ץיפקל רושק רתימ חוציפל השק זוגא – :

‫אגוז קשה לפיצוח – מיתר קשור לקפיץ‬
‫נקודות עיקריות להבנה בפתרון התרגיל הזה‪:‬‬
‫‪ .1‬בתרגילים מסויימים עדיף לנו לעבוד עם נוסחאות גל בצורתם המורכבת‪ ,‬דהיינו‬
‫‪ .‬צורה זו מבוססת על נוסחת אויילר‬
‫‪ ,‬כך שאנו מקבלים‬
‫)דהיינו‪ ,‬אנו יכולים בסוף הפיתוח‬
‫לקחת רק את החלק הממשי של נוסחת הגל(‬
‫לכן‪ ,‬בשביל לפתור תרגיל זה צריך להביע את האמפליטודות של הגל הנכנס‪ ,‬המוחזר‬
‫והעובר בצורה מרוכבת‬
‫‪ .2‬גבול הרצף –אנו נישתמש בגבול הרצץ כאשר אנו עוברים מהיחס‬
‫שהיחס‬
‫לנגזרת‬
‫‪ .‬נשים לב‬
‫‪ ,‬כאשר אנו מודדים את הזוית של העקומה ביחס לכיוון החיובי של ציר ה‬
‫‪,‬‬
‫של הזוית שמחברת בין ראשית הצירים לנקודה בה אנו לוקחים את‬
‫נותנת לנו את ה‬
‫של הזוויות לנגזרת ביחס ל ‪,‬‬
‫על מנת להבין את הצורה בה מבינים איך להמיר מה‬
‫אפשר להיעזר בדף הזה ‪-‬‬
‫‪http://en.wikipedia.org/wiki/Vibrating_string#Derivation‬‬
‫‪ .3‬אנו יכולים להתחיל למדל את המודל בצורה הזו ‪-‬‬
‫ולהוסיף לנקודה‬
‫את הכוח של הקפיץ ככוח שפועל כלפי מטה‪ ,‬בעל כוח פרופורציונלי ל‬
‫‪.‬‬
‫‪ ,‬שיש לו מסה‬
‫אנו לוקחים את משוואת הכוחות שפועלות על החלק מהמיתר בין ל‬
‫‪ ,‬אז גם המסה של החלק הזה שואפת‬
‫כלשהי‪ .‬כאשר אנו לוקחים את הגבול של‬
‫היא האמפליטודה של‬
‫לאפס‪ .‬בנוסף‪ ,‬בפיתוח שלנו אנו נניח שהאמפליטודה שנמדדת ב‬
‫‪ ,‬והאמפליטודה שנמדדת בנקודה היא סכום של האמפליטודות של הגל הנכנס‬
‫הגל העובר‬
‫‪.‬‬
‫והגל המוחזר‬
‫פתרון התרגיל‬
‫* עכשיו אני כותב את הזוויות של הכוחות שמופעלים על אלמנט מהמיתר בצורה קצת שונה‪ ,‬בשביל‬
‫שיהיה קל יותר לא להתבלבל עם הסימנים של הנגזרות במעבר לגבול הרצף‬
‫משוואת הכוחות על הנקודה בה הקפיץ מחובר היא‬
‫נעבור כעת לגבול הרצף‬
‫ונקבל‬
‫אנו מקבלים‬
‫איפה שהשתמשנו בעובדה שבשביל‬
‫איך שלקחנו את הזוית ‪ ,‬השיפוע של הגרף שמתקבל מ‬
‫‪ ,‬ושמנו לב שעל פי‬
‫צריך לצאת שלילי בגבול‬
‫הרצף‪.‬‬
‫נציב עכשיו במשוואה שאנו מקבלים את צורות הגל שהנחנו‬
‫כעת אנו משתמשים בעובדה שעברנו להתייחס לנקודה בה מחובר הקפיץ‪ ,‬שאנו לוקחים אותה‬
‫‪ .‬בנקודה זו אנו יודעים ש‬
‫בתור‬
‫ולכן ‪ ,‬אם נציב את הנוסחאות שהנחנו לצורות הגלים‪ ,‬נקבל שהאמפליטודות מקיימות לנו‬
‫כך שיש לנו‬
‫כעת נשתמש בהנחה שהמתיחות במצב מנוחה היינה זהה משני צידי הקפיץ‬
‫ונוכל לכתוב‬
‫כך שאנו מקבלים שמקדם ההחזרה הוא‬
‫שימו לב שזה מקדם החזרה מרוכב‪ ,‬המשמעות של זה היא שהגל המוחזר הוא מוזז בפזה מסויימת‬
‫ביחס לגל הפוגע‪ .‬אנו יכולים לגלות את הזוית של הפזה הזו על ידי כפל המונה והמכנה בביטוי‬
‫‪ ,‬כך שנקבל‬
‫המכנה הוא עכשיו ממשי‪ ,‬ולכן הזוית של הפזה ניתנת לנו על ידי היחס בין החלק המדומה לחלק‬
‫הממשי של המונה‬
‫באותה צורה נוכל להגיע לביטוי של ‪ ,T‬מקדם ההחזרה‬
e_63_1_012
ψ i = Ai e iωt e −ikx
ψ r = Ar e iωt e + ikx
ψ t = At e iωt e − ikx
‫ הוא‬1 ‫הגל הפוגע במיתר‬
‫ הוא‬1 ‫הגל החוזר במיתר‬
‫ הוא‬2 ‫הגל העובר במיתר‬
ψ i + ψ r = ψ t ⇒ Ai + Ar = At
‫ הוא‬x = 0 ‫תנאי הרציפות ב‬
0 = −T1 dxd (ψ i + ψ r ) + T2 dxd ψ t − Kψ t ⇒ ikT ( Ai − Ar − At ) − KAt = 0 ‫ומשוויון כוחות‬
Ar =
(
‫ומכאן נקבל‬
)
− K K − 2i µT ω
K
Ai =
Ai =
− K − 2ikT
K 2 + 4 µT ω 2
K
K + 4 µT ω
2
tan φ r = −
(
e iφr Ai
2 µT ω
K
)
2i µT ω K − 2i µT ω
K


+ 1 Ai =
At = 
Ai =
K 2 + 4 µTω 2
 − K − 2ikT

tan φt =
2
K
2 µT ω
2 µT ω
K + 4 µT ω
2
2
e iφt Ai
‫התאמת עקבות ע"י שכבת בניים‬
‫עבור שלוש שכבות שונות זה מזה מהו התנאי על העקבות מספר הגל )בתווך האמצעי( ועובי‬
‫שכבת הבניים ‪ ,L‬כך שעבור החזרות חלשות‪ ,‬סכום שני ההחזרות בתווך בו הגל הראשון פגוע‬
‫יהיה אפס?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫נגדיר מספרי גל ‪ k1 , k2 , k3‬ועקבות ‪ z1 , z2 , z3‬בהתאמה‪.‬‬
‫הגל הפוגע הראשון יהיה מהצורה‪:‬‬
‫)‪ψi (x, t) = A cos(ωt − k1 x‬‬
‫)‪(1‬‬
‫הכיוון השלילי במיקום מעיד שהוא נע ימינה‪.‬‬
‫הגל החוזר מהפגיעה בשיכבת הבניים יהיה מהצורה‪:‬‬
‫)‪ψr(1) (x, t) = R12 A cos(ωt + k1 x‬‬
‫)‪(2‬‬
‫נשים לב כי הסימן התהפך בגלל הכיווניות של הגל‪ ,‬וגם כי אין פאזה נוספת כי הפונקציה רציפה‬
‫בנקודת החיבור )‪.(x = 0‬‬
‫הגל העובר מהתווך הראשון לשני יהיה מהצורה‪:‬‬
‫)‪ψt (x, t) = AT12 cos(ωt − k2 x‬‬
‫)‪(3‬‬
‫הגל החוזר השני מפגיעת הגל בשכבה השלישית יהיה מהצורה‪:‬‬
‫)‪ψr(2) (x, t) = AT12 R23 cos(ωt + k2 x + φ‬‬
‫)‪(4‬‬
‫כעת נשים לב כי יש פאזה שעלינו לחשב מכיוון שללא הפאזה הפונקציית הגל לא הייתה רציפה‬
‫בנקודה ‪.x = L‬‬
‫הפאזה מתקבלת מרציפות הארגומט של הקוסינוס בנקודת החיבור‪:‬‬
‫‪ωt + k2 L + φ = ωt − k2 L ⇒ φ = −2k2 L‬‬
‫)‪(5‬‬
‫הגל העובר משכבת הבניים לשכבה הראשונה )שהוא גם יהיה גל חוזר מהכיוון המקורי של‬
‫הפגיעה(‪:‬‬
‫)‪ψr(3) (x, t) = AT12 R23 T21 cos(ωt + k1 x − 2k2 L‬‬
‫)‪(6‬‬
‫הקשר בין עקבה למקדם החזרה והעברה‪:‬‬
‫)‪(7‬‬
‫‪T12 = 1 + R12‬‬
‫‪z2 − z3‬‬
‫;‬
‫‪z2 + z3‬‬
‫= ‪R23‬‬
‫‪z1 − z2‬‬
‫; ‪= −R21‬‬
‫‪z1 + z2‬‬
‫= ‪R12‬‬
‫*הערה‪ :‬יש להשים לב כי בקו תמסורת מקדם ההחזרה והעברה עבור זרם ומתח מוגדרים אחרת‬
‫ולעבוד בהתאם‪.‬‬
‫השימוש בהחזרות קטנות אומר כי אנחנו עובדים עד סדר ראשון בהחזרות‪ ,‬לכן‪:‬‬
‫)‪(8‬‬
‫‪2‬‬
‫‪≈1‬‬
‫‪T12 T21 = (1 + R12 ) (1 + R21 ) = (1 + R12 ) (1 − R12 ) = 1 − R12‬‬
‫‪1‬‬
‫התאמת עקבות ע"י שכבת בניים‬
‫)‪(3‬‬
‫)‪(1‬‬
‫כעת כדי לבטל את ההחזרה הכוללת )בהחזרות קטנות( בבעיה נדרוש שסכום ההחזרות ‪ψr , ψr‬‬
‫יהיה אפס‪.‬‬
‫)‪ψr(1) (x, t) = AR12 cos(ωt + k1 x‬‬
‫)‪(9‬‬
‫)‪ψr(3) (x, t) = AR23 cos(ωt + k1 x − 2k2 L‬‬
‫)‪(10‬‬
‫‪ (1‬נדרוש החזרות שוות‪:‬‬
‫)‪(11‬‬
‫)‪(12‬‬
‫)‪(13‬‬
‫‪z1 − z2‬‬
‫‪z2 − z3‬‬
‫=‬
‫‪z1 + z2‬‬
‫‪z2 + z3‬‬
‫‪z1‬‬
‫‪z2‬‬
‫‪−‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪z2‬‬
‫‪z3‬‬
‫=‬
‫‪z1‬‬
‫‪z2‬‬
‫‪+1‬‬
‫‪+1‬‬
‫‪z2‬‬
‫‪z3‬‬
‫√‬
‫‪z1‬‬
‫‪z2‬‬
‫=‬
‫‪⇒ z2 = z1 z3‬‬
‫⇒‬
‫‪z2‬‬
‫‪z3‬‬
‫⇒ ‪R12 = R23‬‬
‫‪ (2‬נדרוש פאזת פאי כדי לבטל אחד את השני‪.‬‬
‫)‪(14‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2L‬‬
‫= ‪ωt + k1 x = ωt + k1 x − 2k2 L + π ⇒ k2‬‬
‫‪2‬‬