ,שאנו לוקחים אותה .בנקודה זו אנו יודעים ש בתור ולכן ,אם נציב את הנוסחאות שהנחנו לצורות הגלים ,נקבל שהאמפליטודות מקיימות לנו כך שיש לנו כעת נשתמש בהנחה שהמתיחות במצב מנוחה היינה זהה משני צידי הקפיץ ונוכל לכתוב כך שאנו מקבלים שמקדם ההחזרה הוא שימו לב שזה מקדם החזרה מרוכב ,המשמעות של זה היא שהגל המוחזר הוא מוזז בפזה מסויימת ביחס לגל הפוגע .אנו יכולים לגלות את הזוית של הפזה הזו על ידי כפל המונה והמכנה בביטוי ,כך שנקבל המכנה הוא עכשיו ממשי ,ולכן הזוית של הפזה ניתנת לנו על ידי היחס בין החלק המדומה לחלק הממשי של המונה באותה צורה נוכל להגיע לביטוי של ,Tמקדם ההחזרה e_63_1_012 ψ i = Ai e iωt e −ikx ψ r = Ar e iωt e + ikx ψ t = At e iωt e − ikx הוא1 הגל הפוגע במיתר הוא1 הגל החוזר במיתר הוא2 הגל העובר במיתר ψ i + ψ r = ψ t ⇒ Ai + Ar = At הואx = 0 תנאי הרציפות ב 0 = −T1 dxd (ψ i + ψ r ) + T2 dxd ψ t − Kψ t ⇒ ikT ( Ai − Ar − At ) − KAt = 0 ומשוויון כוחות Ar = ( ומכאן נקבל ) − K K − 2i µT ω K Ai = Ai = − K − 2ikT K 2 + 4 µT ω 2 K K + 4 µT ω 2 tan φ r = − ( e iφr Ai 2 µT ω K ) 2i µT ω K − 2i µT ω K + 1 Ai = At = Ai = K 2 + 4 µTω 2 − K − 2ikT tan φt = 2 K 2 µT ω 2 µT ω K + 4 µT ω 2 2 e iφt Ai התאמת עקבות ע"י שכבת בניים עבור שלוש שכבות שונות זה מזה מהו התנאי על העקבות מספר הגל )בתווך האמצעי( ועובי שכבת הבניים ,Lכך שעבור החזרות חלשות ,סכום שני ההחזרות בתווך בו הגל הראשון פגוע יהיה אפס? פתרון: נגדיר מספרי גל k1 , k2 , k3ועקבות z1 , z2 , z3בהתאמה. הגל הפוגע הראשון יהיה מהצורה: )ψi (x, t) = A cos(ωt − k1 x )(1 הכיוון השלילי במיקום מעיד שהוא נע ימינה. הגל החוזר מהפגיעה בשיכבת הבניים יהיה מהצורה: )ψr(1) (x, t) = R12 A cos(ωt + k1 x )(2 נשים לב כי הסימן התהפך בגלל הכיווניות של הגל ,וגם כי אין פאזה נוספת כי הפונקציה רציפה בנקודת החיבור ).(x = 0 הגל העובר מהתווך הראשון לשני יהיה מהצורה: )ψt (x, t) = AT12 cos(ωt − k2 x )(3 הגל החוזר השני מפגיעת הגל בשכבה השלישית יהיה מהצורה: )ψr(2) (x, t) = AT12 R23 cos(ωt + k2 x + φ )(4 כעת נשים לב כי יש פאזה שעלינו לחשב מכיוון שללא הפאזה הפונקציית הגל לא הייתה רציפה בנקודה .x = L הפאזה מתקבלת מרציפות הארגומט של הקוסינוס בנקודת החיבור: ωt + k2 L + φ = ωt − k2 L ⇒ φ = −2k2 L )(5 הגל העובר משכבת הבניים לשכבה הראשונה )שהוא גם יהיה גל חוזר מהכיוון המקורי של הפגיעה(: )ψr(3) (x, t) = AT12 R23 T21 cos(ωt + k1 x − 2k2 L )(6 הקשר בין עקבה למקדם החזרה והעברה: )(7 T12 = 1 + R12 z2 − z3 ; z2 + z3 = R23 z1 − z2 ; = −R21 z1 + z2 = R12 *הערה :יש להשים לב כי בקו תמסורת מקדם ההחזרה והעברה עבור זרם ומתח מוגדרים אחרת ולעבוד בהתאם. השימוש בהחזרות קטנות אומר כי אנחנו עובדים עד סדר ראשון בהחזרות ,לכן: )(8 2 ≈1 T12 T21 = (1 + R12 ) (1 + R21 ) = (1 + R12 ) (1 − R12 ) = 1 − R12 1 התאמת עקבות ע"י שכבת בניים )(3 )(1 כעת כדי לבטל את ההחזרה הכוללת )בהחזרות קטנות( בבעיה נדרוש שסכום ההחזרות ψr , ψr יהיה אפס. )ψr(1) (x, t) = AR12 cos(ωt + k1 x )(9 )ψr(3) (x, t) = AR23 cos(ωt + k1 x − 2k2 L )(10 (1נדרוש החזרות שוות: )(11 )(12 )(13 z1 − z2 z2 − z3 = z1 + z2 z2 + z3 z1 z2 − 1 −1 z2 z3 = z1 z2 +1 +1 z2 z3 √ z1 z2 = ⇒ z2 = z1 z3 ⇒ z2 z3 ⇒ R12 = R23 (2נדרוש פאזת פאי כדי לבטל אחד את השני. )(14 π 2L = ωt + k1 x = ωt + k1 x − 2k2 L + π ⇒ k2 2