ב דעומ ... ' .

‫מועד ב' ‪21.8.09.‬‬
‫המחלקה לפיסיקה‬
‫בחינה בקוונטים ‪1‬‬
‫מס' הקורס‪:‬‬
‫‪203.1.3141‬‬
‫המרצה‪ :‬פרופ' אמנון אהרוני‬
‫משך הבחינה‪ 3 :‬שעות‬
‫יש לפתור ‪ 2‬מתוך ‪ 3‬השאלות הבאות‪ .‬כל השאלות שוות בערכן‪.‬‬
‫מותר להשתמש רק בדף הנוסחאות המצורף ובמחשבון פשוט‪.‬‬
‫‪ .1‬ההמילטוניאן של אוסילטור הרמוני דו‪-‬ממדי איזוטרופי נתון בצורה‬
‫‪ 10) . H = ( p x2 + p y2 ) /(2m) + mω 2 ( x 2 + y 2 ) / 2‬נקודות לכל חלק(‪.‬‬
‫)א(‬
‫הראו כי ניתן לרשום את ההמילטוניאן בצורה )‪) H = hω (a x+ a x + a +y a y + 1‬כאן‬
‫ובהמשך‪ + ,‬מייצג צימוד הרמיטי(‪ .‬רישמו ביטויים מפורשים עבור האופרטורים‬
‫‪ a x‬ו‪ . a y -‬הראו גם כי המצבים העצמיים ניתנים לאפיון על ידי המספרים‬
‫הקוונטיים ‪ , n x , n y‬וקבלו ביטויים מפורשים עבור המצבים 〉 ‪, a x , y | n x n y‬‬
‫〉 ‪ . a x+, y | n x n y‬מהן רמות האנרגיה? מה הניוון של כל רמה?‬
‫)ב (‬
‫נתון אופרטור התנע הזוויתי ‪ . L z = xp y − yp x‬בטאו את האופרטור הזה בעזרת‬
‫האופרטורים שהוגדרו בחלק )א(‪ .‬מהי התוצאה של הפעלת אופרטור זה על כל אחד‬
‫מהמצבים העצמיים של ההמילטוניאן? מהי האנרגיה של המצב 〉 ‪? L z | n x n y‬‬
‫)ג(‬
‫מהו יחס החילוף של אופרטור התנע הזוויתי הנ"ל עם ההמילטוניאן? האם‬
‫התשובה יכולה להתקבל גם משיקולי סימטריה?‬
‫)ד (‬
‫מדדו את האנרגיה של החלקיק‪ ,‬וקבלו את התוצאה ‪ . 2hω‬מהו הניוון של מצבי‬
‫המערכת אחרי המדידה? עכשיו הוסיפו שדה מגנטי‪ ,‬וההמילטוניאן הפך להיות‬
‫‪ . H = H 0 + µBL z‬מהם הערכים האפשריים של אנרגיה שיכולים להמדד אחרי‬
‫השינוי הזה? מה קרה לנוון? בכל אחד מהמצבים העצמיים של ההמילטוניאן‬
‫החדש‪ ,‬מה תהיה התוצאה של מדידת ‪? Lz‬‬
‫)ה(‬
‫לפני הוספת השדה המגנטי‪ ,‬החלקיק היה במצב 〉‪ . | 10‬בזמן ‪ t = 0‬הדליקו את‬
‫השדה המגנטי‪ .‬מהו הסיכוי למצוא את החלקיק באותו מצב בזמן ‪? t‬‬
‫‪.2‬‬
‫חלקיק בעל מסה ‪ M‬חלקיק נע בשלושה ממדים בפוטנציאל מרכזי ומתואר על ידי‬
‫‪r‬‬
‫ההמילטוניאן‪ , H = p 2 / 2 M + V (r ) :‬עם הערכים העצמיים } ‪. {E n‬‬
‫)א( )‪ (10‬חשבו את יחסי החילוף‪:‬‬
‫] ‪. [[ H , xα ], x β‬‬
‫)ב( )‪ (15‬הוכיחו את כלל הסכום הבא‪. ∑ ( E n − E n ' ) | [ xα ] nn ' | 2 = h 2 /(2 M ) :‬‬
‫‪n‬‬
‫)ג( )‪ (15‬חשבו במפורש את אלמנטי המטריצה‬
‫〉‪ 〈 n = 2, l, m | z | n = 1, l = 0, m = 0‬עבור כל ערכי ‪ l, m‬האפשריים באטום‬
‫המימן‪.‬‬
‫)ד( )‪ (10‬השתמשו בתוצאה של חלק )ב( כדי לקבל חסם עליון לאברי המטריצה‬
‫שקיבלתם בחלק )ג(‪ ,‬והראו כי התוצאה המפורשת שקיבלתם מקיימת את החסם‬
‫הזה‪.‬‬
‫‪ .3‬חלקיק נמצא בבור פוטנציאל חד ממדי אינסופי בעל רוחב ‪) L‬אפס עבור ‪| x |< L / 2‬‬
‫ואינסוף אחרת(‪.‬‬
‫)א( )‪ (10‬בזמן ‪ t = 0‬החלקיק נמצא בדיוק בראשית‪ ,‬כלומר באמצע הבור‪ .‬מהי‬
‫פונקצית הגל של החלקיק? מהם ערכי האנרגיה שאפשר למדוד בזמן זה‪ ,‬ומהו‬
‫הסיכוי לקבל כל אחד מהם?‬
‫)ב( )‪ (20‬בזמן ‪ t = t1 > 0‬מדדו אנרגיה‪ ,‬וקיבלו את האנרגיה הנמוכה ביותר‬
‫האפשרית‪ .‬בזמן מאוחר יותר ‪ t 2‬הוזזו הקירות בפתאומיות כך שרוחב הבור גדל‬
‫לרוחב ‪) 2L‬אפס עבור ‪ | x |< L‬ואינסוף אחרת(‪ .‬חשבו את ההסתברות להיות‬
‫במצב היסוד החדש ובמצב המעורר הראשון‪.‬‬
‫)ג( )‪ (20‬בזמן ‪ t = t 3 > t 2‬מדדו אנרגיה‪ ,‬וקיבלו את האנרגיה הנמוכה ביותר‬
‫האפשרית‪ .‬בזמן מאוחר יותר ‪ t 4‬סולקו בבת אחת הקירות של הבור‪ ,‬והפוטנציאל‬
‫הפך להיות אפס בכל מקום‪ .‬מהי פונקצית הגל אחרי זמן זה )כולל התלות בזמן(?‬
‫מהו הסיכוי לכך שבזמן מאוחר יותר ‪ t 5‬יהיה לחלקיק תנע במרווח קטן ‪ ∆k‬ליד‬
‫הערך ‪ ? k 0 = π / L‬האם סיכוי זה ישתנה בזמנים מאוחרים יותר?‬
‫בהצלחה!‬
:‫תנועה בהשפעת שדה מרכזי‬
ψ (r,θ ,ϕ ) =
d 2U
dr
2
+
:‫אוסצילטור הרמוני‬
aˆ + n = n + 1 n + 1
U (r) m
Yl (θ ,ϕ )
r
aˆ n = n n − 1
(
)
xˆ =
h
2 mω
(aˆ + aˆ )
pˆ = −i
mω h
2
2 

2m 
V ( r ) + l (l + 1)h U = 0
E
−


h 2 
2mr 2 

Hˆ = hω aˆ + aˆ + 12
:‫תנע זוויתי‬
r r r
L=r×p
(aˆ − aˆ )
[a, a ] = 1
Lˆ z l , m = mh l , m
Lˆ + = Lˆ x + iLˆ y
Lˆ − = Lˆ x − iLˆ y
: (− a , a ) ‫בור פוטנציאל אינסופי‬

π n 
1
sin
x  n − ‫זוגי‬
ψ n =

a  2 a 

ψ = 1 cos π n x  n − ‫אי זוגי‬
 2a 
 n
a


Lˆ + l , m = l (l + 1) − m( m + 1) h l , m + 1
Lˆ − l , m = l (l + 1) − m( m − 1) h l , m − 1
Lˆi , Lˆ j = ihε ijk Lˆ k
[
∂ sin ϕ ∂ 

Lˆ y = ih − cos ϕ
+

∂θ tan θ ∂ϕ 

∂
Lˆ z = −ih
∂ϕ
‫לפלסיאן בקואורדינטות ספריות‬
∂2 2 ∂
1 L2
2
∇ = 2+
−
∂r
r ∂r h 2 r 2
:‫משוואת התנועה של הייזנברג‬
[
dAˆ H i ˆ ˆ
= H , AH
dt
h
]
)
8ma 2
:‫אטום המימן‬
V=
− e2
r
,
En =
ψ n l m (r,θ ,ϕ ) = Rn l ( r )Ylm (θ ,ϕ ) =
Rn l ( r ) = − An l e
−r
2 a0
− µ e4
2h 2 n 2
Un l
r
Y lm
l
 r  2l +1  r 
  Ln + l  
 a0 
 a0 
 2  (n − l − 1)!

An l ≡ 
3
 a 0 n  2n[(n + 1)!]
3
a0 ≡
h2
µ e2
−3
R10 (r ) = 2(a0 ) 2
e
−r
a0
−3 
r  2−ar
 e 0
R20 (r ) = 2(2a0 ) 2 1 −
 2a 0 
∂ρ r r
+ ∇ ⋅ J = 0 ‫צפיפות וזרם הסתברות‬
∂t
r ih r *
r
2
J=
∇ψ ψ − ψ * ∇ψ
ρ =ψ
2m
[(
h 2π 2 n 2
En =
]
∂ cosϕ ∂ 

Lˆ x = ih sin ϕ
+

∂θ tan θ ∂ϕ 

+
†
Lˆ2 = Lˆ2x + Lˆ2y + Lˆ2z
Lˆ2 l , m = l (l + 1)h 2 l , m
+
( )]
−3
R21 (r ) = (2a0 ) 2
−r
r
2 a0
e
3 a0
∞
:‫פולינומי לג'נדר‬
−x
Γ(n + 1) = ∫ x n e dx = n! : ‫ חיובי שלם‬n ‫עבור‬
0
l
(
− 1)
P ( x) =
l
dl
(
1− x2 )
l
l
2 l ! dx
l
∞
−α x 2
∫e
dx =
0
1 π
2 α
:‫פונקציות לג'נדר‬
cos( p − q ) x cos( p + q ) x
∫ sin px cos qxdx = − 2( p − q) − 2( p + q)
∫ cos px cos qxdx =
sin( p − q ) x sin( p + q ) x
+
2( p − q )
2( p + q )
∫ sin px sin qxdx =
sin( p − q ) x sin( p + q ) x
−
2( p − q )
2( p + q )
:‫פולינומי הרמיט‬
(1 − x 2 )m dxd m Pl ( x)
m
Plm ( x ) =
:‫הרמוניות ספריות‬
2l + 1 (l − m )! m
Pl (cos θ )e i mϕ
4π (l + m )!
Ylm = ( −1) m
1
4π
Y00 =
Y10 =
3
cosθ
4π
H n′′ − 2 yH n′ + 2nH n = 0
d n − y2
n
H n ( y ) = (− 1) e y
e
dy n
H n′ = 2nH n−1 , H n+1 = 2 yH n − 2nH n−1
, Y11 = −
3
sin θ e iϕ
8π
, Y1−1 =
3
sin θ e −iϕ
8π
(
e −t
+ 2 ty
∞
= ∑ H n ( y)
n=0
)
Y20 =
5
3 cos 2 θ − 1
16π
Y22 =
15
sin 2 θ e i 2ϕ
32π
2
2
,m≥0
∫ dΩ[Y
] Yl m = δ l 'l δ m 'm
m' *
l'
n
t
‫פונקציה יוצרת‬
n!
‫לגר‬
k
Lkn ( x ) =
[ f ( x ), pˆ ] = ih
∂
f ( x)
∂x
n
∫ dx f (x )δ (x ) = f (0)
∫ dx f (x )δ (g (x )) = ∑
[ Aˆ , Bˆ Cˆ ] = [ Aˆ , Bˆ ]Cˆ + Bˆ [ Aˆ , Cˆ ]
[x , p ] = i h
xi∈ zeros
of g ( x )
f ( xi )
g ′( xi )
sin (α + β ) = sin αcosβ + cosαsinβ
cos(α + β ) = cos α cos β − sin α sin β
sin α + sin β = 2 sin (
α +β
)cos(
α −β
‫חלקיק חפשי – חבורת גלים‬
)
2
2
α +β
α −β
cos α + cos β = 2cos(
)cos(
)
2
2
∞
1
ψ ( x, t ) =
φ (k ) =
(
d
d
Ln ( x ) , Ln ( x ) = e x n x n e − x
k
dx
dx
2π
1
2π
∫ dkφ (k )e
i ( kx −ωt )
−∞
∞
∫ dxψ ( x,0)e
−∞
−ikx
(10)
)
:‫פתרונות‬
‫ממדי איזוטרופי נתון בצורה‬-‫ ההמילטוניאן של אוסילטור הרמוני דו‬.1
H = ( p x2 + p y2 ) /(2m) + mω 2 ( x 2 + y 2 ) / 2
α=
x=
y=
(a
2α
1
(a
2α
1
y
x
+ ax
+ ay
+
+
)
)
(a
2i
αh
px =
,
py =
,
(a
2i
x
αh
y
+
)
, ax =
1 
i
1 
i


+
px  , ax =
px 
 αx +
 αx −
αh 
αh 
2
2
+
)
, ay =
1 
1 
i
i


+
py  , ay =
py 
 αy +
 αy −
αh 
αh 
2
2
− ax
− ay
mω
.‫א‬
h
2

 p2 1
  py 1
+
+
H =  x + mω 2 x 2  + 
+ mω 2 y 2  = hω a x a x + a y a y + 1


 2m 2
  2m 2

(
+
aˆ y n x , n y = n y + 1 n x , n y + 1
+
aˆ x n x , n y = n x + 1 n x + 1, n y
,
aˆ x n x , n y = n x n x − 1, n y
)
aˆ y n x , n y = n y n x , n y − 1
H n x , n y = hω (n x + n y + 1) n x , n y
(
)
‫ באשר‬N + 1 ‫ והניוון הוא‬E nx , n y = hω n x + n y + 1 = hω ( N + 1) :‫האנרגיות העצמיות‬
. N = nx + n y
L z = xp y − yp x =
[(
)(
h
+
+
ax + ax a y − a y
2i
:‫ בעזרת אופרטורי הסולם‬L z ‫ נבטא את‬.‫ב‬
h +
+
+
+
− ay + a y ax − ax = ax ay − axa y
i
) (
)(
)] [
[
]
]
: a x , a y = 0 -‫נשים לב ש‬
:‫נבדוק הרמיטיות‬
[
Lz n x , n y =
[
]
+
[
]
h
h +
+ 
+
+
L+z =  a x a y − a x a y  =
a x a y − a x a y = Lz
i
−
i


]
)
[
h +
h
+
a x a y − a x a y nx , n y =
( n x + 1) n y n x + 1, n y − 1 − n x ( n y + 1) n x − 1, n y + 1
i
i
H Lz n x , n y = hω (n x + n y + 1) Lz n x , n y
(
(
]
)
.‫ מנוונים‬n x , n y , Lz n x , n y ‫המצבים‬
: [L z , H ] ‫ נחשב את‬.‫ג‬
‫]‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫= ‪ay − axa y , ax ax + a y ay + 1‬‬
‫)]‬
‫‪+‬‬
‫‪x‬‬
‫[ ]‬
‫‪[a‬‬
‫‪ω‬‬
‫‪2‬‬
‫‪i‬‬
‫‪[Lz , H ] = h‬‬
‫[(‬
‫‪h 2ω‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪ax ay − axa y , ax ax + ax a y − ax ay , a y a y = 0‬‬
‫‪i‬‬
‫השתמשנו בקשר‪a, a + = 1 ⇒ aa + = 1 + a + a :‬‬
‫התשובה יכולה להתקבל גם משיקולי סימטריה תחת סיבוב סביב ציר ‪ ,z‬לאופרטורים קיים סט‬
‫מלא של וקטורים עצמיים משותפים‪.‬‬
‫ד‪ .‬מדדו את האנרגיה של החלקיק‪ ,‬וקבלו את התוצאה ‪ . 2hω‬הניוון של מצבי המערכת אחרי‬
‫המדידה הוא ‪ .2‬המצבים העצמיים עבור רמת האנרגיה המתאימה לניוון מסדר שני הם‪:‬‬
‫‪ . 0,1 , 1,0‬בבסיס מצבים אלו האופרטור המייצג את ההמילטוניאן הוא מהצורה‪:‬‬
‫]‬
‫=‬
‫[‬
‫‪1 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪H 0 = 2hω ‬‬
‫‪0 1‬‬
‫עכשיו הוסיפו שדה מגנטי‪ ,‬וההמילטוניאן הפך להיות ‪ H = H 0 + CL z‬באשר ‪. C = µB‬‬
‫‪h  0 − 1‬‬
‫‪‬‬
‫האופרטור המייצג את ‪ Lz‬בבסיס זה הוא מהצורה‪ :‬‬
‫‪i  1 0 ‬‬
‫‪ 2ω iC ‬‬
‫‪‬‬
‫‪H = H 0 + CL z = h‬‬
‫‪ − iC 2ω ‬‬
‫הערכים האפשריים של אנרגיה שיכולים להמדד אחרי השינוי הם הע"ע של ‪:H‬‬
‫) ‪) . E ± = h ( 2ω ± C‬ניתן לראות שהניוון הוסר(‬
‫‪1‬‬
‫= ‪ . ±‬בכל אחד מהמצבים‬
‫המצבים העצמיים של ההמילטוניאן החדש הם‪( 0,1 ± i 1,0 ) :‬‬
‫‪2‬‬
‫העצמיים של ההמילטוניאן החדש‪ ,‬התוצאה של מדידת ‪ Lz‬תהיה‪. L z ± = ± h ± :‬‬
‫= ‪ L z‬ולכן‪:‬‬
‫ה‪.‬לפני הוספת השדה המגנטי‪ ,‬החלקיק היה במצב 〉‪ . | 10‬בזמן ‪ t = 0‬הדליקו את השדה המגנטי‪.‬‬
‫מתקיים ש‪) :‬‬
‫‪+ −‬‬
‫‪(+‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫‪ 1,0‬ולכן‬
‫)‬
‫‪+ + e iCt −‬‬
‫‪− iCt‬‬
‫‪(e‬‬
‫‪e − i 2ωt‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫‪t‬‬
‫‪.ψ‬‬
‫הסיכוי למצוא את החלקיק באותו מצב בזמן ‪ t‬הוא‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪= cos 2 (Ct‬‬
‫)‬
‫‪ .2‬א‪ .‬נשתמש ב‪:‬‬
‫(‬
‫‪1‬‬
‫‪= e −iCt + e iCt‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪t‬‬
‫‪P (t ) = 1,0 ψ‬‬
‫] ‪[A, BC ] = [A, B]C + B[A, C‬‬
‫‪ pβ 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪[H , xα ] =  , xα δ αβ = − 1 ([xα , pα ] pα + pα [xα , pα ]) = − ih pα‬‬
‫‪2M‬‬
‫‪M‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2 M‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ − ih‬‬
‫‪ −h‬‬
‫‪δ αβ‬‬
‫‪[[ H , xα ], x β ] = ‬‬
‫= ‪pα , x β ‬‬
‫‪M‬‬
‫‪M‬‬
‫‪‬‬
:'‫ נשתמש בפתרונות שמצאנו בסעיף א‬.‫ב‬
−h
M
m [[ H , x], x] m =
2
∑
m [H , x ] n n x m − ∑ m x n n [H , x ] m =
n
n
∑ (E
m
− E n ) m x n n x m − ∑ m x n (E n − E m ) n x m =
n
n
∑ (E n − E m ) m x n
n x m + ∑ m x n (E n − E m ) n x m =
n
∑ (E
− h2
M
n
n
− Em ) n x m
2
=
n
− h2
M
h2
M
:( m x n
)
+
= n x m -‫מאחר ו‬
h2
2M
:‫ נשתמש בנוסחאות‬.‫ג‬
3
cos θ
4π
Y10 =
Y00 =
,
h2
a0 ≡
µ e2
−3
1
R10 (r ) = 2(a0 ) 2
,
4π
−3
,
R21 (r ) = (2a0 ) 2
r
3 a0
e
e
−r
a0
−r
2 a0
:‫המכפלה הפנימית‬
〈 n = 2, l, m | z | n = 1, l = 0, m = 0〉 = ∫ r drdΩR2l Ylm (r cos θ ) R10Y00
*
2
∫Y
lm
*
1
cos θY00 dΩ = ∫
〈 2lm | z | 100〉 =
δ m0
3
〈 210 | z | 100〉 =
Ylm Y10 dΩ =
*
3
∞
δ m 0δ l1
∫ r R2l R10δ l1dr =
*
3
0
3 2a 0
3
δ m0
3
−3
∞
∫ r R21 R10 dr =
3
4
(E 2 − E1 )
2 z1
2
≤
2 xα 1
−3
δ m 0 2(a 0 ) 2 (2a0 ) 2
3a 0
∞
−
4
∫r e
3r
2 a0
dr
0
5
1 2
3
 2a 0 

 Γ(5) =
  4!a 0 ≈ a 0
4
3 2 3
 3 
M e4
3M e 4
E n = − 2 2 ⇒ E 2 − E1 =
2h n
8h 2
2
*
0
5
1
*
h2
≤
2M
4h 4
4 2
= a0
2 4
3
3M e
:‫ מהתוצאה של חלק )ב( נקבל חסם עליון‬.‫ד‬
‫‪9 2 4 2‬‬
‫התוצאה המפורשת מקיימת את החסם הזה‪a 0 ≤ a 0 :‬‬
‫‪16‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ (3‬בהתחלה המצבים העצמיים של החלקיק הם‬
‫והאנרגיות העצמיות הן‬
‫‪h 2π 2 n 2‬‬
‫‪2mL2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ sin(nπx / L), n = even ‬‬
‫‪‬‬
‫‪,ψ n = 2 / L ‬‬
‫=‬
‫(‪cos‬‬
‫‪n‬‬
‫‪π‬‬
‫‪x‬‬
‫‪/‬‬
‫‪L‬‬
‫‪),‬‬
‫‪n‬‬
‫‪odd‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫= ‪ . E n‬פונקציות הגל שוות ל‪ 0-‬עבור | ‪. L / 2 <| x‬‬
‫)א( בזמן ‪ t = 0‬החלקיק נמצא בדיוק בראשית‪ .‬לכן‪ ,‬פונקצית הגל שלו היא )‪,ψ ( x,0) = Aδ ( x‬‬
‫כאשר ‪ A‬מקדם נרמול‪ ,‬כשהמימד של ‪ A 2‬הוא אורך‪ .‬למעשה אי אפשר לקבוע את מקדם‬
‫∞‬
‫הנרמול הזה‪ ,‬כי הוא יוצא אפס מתוך הדרישה ‪ . ∫ dx | ψ | 2 = 1‬לכן קיבלנו כתשובה נכונה‬
‫∞‪−‬‬
‫תשובות שהשאירו את הקבוע בנוסחה מבלי לקבוע אותו‪ .‬דרך שניה להתקדם היא לרשום‬
‫‪ ψ ( x,0) = 1 / 2a‬עבור ‪ , | x |< a / 2‬ואפס אחרת‪ ,‬ולשלוח את ‪ a‬לאפס בסוף‪ .‬בכל מקרה‪,‬‬
‫המצב אחרי זמן זה הוא ‪ ,ψ ( x, t ) = ∑ c nψ n ( x)e −iEnt / h‬כאשר > )‪ , c n =< ψ n | ψ ( x,0‬ולכן‬
‫‪ c n = A 2 / L‬במקרה הראשון או ‪ c n = 2a / L‬במקרה השני‪ ,‬שניהם רק עבור ‪ n‬אי‪-‬זוגי‪.‬‬
‫המקדמים הזוגיים מתאפסים‪.‬‬
‫במדידת אנרגיה יימדדו רק האנרגיות עבור ‪ n‬אי‪-‬זוגי‪ ,‬ולכולן‬
‫יהיו סיכויים שווים‪ . | c n | 2 = 2a / L ,‬כיון שסכום הסיכויים צריך להיות אחד‪ ,‬וזהו סכום על‬
‫אינסוף איברים‪ ,‬ברור שכל איבר צריך להתאפס‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫)ב( מיד אחרי הזמן ‪ , t1‬פונקצית הגל היא ‪cos(πx / L)e −iE1t / h‬‬
‫‪L‬‬
‫= ) ‪ ψ 1 ( x, t‬עבור‬
‫| ‪ L / 2 >| x‬ו‪ 0-‬אחרת‪) .‬יש כאן חופש פאזה‪ ,‬כי הזמן נמדד החל מ‪ . t1 -‬ניתן להתעלם מהפאזה‬
‫הזאת‪ ,‬כי היא אינה משפיעה על התוצאות(‪ .‬פונקציות הגל אחרי זמן ‪ t 2‬הן‬
‫‪ sin(nπx / 2 L), n = even ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ϕ n = 1 / L ‬עבור ‪ | x |< L‬ו‪ 0-‬אחרת‪ ,‬עם אנרגיות‬
‫‪ cos(nπx / 2 L), n = odd ‬‬
‫‪h 2π 2 n 2‬‬
‫‪8mL2‬‬
‫= ‪ . E n‬מצב היסוד והמצב המעורר הראשון מתאימים ל‪ n = 1 -‬ול‪ . n = 2 -‬הסיכוי‬
‫להמצא במצב החדש ‪ ϕ n‬הוא‬
‫האינטגרנד אי‪-‬זוגי‪ ,‬ואילו‬
‫‪8‬‬
‫‪ , Pn =| a n | 2‬כאשר‬
‫‪ . a n = ϕ n ψ 1‬בפרט‪ a 2 = 0 ,‬כי‬
‫‪L/2‬‬
‫‪∫ dx cos(πx / 2 L) cos(πx / L) = 3π‬‬
‫‪−L / 2‬‬
‫= ‪. a1‬‬
‫)ג(‬
‫עכשיו המצב ההתחלתי הוא ‪ . ϕ1‬פונקצית הגל החדשה היא חבורת גלים‪,‬‬
‫) ‪i ( kx −ωt‬‬
‫∞‬
‫‪∫ dkφ (k )e‬‬
‫∞‪−‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2π‬‬
‫= ) ‪ .ψ ( x, t‬המקדמים ניתנים ע"י‬
‫‪L  sin(π / 2 + kL) sin(π / 2 − kL) ‬‬
‫‪+‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2π  π / 2 + kL‬‬
‫‪π / 2 − kL ‬‬
‫‪L‬‬
‫= )‪∫ dx cos(kx) cos(πx / 2 L‬‬
‫‪8 L∆k‬‬
‫ולכן הסיכוי לקבל במדידה תנע בתחום צר ‪ ∆k‬ליד ‪ k 0‬הוא‬
‫‪9π 3‬‬
‫‪−L‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2πL‬‬
‫∞‬
‫‪− ikx‬‬
‫= ‪∫ dxψ ( x,0)e‬‬
‫= ‪. | φ (k 0 ) | 2 ∆k‬‬
‫∞‪−‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2π‬‬
‫= ) ‪φ (k‬‬